大学物理第04章_功和能

1、第第4章章 功和能功和能主要内容：主要内容：.功功.动能定理动能定理.势能势能.引力势能引力势能.由势能求保守力由势能求保守力.机械能守恒定律机械能守恒定律.守恒定律的意义守恒定律的意义.碰撞碰撞两体问题两体问题.流体的稳定流动流体的稳定流动4.1 4.1 功功 功是度量能量转换的基本物理量，它描写了力功是度量能量转换的基本物理量，它描写了力对空间积累作用。对空间积累作用。功的定义：功的定义： 在力在力 的作用下，的作用下，物体发生了位移物体发生了位移 ，则，则把力在位移方向的分力与把力在位移方向的分力与位移位移 的乘积称为功。的乘积称为功。FrrxyzO1rrFFcosWFrFr国际单位：国

2、际单位：焦耳焦耳（J ）NmabFrd 质点由质点由a点沿曲线运动到点沿曲线运动到b点的过程中，变力点的过程中，变力 所所作的功作的功 。F元功：元功：rFWddbabarFrFWdcosd合力的功：合力的功：baWFrd dbanbabarFrFrFddd21结论：结论：合力对质点所作的功等于每个分力对质点合力对质点所作的功等于每个分力对质点作功之代数和作功之代数和。12bnaFFFrd d在直角坐标系在直角坐标系Oxyz中中 kFjFiFFzyxk zj yi xrbaWF drdddxyzxyzbbbxyzaaaF xF yF zdrdxidyjdzk dddbxyzaF iF jF k

3、xiyjzk在自然坐标系中在自然坐标系中 nnFF eF edrdsebaWF dr10ssF dsbn naF eF edse功率是反映作功快慢程度的物理量。功率是反映作功快慢程度的物理量。功率：功率：平均功率：平均功率：tWP瞬时功率：瞬时功率：tWtWPtddlim0瓦特（瓦特（W）= =（J/sJ/s）WPtd dd d附附:功率的定义：功率的定义：FvFrtd dd d设作用在质量为设作用在质量为2kg的物体上的力的物体上的力F = 6t N。如。如果物体由静止出发沿直线运动，在头果物体由静止出发沿直线运动，在头2（s）内这力）内这力作了多少功？作了多少功？ttmFa326taddv

4、tttad3ddv两边积分：两边积分：ttt00d3dvv223tvtxddvtttxd23dd2 v20420249d236dttttxFWJ36Fma例例2：光滑的水平桌面上有一环带，环带与小物体的摩擦：光滑的水平桌面上有一环带，环带与小物体的摩擦 系数系数 m m ，在外力作用下小物体（，在外力作用下小物体（质量质量 m ）以速率）以速率 v做匀做匀 速圆周运动，求转一周摩擦力做的功。速圆周运动，求转一周摩擦力做的功。r小物体对环带压力小物体对环带压力rvmf2 走一段小位移走一段小位移 ds 所做的功所做的功2vdWmdsrm转一周转一周22202rvWdWmdsmvrmm若桌面与小物

5、体的摩擦系数也为若桌面与小物体的摩擦系数也为 则转一周摩擦力则转一周摩擦力做的功做的功? 若是均匀的直杆呢若是均匀的直杆呢?若是均匀的圆盘呢若是均匀的圆盘呢?4.2 4.2 动能定理动能定理 质点因有速度而具有的作功本领。质点因有速度而具有的作功本领。221vmEk单位：（单位：（J J）设质点设质点m在力的作用下沿在力的作用下沿曲线从曲线从a点移动到点移动到b点点WFrddddrdFab1质点动能定理质点动能定理cosFsd d)(21dd212221vvvvvvmmWW质点的动能定理：质点的动能定理：合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。12212

6、22121kkEEmmWvvcosWFsddddcosFmamtd dd dvmd dv vmstd dd dd dv注意事项注意事项：1、功虽然可以改变物体的动能，但功与动能、功虽然可以改变物体的动能，但功与动能还是有区别的，功是过程量，动能是状态量。还是有区别的，功是过程量，动能是状态量。2、动能定理适用于惯性系，功与动能的关系、动能定理适用于惯性系，功与动能的关系成立是参考与同一个惯性系而言。成立是参考与同一个惯性系而言。2质点系的动能定理质点系的动能定理 iFif一个由一个由n个质点组成的质点系，考察第个质点组成的质点系，考察第i个质点。个质点。 质点的动能定理：质点的动能定理： ii

7、EE1k2k内外iiWW对系统内所有质点求和对系统内所有质点求和 niiniiEE11k12kniniiiWW11外内12kkEE外内WW 质点系动能的增量等于作用于系统的所有外力和质点系动能的增量等于作用于系统的所有外力和内力作功之代数和。内力作功之代数和。 内力做功可以改变系统内力做功可以改变系统的总动能。的总动能。 例例3 如图所示，用质量为如图所示，用质量为M的铁锤把质量为的铁锤把质量为m 的钉子的钉子敲入木板。设木板对钉子的阻力与钉子进入木板的深敲入木板。设木板对钉子的阻力与钉子进入木板的深度成正比。在铁锤敲打第一次时，能够把钉子敲入度成正比。在铁锤敲打第一次时，能够把钉子敲入1cm

8、深，若铁锤第二次敲钉子的速度情况与第一次完深，若铁锤第二次敲钉子的速度情况与第一次完全相同，问第二次能把钉子敲入多深？全相同，问第二次能把钉子敲入多深？1S2SxO设铁锤敲打钉子前的设铁锤敲打钉子前的速度为速度为v0，敲打后两者的共同速敲打后两者的共同速度为度为v。 vv)(0mMMmMM0vv铁锤第一次敲打时，克服阻力做功，设钉子所受阻铁锤第一次敲打时，克服阻力做功，设钉子所受阻力大小为：力大小为： kxf由动能定理，由动能定理， 有：有：2102021d2101kSxkxmSv0vv ,mMSSSxkxm11d21020v设铁锤第二次敲打时能敲入的深度为设铁锤第二次敲打时能敲入的深度为S

9、，则有，则有212121)(21kSSSk21212)(SSS112SSS化简后化简后第二次能敲入的深度为：第二次能敲入的深度为： cm41. 0cm1) 12(211SSS矿砂由料槽均匀落在水平传送带上矿砂由料槽均匀落在水平传送带上,砂流量砂流量q=50kg/s,传送带匀速移动传送带匀速移动v=1.5m/s,求电动机拖动皮带的功率求电动机拖动皮带的功率,看是看是否等于单位时间内砂获取的动能否等于单位时间内砂获取的动能?pf vftm v 2113pqvW砂受到砂受到f作用作用,同样皮带也受到反作用力同样皮带也受到反作用力,其大小等于其大小等于f,方向相反方向相反!212KEmvmfvqvt

10、56.5KEWPt如图传送机通过滑道将长为如图传送机通过滑道将长为L，质量为，质量为m的柔软匀的柔软匀质物体以初速度质物体以初速度v0向右送上水平台面向右送上水平台面,物体前端在台面上物体前端在台面上滑动滑动s后停下后停下,已知滑道上的摩擦可以不计已知滑道上的摩擦可以不计,物体与台面的物体与台面的摩擦系数为摩擦系数为 ,而且而且sL,试求物体的初速度试求物体的初速度v0。(0)mfgxxLLm设物体在台面上滑动设物体在台面上滑动时，在其上的长度为时，在其上的长度为x，则所受摩擦力可，则所受摩擦力可表示为：表示为：v0 xLsL()fmgLxm当物体前端在当物体前端在s处停下来时，台面对物体的摩

11、擦力所做处停下来时，台面对物体的摩擦力所做的功：的功：0sfWf dxfdx 由动能定理：由动能定理：0()()LsLmgxdxmgdxLmm ()()22LLmgsLmg smm 20102fWmv02()2Lvg sm一对力的功一对力的功 系统内力总是成对出现系统内力总是成对出现1211222212()ffWfrfrfrrfr 相对一对力所做的功，等于一对力所做的功，等于其中一个物体所受的力其中一个物体所受的力沿两个物体相对移动的沿两个物体相对移动的路径所做的功。路径所做的功。OA1A2B1B2r1r2r21f1f2r1r2RMm内力与相对位移总垂内力与相对位移总垂直，故内力所做的功直，故

12、内力所做的功总和为零。总和为零。4.3 4.3 势能势能（1）重力的功）重力的功bzazxyzOabrgm),(aaazyxa初始位置初始位置),(bbbzyxb末了位置末了位置baabrFWdkzj yi xkmgbadddbabazzmgzmgd 重力做功仅取决于质点的始、末位置重力做功仅取决于质点的始、末位置z za a和和z zb b，与质点经过的具体路径无关。与质点经过的具体路径无关。 （2） 万有引力作功万有引力作功 设质量为设质量为M的质点固的质点固定，另一质量为定，另一质量为m的质点的质点在在M 的引力场中从的引力场中从a a点运点运动到动到b b点。点。rerMmGF20ba

13、rrrrerMmGWd20cosrerrddrrdrrd crdMabarbrr dbarrrrMmGrrMmGWba11d020 万有引力作功只与质点的始、末位置有关，而万有引力作功只与质点的始、末位置有关，而与具体路径无关。与具体路径无关。 （3）弹性力的功）弹性力的功x2box1mxamFx由虎克定律：由虎克定律：ikxF2121dddxxxxxkxi xikxxFW22212121kxkxW 弹性力作功只与弹簧的起始和终了位置有关，弹性力作功只与弹簧的起始和终了位置有关，而与弹性变形的过程无关。而与弹性变形的过程无关。作功与路径无关，只与始末位置有关的力。作功与路径无关，只与始末位置有

14、关的力。保守力沿任何闭合路径作功等于零。保守力沿任何闭合路径作功等于零。0drF设保守力沿闭合路径设保守力沿闭合路径acbda作功作功abcd按保守力的特点：按保守力的特点：因为：因为：所以：所以：adbacbWWbdaacbWW0acbacbbdaacbWWWWW物体在保守力场中物体在保守力场中a、b两点的势能两点的势能Epa与与 Epb之差，等之差，等于质点由于质点由a点移动到点移动到b点过程中保守力所做的功点过程中保守力所做的功Wab。abbapbpaWrFEEdppapbabEEEW)(由物体的相对位置所确定的系统能量称为由物体的相对位置所确定的系统能量称为势能势能（E Ep p）（1

15、）势能是一个系统的属性。）势能是一个系统的属性。（2）（3）势能的零点可以任意选取。）势能的零点可以任意选取。 设空间设空间r0点为势能的零点，则空间任意一点点为势能的零点，则空间任意一点 r的势能为：的势能为：orropprFrErErEd)()()( 空间某点的势能空间某点的势能Ep在数值上等于质点从该在数值上等于质点从该点移动到势能零点时保守力做的功。点移动到势能零点时保守力做的功。mghEp（地面（地面（h = 0= 0）为势能零点）为势能零点）221kxEp（弹簧自由端为势能零点）（弹簧自由端为势能零点）rMmGEp0（无限远处为势能零点）（无限远处为势能零点）4.4 引力势能引力势

16、能barrrrMmGrrMmGWba11d020令令r时，时，Ep=0，则，则12pm mEGr 例例6. 假设地球为质量均匀分布的球体假设地球为质量均匀分布的球体,计算必须供给多计算必须供给多少能量才能把地球完全拆散少能量才能把地球完全拆散(万有引力常数为万有引力常数为G, 地球质地球质量量me, 半径为半径为R).解：解：pm dmdEGr 地壳Rrdr将地球拆分成厚度为将地球拆分成厚度为dr的的球壳球壳, 该球壳与内球构成的该球壳与内球构成的系统势能为：系统势能为：343mr地24dmr dr壳334emR320443Rpprr drEdEGr()235eGmR 保守力与势能的积分关系：

17、保守力与势能的积分关系：pEW保守力与势能的微分关系：保守力与势能的微分关系：pEWddzFyFxFrFWzyxddddddppppEEEExyzxyzddd4.5 由势能求保守力由势能求保守力所以：所以：xEFpxyEFpyzEFpzkzEjyEixEFppp保守力的矢量式：保守力的矢量式： 保守力沿各坐标方向的分量，在数值上等于系保守力沿各坐标方向的分量，在数值上等于系统的势能沿相应方向的空间变化率的负值，其方向统的势能沿相应方向的空间变化率的负值，其方向指向势能降低的方向。指向势能降低的方向。 结论：结论：例例7. 某双原子分子的原子间相互作用势能函数如下所述某双原子分子的原子间相互作用

18、势能函数如下所述,其中其中A,B为常量为常量,x为两原子的间距为两原子的间距,试求原子间相互作用试求原子间相互作用力的函数式及相互作用力为零时的距离力的函数式及相互作用力为零时的距离.解：解：( )126p xABExx( )p xxdEFdx 137126ABxx 13726 ()ABxx16137220()xABAFxxxB将将X换成换成r,情况又是什么样情况又是什么样?4.6 4.6 机械能守恒定律机械能守恒定律21ppWEE 保内12kkEE外内WW质点系的动能定理：质点系的动能定理：非保内保内内WWW其中其中12kkEEWWW非保内保内外 2211WWEEEEkpkp外非保内pkEE

19、E机械能12EEWW非保内外 质点系机械能的增量等于所有外力和所有非保质点系机械能的增量等于所有外力和所有非保守内力所作功的代数和。守内力所作功的代数和。 质点系的功能原理0外W如果如果0非保内W，pkEEE恒量 当系统只受保守内力作功时，质点系的总机当系统只受保守内力作功时，质点系的总机械能保持不变。械能保持不变。机械能守恒定律 注意：（1 1）机械能守恒定律只适用于惯性系，不适合于）机械能守恒定律只适用于惯性系，不适合于非惯性系。这是因为惯性力可能作功。非惯性系。这是因为惯性力可能作功。（2 2）在某一惯性系中机械能守恒，但在另一惯性）在某一惯性系中机械能守恒，但在另一惯性系中机械能不一定

20、守恒。这是因为外力的功与参系中机械能不一定守恒。这是因为外力的功与参考系的选择有关。对一个参考系外力功为零，但考系的选择有关。对一个参考系外力功为零，但在另一参考系中外力功也许不为零。在另一参考系中外力功也许不为零。例例8. 8. 计算第一，第二宇宙速度计算第一，第二宇宙速度已知：地球半径为已知：地球半径为R，质量，质量为为M，卫星质量为，卫星质量为m。要使。要使卫星在距地面卫星在距地面h高度绕地球高度绕地球作匀速圆周运动，求其发作匀速圆周运动，求其发射速度。射速度。解：解：设发射速度为设发射速度为v1，绕地球的运动速度为，绕地球的运动速度为v。机械能守恒：机械能守恒：hRMmGmRMmGm2

21、212121vvRMm由万有引力定律和牛顿定律：由万有引力定律和牛顿定律：hRmhRMmG22v解方程组，得：解方程组，得：hRGMRGM21v2RmMGmg gRRGM代入上式，得：代入上式，得：)2(1hRRgRvRh 131109 . 7smgRv2. 第二宇宙速度第二宇宙速度宇宙飞船脱离地球引力而必须具有的发射速度宇宙飞船脱离地球引力而必须具有的发射速度（1）脱离地球引力时，飞船的动能必须大于或至少）脱离地球引力时，飞船的动能必须大于或至少 等于零。等于零。由机械能守恒定律：由机械能守恒定律：02122pkEERMmGmv解得：解得：1312sm102 .11222vvgRRGM（2）

22、脱离地球引力处，飞船的引力势能为零。）脱离地球引力处，飞船的引力势能为零。如图在水平面上有一轻质弹簧，一端固定，另一端如图在水平面上有一轻质弹簧，一端固定，另一端系一质量为系一质量为m的小球。弹簧劲度系数为的小球。弹簧劲度系数为k，最初静止于其，最初静止于其自然长度自然长度l0。现有一质量为。现有一质量为m1的子弹，沿水平方向垂直于的子弹，沿水平方向垂直于弹簧轴线以速度为弹簧轴线以速度为v0射中小球而不复出，求此后当弹簧射中小球而不复出，求此后当弹簧长度为长度为l时，小球速度时，小球速度v的大小和它的方向与弹簧轴线一的大小和它的方向与弹簧轴线一夹角夹角?1 01()xm vmm vL0v0vl

23、子弹射入小球瞬间子弹射入小球瞬间, 子弹子弹与小球组成的系统只受与小球组成的系统只受内作用内作用,故动量守恒故动量守恒!运动过程中运动过程中,子弹子弹,小球小球,弹簧组成的系统机械能守恒弹簧组成的系统机械能守恒!O222110111()0()()222xmm vmm vk ll运动过程中运动过程中,子弹与小球只受到有心力的作用子弹与小球只受到有心力的作用, 故对故对O点而言点而言,系统角动量守恒系统角动量守恒!101()()sinxmm l vmm lv222100211()()()m vkvllmmmm1 0 01arcsin()mv lmm vl4.7 守恒定律的意义守恒定律的意义守恒定律

24、与对称性有关守恒定律与对称性有关动量守恒动量守恒空间平移对称性空间平移对称性角动量守恒角动量守恒空间转动对称性空间转动对称性能量守恒能量守恒时间平移对称性时间平移对称性4.84.8碰撞碰撞 两个或两个以上的物体在运动中两个或两个以上的物体在运动中发生极其短暂的相互作用，使物体的发生极其短暂的相互作用，使物体的运动状态发生急剧变化，这一过程称运动状态发生急剧变化，这一过程称为为碰撞碰撞。 1m1m2m2m1m10v20v1v2vxO动量守恒动量守恒2211202101vvvvmmmm完全弹性完全弹性碰撞：碰撞：碰撞碰撞后物体后物体系统系统的机械能没有损失的机械能没有损失。 非弹性碰撞非弹性碰撞：

25、碰撞碰撞后物体后物体系统系统的机械能有损失的机械能有损失。 完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞：碰撞碰撞后物体后物体系统系统的机械能有损失的机械能有损失，且且碰撞后碰撞后物体物体以同一速度运动以同一速度运动。 1. 完全弹性碰撞完全弹性碰撞 2222112202210121212121vvvvmmmm2211202101vvvvmmmm210110212221202102112)(2)(mmmmmmmmmmvvvvvv(1) 如果如果m1= m2 ，则，则v1 = v20 ，v2 = v10，即两物体即两物体在碰撞时速度在碰撞时速度发生了发生了交换交换。 (2) 如果如果v20 =0 , 且且 m2 m1, 则则v1 = - v10, v2 = 02完全完全非非弹性碰撞弹性碰撞 2120