数学史复习总结整理篇

1、数学史复习总结整理篇数学史复习第0章数学史一一人类文明史的重要篇章一、数学史研究哪些内容？P1数学史研究数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展，及其与社会政治、经济和一般文化的联系。二、了解数学史有何意义？P15数学史不是单纯的数学成就的编年记录，而是数学家在自然科学领域内克服困难、战胜危机和发现真理的斗争记录。（1） 了解数学史有助于数学的进一步发展（2）对数学家创造过程的了解则可以使我们从前人的探索与奋斗中汲取教益，获得鼓舞和增强信心（3） 了解数学史就有助于全面了解数学科学（4） 了解数学史就有助于全面了解整个人类文明史（5）要想当好数学教师，充实数学史知识是非常必要的三、历史上关于数

2、学概念的定义有哪些？P6-8历史上对数学的定义，有几种著名的论断：数学是量的科学。（希腊哲学家亚里士多德，公元前4世纪）凡是以研究顺序和度量为目的的科学都与数学有关。（法国数学家笛卡儿，17世纪）数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学。（恩格斯）数学可以定义为这样一门学科，我们永远不知道其中所说的是什么，也不知道所说的内容是否正确。（罗素）数学这个领域已被称为模式的科学，其目的是要揭示人们从自然界和数学本身的抽象世界中所观察到的结构和对称性。（数学的新定义）四、数学史通常采用哪些线索进行分期？本书对数学史如何分期？P9不同的线索将给出不同的分期，通常采用的线索如：1.按时代顺序；2.按数

3、学对象、方法等本身的质变过程；3.按数学发展的社会背景。对数学史作出如下的分期：I .数学的起源与早期发展（公元前6世纪前）II .初等数学时期（公元前6世纪一16世纪）（1） 古代希腊数学（公元前6世纪一6世纪）（2） 中世纪东方数学（3世纪15世纪）（3） 欧洲文艺复兴时期（15世纪16世纪）m.近代数学时期（或称变量数学建立时期，17世纪一18世纪）IV.现代数学时期（1820'现在）（1）现代数学酝酿时期（1820'1870）（2）现代数学形成时期（18701940'）（3）现代数学繁荣时期（或称当代数学时期，1950现在）第1章数学的起源与早期发展一、世界上早

4、期常见有几种古老文明记数系统，它们分别是什么数字，采用多少进制数系？P1314巴比伦楔形数字（六十进制）、玛雅数字（二十进制）、古埃及的象形数字、中国甲骨文数字、希腊阿提卡数字、中国筹算数码、印度婆罗门数字（十进制）二、“河谷文明”指的是什么？P16历史学家往往把兴起于埃及、美索不达米亚、中国和印度等地域的古代文明称为河谷文明”.早期数学，就是在尼罗河、底格里斯河与幼发拉底河、黄河与长江、印度河与恒河等河谷地带首先发展起来的.三、关于古埃及数学的知识主要依据哪两部纸草书？纸草书中问题绝大部分都是实用性质，但有个别例外，请举例。P17、P23我们关于古埃及数学的知识，主要就是依据了两部纸草书一一

5、莱茵德纸草书和莫斯科纸草书。莱茵德纸草书主体部分由84个问题组成，莫斯科纸草书则包括了25个问题，这些问题大部分来自现实生活.例：”7座房，49只猫，343只老鼠，2401棵麦穗，16807赫卡特”这是一贯没有任何实际意义的几何级数求和问题，带有虚构的数学游戏性质。数学史复习总结整理篇四、美索不大米亚人的记数制远胜埃及象形数字之处主要表现在哪些方面？P2425美索不达米亚人创造了一套以60进制为主的楔形文记数系统.同一个记号，根据它在数字表示中的相对位置而赋予不同的值，这种位值原理是美索不达米亚数学的一项突出成就.美索不达米亚人的记数制远胜埃及象形数字之处，还在于他们巧妙地将位值原理推广应用到

6、整数以外的分数.第2章古代希腊数学一、希腊数学一般是指什么时期，活动于什么地方的数学家创造的数学？P32希腊数学一般指从公元前600年至公元600年间，活动于希腊半岛、爱琴海区域、马其顿与色雷斯地区、意大利半岛、小亚细亚以及非洲北部的数学家们创造的数学。二、什么使泰勒斯获得了第一位数学家和论证几何学鼻祖的美名？P33泰勒斯（公元前625年至公元前547年）的主要贡献是证明了：圆的直径将圆分为两个相等的部分；等腰三角形两底角相等；两相交直线形成的对顶角相等；如果一个三角形有两角、一边分别与另一个三角形的对应角、边相等，那么这两个三角形全等。传说泰勒斯还证明了下面的：泰勒斯定理：半圆上的圆周角是直

7、角。可以说，泰勒斯是历史上有记载的第一位数学家和论证几何学的鼻祖。三、毕达哥拉斯学派认为宇宙万物皆依赖于整数的信条由于什么发现而受到动摇？这个“第一次数学危机”是由于什么人提出的新比例理论而暂时消除，这个新比例理论当今的语言可怎么叙述？P38/48毕达哥拉斯学派认为宇宙万物皆依赖于整数的信条，由于不可公度量的发现而受到动摇。这个“第一次数学危机”是由于（毕达哥拉斯学派成员阿契塔斯的学生）欧多克斯提出的新比例理论而暂时消除。这个新比例理论当今的语言叙述：设A,B,C,D是任意四个量，其中A和B同类（即均为线段、角或面积）,C和D同类.如果对于任何两个正整数m和n,关系mAxnB是否成立，相应地取

8、决于关系mC=<nD是否成立，则称A与B之比等于C与D之比，即A,B,C,D四量成比例.四、希腊数学学派主要有哪些学派？P39希腊数学学派林立，主要有：伊利亚学派；诡辩学派；雅典学院（柏拉图学派）；亚里士多德学派.五、古希腊三大著名几何问题是什么？P40古希腊三大著名几何问题是：化圆为方，即作一个与给定的圆面积相等的正方形.倍立方体，即求作一立方体，使其体积等于已知立方体体积的两倍.三等分角，即分任意角为三等分.六、亚里士多德物理学中记载芝诺提出的四个著名的悖论是什么？P43这四个悖论如下：1.两分法;2.阿基里斯；3.飞箭;4.运动场七、希腊数学的“黄金时代”指的是什么时间？这时期希腊

9、数学的中心从雅典移到何处，此处出现了哪三大数学家？P45希腊数学的“黄金时代”（公元前338年至公元前30年）是亚历山大时期，这时期希腊数学的中心从雅典移到亚历山大城，在那云集了许多知名的学者和数学家：欧几里得、阿基米德和阿波罗尼奥斯。八、几何原本共分多少卷，包括有多少条公理，多少条公设，多少个定义和多少条命题？P46全书分13卷，有5条公理、5条公设、119个定义和465条命题，是历史上第一个数学公理体系。九、阿基米德数学研究的最大功绩是什么？P53圆的度量十、阿波罗尼奥斯最重要的数学成就是什么？P58是在前人工作基础上创立了相当完美的圆锥曲线理论。十一、亚力山大后期指的是哪段时间？这一时期

10、的重要数学家和他们的著作是什么？P61-66通常把从（公元前30年至公元600年）这一段时期称为亚历山大后期。著名的数学家有：1 .几何学家：海伦，以三角形面积公式而出名。著作：度量2 .三角学家：托勒玫，在其代表作天文学大成中将圆周分成360度，角的度量采用60进制。数学史复习总结整理篇3 .4 .帕波斯，是亚历山大最后一位重要的数学家。其代表数学汇编对解析几何和射影几何产生了重要的影响。5 .希帕蒂娅，是历史上第一位杰出的女数学家。她曾注释过阿基米德、阿波罗尼奥斯和丢番图的著作。第3章中世纪的中国数学一、中国数学史上何时何人何种方法最先完成勾股定理证明？P70中国数学史上最先完成勾股定理证

11、明的数学家，是公元3世纪三国时期的赵爽，作“勾股圆方图”。二、九章算术中各章名称是什么？这些章节中谈论算术、代数、几何方面的内容为哪些章节？P7178全书246个问题，分成9章，依次为：方田，粟米，衰分，少广，商功，均输，盈不足，方程，勾股。算术方面：（方田，粟米，衰分，均输，盈不足）分数四则运算法则；比例算法；盈不足术。代数方面：（方程，少广）方程术。即联立线性方程组的解法。正负术。引进负数是九章算术的突出贡献。开方术。给出了开平方和开立方的算法。几何方面：（方田，商功，勾股）三、刘徽的数学成就中最突出是什么？祖咂原理是什么？P78刘徽的突出成就是“割圆术”和体积理论。祖咂原理是两等高立体图

12、形，若在所以等高处的水平截面积相等，则这两个立体体积相等。四、贾宪增乘开方法能否适用于开任意高次方？P93贾宪增乘开方法，是一个非常有效的和高度机械化的算法，可适用于开任意高次方。五、为什么说一次同余组求解的剩余定理常常被称为“中国剩余定理”？P961876年德国人马蒂生首先指出秦九韶的方法与高斯算法是一致的，因此关于一次同余组求解的剩余定理常常被称为“中国剩余定理”第4章印度与阿拉伯的数学一、印度数学的发展可划分为3个重要时期，这3个重要时期是指什么时期？P106印度数学的发展可以划分为3个重要时期：达罗毗荼人时期（公元前3000年至公元前1400年），史称河谷文化；吠陀时期（公元前10世纪

13、至公元前3世纪）；悉檀多时期（公元5世纪至公元12世纪）。二、用圆圈符号"O'表示零，可以说是印度数学的一大发明，印度人起初用什么表示零，直到最后发展为圈号。P107印度人起初用空位表示零，后记成点号，最后发展为圈号。三、“巴克沙利手稿”中涉及到哪些的数学内容？P107巴克沙利手稿”中涉及到分数、平方根、数列、收支与利润计算、比例算法、级数求和、代数方程等。四、“阿拉伯数学”是否单指阿拉伯国家的数学？P113“阿拉伯数学”并非单指阿拉伯国家的数学。（而是指815世纪阿拉伯帝国统治下整个中亚和西亚地区的数学，包括希腊人、波斯人、犹太人和基督徒等所写的阿拉伯文及波斯文等数学著作）

14、五、第一次给出一元二次方程的一般代数解法是来至何人著的著作？P114花拉子米的代数学。第5章近代数学的兴起一、卡尔丹在1545年出版的著作大法中公布了形如x3+m?=n（m,n>0）的三次方程的解法是从何人那里传授来的？在大法中卡尔丹对三次方程又进一步作了哪些工作？P126三次方程的解法是从费罗那里传授来的二、数学符号系统化首先应归功于哪位数学家，对这位数学使用的代数符号的改进工作是由何人完成的？P129应归功于法国数学家韦达，对代数符号的改进工作是笛卡儿完成的。数学史复习总结整理篇三、球面三角与平面三角何者先出现？P131球面三角先出现。四、对数是何人首先发明？它的产生主要是由于什么的

15、需要？P136苏格兰贵族数学家纳皮尔首先发明对数方法；用对数来解决平面和球面三角问题。五、笛卡儿创立解析几何的灵感有几个传说，请试述其中的任意一P142一个传说讲，笛卡儿终身保持着在耶稣会学校读书期间养成的“晨思”习惯，他在一次“晨思”时，看见一只苍蝇正在天花板上爬，他突然想到。如果知道了苍蝇与相邻两个墙壁的距离之间的关系，就能描述它的路线，这使他头脑中产生了关于解析几何的最初闪念。第6章微积分的创立一、微积分与积分学的起源何者在先，何者在后？P144与积分学相比而言，微分学的起源则要晚很多.二、微积分酝酿阶段最有代表性的工作有哪几项？P146-154开普勒与旋转体体积；卡瓦列里不可分量原理；

16、笛卡儿“圆法”；费马求极大值与极小值的方法；巴罗“微分三角形”；沃利斯“无穷算术”。三、牛顿走上创立微积分之路受哪两部著作的影响最深？P155笛卡儿的几何学和沃利斯无穷算术对牛顿影响最深。四、牛顿1666年写了流数简论之后，始终不渝努力改进，完善自己的微积分学说，先后写成三篇微积分论文，这三篇论文的名称是什么？为什么其中第三篇是牛顿最成熟的微积分著述？P158这三篇论文的名称是运用无限多项方程的分析、流数法与无穷级数、曲线求积术。因为牛顿在其中改变了对无限小量的依赖并批评自己过去那种随意忽略无限小瞬。的做法。五、为什么说在微积分的创立上牛顿需要与莱布尼茨分享荣誉？P174牛顿和莱布尼茨都是他们

17、时代的巨人，就微积分的创立而言，尽管在背景、方法和形式上存在差异、各有特色，但二者的功绩是相当的。经过调查，特别是对莱布尼茨手稿分析，证实两人确实是相互独立地完成了微积分的发明。就发明时间而言，牛顿早于莱布尼茨；就发表时问而言，莱布尼茨则先于牛顿。虽然牛顿在微积分应用方面的辉煌成绩极大地促进了科学的进步，但分析的进步在18世纪主要是由欧陆国家的数学家在发展莱布尼茨微积分方法的基础上而取得的。所以说在微积分的创立上牛顿需要与莱布尼茨分享荣誉。第7章分析时代一、18世纪微积分发展包括哪几个主要方面？P179-187包括的主要方面有：1.积分技术与椭圆积分；2.微积分向多元函数的推广；3.无穷级数理

18、论；4.函数概念的深化；5.微积分严格化的尝试二、简述18世纪常微分方程的发展过程。P188-190常微分方程是伴随着微积分一起发展起来的，牛顿和莱布尼茨的著作中都处理过与常微分方程有关的问题。从17世纪末开始，摆的运动、弹性理论以及大体力学等实际问题的研究引出了一系列常微分方程，数学家们起初是采用特殊的技巧来对付特殊的方程，但逐渐开始寻找带普遍性的方法。到1740年左右，几乎所有求解一阶纺车的初等方法都知道。高阶常微分方程求解的重要突破，是欧拉1743年关于N阶常系数线性齐次方程的完整解法。18世纪常微分方程求解的最高成就是拉格朗日1774-1775年间用参数变易法解出了一般N阶变系数非齐次

19、常微分方程。18世纪，有解决一些具体物理问题而发展起来的常微分方程，已经成为有自己的目标与方法的新数学分支。三、简述18世纪微分几何的形成过程。P196-197分析的光芒使18世纪综合几何的发展黯然失色，但分析方法的应用却开拓出了一个崭新的几何分支一微分几何。微分几何的形成过程：1731年18岁的法国青年数学家克莱洛发表关于双重曲率曲线的研究，开创了空间曲线理论，是建立微分几何的重要一步。欧拉是微分几何的重要奠基人。他早在1736年就引进了平面曲线的内在坐标概念，即以曲线弧长作为曲线上点的坐标。18世纪微分几何的发展由于蒙日的工作而臻于高峰。四、近代意义的数论研究是从费马开始的，费马提出了一堆

20、定理，部分定理有哪几个？P202部分定理有：费马小定理，费马大定理，平方数问题，费马数，方程x2-Ay2=1当A是正数但非完全平方数时有无穷多个（整数）解。五、简述哥德巴赫猜想与华林问题。P204著名的哥德巴赫猜想，是“每个偶数是两个素数和；每个奇数是三个素数之和”；华林问题，是“任一自然数n可表示成至多r个数的k次幕之和，即n=x：+x；+x：,其中x1,x2，xr为自然数，r依赖于k。华林问题1909年才由希尔伯特首次证明，哥德巴赫猜想则至今悬而未决。第8章代数学的新生数学史复习总结整理篇一、数学家阿贝尔通过证明什么样的结论解决了五次和高于五次的一般方程的求解问题？P208209如果方程的

21、次数N>=0并且系数ai,a2,，an看成是字母，那么任何一个由这些字母组成的根式都不可能是方程的根。二、布尔的逻辑代数思想集中在他的哪两本书中。P219一本是1847年发表的逻辑的数学分析，另一本是1854年出版的思维规律研究。三、算术研究的作者是谁，发表的年份是何时？它的发表有何意义。P221-223算术研究的作者是高斯，发表于1801年。数论作为现代数学的一个重要分支得到了系统的发展。在其中，他研究了同余理论，复整数理论和型的理论，并证明了二次互反律。第9章几何学的变革一、欧几里德平行公设的众多替代公设中，今天最常用的是？P227“过已知直线外一点能且只能作一条直线与已知直线平行”

22、。二、非欧几何三位发明人（高斯、波约、罗巴切夫斯基）中哪位是最早、最系统地发表自己关于非欧几何的研究成果？P230罗巴切夫斯基三、最先理解非欧几何全部意义的数学家是谁？在欧几里得空间中给出非欧几何的直观模型的数学家有哪几位？P235236最先理解非欧几何全部意义的数学家是黎曼。在欧几里得空间中给出非欧几何的直观模型的数学家有意大利的贝尔特拉米，德国的克莱因，法国的庞加莱。四、在射影几何的发展过程中，庞斯列有哪些创举？P239240在庞斯列的理论中，有两个重要的基本原理.连续性原理：它涉及通过投影或其他方法把某一图形变换成另一图形的过程中的几何不变性.庞斯列将它发展到包括无穷远点的情形；对偶原理

23、：射影几何的研究者们曾经注意到，平面图形的“点”和“线”之间存在着异乎寻常的对称性.五、希尔伯特在几何基础中提出的公理系统包括多少条公理？希尔伯特将它划分为哪几组？P245公理系统包括了20条公理，将它划分为五组，分别是关联公理，顺序公理，合同公理，平行公理，连续公理。第10章分析的严格化一、柯西在分析基础工作方面做了哪些工作？P247柯西对微积分的基本概念，如变量、函数、极限、连续性、导数、微分、收敛等等给出了明确的定义。（并在此基础上重建和拓展了微积分的重要事实和定理）二、魏尔斯特拉斯在1861年举出一个什么例子来说明存在处处连续但却处处不可微的函数？P250f（x）=£bnco

24、s（annx）,其中a是奇数，”（0,1）为常数，使得abA1+更。n-02三、魏尔斯特拉斯关于分析严格化的突出表现是创造了一套什么语言？P253一套®0语百O四、集合论的建立是由哪些问题研究而导致的？P255在分折的严格化过程中.一些基本概念如极限、实数、级数等的研究都洛及到由无穷多个元素组成的集合，特别是在对那些不连续函数进行分析对，需安对使函数不连续或使收敛问题变得很困难的点集进行研究，这样就导致了集合论的建立五、19世纪分析的扩展表现在哪些方面？P258263复分析的建立19世纪初，复数的“合法性”仍是一个未解决的问题，柯西在1825年出版的一本小册子，关于积分限为虚数的定积

25、分的报告可以看成是复分析发展史上的第一座里程碑，在其中他建立了我们现在所称的柯西积分定理.魏尔斯特拉斯本人为复变两数论斤辟了义一条研究途径.解析数论的形成欧拉在数论中已引进了分析方法.数学物理与微分方程19世纪偏微分方程发展的序幕，是由法国数学家傅里叶拉开的，他于1822年发表的热的解析理论是数学史上的经典文献之一。19世纪偏微分方程的另一个重要发展是围绕着位势方程来进行的，这方面的代表人物格林.数学家是柯西他指出：在求显式解无效的场合常常可以证明解的存在性.数学史复习总结整理篇第11章20世纪数学概观（I）纯粹数学的主要趋势一、与19世纪相比，20世纪纯粹数学的发展表现出哪些主要的特征与趋势

26、？P27120世纪纯粹数学的发展表现出如下主要的特征或趋势：更高的抽象性；更强的统一性；深入的基础探讨.二、1900年德国数学家希尔伯特在巴黎国际数学家大会上作演说中提出23个数学问题，至今这23个问题解决状况如何？P272274希尔伯特问题中近一半已经解决或基本解决.有些问题虽未最后解决，但也取得了重要进三、集合论观点的渗透和公理化方法的运用导致20世纪上半叶哪四大数学抽象分支的崛兴？P276实变函数论，泛函分析，拓扑学和抽象代数。四、简述实变函数论的建立。P276278集合论的观点在20世纪初首先引起了积分学的变革，从而导致了实变函数论的建立。五、“泛函”这个名称是由谁最先采用的？为什么说

27、泛函分析的建立体现了20世纪在集合论影响下空间和函数这两个基本概念的进一步变革？P279-280“泛函”这个名称是由阿达马最先采用的，泛函分析的另一个来源是积分方程理论。并由希尔伯特推广到内积空间（希尔伯特空间）。后来又被波兰数学家巴拿赫推广到更一般的赋范空问（即巴拿赫空间）。泛函分析就是在这种抽象函数空间上的微积分。六、环中的理想论的作者是谁？P282诺特七、拓扑学研究什么内容？“拓扑学”这一术语是由何人首先引用的？P285研究几何图形的连续性质，即在连续变形下保持不变的性质。“拓扑学”这一术语是由高斯的学生李斯廷引进的。八、简述概率论起源以及公理化后概率论取得哪些突破？P287、P291九

28、、举例说明20世纪下半叶不同分支领域的数学思想与数学方法互相融合导致重大发现的事实。P292-297（1）微分（流形）拓扑与代数拓扑代数几何、多复变函数论、动力系统、偏微分方程与泛函分析、随机分析等等领域十、试述罗素关于集合的悖论。P298罗素的悖论是：以M表示是其自身成员的集合（如一切概念的集合仍是一个概念）的集合，N表示不是其自身成员的集合（如所有人的集合不是一个人）的集合.然后问：集合N是否为它自身的成员？如果N是它自身的成员，则N属于M而不同于N,也就是说N不是它自身的成员；另一方面，如果N不是它自身的成员，则N属于N而不属于M也就是说N是它自身的成员.无论出现哪一种情况，都将导出矛盾

29、的结论.十一、数学基础的三大学派是什么？P300以罗素为代表的逻辑主义；以布劳威尔为代表的直觉主义和以希尔伯特为代表的形式主义.十二、现代数理逻辑的四大分支是什么？P303公理化集合论、证明论、模型论和递归论，第12章20世纪数学概观（II）空前发展的应用数学-、应用数学新时代具有哪几个方面特点？P307309（1）数学的应用突破了传统的范围而向人类几乎所有的知识领域渗透。数学在向外渗透过程中越来越多地与其他领域相结合而形成一系列交叉学科，如（P308）（2）纯粹数学几乎所有的分支都获得了应用，包括一些抽象的分支数学史复习总结整理篇(3)现代数学对生产技术的应用变得越来越直接。(4)现代数学在

30、向外渗透的过程中，产生了一些相对独立的应用学科二、数学向其他科学渗透表现在哪些方面？P30920世纪，数学向绝大部分学科渗透，形成了若干新的交叉学科。如数学物理(P30312)、生物数学(P312-315)与数理经济学(P315-317)等等。而且，这些学科经过发展，又可以细化，如现代生物数学可以按方法论分成三大部门，即生物统计、生物动力系统和生物控制论.(详见P309-317)三、简述数理统计、运筹学、控制论发展过程。P317324四、简述电子计算机的诞生。P325五、计算机对数学的影响表现在哪些方面？P330计算机是数学与工程技术相结合的产物，是抽象数学成果应用的光辉例证。计算机正成为数学

31、研究本身的崭新手段，改变着数学研究的面貌。并为数学的许多分支的理论发展注人了新的活力。可以看到，在不久的将来会出现一个数学研究的新时代，那时，计算机将成为数学研究必不可少的工具第13章20世纪数学概观(III)现代数学成果十例一、简述20世纪十例现代数学成果的内容。P339-3591 .哥德尔不完全性定理2 .高斯一博内公式的推广3 .米尔诺怪球4阿蒂亚一辛格指标定理5孤立子与非线性偏微分方程6四色问题7分形与混沌8有限单群分类9费马大定理的证明10若干著名未决猜想的进展二、庞加莱猜想、哥德巴赫猜想、黎曼猜想的内容是什么？P359庞加莱猜想：任意一个三维的单连通闭流形必与三维球面同胚。哥德巴赫猜想：每个偶数是两个素数和；每个奇数是三个素数之和。黎曼猜想：在带状区域0M仃1中，黎曼，函数，(s)=9士的零点都位于直线仃=上.n=1ns2第14章数学与社会一、为什么说数学的发展与社会的进化之间联系是双向的？P363一方面，数学的发展依赖于社会环境，受着社会经济、政治和文化等诸多因素的影响；另一方面，数学的发展又反过来对人类社会的进步起推动作用，包括对人类物质文明和精神文明两大方面的影响、数学如何促进社会进步？P3633