测量误差分析

1、测试技术测试技术 测量误差分析（测量误差分析（4）第四章第四章内容内容 1.概述概述2.误差分类误差分类3.系统误差的消除系统误差的消除4.随机误差分析随机误差分析 5.测量结果的误差估计测量结果的误差估计6.粗大误差的消除粗大误差的消除7.有效数字有效数字8.最小二乘法最小二乘法问题问题 1、什么叫、什么叫“误差公理误差公理”？2、测量误差可以分为几类？、测量误差可以分为几类？3、常见的随机误差有什么分布？、常见的随机误差有什么分布？4、如何减小随机误差的大小？、如何减小随机误差的大小？5、剔除粗大误差有几种方法？、剔除粗大误差有几种方法？6、A类不确定度与类不确定度与B类不确定度获得的方法

2、有无区别？类不确定度获得的方法有无区别？7、误差合成与组成误差的分量项数有无关系？、误差合成与组成误差的分量项数有无关系？8、测量方案的选取原则是什么？、测量方案的选取原则是什么？重点：重点：系统误差的典型消除方法，以及随机误差分析方法；系统误差的典型消除方法，以及随机误差分析方法；A类和类和B类不确定度的评定方法与不同测量方案的误差估计方法，类不确定度的评定方法与不同测量方案的误差估计方法，以及粗大误差的判定与剔除方法以及粗大误差的判定与剔除方法测量测量 用一定的测量工具或仪器，通过一定的方法，用一定的测量工具或仪器，通过一定的方法，直接或间接地得到所需要的量值的过程直接或间接地得到所需要的

3、量值的过程 测量条件测量条件：人、仪器和外界条件人、仪器和外界条件。 测量者：仪器安置、调试、读数测量者：仪器安置、调试、读数 测量仪器、方法：具有一定限度的精密程度的工具测量仪器、方法：具有一定限度的精密程度的工具 外界条件：如温度、湿度、电磁、噪声等外界条件：如温度、湿度、电磁、噪声等 1、概述、概述 测量分类：测量分类：按方法按方法直接测量直接测量 无需无需对被测的量与其它实测的量进行对被测的量与其它实测的量进行函数关系的辅助计函数关系的辅助计算算而可直接得到被测量值的测量而可直接得到被测量值的测量 温度、压力、流量、位移、振动、转速温度、压力、流量、位移、振动、转速 单个测量量单个测量

4、量间接测量间接测量 利用直接测量的量与被测量之间的已知利用直接测量的量与被测量之间的已知函数关系函数关系经过计经过计算从而得到被测量值的测量算从而得到被测量值的测量 机组的功率、效率、热耗机组的功率、效率、热耗 直接测量量直接测量量(x1,x2,xn) 间接测量量间接测量量x1、概述、概述 测量分类：测量分类：按方法按方法组合测量组合测量 测量两个或两个以上相关的未知数时，通过测量两个或两个以上相关的未知数时，通过改变测量条改变测量条件件而获得一组含有测量读数和未知数的方程组，经过而获得一组含有测量读数和未知数的方程组，经过求求解解而获得测量结果的方法。而获得测量结果的方法。 例如例如：温度传

5、感器的：温度传感器的输出函数输出函数V Vo o、A A、B B t t0 0，测量输出值，测量输出值0 改变测量条件改变测量条件t t值，测量输出值值，测量输出值 多次测量多次测量 求出求出、1、概述、概述 ).1(20tBtAVVt测量分类：测量分类：按条件按条件等精度测量等精度测量 测量条件相同的各次观测测量条件相同的各次观测 观测者、测试设备和方法、测试环境观测者、测试设备和方法、测试环境等精度测量仪器：等精度测量仪器：测量精度测量精度不随被测信号的变化而变化不随被测信号的变化而变化 等精度频率测量仪：等精度频率测量仪：全频段内等精度测量全频段内等精度测量 克服测量精度随被测信号频率的

6、下降而降低克服测量精度随被测信号频率的下降而降低 非等精度测量非等精度测量 测量条件不相同的各次观测测量条件不相同的各次观测1、概述、概述 测量分类：测量分类：按性质按性质时域测量、瞬态测量时域测量、瞬态测量 测量被测量随时间变化的规律测量被测量随时间变化的规律 被测量波形的被测量波形的瞬态瞬态包括：包括： 上升沿、下降沿、过冲、平顶跌落、脉冲宽度上升沿、下降沿、过冲、平顶跌落、脉冲宽度 周期、峰值、有效值、相位、平均值周期、峰值、有效值、相位、平均值频域测量、稳态测量频域测量、稳态测量 测量被测量随频率变化的规律测量被测量随频率变化的规律 反映一个单元的动态特性，包括：反映一个单元的动态特性

7、，包括： 幅频特性、相频特性幅频特性、相频特性1、概述、概述 测量分类：测量分类：按性质按性质数据域测量、逻辑量测量数据域测量、逻辑量测量 设备控制系统开关量监测设备控制系统开关量监测 测量系统的数字电路逻辑测量测量系统的数字电路逻辑测量 测量系统的模数混合电路测试测量系统的模数混合电路测试 测试内容：测试内容： 逻辑状态逻辑状态高、低高、低 电平电平 时序时序时间顺序（分辨时间）时间顺序（分辨时间） 1、概述、概述 测量误差测量误差误差公理误差公理 误差始终存在于一切科学实验和测量之中误差始终存在于一切科学实验和测量之中测量设备不准确测量设备不准确测量方法测量方法/ /手段不完善、测量程序不

8、规范手段不完善、测量程序不规范测量环境不可控测量环境不可控测量人员能力有限测量人员能力有限 目的：原因、规律目的：原因、规律减小的途径、方法减小的途径、方法误差极限误差极限 测量误差可以控制到很小，但误差绝对不可能为零测量误差可以控制到很小，但误差绝对不可能为零1、概述、概述 测量误差测量误差真值真值在一定条件下，被测量的在一定条件下，被测量的真实值真实值客观存在、不可测量的、可不断逼近客观存在、不可测量的、可不断逼近约定真值约定真值特定的、有时是约定所取得值，用法律形式指定特定的、有时是约定所取得值，用法律形式指定高一级测量仪器所得的和修正的测量高一级测量仪器所得的和修正的测量平均值平均值

9、误差可以忽略误差可以忽略1、概述、概述 xox米：光在真空中米：光在真空中1/299 792 4581/299 792 458秒的时间间隔内所经过的距离秒的时间间隔内所经过的距离19831983 氪氪8686原子从能量原子从能量2P102P10至至5D55D5跳跃时幅射线波长的跳跃时幅射线波长的1650763.731650763.73倍（真空中）倍（真空中）19601960 地球子午线地球子午线1/41/4长度的一千万分之一长度的一千万分之一 17911791测量误差测量误差标称值标称值测试设备上标注的特殊量值测试设备上标注的特殊量值 如校准值（自动校准）、标准输出值、砝码、电池如校准值（自动

10、校准）、标准输出值、砝码、电池标称值不一定等于它的实际值，要有误差范围或精度等级标称值不一定等于它的实际值，要有误差范围或精度等级测量值测量值由测量仪器给出的量值，也称仪器示值由测量仪器给出的量值，也称仪器示值 1、概述、概述 Nx测量误差测量误差绝对误差绝对误差 评价评价相同被测量相同被测量测量精度高低测量精度高低 绝对误差可正可负绝对误差可正可负 绝对误差有明确单位：绝对误差有明确单位：1mm1mm、0.1mm0.1mm、0.050.05、和被测量大小有关和被测量大小有关相对误差相对误差/ /示值相对误差示值相对误差相对被测量相对被测量 评价评价不同被测量不同被测量测量精度高低测量精度高低

11、 真值相对误差真值相对误差 示值相对误差示值相对误差 没有单位，用来评价测量结果：没有单位，用来评价测量结果：0.1%0.1%、和被测量大小无关和被测量大小无关1、概述、概述 ox-x%100 x/r0%100 x/r测量万公里距离，误差测量万公里距离，误差1 1，相对误差，相对误差0.020.02ppmppm测量测量m m长度物体，误差长度物体，误差0.010.01，相对误差，相对误差测量误差测量误差引用误差引用误差 绝对误差与测量仪器绝对误差与测量仪器量程量程A A之比之比 不能全面反映不能全面反映测量仪器测量仪器的准确度的准确度 测量不同量时的绝对误差测量不同量时的绝对误差有大有小有大有

12、小 最大引用误差最大引用误差 取用仪器测量中的取用仪器测量中的最大绝对误差最大绝对误差maxmax 评价测量设备的准确度等级评价测量设备的准确度等级最为严格的指标最为严格的指标1、概述、概述 %100/rA%100/rmaxmaxA测量误差测量误差最大引用误差最大引用误差 国家标准国家标准GB776GB7767676规定测量仪器准确度等级指数规定测量仪器准确度等级指数为：为： 0.1, 0.2, 0.5, 1.00.1, 0.2, 0.5, 1.0，1.5, 2.5, 5.01.5, 2.5, 5.0 工业等级工业等级 仪器的仪器的最大引用误差最大引用误差不能超过仪器准确度指数的百分数不能超过

13、仪器准确度指数的百分数 实际使用中，仪器的实际使用中，仪器的最大可能误差最大可能误差为为 量程量程A A的选择和测量值的选择和测量值x x关系关系：量程和被测量相差越小越好：量程和被测量相差越小越好2/32/31、概述、概述 %maxar%./%.maxaxAraA测量误差测量误差残余误差（残差）残余误差（残差） 重复重复测量测量X X，得到一组数据列，得到一组数据列xxi i ，测量列算术平均值为：，测量列算术平均值为： 测量列中某数据测量列中某数据x xi i与其算术平均值之差与其算术平均值之差 测量到的量值与模型期望测量到的量值与模型期望/ /预测值之差预测值之差 1、概述、概述 x-x

14、iivn_12nii 11xxxXxnn测量误差测量误差容许误差容许误差 测量仪器在使用条件下可能产生的测量仪器在使用条件下可能产生的最大误差范围最大误差范围 表征了测试仪器准确度、稳定度等指标表征了测试仪器准确度、稳定度等指标 表示方式：工作误差（影响误差、稳定性误差）、固有误差表示方式：工作误差（影响误差、稳定性误差）、固有误差 与测量值有关的相对项误差与测量值有关的相对项误差与量程、分辨率有关的固定项误差与量程、分辨率有关的固定项误差1、概述、概述 )%.%.(个字nAx测量误差测量误差示例：示例：4 4位半的位半的位移测量仪位移测量仪2mm2mm量程的工作误差为量程的工作误差为 现在测

15、量现在测量0.0012mm0.0012mm和和1.9888mm1.9888mm时的绝对误差是多少？时的绝对误差是多少？ 4 4位半表位半表2mm2mm量程下显示范围量程下显示范围0 01.9999mm1.9999mm，分辩率，分辩率0.0001mm0.0001mm 测量测量0.0012mm0.0012mm时绝对误差和相对误差时绝对误差和相对误差 测量测量1.9888mm1.9888mm时绝对误差和时绝对误差和相对误差相对误差示例：示例：某某1.01.0级电压表，量程为级电压表，量程为300V300V，当测量值分别为，当测量值分别为300V300V、100V100V时时, , 求出测量值的最大绝

16、对误差和示值相对误差求出测量值的最大绝对误差和示值相对误差. . 最大绝对误差最大绝对误差: : 最大最大示值相对误差：示值相对误差：1、概述、概述 个字1%.025.0 x%36.8%1000012.0/100030.1%100/100030.1)0001.010012.0%025.0(44xrmm%03. 0109720. 54rmmVaA3%)0.1300(%.max100%0.3%1001003300%0.1%1003003%100maxUUUr2、误差分类、误差分类 真值真值仪器误差仪器误差理论误差理论误差观测误差观测误差环境误差环境误差随机误差随机误差人为失误人为失误系统误差系统误

17、差随机误差随机误差粗大误差粗大误差+测量值：测量值：误差误差2、误差分类、误差分类 误差表达误差表达一般情况：误差系统误差随机误差一般情况：误差系统误差随机误差工业测量：工业测量：系统误差系统误差远远大于随机误差远远大于随机误差精密测量：系统误差已经消除或者可忽略精密测量：系统误差已经消除或者可忽略rssr2、误差分类、误差分类 系统误差系统误差定义：相同的定义：相同的测量条件测量条件下，多次重复测量同一下，多次重复测量同一被测量时，误差的被测量时，误差的大小和符号保持不变大小和符号保持不变，或，或按按照一定的规律变化照一定的规律变化保持定值保持定值规律变化：随时间、温度等规律变化：随时间、温

18、度等对测量结果影响对测量结果影响严重严重恒定系统误差（恒定系统误差（a a）变化系统误差（变化系统误差（b b、c c、d d）线性系统误差线性系统误差周期系统误差周期系统误差复杂系统误差复杂系统误差2、误差分类、误差分类 系统误差系统误差产生原因产生原因仪器误差：仪器本身缺陷、零位校准仪器误差：仪器本身缺陷、零位校准仪器有一定限度的精密程度，因而测量精确度也不高仪器有一定限度的精密程度，因而测量精确度也不高0.1级级 0.2级级制造本身缺陷，制造本身缺陷，如结构设计、安装调整等如结构设计、安装调整等零位调整零位调整2、误差分类、误差分类 系统误差系统误差产生原因产生原因理论误差：依据的理论不

19、完善、模型上的近似理论误差：依据的理论不完善、模型上的近似 例如：温度传感器例如：温度传感器 例如：涡流效应例如：涡流效应 位移位移涡流涡流电感电感电压电压涡流传感器涡流传感器被被测测体体传传感感头头金属导体金属导体涡流涡流).1 (20tBtAVVt2、误差分类、误差分类 系统误差系统误差产生原因产生原因观察误差：观察着主观判断不当观察误差：观察着主观判断不当感觉器官鉴别能力有一定的局限性感觉器官鉴别能力有一定的局限性技术水平、工作态度及状态技术水平、工作态度及状态环境误差：使用条件不满足或变化环境误差：使用条件不满足或变化温度、湿度、气压、振动、电场、磁场、噪声温度、湿度、气压、振动、电场

20、、磁场、噪声2、误差分类、误差分类 随机误差随机误差定义：相同的定义：相同的测量条件测量条件下，多次重复测量同一下，多次重复测量同一被测量时，其误差的大小和符号以不可预见的被测量时，其误差的大小和符号以不可预见的方式变化方式变化随机性，就随机性，就个体个体而言无规律可循而言无规律可循总体总体上服从统计规律上服从统计规律2、误差分类、误差分类 随机误差随机误差产生原因产生原因 独立的、微小的、偶然的大量因素独立的、微小的、偶然的大量因素 只要仪器灵敏度足够高，随机误差总是不可避免只要仪器灵敏度足够高，随机误差总是不可避免 测量的分散性测量的分散性2、误差分类、误差分类 随机误差随机误差误差处理误

21、差处理 既不能用实验方法既不能用实验方法消除消除，也不能修正，也不能修正 根据总体上的统计规律，可以控制和减小对测量根据总体上的统计规律，可以控制和减小对测量结果的影响结果的影响2、误差分类、误差分类 随机误差随机误差误差统计误差统计 有限有限n次重复测量同一值次重复测量同一值x得到的得到的随机误差随机误差测量次数测量次数n358误差范围误差范围2424 半区间半区间8 8等分等分 进行落入每个区间的进行落入每个区间的误差次数误差次数k k统计统计 误差发生的频率误差发生的频率k/nk/n 正负误差频率基本一正负误差频率基本一致致2、误差分类、误差分类 随机误差随机误差误差统计误差统计 n次重

22、复测量同一值次重复测量同一值x得到的随机误差得到的随机误差nk特点特点 具有一定的范围具有一定的范围 绝对值小的误差出现概率大绝对值小的误差出现概率大 绝对值相等的正、负误差出现的概率相同绝对值相等的正、负误差出现的概率相同 随机误差的平均值随着观测次数的增加而随机误差的平均值随着观测次数的增加而趋于零趋于零正负对称正负对称2、误差分类、误差分类 随机误差随机误差误差统计误差统计 统计特性统计特性 无系统误差等精度无系统误差等精度n次重复测量的随机误差次重复测量的随机误差具有具有有界性有界性 随机误差的绝对值不超过一定的界限随机误差的绝对值不超过一定的界限单峰性单峰性 绝对值小的随机误差比绝对

23、值大的随机误差出现的绝对值小的随机误差比绝对值大的随机误差出现的概率大概率大多数情况下是准确的多数情况下是准确的对称性对称性 等值反号的随机误差出现的概率接近相等等值反号的随机误差出现的概率接近相等低偿性低偿性 当当n n趋向无穷时，随机误差的代数和为零，即趋向无穷时，随机误差的代数和为零，即nk01limniin2、误差分类、误差分类 随机误差随机误差正态分布正态分布 多次重复测量多次重复测量同一值同一值x得到的数据近似服从正态分布（得到的数据近似服从正态分布（n） 定义：定义：分布密度分布密度表示表示 x x 出现概率最大的值，出现概率最大的值，也即数学期望也即数学期望均值均值称为标准差称

24、为标准差测量数据的离散程度测量数据的离散程度2221exp21),(xxpx P (x)小小大大nxnxinin2limlim 2、误差分类、误差分类 随机误差随机误差正态分布正态分布 集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均值所在的位置集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均值所在的位置 对称性：正态曲线以对称性：正态曲线以均值均值为中心，左右对称为中心，左右对称 正态分布有两个参数（随机变量），即均值正态分布有两个参数（随机变量），即均值和标准差和标准差均值均值决定正态曲线的中心位置决定正态曲线的中心位置标准差标准差决定正态曲线的陡峭或扁平程度。决定正态曲线的陡峭或扁平程度。越小，测量数据越小

25、，测量数据越集中，曲线越陡峭；越集中，曲线越陡峭；越大，曲线越扁平越大，曲线越扁平 大多数情况下，随机误差的概率都服从或接近正态分布大多数情况下，随机误差的概率都服从或接近正态分布，要，要求求n n大（大于大（大于3030） P (x)x小小，陡峭，陡峭大，扁平大，扁平2、误差分类、误差分类 随机误差随机误差正态分布正态分布 置信概率置信概率：随机变量随机变量 x x 在在x1x1，x2x2区间出现的概率区间出现的概率P P 测量值出现在测量值出现在K K倍标准差区间内的倍标准差区间内的概率为概率为 随机误差的极限误差随机误差的极限误差：33 “33”准则常用来作为质量控制的依据准则常用来作为

26、质量控制的依据 21221d21d )()(2121xxxxxxexxpxxxP0.68320.95430.997xPxPxP3 2 0 1 232、误差分类、误差分类 随机误差随机误差t分布分布 有限有限n次重复测量次重复测量同一值同一值x得到的数据近似服从得到的数据近似服从t分布分布 定义定义:t t分布自由度，计算残差时所具有的独立项个数，分布自由度，计算残差时所具有的独立项个数，n-1n-1伽马函数伽马函数对于对称的对于对称的t t分布分布xxxp2122211)()(1),(220dxexzxz01.)(2、误差分类、误差分类 随机误差随机误差均匀分布均匀分布 在某一区域内，随机误差

27、出现的概率处处相等，而在该区在某一区域内，随机误差出现的概率处处相等，而在该区域外则为零域外则为零 概率密度函数概率密度函数 应用：应用：只知大概范围，不知分布规律的误差可用均匀分布只知大概范围，不知分布规律的误差可用均匀分布量化误差、舍入误差、刻度盘误差量化误差、舍入误差、刻度盘误差等等212121)()(.)(0)(1)(abbadxpxbxoraxbxaabxp0 a b xP (x)1/(b-a)302a2、误差分类、误差分类 粗大误差粗大误差定义：定义：明显歪曲明显歪曲测量结果的误差称作粗大误差，测量结果的误差称作粗大误差，又称过失误差，其测量值称为坏值或异常值又称过失误差，其测量值

28、称为坏值或异常值超出规定条件下的预期值超出规定条件下的预期值大大超过系统误差大大超过系统误差不属于误差范畴不属于误差范畴 2、误差分类、误差分类 粗大误差粗大误差产生原因产生原因 人为因素造成（例如读数错误、记录错误、计算人为因素造成（例如读数错误、记录错误、计算错误）错误） 测量方法不恰当测量方法不恰当 测量条件意外的突然变化测量条件意外的突然变化 使用有缺陷的仪器使用有缺陷的仪器误差处理误差处理 按一定的判据识别后剔除按一定的判据识别后剔除2、误差分类、误差分类 误差关系图误差关系图真值真值X0X0测量值测量值Xi残差残差Vi测量值测量值X测量值概测量值概率分布曲线率分布曲线Xi数学期望数

29、学期望算术平均值算术平均值 误差分布误差分布 （、） 真值真值 数学期望数学期望 平均值平均值 测量值测量值 系统误差系统误差 随机误差随机误差3、系统误差的消除、系统误差的消除系统误差对测量结果的影响往往比随机误差严重得多系统误差对测量结果的影响往往比随机误差严重得多通过多次测量同一被测量的方法并不能减小其影响通过多次测量同一被测量的方法并不能减小其影响 研究系统误差的特征和规律，用一定的方法研究系统误差的特征和规律，用一定的方法发现和消除系统误差的影响发现和消除系统误差的影响实验对比法实验对比法主要用于发现不变系统误差主要用于发现不变系统误差残余误差观察法残余误差观察法发现有规律变化的系统

30、误差发现有规律变化的系统误差马利科夫判据马利科夫判据主要发现线性误差主要发现线性误差Abbe-HelmertAbbe-Helmert判据判据主要发现周期性系统误差主要发现周期性系统误差3、系统误差的消除、系统误差的消除含有系统误差的测量列含有系统误差的测量列(a)(a)不存在系统误差不存在系统误差 (b) (b) 有线性系统误差存在有线性系统误差存在(c)(c)有周期性系统误差存在有周期性系统误差存在 (d)(d)复杂系统误差存在复杂系统误差存在3、系统误差的消除、系统误差的消除从根源上消除从根源上消除选择高准确度等级的仪器设备选择高准确度等级的仪器设备 减小仪器减小仪器基本误差基本误差对测量

31、结果的影响对测量结果的影响保证工作条件，遵照操作步骤保证工作条件，遵照操作步骤 放置、顺序、时间放置、顺序、时间 消除仪器的附加误差消除仪器的附加误差选择合理的测量方法选择合理的测量方法提高测量人员的测量素质、选用智能化程度高提高测量人员的测量素质、选用智能化程度高的测量设备的测量设备3、系统误差的消除、系统误差的消除从根源上消除从根源上消除利用系统误差的利用系统误差的修正值修正值C，则测量结果为，则测量结果为修正值的获取修正值的获取仪器相关资料（技术仪器相关资料（技术鉴定鉴定书）中书）中理论推导求取理论推导求取试验求取：修正曲线、表格试验求取：修正曲线、表格Cx 3、系统误差的消除、系统误差

32、的消除可预见性的误差可预见性的误差零点零点调零点调零点扣除零点扣除零点零点零点满度满度环境环境满足要求满足要求 电源、温度、噪声电源、温度、噪声补偿修正：补偿修正：0.005%FS/0.005%FS/、1 1F.S/ 10%ACF.S/ 10%AC3、系统误差的消除、系统误差的消除可预见性的误差可预见性的误差 观测观测观测规范观测规范 稳定、末位稳定、末位 （稳定位（稳定位+1个变动位）个变动位）正确选择量程正确选择量程 在量程的在量程的2/3以上测量以上测量3、系统误差的消除、系统误差的消除代替法代替法 在测量条件不变的情况下，用在测量条件不变的情况下，用已知量已知量替换替换被测量被测量，达

33、到消除系统误差的目的达到消除系统误差的目的相同条件下：相同条件下：输出基本上不变输出基本上不变被测量被测量X X，输出为，输出为x x标准量标准量N N，输出为，输出为n n测量误差只取决于标准量的测量误差只取决于标准量的准确度等级准确度等级，与测量装置无关与测量装置无关测试系统测试系统输入输入X N输出输出x nNNNXNXrXXXrnxNNXnx.)(可以忽略小量可以忽略小量3、系统误差的消除、系统误差的消除抵消法：抵消法：某些因素可能使测量结果产生某些因素可能使测量结果产生单一方向的系统误差单一方向的系统误差 改变测量中的某些条件改变测量中的某些条件( (如测量方向如测量方向) )，使前

34、后两次，使前后两次测量结果的测量结果的误差符号相反误差符号相反，取其平均值以消除系统，取其平均值以消除系统误差（如寄生电势）误差（如寄生电势）相同条件下：相同条件下：被测量被测量 X X，输出为，输出为Y1Y1被测量被测量-X-X，输出为，输出为Y2Y222121YYXXYXY测试系统测试系统输入输入 X X输出输出Y1 Y2补偿法：补偿法：环境条件的变化引入系统误差。可将环境环境条件的变化引入系统误差。可将环境参数（如温度、气压等）变化考虑到测试系统中，采参数（如温度、气压等）变化考虑到测试系统中，采取补偿措施，自动消除系统误差。取补偿措施，自动消除系统误差。 例如，热电偶测温，对冷端温度变

35、化补偿例如，热电偶测温，对冷端温度变化补偿3、系统误差的消除、系统误差的消除在在0 0C C时，电桥平衡，输出为时，电桥平衡，输出为U=0U=0如果环境温度上升，热电偶输出热电如果环境温度上升，热电偶输出热电势数值要降低势数值要降低电桥中桥臂电阻电桥中桥臂电阻RcuRcu随温度上升而增随温度上升而增大，使电桥输出电压增加大，使电桥输出电压增加eUt0t0tbdaR1cRsRCuteR3R2算术平均值算术平均值定义：有限定义：有限n次的测量数据为次的测量数据为xi，则则最可靠的数值最可靠的数值、最接近被测真值，有时可代替真值最接近被测真值，有时可代替真值数学期望数学期望的的估值估值，反映测量数据

36、分布中心的位置，反映测量数据分布中心的位置4、随机误差分析、随机误差分析 nxxxxn1xn21n1ii_标准偏差估值标准偏差估值定义：有限定义：有限n次的测量数据为次的测量数据为xi ，则，则反映测量数据的分布反映测量数据的分布/散程度，也即测量的散程度，也即测量的精密度精密度 3误差区间误差区间标准偏差估值和标准偏差估值和n有关有关4、随机误差分析、随机误差分析 n1i2i2n1i_iv1-n1)x-(x1-n1xS衡量精度的指标衡量精度的指标测量的准确度测量的准确度 测量结果与被测量真值之间的测量结果与被测量真值之间的一致程度一致程度 精密精密度度重复测量所得各测量值的离散程度重复测量所

37、得各测量值的离散程度反映随机误差的大小反映随机误差的大小 正确正确度度测量值偏离真值的程度测量值偏离真值的程度反映系统误差的大小反映系统误差的大小 涉及真值，多作定性描述涉及真值，多作定性描述5、测量结果的误差估计测量结果的误差估计随机误差随机误差系统误差系统误差理想情况理想情况5、测量结果的误差估计测量结果的误差估计衡量精度的指标衡量精度的指标测量的不确定度测量的不确定度 测量结果测量结果不能肯定不能肯定的程度、被测量之值的程度、被测量之值x的分散性的分散性范围范围 被测量的真值被测量的真值x以一定概率落在某个量值范围内以一定概率落在某个量值范围内 置信区间，如：置信区间，如： -u, u

38、不确定区间，不确定区间，X为最佳估值为最佳估值 表征被测量的表征被测量的真值真值X所处范围所处范围的评定的评定 真值落在真值落在【9.510mm, 9.520mm9.510mm, 9.520mm】区间内区间内(xx)xuuorummx005. 0515. 9测量值测量值X和不确定度和不确定度 单位单位uxx衡量精度的指标衡量精度的指标测量的不确定度测量的不确定度 测量结果所应有的指标测量结果所应有的指标不确定度越小，测量结果的可信度越高不确定度越小，测量结果的可信度越高 不确定度分为不确定度分为两类两类A类不确定度：用类不确定度：用统计统计方法求出方法求出多次测量多次测量B类不确定度：用其他方

39、法得出类不确定度：用其他方法得出单次测量单次测量5、测量结果的误差估计测量结果的误差估计不确定度的评定不确定度的评定A类不确定度的评定类不确定度的评定 用用有限次数有限次数测量数据测量数据的的标准差估值标准差估值来度量测量结果的不来度量测量结果的不确定性确定性 算术平均值的标准差估值算术平均值的标准差估值 最佳估值取其最佳估值取其算术平均值算术平均值，则置信区间为，则置信区间为 有限次数有限次数n：不宜超过：不宜超过10 (等精度测量难度随等精度测量难度随n增加增加)5、测量结果的误差估计测量结果的误差估计nuA_(xx)AAAuuxun1i2i2n1i_iv1-n1)x-(x1-n1xS不确

40、定度的评定不确定度的评定A类不确定度的评定类不确定度的评定 测量结果测量结果对于有限次测量，其测量结果可直接表达为对于有限次测量，其测量结果可直接表达为近年来国内推行的方式近年来国内推行的方式测量结果取决于样本平均值、标准差估值，测量次数测量结果取决于样本平均值、标准差估值，测量次数5、测量结果的误差估计测量结果的误差估计nxx不确定度的评定不确定度的评定B类不确定度的评定类不确定度的评定 确定确定工程工程上大多上大多单次测量单次测量x x的不确定度的不确定度 根据经验或资料及假设的概率分布估计的标准差来表征根据经验或资料及假设的概率分布估计的标准差来表征 a a为误差区间的半宽度，即被测量误

41、差可能值的区间为误差区间的半宽度，即被测量误差可能值的区间(-a(-a，a)a)k k为测量值落在为测量值落在a a区间内概率分布的置信因子区间内概率分布的置信因子 测量结果的置信区间测量结果的置信区间5、测量结果的误差估计测量结果的误差估计kauB_(xx)BBBuuxu不确定度的评定不确定度的评定B类不确定度的评定类不确定度的评定 根据误差分布规律确定根据误差分布规律确定k 5、测量结果的误差估计测量结果的误差估计概率分布概率分布 适应范围适应范围 置信因子置信因子 k k 三角分布三角分布 两个值的差或和等引起的不确定度两个值的差或和等引起的不确定度 6 61/21/2 均匀分布均匀分布

42、 数据的舍入、数字仪表的分辨力、仪表的最数据的舍入、数字仪表的分辨力、仪表的最大允许误差、回差、调零等引起的不确定度大允许误差、回差、调零等引起的不确定度 3 31/21/2 反正弦分布反正弦分布 度盘偏心、无线电失配等与相角有关的不确度盘偏心、无线电失配等与相角有关的不确定度定度 2 21/21/2 正态分布正态分布 置信区间有确定的置信水平置信区间有确定的置信水平 P P( (如如 95%95%或或99%)99%) P P=99%=99%时，时，k=2.58k=2.58 P P=99=99. .73%73%时，时，k=3k=3 P(%) 50 68.27 90 95.45 99 99.73

43、K 0.67 1 1.645 1.960 2.576 3Pkx不确定度的评定不确定度的评定B类不确定度的评定类不确定度的评定 示例：示例：引用误差引用误差 已知仪表满度已知仪表满度A和精度等级和精度等级r，则最大允许误差为，则最大允许误差为 根据均匀分布，置信因子及标准不确定度为根据均匀分布，置信因子及标准不确定度为5、测量结果的误差估计测量结果的误差估计rAa.max3./3maxrAkukB不确定度的评定不确定度的评定B类不确定度的评定类不确定度的评定 示例：示例：仪器的基本误差仪器的基本误差 仪器在指定条件下对某量测量时，可能达到的最大误差界仪器在指定条件下对某量测量时，可能达到的最大误

44、差界限值为限值为a，按均匀分布假设，置信因子及标准不确定度，按均匀分布假设，置信因子及标准不确定度 若已知分布，则按实际分布计算。若已知分布，则按实际分布计算。 5、测量结果的误差估计测量结果的误差估计3/3akaukB不确定度的评定不确定度的评定B类不确定度的评定类不确定度的评定 示例：示例：仪器的分辨力仪器的分辨力 数字式仪器的指示装置或数字式仪器的指示装置或A/D的分辨力为的分辨力为x，其区间半宽，其区间半宽 由均匀分布假设，置信因子及标准不确定度为由均匀分布假设，置信因子及标准不确定度为5、测量结果的误差估计测量结果的误差估计2/xa12/3xBkauk不确定度的评定不确定度的评定B类

45、不确定度的评定类不确定度的评定 示例：示例：未给出仪器误差时估计未给出仪器误差时估计最大允许误差最大允许误差a连续可读仪器连续可读仪器 最小分度最小分度/2/2非连续可读仪器非连续可读仪器 最小分度最小分度/2/2 可按均匀分布假设，置信因子及标准不确定度为可按均匀分布假设，置信因子及标准不确定度为5、测量结果的误差估计测量结果的误差估计3/3akaukB连续可读连续可读最小分度最小分度1 1m mmmmm最大误差最大误差0.005mm0.005mm不确定度的评定不确定度的评定B类不确定度的评定类不确定度的评定 示例：示例：正态分布变量正态分布变量 测量量以测量量以2/3即即67%的概率落在的

46、概率落在a-a+的区间，则最佳估的区间，则最佳估值为（值为（a-+a+）/2，而区间半宽，而区间半宽 置信因子及标准不确定度为置信因子及标准不确定度为5、测量结果的误差估计测量结果的误差估计2/)(aaaakaukB/1不确定度的评定不确定度的评定合成标准不确定度的评定合成标准不确定度的评定 测量误差是测量过程中所有因素及环节引起误差的综合结果测量误差是测量过程中所有因素及环节引起误差的综合结果 传感器的非线性、迟滞、分散性、环境等传感器的非线性、迟滞、分散性、环境等 定义：定义：n个个影响量影响量独立引起测量结果的不确定度独立引起测量结果的不确定度ui 的几何合成的几何合成ui既可为既可为A

47、类标准不确定度，也可为类标准不确定度，也可为B类标准不确定度类标准不确定度5、测量结果的误差估计测量结果的误差估计niinCuuuuuu122232221间接测量结果的误差估计间接测量结果的误差估计间接测量量的估计值间接测量量的估计值 间接测量量间接测量量y是是n个直接测量量个直接测量量xi的单值函数，即的单值函数，即 间接测量量的最佳估值间接测量量的最佳估值 各直接测量量各直接测量量x xi i的算术平均值的函数值的算术平均值的函数值5、测量结果的误差估计测量结果的误差估计),(21nxxxfy),(21nxxxfy间接测量结果的误差估计间接测量结果的误差估计间接测量量的估计值间接测量量的估

48、计值 合成误差合成误差：通过函数传递的误差：通过函数传递的误差 直接测量量直接测量量x xi i的测量绝对误差为的测量绝对误差为x xi i，是一个微小变化量，则间，是一个微小变化量，则间接测量量接测量量y y的绝对误差为的绝对误差为近似：泰勒级数展开，略去高阶小量近似：泰勒级数展开，略去高阶小量误差传播系数误差传播系数 直接量的误差直接量的误差间接量误差间接量误差5、测量结果的误差估计测量结果的误差估计niiinnxcxxfxxfxxfy12211iixfc),(21nxxxfy间接测量结果的误差估计间接测量结果的误差估计间接测量量的估计值间接测量量的估计值 合成误差：通过函数传递的误差合成

49、误差：通过函数传递的误差 间接测量量间接测量量y y的的相对误差相对误差为为泰勒级数展开，略去高阶小量泰勒级数展开，略去高阶小量相对误差传播系数相对误差传播系数5、测量结果的误差估计测量结果的误差估计1111ln.nnnyiiiiiiiifyfrxyxdxyxiixfdln间接测量结果的误差估计间接测量结果的误差估计间接测量量的估计值间接测量量的估计值 工程处理工程处理 偏导数处理：防止偏导数处理：防止负数负数导致测量误差的不合理导致测量误差的不合理 N3时计算误差偏大，修正为时计算误差偏大，修正为 结果表示结果表示5、测量结果的误差估计测量结果的误差估计niiixcy1niiixcy122y

50、yy间接测量结果的误差估计间接测量结果的误差估计间接测量量的估计值间接测量量的估计值 工程处理工程处理示例：示例：5、测量结果的误差估计测量结果的误差估计2122123232212212112212322333334(,)63468niiiyyyxxxyfxxxxycxx xxxxxcccxxxyyyr 间接测量结果的误差估计间接测量结果的误差估计间接测量量的估计值间接测量量的估计值 误差传播系数误差传播系数意义意义 确定最大误差项，作为提高测量精度方向确定最大误差项，作为提高测量精度方向 确定最小误差项，降低测量精度要求确定最小误差项，降低测量精度要求5、测量结果的误差估计测量结果的误差估计

51、221niiiyxciixfc间接测量结果的误差估计间接测量结果的误差估计间接测量量的估计值间接测量量的估计值 合成标准不确定度合成标准不确定度 函数函数y y的合成不确定度由直接测量量的合成不确定度由直接测量量x xi i的标准不确定度的标准不确定度u uxixi确定确定 n3n10n10）, ,符合下式的的数据符合下式的的数据x xi i含粗大误差含粗大误差33法则不适应测量次数法则不适应测量次数n=10nVi33=3=3* *0.065=0.1950.065=0.195n格罗布斯准则格罗布斯准则: : ViViT(n,T(n,).).2.412.41* *0.065=0.1570.065

52、=0.1576、粗大误差的消除粗大误差的消除nii 12n_ii 11x0.201(x - x )0.065n-1xn有效数字组成有效数字组成 无论测量仪器如何精密，其最后一位数总是估计出来的，无论测量仪器如何精密，其最后一位数总是估计出来的，因此所谓有效数字就是保留末一位不准确数字，其余数因此所谓有效数字就是保留末一位不准确数字，其余数字均为准确数字。字均为准确数字。 有效数字是由准确数字（若干位）和可疑数字（一位）有效数字是由准确数字（若干位）和可疑数字（一位）构成。构成。 有效位数：从该数左方第一个非零数字算起到最末一个有效位数：从该数左方第一个非零数字算起到最末一个数字（包括零）的个数

53、，数字（包括零）的个数，它不取决于小数点的位置它不取决于小数点的位置 7、有效数字有效数字5158.129有效数字有效数字 准确数字准确数字 + + 可疑数字可疑数字有效数字组成有效数字组成“0 0”的意义的意义 表示小数表示小数位数位数的的“0 0”不是有效数字；数字中间和不是有效数字；数字中间和尾部尾部的的“0 0”是有效数字是有效数字 在在0.01200.0120中，中，“1 1”前面的两个前面的两个“0 0”都是定值用的，而在末尾的都是定值用的，而在末尾的“0 0”是有效数字，所以它有是有效数字，所以它有3 3位有效数字位有效数字7、有效数字有效数字加速度（）加速度（）. . .0.0

54、.210421040.00.012120 0有效数字位数有效数字位数位位5 5位位4 4位位3 3位位有效数字组成有效数字组成“0 0”的意义的意义 推荐用科学记数法：推荐用科学记数法：K K1010n n ，1K1K1010 很大或很小的数，常用很大或很小的数，常用1010的乘方表示的乘方表示 当有效数字确定后，在书写时一般只当有效数字确定后，在书写时一般只保留一位可疑数字保留一位可疑数字，多余数，多余数字按数字修约规则处理字按数字修约规则处理 7、有效数字有效数字851025.11250000001025.10000125.0有效数字组成有效数字组成“0 0”的意义的意义 有效数字的位数与

55、十进制单位的变换无关，即有效数字的位数与十进制单位的变换无关，即与小数点的位置无关与小数点的位置无关 用以表示小数点位置的用以表示小数点位置的“0 0”不是有效数字不是有效数字 由于由于单位变换单位变换在由测量所得到的数字后面的在由测量所得到的数字后面的0 0也不是有效数字也不是有效数字 采用科学计数法就不会产生这个问题采用科学计数法就不会产生这个问题 7、有效数字有效数字0125.000125.0000125.07575000m mmmmm521075.01075.0有效位数的确定有效位数的确定根据根据不确定度不确定度 根据测量误差或实验结果的不确定度来定出究竟应取几位根据测量误差或实验结果

56、的不确定度来定出究竟应取几位有效位数有效位数 不确定度末位在小数点后第二位，所以测量结果的最后一不确定度末位在小数点后第二位，所以测量结果的最后一位也取到小数点后第二位位也取到小数点后第二位7、有效数字有效数字mmxuxx08.045.908.0447.9有效位数的确定有效位数的确定根据根据不确定度不确定度 不确定度的有效位数不确定度的有效位数1212位位 最佳值或测量值末位与不确定度对齐最佳值或测量值末位与不确定度对齐 尾数按数字修约规则处理尾数按数字修约规则处理7、有效数字有效数字08.045.945.9447.908.0 xxxux有效位数的确定有效位数的确定根据分析方法与仪器的准确度根

57、据分析方法与仪器的准确度 有效数字也反映测量的准确度有效数字也反映测量的准确度 数显仪表一般应直接读取仪表的示值数显仪表一般应直接读取仪表的示值 7、有效数字有效数字有效位数的确定有效位数的确定根据分析方法与仪器的准确度根据分析方法与仪器的准确度 有效数字也反映测量的准确度有效数字也反映测量的准确度 指针式仪表，读数时估读到仪器最小分度的指针式仪表，读数时估读到仪器最小分度的1/21/10 一般使测得的数值中只有一般使测得的数值中只有最后一位是可疑的最后一位是可疑的7、有效数字有效数字0.20.20.5+0.40.5+0.4数字修约规则数字修约规则“四舍六入四舍六入五成双五成双”法则法则数字修

58、约规则数字修约规则 若拟舍去的第一位数字是若拟舍去的第一位数字是5 5，而，而右面非右面非0 0，则被保留的末，则被保留的末位数加位数加1 1 例如：例如： 3.63.6251251 3.6 3.63 3 若拟舍去的第一位数字是若拟舍去的第一位数字是5 5，而右面无数字或皆为，而右面无数字或皆为0 0时时，根据其前一位按奇入偶舍处理根据其前一位按奇入偶舍处理( (等几率原则等几率原则) ) 例如：例如：3.63.62525 3.6 3.62 2; 4.2; 4.2350350 4.2 4.24 4 舍入应一次到位，不允许逐位舍入舍入应一次到位，不允许逐位舍入 例如：将例如：将0.694990.

59、69499舍入到小数舍入到小数第二位第二位 0.60.694999499 0.6 0.69 9 0.6 0.694999499 0.6 0.6950950 0.6 0.69595 0.7 0.70 0 7、有效数字有效数字运算规则运算规则加减运算加减运算 尾数对齐尾数对齐：在小数点后所应保留的位数与诸量中小数点：在小数点后所应保留的位数与诸量中小数点后位数最少的一个相同。后位数最少的一个相同。7、有效数字有效数字示例示例：33.2+3.22=36.4 12.567-1.23=11.341.2345+5.11-2.141=4.20运算规则运算规则乘除运算乘除运算 位数取齐位数取齐：诸量相乘除，结

60、果的有效数字位数，一般与：诸量相乘除，结果的有效数字位数，一般与各个量中有效数字位数各个量中有效数字位数最少的一个最少的一个相同。相同。 乘方、开方后的有效数字位数与被乘方和被开方之数的乘方、开方后的有效数字位数与被乘方和被开方之数的有效数字的位数相同有效数字的位数相同 7、有效数字有效数字示例示例：1.112.0=2.2 3.248 1.61=2.02运算规则运算规则函数运算：函数运算：由其改变量对应的位数决定由其改变量对应的位数决定 对数函数对数函数lnxlnx、logxlogx计算结果尾数的位数取得与计算结果尾数的位数取得与真数的真数的位数位数相同相同 指数函数的结果有效数字，可与指数函