斯托克斯公式环流量与旋度

1、 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度110.7 斯托克斯斯托克斯(stokes)公式公式 环流环流量与量与旋度旋度斯托克斯公式斯托克斯公式物理意义物理意义-环流量与旋度环流量与旋度小结小结 思考题思考题 作业作业circulationcurl 斯托克斯斯托克斯 Stokes,G.G. (18191903) 英英国数学家、物理学家国数学家、物理学家第第1010章章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度2斯托克斯公式是微积分基本公式在曲面斯托克斯公式是微积分基本公式在曲面它将定向曲面上的面积分与曲面的定向它将定

2、向曲面上的面积分与曲面的定向积分情形下的推广积分情形下的推广, 也是格林公式在空间的也是格林公式在空间的推广推广,边界曲线上的线积分联系了起来边界曲线上的线积分联系了起来. 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度3一、斯托克斯一、斯托克斯(Stokes)公式公式定理定理10.11 zRyQxPdddyxyPxQxzxRzPzyzQyRdd)(dd)(dd)( 设设为分段光滑的空间为分段光滑的空间有向闭曲线有向闭曲线,是以是以为边界的分片光滑的为边界的分片光滑的有向闭曲面有向闭曲面,则有则有斯托克斯公式斯托克斯公式的正向的正向与与的正侧符合右手法则的正侧符合右手法则, 若向

3、量函数若向量函数的三个分量在包含的三个分量在包含),(zyxF),(),(),(zyxRzyxQzyxP 曲面曲面在内的一个空间区域内在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数, 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度4 即有即有SyPxQxRzPzQyRdcoscoscos 其中其中 cos,cos,cos zRyQxPddd余弦余弦.是是指定一侧的法向量方向指定一侧的法向量方向 zRyQxPdddyxyPxQxzxRzPzyzQyRdd)(dd)(dd)( 斯托克斯公式斯托克斯公式 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度5的正向与的

4、正向与的正侧法向量符合右手法则的正侧法向量符合右手法则:当右手除拇指外的四指依当右手除拇指外的四指依 的绕行方向时的绕行方向时, 是有向曲面是有向曲面 的的正向边界曲线正向边界曲线 右手法则右手法则拇指所指的方向与拇指所指的方向与上法向量的指向相同上法向量的指向相同.是有向曲面是有向曲面的的正向边界曲线正向边界曲线, 称称 n . 记为记为 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度6(3) 在坐标面上在坐标面上, 应用格林公式把应用格林公式把(2)得到的平面得到的平面证明思路证明思路(1) 把曲面积分化为坐标面上投影域的二重积分把曲面积分化为坐标面上投影域的二重积分;(2)

5、 把空间闭曲线把空间闭曲线上的曲线积分化为坐标面上上的曲线积分化为坐标面上分三步分三步yxyPxQxzxRzPzyzQyRdd)(dd)(dd)( zRyQxPddd斯托克斯公式斯托克斯公式的闭曲线积分的闭曲线积分;闭曲线积分化为二重积分闭曲线积分化为二重积分. 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度7证证 情形情形1只交于一点只交于一点, 设其方程为设其方程为yxDyxyxfz ),(, ),(: 为确定起见为确定起见, 不妨设不妨设 取上侧取上侧 (如图如图).yxDC 与平行与平行z轴的直线轴的直线xyzO n 则则 xPd转化为转化为xOy面上的第二类面上的第二类

6、曲线积分曲线积分, 即即 xPd xyxzyxPd),(,(C格林公式格林公式 xyDyxyxzyxPydd),(,(yxyPxQxzxRzPzyzQyRdd)(dd)(dd)( zRyQxPddd斯托克斯公式斯托克斯公式 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度8yxyzzPyPxyDdd)( xPd xyDyxyxzyxPydd),(,(yxDCxyzOn 另一方面另一方面, 按照第二类曲面积分的按照第二类曲面积分的计算公式计算公式,有有 yxyPxzzPdddd xyDyxyPzPdd),(:yxfz )(yz 比较以上两式知比较以上两式知yxyPxQxzxRzPzy

7、zQyRdd)(dd)(dd)( zRyQxPddd斯托克斯公式斯托克斯公式221cosyxyfff yxffSyxdd1d22 SQxzQdcosdd 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度9 如果如果取取下侧下侧, yxyPxzzPdddd xPd由于等式两边同时变号由于等式两边同时变号,故上式仍然故上式仍然成立成立. 曲面曲面 与平行于与平行于z 轴的直线交点多于一个轴的直线交点多于一个, 则可以在则可以在 上添加上添加辅助曲线辅助曲线, 在每个曲面片上应用上式在每个曲面片上应用上式, 情形情形2然后相加然后相加, 抵消抵消, 即可证上式仍然成立即可证上式仍然成立.

8、 由于沿辅助曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好由于沿辅助曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好将将 分成有限个符合条件分成有限个符合条件的定向曲面片的定向曲面片,yxyPxQxzxRzPzyzQyRdd)(dd)(dd)( zRyQxPddd斯托克斯公式斯托克斯公式 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度10类似可证类似可证 zyzQyxxQdddd yQdxzxRzyyRdddd zRd yxyPxzzPdddd xPd将上述三式两边分别相加将上述三式两边分别相加, 即证即证. yxyPxQxzxRzPzyzQyRdd)(dd)(dd)( zRyQxPddd斯托克斯公式斯托

9、克斯公式 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度11斯托克斯公式斯托克斯公式的又一种形式的又一种形式其中其中SyPxQxRzPzQyRdcos)(cos)(cos)( sRQPd)coscoscos(kjin coscoscos kji coscoscos 的的单位法向量单位法向量为为的的单位切向量单位切向量为为 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度12 RQPzyxyxxzzyddddddSRQPzyxdcoscoscos ).cos,cos,(cos n其中其中便于记忆形式便于记忆形式 zRyQxPddd 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 环

10、流量与旋度环流量与旋度13Stokes公式的实质公式的实质 表达了有向曲面上的曲面积分与其表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系边界曲线上的曲线积分之间的关系.在在Stokes公式的条件中公式的条件中, ,(1) 曲面曲面是定向是定向曲面曲面, 应注意两点应注意两点: :(2) 被积函数被积函数P, Q, R在包含曲面在包含曲面在内的在内的 是定向是定向曲曲 线线, 的正向与的正向与的正侧法向量符合右手法则的正侧法向量符合右手法则;具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数.一个空间区域内一个空间区域内其边界其边界 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度1

11、4例例 计算曲线积分计算曲线积分其中其中 为曲线为曲线 0,2222zyxRzyxR zxyzxy,d)3(d)2()d1(若从若从x轴正向看过去轴正向看过去, 为取逆时针方向为取逆时针方向.解解 设设 为为 所围的圆盘所围的圆盘, 所在的曲面方程为所在的曲面方程为 , 0 zyx取上侧取上侧, 其单位法向量为其单位法向量为 31,31,31按按斯托克斯公式斯托克斯公式, ),cos,cos,(cos zxyOn 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度15SRQPzyxdcoscoscos zRyQxPddd 原式原式Sxzyzyxd321313131 31,31,31)

12、cos,cos,(cos Sd3 .32R RzxyOn设设 为为 所围的圆盘所围的圆盘 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度16求力求力),(xzyF 沿有向闭曲线沿有向闭曲线 所作的功所作的功,其中其中 为为平面平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成三被三个坐标面所截成三 zxyzxyddd3 ABzxd3 10d)1(3zz.23 从从z轴正向看去沿轴正向看去沿顺时针方向顺时针方向.例例 角形的整个边界角形的整个边界,解解 zxyzxydddxyzOABCAB zRyQxPWddd 利用对称性利用对称性 法一法一 化为参变量的定积分化为参变量的定积分

13、 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度17求力求力),(xzyF 沿有向闭曲线沿有向闭曲线 所作的功所作的功,其中其中 为为平面平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成被三个坐标面所截成法二法二从从z轴正向看去沿轴正向看去沿顺时针方向顺时针方向.例例 三角形的整个边界三角形的整个边界,解解 xyzOABC利用利用斯托克斯公式斯托克斯公式 zRyQxPdddSRQPzyxdcoscoscos 设设三角形区域为三角形区域为 ,则则n zxyzxyWddd zyx Sd.23 xyDyxdd3331z31311 zyxyxSdd3d )1,1,1(31 n Sd)

14、3(31xyxyO11 yxxyD1方向方向向上向上, 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度18解解 xzyzyxyxxzzydddddd法三法三 按按斯托克斯公式斯托克斯公式,有有 yxxzzydddddd求力求力),(xzyF 沿有向闭曲线沿有向闭曲线 所作的功所作的功,其中其中 为为平面平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成被三个坐标面所截成从从z轴正向看去沿轴正向看去沿顺时针方向顺时针方向.例例 三角形的整个边界三角形的整个边界, zxyzxyWddd设设三角形区域为三角形区域为 , ABCn 方向方向向上向上,xyzO 10.7 斯托克斯公式斯托

15、克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度19xyO111 yx yxdd)3(.23 213 xyD yxxzzydddddd1: zyx平面平面 xyD zxyzxyWdddxyzOABCn 轮换对称性轮换对称性 yxdd3化为二重积分化为二重积分 一投一投二代二代三定号三定号 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度20zxOy解解则则)1 , 1 , 1(31 n计算曲线积分计算曲线积分例例 zyxyxzxzyd)(d)(d)(22222223 zyx是平面是平面 其中其中截立方体截立方体:, 10 x, 10 y10 z的表面所得的截痕的表面所得的截痕, 若从若从Ox轴的

16、正向看去轴的正向看去, 取逆时针方向取逆时针方向.取取为平面为平面23 zyx的的上侧上侧被被所围成的部分所围成的部分.)1 , 0 , 0()0 , 0 , 1()0 , 1 , 0( Oxy11212123 yx21 yxxyD在在xOy面上的投影为面上的投影为Dxy.n 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度2111即即31coscoscos SyxxzzyzyxId313131222222 Szyxd)(34yxxyDdd32334 .29 )23( zyx上上因为在因为在 yxSdd3d Oxy212123 yx21 yxxyDyxxyDdd6 所以所以 10.

17、7 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度22其中其中 是平面是平面与柱面与柱面1| yx的交线的交线 , 从从z 轴正向看去轴正向看去 , 为逆时针方向为逆时针方向. 2 zyx计算计算 zyxyxzxzyId)3(d)2(d)(222222数学考研题数学考研题 记记 为平面为平面2 zyx上上 所围部分的上侧所围部分的上侧, D为为 在在 xOy 面上的投影面上的投影.由由斯托克斯公式斯托克斯公式解解 对称性对称性 ISzyxd 3122zy 222xz 223yx 3131 Szyxd)324(32 Dyxyxdd) 6(2 Dyxdd12.24 zRyQxPdddSRQPz

18、yxdcoscoscos D11xyOyxz 2:yxSdd3d 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度23一般来讲一般来讲, 当具备下列两方面的条件时当具备下列两方面的条件时,小结小结:用用斯托克斯公式斯托克斯公式计算较方便计算较方便.(1) 从积分曲线看从积分曲线看, 若若为一平面和一曲面为一平面和一曲面的交线的交线,这时可考虑将曲线积分化为曲面积分这时可考虑将曲线积分化为曲面积分.由于由于斯托克斯公式与空间曲线斯托克斯公式与空间曲线上所张的曲面上所张的曲面的形状无关的形状无关, 因此可取因此可取为以为以为边界的平面为边界的平面区域区域, 而在平面区域上的曲面积分的计

19、算一而在平面区域上的曲面积分的计算一般较简单般较简单. 注意注意:由由的正向确定的正向确定的正侧时的正侧时, 必必须符合右手规则须符合右手规则.(2) 从被积函数看从被积函数看, 当当P, Q, R比较简单比较简单. 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度24计算曲线积分计算曲线积分其中其中AmB是螺是螺线线 AmBzxyzyzxyxyzxI,d)()d()d(2222,sin,cos hzayax 上从上从上从上从A(a,0,0)到到B(a,0,h)的一段的一段.zxyOA aB 设设 是以是以为边界的任一为边界的任一定向光滑曲面定向光滑曲面.提示提示作封闭化处理作封闭

20、化处理:连接直线连接直线BA, 它与它与AB一起一起组成闭曲线组成闭曲线, 记为记为.由由斯托克斯公式斯托克斯公式. 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度25计算曲线积分计算曲线积分其中其中AmB是螺是螺线线 AmBzxyzyzxyxyzxI,d)()d()d(2222,sin,cos hzayax 上从上从上从上从A(a,0,0)到到B(a,0,h)的一段的一段.zxyOA aB 由由斯托克斯公式斯托克斯公式.解解 yxxzzydd0dd0dd0 0 所以所以 BAI AB0 hzaz02d)0(00.313h 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与

21、旋度26kzyxRjzyxQizyxPzyxA),(),(),(),( 1. .环流量的定义环流量的定义 zRyQxPsAddddcirculationrotation二、物理意义二、物理意义-环流环流量与量与旋度旋度设向量场设向量场其中函数其中函数P, Q, R均连续均连续,段光滑的空间段光滑的空间有向闭曲线有向闭曲线,为为在点在点(x, y, z)处的单处的单为为A的定义域内的一条分的定义域内的一条分位切位切向量向量, 则曲线积分则曲线积分称为称为向量场向量场 A 沿有向闭曲线沿有向闭曲线 的的环流量环流量. . 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度27 sAd利用

22、利用Stokes公式公式, zRyQxPddd RQPzyxyxxzzydddddd)d,d,d(d),(zyxsRQPA yPxQxRzPzQyRRQPzyxkji,环流量环流量SRQPzyxkjid )dd,dd,dd(dyxxzzyS 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度282. 旋度的定义旋度的定义,rotARQPzyxkji 记为记为即即称为称为向量场向量场 A 的的旋度旋度(rotation),kzyxRjzyxQizyxPzyxA),(),(),(),( 设向量场设向量场其中函数其中函数P, Q, R均具有一阶连续偏导数均具有一阶连续偏导数, 则向量则向量

23、RQPzyxkjiAA rot.)()()(kyPxQjxRzPizQyR 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度29.处处的的旋旋度度RQPzyxkjiA rot旋度旋度42322yzyzxxzzyxkji kxyzjxziyxz43)22(224 ),1 , 2, 1( P在在点点解解例例)1 , 2, 1(22423 PkyzjyzxixzA在在求求向向量量场场).8 , 3 , 2(rot A 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度30斯托克斯公式的向量形式斯托克斯公式的向量形式 sASnAddrot sASAndd)rot(其中其中nAAn

24、 rot)rot(,coscoscos RQPAA 或或 cos)(cos)(cos)(yPxQxRzPzQyR cos,cos,cos n为曲面为曲面在点在点(x, y, z)处的单位处的单位cos,cos,cos 法向量法向量;为曲线为曲线在点在点(x, y, z)处的单位处的单位切向量切向量. 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度31Ozxyl设某刚体绕定轴设某刚体绕定轴 l 转动转动,M为刚体为刚体上任一点上任一点, 建立坐标系如图建立坐标系如图,M则则),(zyxr 角速度为角速度为 r), 0, 0( 点点 M 的线速度为的线速度为 vrotzyxkji 0

25、0)0,(xy 0 xyzyxkji )2 , 0 , 0( .2 (此即此即“旋度旋度”一词的由来一词的由来)旋度的力学意义旋度的力学意义 rv , 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度32Stokes公式公式的物理解释的物理解释 sA d环流量环流量 SAdrot在大气中在大气中, 手中的风车朝哪个方向转动最快手中的风车朝哪个方向转动最快,哪个方向就是风速场的旋度方向哪个方向就是风速场的旋度方向.(的正向与的正向与的侧符合右手法则的侧符合右手法则)coscoscos( RQPAA 向量场向量场 A 沿有向闭曲线沿有向闭曲线 的环流量等于向量场的环流量等于向量场A的旋

26、度场通过的旋度场通过 所张的曲面的通量所张的曲面的通量. 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度33斯托克斯斯托克斯Stokes公式公式斯托克斯公式的物理意义斯托克斯公式的物理意义环流量环流量与与旋度旋度三、小结三、小结Stokes公式的实质公式的实质表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系上的曲线积分之间的关系.(注意使用的条件注意使用的条件) 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度34),3,2(2zxyA 其其中中9222 zyx是球面是球面 (1) 用对面积的曲面积分用对面积的曲面积分

27、;(2) 用对坐标的曲面积分用对坐标的曲面积分;(3) 用高斯公式用高斯公式;(4) 用斯托克斯公式用斯托克斯公式.的上半部的上半部, 是它的边界是它的边界.思考题思考题,drot SnA计算计算xyzO 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度35 解答解答 nArot 22222211,1,1yxyxyyxxzzzzzzzz(1) Szzyxd1122 2211yxzz xyDyxdd.9 ),3 ,2(2zxyA 其其中中 cos)23( 对面积的曲面积分对面积的曲面积分yxzzyxdd122 xyD的的上上半半部部是是球球面面9222 zyx SnAdrot计算计算 SnAdrot)cos,cos,(cos322 zxyzyxkji)cos,cos,(cos n 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度36 解答解答(2) yxdd.9 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分xyD SnAdrotSdcos