数集确界原理(经典课件)

1、§数集确界原理教学内容：1实数集的有关概念； 2确界的概念和确界原理。教学目的：1使学生知道区间与邻域的表示方法；2使学生深刻理解确界的与确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用。教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）。教学难点：确界的定义及其应用。教学方法：讲授为主。教学学时：2学时。引言：为了以后表述的方便，本节课我们先定义实数集中的两类重要的数集区间邻域；并讨论有界集与无界集；最后再由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）。后者是我们以后关于实数理论研究的基础，应给予充分重视。一、区间与邻域： 区间（用来表示变量的变化范围）：设且。 注：读作正无穷大；读作

2、负无穷大。 邻域：联想字面意思：“邻近的区域”。设为任一给定实数，（Delta-德耳塔）为一给定正实数。(1) 点a的邻域：(2)点a的空心邻域：(3)点a的右邻域和点a的空心右邻域： (4)点a的左邻域和点a的空心左邻域： 注：以后在没有必要指出邻域半径的大小时，以上领域我们可以分别简记为： (5)邻域，邻域，邻域：（其中为充分大的正数） 二、有界集与无界集：什么是“界”？范围。定义（上、下界）： 设为中的一个数集。若存在数，使得对一切都有，则称为有上（下）界的数集，数称为的上界（下界）。若数集既有上界，又有下界，则称为有界集。若数集不是有界集，则称为无界集。问题：（）上（下）界若存在，唯一

3、吗？（）上（下）界与的关系如何？看下例：例1 讨论数集的有界性。分析：有界或无界上界、下界？下界显然有，如取；上界似乎无，但需要证明。解：任取，显然有，所以有下界；但无上界。证明如下：假设有上界M,则M>0，按定义，对任意，都有，这是不可能的，如取则，且.综上所述知：是有下界无上界的数集，因而是无界集。这里表示不超过的最大整数，如：可以看到： （1）若数集有（上、下）界，则它不唯一，且有无限多个； （2）同一数集的上界必大于等于其下界。三、确界与确界原理:、定义：(最小的上界和最大的下界)定义（上确界）设是中的一个数集，若数满足：(1) 对一切有（即是的上界）; (2) 对任何，存在，使

4、得（即是的上界中最小的一个），则称数为数集的上确界，记作定义（下确界）设是中的一个数集，若数满足：（）对一切有（即是的下界）；（）对任何，存在，使得（即是的下界中最大的一个），则称数为数集的下确界，记作.上确界与下确界统称为确界。例2 讨论数集的确界。分析：通过数轴看有无上、下界，进一步讨论上、下确界。提示：利用有理数集在实数集中的稠密性。解 先证 （）对一切，显然有，即1是的上界。() 对任何，若，则任取都有；若，则由有理数集在实数集中的稠密性，在中必有有理数，即存在，使得。类似可以验证例3 （）（）（） 、确界的性质：l 唯一性：若数集存在上（下）确界，则一定是唯一的；l 若数集存在上、下

5、确界，则有；l 数集的确界可能属于，也可能不属于；l 存在性定理.1（确界原理）设为非空数集，若有上界，则必有上确界；若有下界，则必有下确界。定理.1（确界原理）设为非空数集，若有上界，则必有上确界；若有下界，则必有下确界。证 这里只证明定理的前半部分，后半部分可类似的证之。 为叙述方便起见，不妨设含有非负数，由于有上界，故可以找到非负整数，使得：(1) 对任何，有；(2) 存在，使. 对区间作10等分,分点为：，则存在中的一个数，使得：(1) 对任何，有；(2) 存在，使. 对区间作10等分,分点为：，则存在中的一个数使得：（1）对任何，有；（2）存在，使.如此不断10等分前一步骤所得区间，

6、可知对任何存在中的一个数，使得：（1）对任何，有；（2）存在，使. 将以上步骤无限进行下去，得到实数，以下证明，即证：（）对一切，有；（）对任何,存在使得. 先证(): (反证)假设存在,使,则可找到非负整数,使,而且,故与(1)矛盾,故对一切，有. 再证(): 由知存在非负整数,使,而,故, 由(2)便知存在使 确界原理是数学分析极限理论的基础,因此具有极其重要的地位，应对定理的内容充分理解，给予充分重视。例4设数集有上界，证明：分析：由确界原理，意义，按确界定义证明。证：（必要性） 对一切有，又，故。 （充分性）设，则：对一切，有；对任何，只需取，则，故。例5 设、为非空数集，满足：对一切和有. 证明：数集有上确界，数集有下确界，且分析：首先，证明有意义，用确界原理。其次，证明证：由假设，数集中任一数都是数集的上界，中任一数都是的下界，故由确界原理推知数集有上确界，数集有下确界. 对任何,是数集的一个上界,而由上确界的定义知,是数集的最小上界,故有.而此式又表明是数集的一个下界,故由下确界定义证得例6设、为非空有界数集，证明：（）；（）。分析：首先，由及、的性质知，也是非空有界集。其次，证明（）、（）。证：由于显然也是非空有界数集，因此的上、下确