系统的能控性、能观测性、稳定性分析报告

1、Word 格式实验报告课程线性系统理论基础实验日期年月日专业班级姓名学号同组人实验名称系统的能控性、能观测性、稳定性分析及实现评分批阅教师签字一、实验目的加深理解能观测性、能控性、稳定性、最小实现等观念。掌握如何使用 MATLAB 进行以下分析和实现。1、系统的能观测性、能控性分析；2 、系统的稳定性分析；3 、系统的最小实现。二、实验内容（ 1）能控性、能观测性及系统实现（ a）了解以下命令的功能；自选对象模型，进行运算，并写出结果。gram, ctrb, obsv, lyap, ctrbf, obsvf, minreal ；（ ）已知连续系统的传递函数模型， G( s)sa，b310s22

2、7s18s完美整理Word 格式当 a 分别取 -1，0 ，1时，判别系统的能控性与能观测性；6.66610.66670.33330（ c）已知系统矩阵为 A101， B1，0121C 1 0 2 ，判别系统的能控性与能观测性；（ d）求系统 G (s)s1的最小实现。10s227s 18s3（ 2）稳定性（ a）代数法稳定性判据已知单位反馈系统的开环传递函数为：100( s2)，G (s)20)s( s 1)(s试对系统闭环判别其稳定性（ b）根轨迹法判断系统稳定性已知一个单位负反馈系统开环传递函数为k (s 3)，试在系统的闭环根轨迹图上选择G( s)2s(s 5)( s 6)(s2s 2

3、)一点，求出该点的增益及其系统的闭环极点位置，并判断在该点系统闭环的稳定性。（ c）Bode 图法判断系统稳定性已知两个单位负反馈系统的开环传递函数分别为G1 ( s)2.7, G 2 ( s)2.75s24s5s24ss3s3用 Bode 图法判断系统闭环的稳定性。（ d）判断下列系统是否状态渐近稳定、是否BIBO稳定。完美整理Word 格式0100x001 x0u , y25 5 0 x2500510三、实验环境1、计算机 120 台；2 、MATLAB6.X 软件 1 套。四、实验原理（或程序框图）及步骤1、系统能控性、能观性分析设系统的状态空间表达式如（1-1）所示。系统的能控性、能观

4、测性分析是多变量系统设计的基础，包括能控性、能观测性的定义和判别。系统状态能控性定义的核心是： 对于线性连续定常系统 （1-1）,若存在一个分段连续的输入函数 u(t) ，在有限的时间（ t1-t0 ）内，能把任一给定的初态 x(t 0 )转移至预期的终端 x(t 1)，则称此状态是能控的。若系统所有的状态都是能控的，则称该系统是状态完全能控的。能控性判别分为状态能控性判别和输出能控性判别。状态能控性分为一般判别和直接判别法，后者是针对系统的系数阵 A 是对角标准形或约当标准形的系统，状态能控性判别时不用计算，应用公式直接判断，是一种直接简易法；前者状态能控性分为一般判别是应用最广泛的一种判别

5、法。输出能控性判别式为：RankQcyRank CBCABCAn 1Bp（ 2-1）完美整理Word 格式状态能控性判别式为：RankQcRank BABAn 1 Bn（ 2-2）系统状态能观测性的定义：对于线性连续定常系统（2-1）,如果对 t 0 时刻存在 ta，t0 <t a <，根据 t 0,t a 上的 y(t) 的测量值，能够唯一地确定系统在 t0 时刻的任意初始状态 x 0 ，则称系统在 t0 时刻是状态完全能观测的，或简称系统在 t 0 ,ta区间上能观测。状态能观测性也分为一般判别和直接判别法，后者是针对系统的系数阵 A 是对角标准形或约当标准形的系统，状态能观性

6、判别时不用计算，应用公式直接判断，是一种直接简易法；前者状态能观测性分为一般判别是应用最广泛的一种判别法。状态能观测性判别式为：RankQoRank CCACAn 1 Tn（ 2-3）系统的传递函数阵和状态空间表达式之间的有 (1-2)式所示关系。已知系统的传递函数阵表述， 求其满足 (1-2)式所示关系的状态空间表达式，称为实现。实现的方式不唯一，实现也不唯一。其中，当状态矩阵 A具有最小阶次的实现称为最小实现，此时实现具有最简形式。五、程序源代码1.(a) 了解以下命令的功能；自选对象模型，进行运算，并写出结果。gram, ctrb, obsv, lyap, ctrbf, obsvf, m

7、inreal；gram: 求解用状态空间表示的系统的可控或客观Gramian 矩阵num=6 -0.6 -0.12;den=1 -1 0.25 0.25 -0.125;完美整理Word 格式H=tf(num,den,'Ts',0.1)Lc=gram(ss(H), 'c')H =6 z2 - 0.6 z - 0.12-z4 - z3 + 0.25 z2 + 0.25 z - 0.125Sample time: 0.1 secondsDiscrete-time transfer function.Lc =10.76517.87693.6759-0.00007.876

8、910.76517.87691.83793.67597.876910.76513.9385-0.00001.83793.93852.6913Ctrb ：计算矩阵可控性A=-2.2 -0.7 1.5 -1;0.2 -6.3 6 -1.5;0.6 -0.9 -2 -0.5;1.4 -0.1 -1 -3.5B=6 9;4 6;4 4;8 4;Tc=ctrb(A,B);rank(Tc)A =-2.2000-0.70001.5000-1.00000.2000-6.30006.0000-1.50000.6000-0.9000-2.0000-0.50001.4000-0.1000-1.0000-3.5000

9、ans =3完美整理Word 格式Obsv: 计算可观察性矩阵A=-2.2 -0.7 1.5 -1;0.2 -6.3 6 -1.5;0.6 -0.9 -2 -0.5;1.4 -0.1 -1 -3.5B=6 9;4 6;4 4;8 4;C=1 2 3 4;Qo=obsv(A,C);Ro=rank(Qo)A =-2.2000-0.70001.5000-1.00000.2000-6.30006.0000-1.50000.6000-0.9000-2.0000-0.50001.4000-0.1000-1.0000-3.5000Ro =4Lyap: 解 lyapunov 方程A=0 0 -6;1 0 -1

10、1;0 1 -6;B=1 2 3;4 5 6;7 8 0;X=lyap(A,B)X =-3.2833-3.9000-0.1167-5.5000-8.6500-0.40000.2833-0.0000-0.0333Ctrbf: 对线性系统进行能控性分解A=0 0 -6;1 0 -11;0 1 -6;B=3;1;0;完美整理Word 格式C=0 0 1;Abar,Bbar,Cbar,T,K=ctrbf(A,B,C)Abar =-3.00000.0000-0.00009.4868-3.30000.95398.6189-3.13440.3000Bbar =-0.0000-0.00003.1623Cbar

11、 =-0.94350.33150T =-0.10480.3145-0.9435-0.29830.89500.33150.94870.31620K =110Obsvf: 对线性系统进行能观性分解A=-2 1;1 -2;B=1;0;C=1 -1;AO,BO,CO,T,K=obsvf(A,B,C)AO =-1.00000完美整理Word 格式0.0000-3.0000BO =0.70710.7071CO =01.4142T = 0.70710.70710.7071-0.7071K =1 0Minreal 最小实现num=1 1;den=1 5 20;sys=tf(num,den)A B C D=tf

12、2ss(num,den)sys=ss(A,B,C,D);sysr=minreal(sys)sys =s + 1-s2 + 5 s + 20Continuous-time transfer function.A=-5-2010B =完美整理Word 格式10C =11D =0sysr =a =x1x2x1-5-20x210b =u1x11x20c =x1x2y111d = u1y10Continuous-time state-space model.（ b）已知连续系统的传递函数模型， G( s)sa，10s227 s 18s3当 a 分别取 -1，0 ，1时，判别系统的能控性与能观测性；a=-

13、1num=1,-1;den=1,10,27,18;a,b,c,d=tf2ss(num,den)完美整理Word 格式n=length(a)Qc=ctrb(a,b)nc=rank(Qc)if n=nc,disp('系统可控 '),else disp(' 系统不可控 '),endQo=obsv(a,c)no=rank(Qo)if n=no,disp('系统可观 '),else disp(' 系统不可观 '),enda=0num=1,0;den=1,10,27,18;a,b,c,d=tf2ss(num,den)n=length(a)Qc

14、=ctrb(a,b)nc=rank(Qc)if n=nc,disp('系统可控 '),else disp(' 系统不可控 '),endQo=obsv(a,c)no=rank(Qo)if n=no,disp('系统可观 '),else disp(' 系统不可观 '),enda=1num=1,1;den=1,10,27,18;a,b,c,d=tf2ss(num,den)n=length(a)Qc=ctrb(a,b)nc=rank(Qc)if n=nc,disp('系统可控 '),else disp(' 系统不可

15、控 '),endQo=obsv(a,c)no=rank(Qo)if n=no,disp('系统可观 '),else disp(' 系统不可观 '),end完美整理Word 格式6.66610.66670.33330矩阵为A101，B1，C102，0121判别系统的能控性与能观测性；a=6.666 -10.6667 -0.3333;1 0 1;0 1 2;b=0;1;1;c=1 0 2;d=0;n=length(a)Qc=ctrb(a,b)nc=rank(Qc)if n=nc,disp('系统可控 '),else disp(' 系统

16、不可控 '),endQo=obsv(a,c)no=rank(Qo)if n=no,disp('系统可观 '),else disp(' 系统不可观 '),end（ d）求系统 G (s)s1的最小实现。10s227s 18s3num=1 1;den=1 10 27 18;G=tf(num,den);Gs=ss(G);Gm=minreal(Gs);Am=Gm.aBm=Gm.bCm=Gm.cDm=Gm.d1 state removed.Am =3.5391-12.15405.1323-12.5391Bm =完美整理Word 格式0.0606-0.2425Cm

17、=0.25000.0625Dm =0（ 2）稳定性（ a）代数法稳定性判据已知单位反馈系统的开环传递函数为：100(s2)，G (s)20)s( s 1)( s试对系统闭环判别其稳定性num=0 0 100 200;den=1 21 20 0;z,p,k=tf2zp(num,den)z =-2p =0-20-1k =100（ b）根轨迹法判断系统稳定性已知一个单位负反馈系统开环传递函数为k (s3)G( s)s(s5)( s6)(s2 2s 2) ，试在系统的闭环根轨迹图上选择一点，求出该点的增益及其系统的闭环极点位置，并判断在该点系统闭环的稳定性。n1=1,3;完美整理Word 格式d1=c

18、onv(1,0,conv(1,5,conv(1,6,1,2,2);s1=tf(n1,d1);rlocus(s1);k,poles=rlocfind(s1)（ c）Bode 图法判断系统稳定性已知两个单位负反馈系统的开环传递函数分别为G1( s)2.7, G2( s)2.75s24s5s24ss3s3用 Bode 图法判断系统闭环的稳定性。G1(s)num=2.7;den=1,5,4,0;w=logspace(-1,2,47);mag,pha=bode(num,den,w);magdB=20*log10(mag);subplot(211);semilogx(w,magdB);grid on;ti

19、tle('Bode Diagram');xlabel('Frequency(rad/sec)');ylabel('Gain dB');subplot(212);semilogx(w,pha);grid on;xlabel('Frequency(rad/sec)');ylabel('phase deg')G2(s)num=2.7;den=1,5,-4,0;w=logspace(-1,2,47);mag,pha=bode(num,den,w);magdB=20*log10(mag);完美整理Word 格式subplot

20、(211);semilogx(w,magdB);grid on;title('Bode Diagram');xlabel('Frequency(rad/sec)');ylabel('Gain dB');subplot(212);semilogx(w,pha);grid on;xlabel('Frequency(rad/sec)');ylabel('phase deg')（ d）判断下列系统是否状态渐近稳定、是否BIBO稳定。0100x001 x0u , y25 5 0 x2500510A=0 1 0;0 0 1;2

21、50 0 -5;B=0;0;10;C=-25 5 0;D=0;z,p,k=ss2zp(A,B,C,D)六、实验数据、结果分析（ b） a=-1a =-10-27-18100010b =1完美整理Word 格式00c =01-1d =0n =3Qc =1-107301-10001nc =3系统可控Qo =01-11-10-11-27-18no =3系统可观a=0a =-10-27-18100010b =100c =010d =0n =完美整理Word 格式3Qc =1-107301-10001nc =3系统可控Qo =010100-10-27-18no =3系统可观a=1a =-10-27-18

22、100010b =100c =011d =0n =3Qc =1-107301-10001nc =3系统可控完美整理Word 格式Qo =011110-9-27-18no =26.66610.66670.33330（ c）已知系统矩阵为 A101， B1，0121C 1 0 2 ，判别系统的能控性与能观测性；n =3Qc =0-11.0000-84.99261.00001.0000-8.00001.00003.00007.0000nc =3系统可控Qo =1.000002.00006.6660-8.66673.666735.7689-67.4375-3.5551no =3系统可观（ d）求系统 G(s)s1的最小实现。10s227s 18s3Am =完美整理Word 格式3.5391-12.15405.1323-12.5391Bm =0.0606-0.2425Cm =0.25000.0625Dm =0（ 2）稳定性（ a）代数法稳定性判据z =-2p =0-20-1k =100（ b）根轨迹法判断系统稳定性完美整理Word 格式selected_point =-7.7666 + 4.5820ik =selected_point =2.4076e+03poles =-7.8112 + 4.5