寿险精算学王燕编著第五章_期缴保费

1、分类：分类：1）只覆盖赔付风险的期缴净保费；）只覆盖赔付风险的期缴净保费；2）既覆盖赔付风险又包括经营费用的）既覆盖赔付风险又包括经营费用的期缴毛保费；期缴毛保费；定义定义：保险人分期缴纳保险人分期缴纳的的保费保费， 称为期缴保费。称为期缴保费。本章重点：1.理解期缴净保费的厘定原理；2.熟练掌握各种常见险种情况下，均衡净保费的精算厘定；3.了解保险业务中常见的经营费用及其分类；4.熟练掌握在经营费用确定的情况下，期缴毛保费的精算厘定；5.了解保单费用和费率函数的概念，掌握使用费率函数估计毛保费的方法。5.1.1期缴净保费的厘定原则期缴净保费的厘定原则1.期缴净保费期缴净保费的实质是被保险人的

2、实质是被保险人采用生存年金的方式缴纳保费采用生存年金的方式缴纳保费;2.它和趸交净保费一样，都要它和趸交净保费一样，都要满足净均衡原理满足净均衡原理特点特点:保险人潜在亏损保险人潜在亏损L均值为零均值为零L=赔付金支出现值赔付金支出现值-净保费收入现值净保费收入现值E（趸缴净保费现值）（趸缴净保费现值）=E（期缴净保费现值）（期缴净保费现值）等时间间隔缴纳的等额净保费，称为均衡净保费等时间间隔缴纳的等额净保费，称为均衡净保费.使用使用最为广泛。最为广泛。5.1.2完全连续净均衡净保费的厘定完全连续净均衡净保费的厘定完全连续均衡净保费指保险金给付连续（死亡即刻给付），完全连续均衡净保费指保险金给

3、付连续（死亡即刻给付），保费缴纳也连续的情况。保费缴纳也连续的情况。1.假定条件假定条件a.(x)岁的人购买终身寿险，岁的人购买终身寿险，死亡即刻死亡即刻给付给付1；b.被保险人从保单生效日起，被保险人从保单生效日起，每年连续缴纳每年连续缴纳 元保费元保费；c.终身寿险完全连续场合的均衡净保费记作终身寿险完全连续场合的均衡净保费记作 。()txtLvP AaP xAP2.均衡净保费的厘定过程均衡净保费的厘定过程因为因为0, t且0)(LE所以0)(|txtaEAPvE()xxxAP Aa又由于 xtxtaaEAvE|,所以xxxaAPA 则终身寿险完全连续场合均衡净保费为例例. 假定寿命服从假

4、定寿命服从w=110的均匀分布，常数利息力的均匀分布，常数利息力0.05,对于完全连续的终身寿险，求对于完全连续的终身寿险，求401000 ().P A解：404040aAAP在剩余寿命服从均匀分布假定下： 458.1470702771. 070170005. 0700404070005. 070040dttedtpvadtedttfvAttttTt则17.19458.1410002771. 0100040AP3.损失变量方差损失变量方差的厘定的厘定 txtvAPvVarLVar12222A1A1AA1xxxtxxxtAAPvVarPPPvVar将()xxxAP Aa代入上式，则得到如下等价的

5、方差公式 222xxxxxAAaAaLVar又由于 ，损失变量方差公式可以简化为 222xxxaAALVar1xxAa常见险种净均衡保费公式：常见险种净均衡保费公式：P106:表表5-1例例.一个完全连续的终身寿险，死亡给付为一个完全连续的终身寿险，死亡给付为1。已知：。已知：求保险人潜在亏损变量的方差求保险人潜在亏损变量的方差Var(L)。0.03,0.06,解略。5.1.3完全离散净均衡年保费的厘定完全离散净均衡年保费的厘定保险金给付离散，保费缴纳也离散保险金给付离散，保费缴纳也离散1.假定条件假定条件a.(x)的人购买终身寿险，的人购买终身寿险，死亡年死亡年末给付末给付1；b.被保险人从

6、保单生效日起，被保险人从保单生效日起，每年年初缴纳每年年初缴纳P元保费元保费；c.终身寿险完全离散场合均衡净保费记作终身寿险完全离散场合均衡净保费记作11KxKLvP axP2.均衡净保费的厘定过程均衡净保费的厘定过程假设死亡事件发生在第KK+1年，则以保单生效日为时间坐标，保险人的潜在亏损变量为：，K=0,1,222222()( )(1) () ()xxxxxxPAAVar LAAdd a3.损失变量方差的厘定其中，赔付金支出现值为被保险人在KK+1年期间死亡时，死亡年末赔付1的现值 ；净保费收入为被保险人存活时每年年初缴纳 元的年金现值1KvxP| 1KxaP 根据净均衡原理有损失变量期望

7、为0，则终身寿险完全离散场合均衡净保费为xxxxxxaAPaPALE 00)(60(1);(2)( ).PVar L例例.假设由某寿险公司的经验生命表可得：假设由某寿险公司的经验生命表可得：26060600.4097,0.2153,10,0.025AAai求：求：解：04097. 0104097. 0606060aAP 7976. 010025. 1025. 04097. 02153. 022260260602adAALVar 例例. 一个为期两年的两全寿险，保险给付金为一个为期两年的两全寿险，保险给付金为1000元，此保元，此保险有两种缴费方案（两种方案等价）：险有两种缴费方案（两种方案等价

8、）：方案一：第一年年初缴费方案一：第一年年初缴费600元，第二年年初缴费元，第二年年初缴费400元；元；方案二：每年年初缴费方案二：每年年初缴费P；已知已知d=0.05，计算年缴保费，计算年缴保费P。解：保险给付金的精算现值为xxxxxppppvvq5 .4795095. 0195. 01000100022按照方案一缴纳的保费精算现值为xxpvp380600400600根据经均衡原理保险给付金精算现值和缴纳的保费精算现值相等，既有xxpp3806005 .47950解出8187. 0 xp按照方案二缴纳的保费精算现值为)95. 01 (5 .47950 xxpPp根据经均衡原理保险给付金精算现

9、值和缴纳的保费精算现值相等，既有)95. 01 ()1 (xxpPvpP解出5 .512P常见险种常见险种完全离散完全离散净均衡净均衡年年保费公式保费公式见见表表5-2（P108）5.1.4半连续净均衡净保费的厘定半连续净均衡净保费的厘定半连续均衡净保费指保险金给付连续（死亡即刻给付），半连续均衡净保费指保险金给付连续（死亡即刻给付），保费缴纳离散的情况。保费缴纳离散的情况。1.假定条件假定条件a.(x)的人购买终身寿险，的人购买终身寿险，死亡死亡即刻给付即刻给付1；b.被保险人从保单生效日起，被保险人从保单生效日起，每年年初缴纳每年年初缴纳P元保费元保费；c.半连续场合终身寿险均衡净保费记作

10、半连续场合终身寿险均衡净保费记作xAP2.均衡净保费的厘定过程均衡净保费的厘定过程假设死亡事件发生在t时刻，该时刻位于整值剩余寿命KK+1年期间，则以保单生效日为时间坐标，保险人的潜在亏损变量为：0,| 1taAPvLKxt 其中，赔付金支出现值为被保险人t时刻死亡，死亡即刻赔付1的现值 ；净保费收入为被保险人存活时每年年初缴纳 元的年金现值tvxP| 1KxaAP 根据净均衡原理有 xxxxxxaAAPaAPALE 00)(例例.某人在某人在2006年年1月月1日买了一份日买了一份10年定期寿险，死亡即年定期寿险，死亡即刻给付刻给付10000元，保费为前元，保费为前5年每年年初缴费年每年年初

11、缴费500元。假定元。假定此人在此人在2008年年6月月30日死亡，求保险公司的损失在签单日日死亡，求保险公司的损失在签单日的现值。（的现值。（i=0.025）解：（见下页）解： 死亡事件发生时，保险公司的赔付额为10000元，当时距离前单日恰好2.5年，所以支出现值为 ；而截至死亡事件发生时，保险公司共收到被保险人3次保费缴纳（2006.1.1,2007.1.1,2008.1.1），每次缴费500。这3次缴费的现值等于 ；则被保险人损失变量现值为： 5 . 210000 v| 3500a 7938025. 1/025. 0025. 11500025. 11000015001000050010

12、00035 . 235 . 2| 35 . 2dvvavL :1000 ()x nP A例例.已知已知 死亡在每一年内服从死亡在每一年内服从均匀分布，求均匀分布，求 。:0.025,0.5,0.75,nxx niEA解略（见课本P109）。3.损失变量方差损失变量方差的厘定的厘定222222221( )() () 21xxxxiiiiVar LAAAA证明：证明：11( )()ktxvVar LVar vP Ad11()()skxP AVarvvd记变量：记变量：11(),skxskP AZvZvd22( )() ()()()skskVar LVar ZE ZEZ Var Z1()1sxiE

13、ZA22( )() ()()()skskVar LVar ZE ZEZ Var Z22()2siiVar Z222222221( )() () 21xxxxiiiiVar LAAAA5.1.5 每每年缴年缴纳数次保纳数次保费的费的均衡均衡净保费净保费的厘定的厘定每年分每年分m次等额缴费的年缴净保费次等额缴费的年缴净保费1.假设条件假设条件a.(x)的人购买终身寿险，的人购买终身寿险，死亡死亡即刻给付即刻给付1；b.被保险人从保单生效日起，被保险人从保单生效日起，每年缴每年缴费费m次，每期期初缴纳；次，每期期初缴纳；c.年均衡净保费记作年均衡净保费记作)()(xmAP2.均衡净保费厘定过程均衡净

14、保费厘定过程该险种场合，损失变量为)()(mxxmtaAPvL 根据净均衡原理0)(LE即0)()(mxxmxaAPA 整理得)()(mxxxmaAAP 由于完全离散净均衡年缴保费 比较容易求得，还可进一步推导出 ， 之间具有如下的函数关系： xPxmAP)(xmxPP,)()()() 2()() 1 ()()()(xxmxmxxmPdmmPPPiAP证明见课本P112.3.损失变量方差的厘定 )()(mxxmtaAPvVarLVar 222)()(2)()()()()()(A1A1A1xxmxmtmxmmmtmxmAAdPvVardPdPvdPVar例例. 已知已知0.05,1.68,xia被保险