误差理论与测量平差基础

1、课程结构课程结构1Ch1 绪论绪论v课程基本情况 v教材 误差理论与测量平差基础 误差理论与测量平差基础习题集 武汉大学出版社2Ch1 绪论绪论v怎样学好测量平差怎样学好测量平差预习、复习加习题练习预习、复习加习题练习独立思考并推导公式独立思考并推导公式平差思想和解题思路平差思想和解题思路高数高数 线代线代 概率概率习题练习公式推导数学基础习题练习公式推导平差思想平差思想数学基础3Ch1 绪论绪论v为什么要学测量平差？为什么要学测量平差？ 1. 测量过程中可能会出现 照错目标 读错数 如何避免错误或及时发现错误？ 解决方法：增加多余观测。 2. 有多余观测，如何消除不符，求出最优值？ 4Ch1

2、 绪论绪论测量平差的任务和意义测量平差的任务和意义q 任务 1）消除不符值，寻求未知参数的最佳估值； 2）评定结果的精度。q 意义 所有观测数据只有通过平差才能使用，即测量平差是测绘科学和技术的基础和灵魂。5Ch1 绪论绪论v测量平差的作用和地位测量平差的作用和地位1）解决测量工作中的实际问题，对测量数据进行处理，求出最佳估值。2）是测绘学科的基础理论，是对仪器操作和基本测量方法的主要补充。3）其核心知识是后续专业课程的重要基础，如大地测量、GPS测量原理、变形监测等。4）是测绘工程专业研究生入学考试课程，是硕士和博士阶段的重要课程。6Ch1 绪论绪论v课程结构参见目录7章节章节主要内容主要内

3、容Ch1绪论绪论Ch2- Ch3平差基础知识平差基础知识Ch4 平差基本原则平差基本原则Ch5- Ch8Ch5- Ch8四种经典平差方法四种经典平差方法Ch9平差方法总结平差方法总结Ch10Ch10点位精度讨论点位精度讨论Ch11统计假设检验统计假设检验Ch12Ch12近代平差简介近代平差简介Ch1 绪论绪论v基本概念 误差对未知量进行测量的过程称为观测，测量所得的结果称为观测值。观测值与其真实值（真值）之间的差异称为测量误差或观测误差，通常称真误差，简称误差。 测量平差测量平差是测量数据调整的意思。其定义是，依据某种最优化准则，由一系列带有观测误差的测量数据，求定未知量的最佳估值及精度的理论

4、和方法。81.1 观测误差观测误差 一、误差来源测量仪器：仪器精密度；仪器轴线关系引起。观测者：操作水平，工作态度，使用习惯。外界环境：温度，湿度，风力，大气折光等。91.1 观测误差观测误差二、误差分类 偶然误差在相同误差在大小和符号上表现出偶然性 系统误差误差在大小和符号上表现出系统性，或按一定规律变化 粗差即错误101.1 观测误差观测误差误差名称误差名称误差特点误差特点消除或削弱的办法消除或削弱的办法举例举例偶然误差Random error单个误差没有规律性，整体具有统计规律，服从或近似服从正态分布采用测量平差的方法照准误差对中误差估读误差系统误差Systematic error误差在

5、大小和符号上表现出系统性，或按一定规律变化，或为常数采用适当的观测方法校正仪器计算加改正尺长误差i角误差粗差Gross error即大的偏差或错误重复观测严格检核发现舍弃或重测大数读错输入错误照错目标111.2 测量平差的研究对象测量平差的研究对象研究对象：带有误差的观测值经典测量平差：只含有偶然误差的观测值近代测量平差：观测值除了含有偶然误差，还含有系统误差或粗差，或两种兼有。平差问题的解决思路：121.3 测量平差简史及发展测量平差简史及发展v1794年，C.F. Gauss从概率统计角度提出了最小二乘法v1806年，A.M. Legendre从代数角度提出了最小二乘法v1809年，Gau

6、ss在天体运动的理论一文中发表，称为Gauss- Legendre方法v1912年，A.A. Markov，对最小二乘原理进行了证明，形成数学模型（函数模型+随机模型）v近代发展v现在的国内相关专家1312020)(, 0lim)(PQAXLEnEAXLnPLAPAAXTT1)(1.4 本课程的任务和内容本课程的任务和内容v本书主要为经典测量平差内容，即只讨论带有偶然误差的观测值。（1）偶然误差理论。偶然误差特性，传播；精度指标及估计；权。（2）测量平差的函数模型和随机模型，最小二乘原理。（3）测量平差的基础方法。条件平差，附有未知参数的条件平差，间接平差，附有限制条件的间接平差。平差计算模型

7、及精度评定公式，各种平差方法的概括及联系。（4）测量平差中的统计假设检验方法。1415Ch2 误差分布与精度指标误差分布与精度指标偶然误差的规律性偶然误差的规律性1正态分布正态分布2精度及其衡量精度指标精度及其衡量精度指标3本章总结及习题本章总结及习题4162.1偶然误差的规律性偶然误差的规律性基本假设：基本假设：系统误差已消除，粗差不存在，即观测系统误差已消除，粗差不存在，即观测误差仅为随机误差。误差仅为随机误差。偶然误差：偶然误差：单个误差在误差大小及符号上没有明显单个误差在误差大小及符号上没有明显的规律，表现出随机性，称为偶然误差。但对大的规律，表现出随机性，称为偶然误差。但对大量误差进

8、行统计具有明显的规律。量误差进行统计具有明显的规律。寻找偶然误差之规律性的方法寻找偶然误差之规律性的方法(统计分析统计分析)： 1、统计表、统计表 2、直方图、直方图 3、误差分布、误差分布iiiLL 17统计表统计表误差区间+ +个数K频率K/n(K/n)/d个数K频率K/n(K/n)/d0.000.20450.1260.630460.1280.6400.200.40400.1120.560410.1150.5750.400.60330.0920.460330.0920.4600.600.80230.0640.320210.0590.2950.801.00170.0470.235160.04

9、50.2251.001.20130.0360.180130.0360.1801.201.4060.0170.08550.0140.0701.401.6040.0110.05520.0060.0301.60000000和1811810.5050.5051771770.4950.495o例1：在相同的条件下独立观测了358个三角形的全部内角，三角形内角和应为180度，但由于误差的影响往往不等于180度，计算各内角和的真误差，并按误差区间的间隔0.2秒进行统计。18(K/n)/d00.40.60.8-0.8-0.6-0.4闭合差概率密度函数曲线面积= (K/n)/d* d= K/n所有面积之和=k1

10、/n+k2/n+.=1直方图直方图192.1偶然误差的规律性偶然误差的规律性偶然误差的特性偶然误差的特性由统计分析可以看出，偶然误差具有下列特性：1、有界性：在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值有一定的限值，即超过一定限值的偶然误差出现的概率为零2、聚中性：绝对值较小的偶然误差比绝对值较大的偶然误差出现的概率大；3、对称性：绝对值相等的正负偶然误差出现的概率相同；4、抵偿性：偶然误差的理论平均值为零，即01lim1niiin202.1偶然误差的规律性偶然误差的规律性l例2：在相同的条件下独立观测了421个三角形的全部内角，每个三角形内角之和应等于180度，但由于误差的影响往往不等于180度，计

11、算各内角和的真误差，并按误差区间的间隔0.2秒进行统计。误差区间+个数K频率K/n(K/n)/d个数K频率K/n(K/n)/d0.000.20400.0950.475460.0880.4400.200.40340.0810.405410.0850.4250.400.60310.0740.370330.0690.3450.600.80250.0590.295210.0640.3200.801.00200.0480.240160.0430.2151.001.20160.0380.190130.0400.200.2.402.6010.0020.01020.0050.00252.60000000和21

12、02100.4990.4992112110.5010.50121 频数/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差0.630 频数/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差0.475 频数/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差 00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差提示：观测值定了其分布也就确定了，因此一组观测值对应相同的分布。不同的观测序列，分布不同。但其极限分布均是正态分布。图1图22222221)(efn 频数/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差 00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差22221)

13、(ef 当偶然误差的个数 时，偶然误差出现的频率就趋于稳定。此时，若把偶然误差区间的间隔无限缩小，则直方图将分别变为如图所示的两条光滑的曲线。232.2正态分布正态分布 由概率论知，该曲线是正态分布正态分布的概率分布曲线。高斯在研究误差理论时最先使用了这一分布，所以正态分布又称为高斯分布高斯分布。测量上通常将正态分布作为偶然误差的理论分布。或者说偶然误差服从正态分布。其密度函数为：式中： 和 为参数。,)(21exp21)(22f2.2正态分布正态分布24由密度函数知，偶然误差 为正态随机变量。所以又称偶然误差为随机误差。 下面来看参数 和 是什么。 对正态随机变量 求数学期望： ,)(21e

14、xp21)(22fddfE22)(21exp21)()(2.2正态分布正态分布25作变量代换，令 得因tdttdtttdtttE22221exp221exp221exp)(21)(221exp,021exp22dttdttt2.2正态分布正态分布262.2正态分布正态分布所以再求 的方差 。同样作变量代换，可得：22)(E)(DddfED2222)(21exp)(21)()()(2222)(D27 由以上推导知，参数 和 分别是随机误差 的数学数学期望期望和方差方差。它们确定了正态分布曲线的形状。 由 知，随机误差 的数学期望等于零。 由正态分布知，正态分布曲线具有两个拐点，这两个拐点在横轴上

15、的坐标为 方差的几何意义是：方差是正态分布曲线的拐点横坐方差是正态分布曲线的拐点横坐标。标。01lim)(1niinnE拐282.2正态分布正态分布2.3精度及其衡量精度指标精度及其衡量精度指标 观测值的质量取决于观测误差（偶然误差、系统误差、粗差）的大小。 1、精度：、精度：指误差分布的密集或离散程度，可利用方差指误差分布的密集或离散程度，可利用方差协方差阵描述。协方差阵描述。 2、准确度：、准确度：描述系统误差和粗差，可用观测值的真值描述系统误差和粗差，可用观测值的真值与观测值的数学期望之差来描述，即：与观测值的数学期望之差来描述，即： 3、精确度：、精确度：是精度和准确度的合成，描述偶然

16、误差、是精度和准确度的合成，描述偶然误差、系统误差和粗差的集成，精确度可用观测值的均方误差系统误差和粗差的集成，精确度可用观测值的均方误差来描述，即：来描述，即： 当当 ，即观测值中不存在系统误差和粗差时，即观测值中不存在系统误差和粗差时，亦即观测值中只存在偶然误差时，均方误差就等于方差，亦即观测值中只存在偶然误差时，均方误差就等于方差，此时精确度就是精度。此时精确度就是精度。)(LEL 222)()()(LLELLELMSELLLE)(29精度、准确度和精确度的形象描述精度、准确度和精确度的形象描述2.3精度及其衡量精度指标精度及其衡量精度指标30精度准确度精确度 4、衡量精度的指标、衡量精

17、度的指标 精度虽然可以通过直方图或分布曲线的形状来描精度虽然可以通过直方图或分布曲线的形状来描述，但在实际工作中很麻烦，且不能用一个数字来衡述，但在实际工作中很麻烦，且不能用一个数字来衡量其高低。为此，人们希望通过一个数字来反映偶然量其高低。为此，人们希望通过一个数字来反映偶然误差的离散程度。能反映偶然误差的离散程度的数字误差的离散程度。能反映偶然误差的离散程度的数字称为衡量精度的指标。这样的数字很多，比如：称为衡量精度的指标。这样的数字很多，比如： 4.1、方差和中误差、方差和中误差 设在相同的观测条件下得到一设在相同的观测条件下得到一组独立观测误差组独立观测误差 ，则其方差定义为：，则其方

18、差定义为： ndfEDniin12222lim)()()(i2.3精度及其衡量精度指标精度及其衡量精度指标312.3精度及其衡量精度指标精度及其衡量精度指标 方差的算术平方根定义为中误差，即 在实际工作中，n总是有限的，由有限个观测值的真误差只能求得方差和中误差的估值： 和 nniin12limnnii12nnii12232 4.2、平均误差 设在相同的观测条件下得到一组独立观测误差 ，则其平均误差由 之绝对的数学期望定义，即： 因为 所以 2.3精度及其衡量精度指标精度及其衡量精度指标iindfEniin1lim)()(dfdf)(2)(0547979. 0245253. 1233 由上式知

19、，不同的 ，对应着不同的 ，于是就对应着不同的误差分布曲线。所以平均误差 也可作为衡量精度的指标。 在实际工作中，既可通过以上等量关系来计算平均误差的估值： 也可由下式计算之： 2.3精度及其衡量精度指标精度及其衡量精度指标nnii1nnii12545434 4.3、或然误差 当观测误差出现在 之间的概率等于二分之一时，称 为或然误差（如图），即令 ，则有 由概率积分表可查得，当概率为二分之一时，积分限为0.6745，于是可得中误差与或然误差的理论关系： 2.3精度及其衡量精度指标精度及其衡量精度指标),(21)(df1/41/41/20t212exp212)(2/0dttdf234826.

20、1,326745. 0352.3精度及其衡量精度指标精度及其衡量精度指标 中误差、平均误差和或然误差都可以作为衡量精度的中误差、平均误差和或然误差都可以作为衡量精度的指标，但由于指标，但由于当当n不大时，中误差比平均误差更能反映大误差的影响不大时，中误差比平均误差更能反映大误差的影响中误差具有明确的几何意义（分布曲线的拐点坐标）中误差具有明确的几何意义（分布曲线的拐点坐标）平均误差和或然误差都与中误差存在理论关系平均误差和或然误差都与中误差存在理论关系 所以，世界上各国都采用所以，世界上各国都采用中误差中误差作为衡量精度的指作为衡量精度的指标，我国也统一采用标，我国也统一采用中误差中误差作为衡

21、量精度的指标。作为衡量精度的指标。362.3精度及其衡量精度指标精度及其衡量精度指标4.4、极限误差 由中误差的定义知，中误差是一组同精度观测误差的平方的平均值的平方根的极限。既然是平均值，就会有的观测误差的绝对值比中误差大，有的观测误差的绝对值比中误差小。那么，绝对值比中误差小的观测误差出现的概率是多少？绝对值比中误差大的观测误差出现的概率又是多少呢？由下图，通过积分372.3精度及其衡量精度指标精度及其衡量精度指标 可得观测误差 出现在给定区间 内的概率为：)(kkdkkPkk222exp21)(作变量代换，得k=1，2，3时的概率分别为：%7 .99)33(%5 .95)22(%3 .6

22、8)(PPP 上式表明：绝对值大于中误差的观测误差出现的概率为31.7%；绝对值大于二倍中误差的观测误差出现的概率为4.5%；绝对值大于三倍中误差的观测误差出现的概率仅为0.3%。即观测误差的绝对值一般不会大于三倍中误差。因此，实际工作中通常以三倍中误差作为观测误差的极限，并称为极限误差，用 表示。限384.5、相对误差 观测值的中误差与观测值本身之比，称为相对误差，常用表示 。N12.3精度及其衡量精度指标精度及其衡量精度指标39本章小结本章小结402、一个事实、一个事实 不论观测条件如何，观测误差总是不可避免的。不论观测条件如何，观测误差总是不可避免的。3、基本假设、基本假设 在本课程中，

23、我们假设观测误差为偶然误差，即不在本课程中，我们假设观测误差为偶然误差，即不含系统误差和粗差。换句话说，我们假设观测误差为服含系统误差和粗差。换句话说，我们假设观测误差为服从正态分布的随机误差。从正态分布的随机误差。4、统计规律、统计规律 在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值有一定的在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值有一定的限值，即超过一定限值的偶然误差出现的概率为零；限值，即超过一定限值的偶然误差出现的概率为零；绝对值较小的偶然误差比绝对值较大的偶然误差出现的绝对值较小的偶然误差比绝对值较大的偶然误差出现的概率大；概率大；绝对值相等的正负偶然误差出现的概率相同；绝对值相等的正负偶然误差出现

24、的概率相同；偶然误差的理论平均值为零。偶然误差的理论平均值为零。本章小结本章小结411、几个基本概念及相互关系42Ch3协方差传播律及权协方差传播律及权433.1观测向量及其方差观测向量及其方差协方差阵协方差阵 作为衡量精度的指标，中误差可衡量一组观测值的精度。在实际工作中，我们得到的观测值往往是由多个观测值所构成的观测向量。 因此，需要引入观测向量矩阵和方差协方差矩阵。一、协方差一、协方差 对于变量X、Y，其协方差为：)()()()(XEXYEYEYEYXEXEYXXY44YXXYnYXXY3.1观测向量及其方差观测向量及其方差协方差阵协方差阵二、协方差阵二、协方差阵 设有n维观测向量为 则

25、其方差协方差阵定义为：特点：特点：对称；正定；互不相关时为对角矩阵，对角线元素相等时，为等精度观测。45TnnlllL)(2112222122121211)()(nnnnnlllllllllllllllTnnLLLELLELED3.1观测向量及其方差观测向量及其方差协方差阵协方差阵三、互协方差阵三、互协方差阵 设有两组观测向量为， n维的X，r维的Y。则，它们的互协方差阵为：46rnnnrrYXYXYXYXYXYXYXYXYXXYD212221212111YXZ思考：思考：若求DZZ？3.2协方差传播律协方差传播律1、协方差传播律的作用、协方差传播律的作用 计算观测向量函数的方差协方差矩阵，从

26、而评定观测向量函数的精度。2、预备公式、预备公式当随机变量 两两独立时，有 )()()(, )()(,)(YEXEYXEXCECXECCE)()()()(2121nnXEXEXEXXXEnXXX,21)()()()(2121nnXEXEXEXXXE473.2协方差传播律协方差传播律3、观测向量线性函数的方差、观测向量线性函数的方差 设观测向量X及其期望和方差为：观测向量线性函数为 式中： 为常数。TnTnXEXEXEXEXXXX)()()()(,)(21210kKXZ021,kkkkKnTXXnnnnnTXXDXEXXEXED2212221211221)()(483.2协方差传播律协方差传播律

27、Z的期望为Z的方差为即展开成纯量形式：00)()()(kXKEkKXEZETXXTTTTZZKKDKEXEXXEXKEkXKEkKXkXKEkKXEZEZZEZED)()()()()()()(0000TXXZZKKDD49nnnnnnnnZZkkkkkkkkkD, 111112212222222121222v例题1v例题2v例题3503.2协方差传播律协方差传播律4、多个观测向量线性函数的协方差阵、多个观测向量线性函数的协方差阵 若观测向量的多个线性函数为则令0221120222212121012121111tntntttnnnnkXkXkXkZkXkXkXkZkXkXkXkZ02010102

28、12222111211211,tttnttnnntttkkkKkkkkkkkkkKZZZZ513.2协方差传播律协方差传播律于是，观测向量的多个线性函数可写为 。故有 式中： 为对称方阵。 若还有观测向量的另外r个线性函数 其矩阵形式为：0KKXZTXXZZKKDD0221120222212121012121111rnrnrrrnnnnfXfXfXfYfXfXfXfYfXfXfXfY0FFXYTZZZZDD523.2协方差传播律协方差传播律则有：而同理：TYYTXXrrYYDFFDDTYZTXXrtZYDFKDDTXXTTTTtrYZKFDKEXEXXEXFEkXKEkKXFXFEFFXEZE

29、ZYEYED)()()()()()()(0000533.2协方差传播律协方差传播律5、多个观测向量非线性函数的协方差阵、多个观测向量非线性函数的协方差阵 基本思想：a、用全微分代替全增量，得到函数误差表达式（线性近似）；b、应用协方差传播律。 设观测向量的t个非线性函数为： 对上式求全微分，得nttnnXXXfZXXXfZXXXfZ,212122211154令 则由误差传播定律得： nnttttnnnndXXfdXXfdXXfdZdXXfdXXfdXXfdZdXXfdXXfdXXfdZ22112222112212211111ntttnnntXfXfXfXfXfXfXfXfXfKdXdXdXdX

30、dZdZdZdZ2122212121112121,TXXZZKKDD553.2协方差传播律协方差传播律v由以上推导知，求非线性函数的方差协方差矩阵比求线性函数的方差协方差矩阵只多一个求全微分的步骤。v例题6v例题7566、应用协方差传播律时应注意的问题、应用协方差传播律时应注意的问题（1）根据测量实际，正确地列出函数式；（2）全微分所列函数式，并用观测值计算偏导数值；（3）计算时注意各项的单位要统一；（4）将微分关系写成矩阵形式；（5）直接应用协方差传播律，得出所求问题的方差协方差矩阵。3.2协方差传播律协方差传播律573.2协方差传播律协方差传播律v协方差传播律的应用1、水准测量的精度2、算

31、术平均值的精度3、若干独立误差的联合影响4、平面控制点的点位精度点位方差：58222222222SSuSyxp权的概念权的概念权是表征精度的相对指标，指观测值所占的比重，精度越高，比重越大。权的定义权的定义权与方差成反比权的意义，不在于其数值的大小，重要的是它们之间的比例关系。示例示例1220iip3.3权及定权的常用方法权及定权的常用方法592222122022202120211:1:1:nnnppp3.3权及定权的常用方法权及定权的常用方法权的特点权的特点（1）选定一个 ，即有一组对应的权；（2） 不同，权不同，但权之间的比值不变；（3）同一个问题中只能选一个 ，不能选多个，否则就破坏了权

32、之间的比例关系。（4）只要事先给定观测条件，就可确定权的数值。单位权中误差的概念单位权中误差的概念 权为1的观测值所对应的中误差，称为单位权中误差，即 。 6000003.3权及定权的常用方法权及定权的常用方法 定权的常用方法定权的常用方法1、水准测量的权1）按测站数确定2）按路线长度确定2、同精度观测值之算术平均值的权61iiNCp nnNNNppp1:1:1:2121nnSSSppp1:1:1:2121CNpiiN：每段路线的测站数S：各水准路线的长度N：观测值的观测次数1、协因数与协因数阵、协因数与协因数阵 协因数即为权倒数。3.4协因数和协因数传播律协因数和协因数传播律622021ii

33、iipQXXXXDQ201XXXXQD20nnnnnnXXQQQQQQQQQQ212222111211特点：I 对称，对角元素为权倒数 II 正定 III 各观测量互不相关时，为对角矩阵。当为等精度观测，为单位阵。3.4协因数和协因数传播律协因数和协因数传播律即有：协因数阵也称为权逆阵。63nnLLLLPPPDQ1.00.0.10.01.000.0.012120220222021201,LLLLLLLLQPQPnLLPPPP.00.0.0.0213.4协因数和协因数传播律协因数和协因数传播律2、协因数传播律、协因数传播律称为协因数传播律，或权逆阵传播律。与协方差传播律合称为广义传播律。3、权倒

34、数传播律、权倒数传播律64TXXZZKKQQ0KKXZ0FFXYTYYTXXrrYYQFFQQTYZTXXrtZYQFKQQnnZnPLfPLfPLfPLLLfZ1)(1)(1)(1),(2222121213.4协因数和协因数传播律协因数和协因数传播律全微分例题10 ：算术平均值之权等于观测值之权的n倍。 例题11 ：带权平均值的权等于各观测值权之和。例题12： 65nnZpkpkpkpKdLdZ11112222121nppXniiXpp121KXZFXYTXXYZKFQQ214、单位权中误差的计算、单位权中误差的计算 用不同精度的真误差计算单位权中误差的公式如下： 实际应用1）由三角形闭合差

35、求测角中误差66npniiin120limnpniii120nniin12lim3nnii312菲列罗公式本章小结：本章小结：1、方差、方差协方差矩阵的定义协方差矩阵的定义2、协方差传播律、协方差传播律（线性和非线性）3、应用协方差传播律所应注意的问题、应用协方差传播律所应注意的问题4、权与定权的常用方法、权与定权的常用方法5、协因数和协因数传播律、协因数和协因数传播律TXXnnnnnXXDD2212221211221TXXZZKKDDCh3协方差传播律及权协方差传播律及权67 测试题测试题3-1 已知单位权方差为 、观测值 的权矩阵为试求：1、 的方差2、 的方差3、 与 的协方差42020

36、0042026P523211LLLF22F2F1F21FF12310,10,5LLL2222112132233111111105510510FLL LL LLL LL68测试题测试题3-2 某地块由一梯形和一个半圆形组成，如图所示。已知观测值a=12m、b=8m、c=10m的方差协方差矩阵为：试求该地块的面积S的方差 。（注：取 ）2S32401103110000114LLDm6970711平差函数模型平差函数模型2平差数学模型平差数学模型3参数估计与参数估计与最小二乘最小二乘条件平差间接平差附参数条件平差附条件间接平差随机模型函数模型函数模型线性化参数估计最优估计的性质最小二乘原理Ch4最小

37、二乘原理最小二乘原理724.1平差函数模型平差函数模型函数模型函数模型 描述观测量与未知量间的数学函数关系的模型 目的：最优估计函数模型的未知量 函数模型如何构造？必要观测、多余观测必要观测、多余观测1 1）确定平面三角形的形状）确定平面三角形的形状观测三个内角的任意两个即可,称其必要元素个数为2，必要元素有 种选择23C73必要观测、多余观测必要观测、多余观测2）确定平面三角形的形状与大小6个元素中必须有选择地观测三个内角与三条边的三个元素，因此，其必要元素个数为3。任意2个角度+1个边、2个边+1个角度、三个边。4.1平差函数模型平差函数模型s1s3s274必要观测、多余观测必要观测、多余

38、观测3）确定如图四点的相对高度关系必须有选择地观测6个高差中的3个，其必要元素个数为3。h1、h5、h6或h1、h2、h3或h1、h2、h4等ADCBh1h6h5h2h4h34.1平差函数模型平差函数模型必要观测必要观测: 能够唯一确定一个几何模型所必要的观测 一般用t表示。特点: 给定几何模型，必要观测及类型即定，与观测无关。 必要观测之间不能有任何函数关系，即相互独立。75多余观测: 观测值的个数n与必要观测个数t之差 一般用r表示，r=n-t。观测值: 为了确定几何模型中各元素的大小进行的实际 观测，称为观测值，观测值的个数一般用n表示。nt,，可以确定模型，还可以发现粗差。4.1平差函

39、数模型平差函数模型必要观测可以唯一确定模型，其相互独立。可见若有多余观测必然可用这t个元素表示，即形成r个条件。123tnrtn180ADCBh1h6h5h2h4h3336tnrtn0621hhh0432hhh0546hhh实际上：1801804.1平差函数模型平差函数模型77函数模型函数模型1 1、条件平差、条件平差 以条件方程为平差函数模型的平差方法2 2、间接平差、间接平差 以观测方程为平差函数模型11010rrnnrALA1110rrnnrWA111nttnndXBL111nttnnlxB或或4.1平差函数模型平差函数模型784.1平差函数模型平差函数模型3 3、附有参数的条件平差、附

40、有参数的条件平差 以含有参数的条件方程为平差函数模型4 4、附有条件的间接平差、附有条件的间接平差 以观测方程和约束参数的条件方程为平差函数模型110110ccuucnncAXBLAtusWxClxBVsxsusnuunn,01111111110ccuucnncWXBA或条件方程的综合形式为：条件方程的综合形式为：),(1 ,1 ,1 ,uncXLFF 为了线性化，取X的近似值：0X取 的初值： LLxXX0LL将F按台劳级数在X0，L处展开，并略去二次以及以上项：4.2平差数学模型平差数学模型非线性函数线性化非线性函数线性化xXFLFXLFxXLFFXLXL00,0),(),(0,21222

41、1212111,XLnnnnnncLFLFLFLFLFLFnLFLFLFLFA0,212221212111,XLunnnuuucXFXFXFXFXFXFXFXFXFXFBBxAXLFxXLFF),(),(0模型形式与线性函数类似。81用平差值代替真值11010rrnnrALA1110rrnnrWVA11110ccuucnncWxBVA111nttnnlxBVtusWxClxBVsxsusnuunn,01111112020PQD4.2平差数学模型平差数学模型824.2平差数学模型平差数学模型平差数学模型是平差函数模型和随机模型的综合体。表达模型并用于求未知量最佳估值用于评定精度方差 协方差4.3

42、参数估计与最小二乘参数估计与最小二乘v不论何种平差方法，平差最终目的都是对参数和观测量作出某种估计，并评定其精度，统称为对平差模型的参数进行估计。一、参数估计测量平差的参数估计，是要在众多的解中，找出一个最为合理的解，作为最终估计。最终估计值应具有最优的统计性质。834.3参数估计与最小二乘参数估计与最小二乘二、最优估计的性质1、无偏性 为参数 的估计量，若有 则称 是 的无偏估计量2、一致性 若估计量同时满足 则称 是 的严格一致估计量)(E1)(limP0)(lim)(2EEn844.3参数估计与最小二乘参数估计与最小二乘3、有效性 若 是 的无偏估计，具有无偏性的估计量并不唯一。如果对于

43、两个无偏估计量 和 ，有 则称 比 有效。 若 此时为最有效估计量。12)()(21DD12min)(D854.3参数估计与最小二乘参数估计与最小二乘三、最小二乘原理例：作匀速运动的质点在时刻 的位置是 ，函数如下： 在不同时刻 测定质点位置，得一组观测值 由运动方程可得： 或用图解表示如图： yyYXBVn.,21nyyy.,21iiiyvoyiiyy864.3参数估计与最小二乘参数估计与最小二乘 从图中看到，由于存在观测误差，由观测数据绘出的点不成直线。 采用什么准则对参数 和 进行估计，从而使估计直线最佳地拟合于观测点？ 一般应用的是最小二乘原理，使各观测点到该曲线的偏差的平方和达到最小

44、，即： 或 或 满足上式的估计称为最小二乘估计，此方法称为最小二乘法。min12niiVminVVTminPVVT8788Ch5 条件平差条件平差条件平差原理条件平差原理条件方程的列立条件方程的列立条件平差精度评定条件平差精度评定公式汇编及示例公式汇编及示例89v在测量中，为了能及时发现错误和提高测量成果的精度，常做多余观测。v如果一个几何模型中有r个多余观测，就产生了r个条件方程，以条件方程为函数模型的平差方法，就是条件平差。5.1条件平差原理条件平差原理905.1条件平差原理条件平差原理v函数模型 或v随机模型v未知数个是n，由于nr，所以条件方程是不定方程，如何求解？v平差准则 1101

45、0rrnnrALA1110rrnnrWVA0ALAW12020PQDminTPVV如何求如何求V值？值？915.1条件平差原理条件平差原理一、基础方程及其解一、基础方程及其解按求函数极值的拉格朗日乘数法，构造新函数求偏导，并令其等于0，以获得极值 导出 改正数方程1、基础方程 )(2WAVKPVVTT022AKPVdVdTTKQAVTKQAVWAVT0（1） 两式称为条件平差的基础方程（2）n+r 个方程，n+r个未知数925.1条件平差原理条件平差原理2、法方程及其组成 令3、求解并计算观测量最佳估值01WKAAPT0WKNaa则上式变为：TTaaAAPAQAN1解出2WNKaa1代人改正数

46、方程求出VVLL935.1条件平差原理条件平差原理二、条件平差的求解步骤二、条件平差的求解步骤 （1）分析问题，根据具体问题列条件方程r个； （2）组成法方程，个数r个 ； （3）解法方程，求出联系数K； （4）将K代人改正数方程，求出V； （5）求观测值的平差值 （6）检核。945.1条件平差原理条件平差原理三、实例练习三、实例练习 水准网如右图：观测值及其权阵如下： mTL216. 1099. 0078. 0142. 1114. 1023. 05 . 25 . 25 . 2111diagP 955.1条件平差原理条件平差原理解：分析问题条件方程 法方程法方程的解04321011001100

47、10011001654321vvvvvv0432922292229321kkk11611504329222922291321kkk965.1条件平差原理条件平差原理按（5）求改正数V：求观测值的平差值：检核：2 . 09 . 01 . 17 . 23 . 2011611501100111011000100015 . 20000005 . 20000005 . 200000010000001000000111KAPVTTVLL2162. 10999. 00769. 01393. 11163. 10230. 000769. 01393. 12162. 102162. 10999. 01163. 1

48、00999. 00769. 00230. 0436652641LLLLLLLLL975.2 条件方程的列立条件方程的列立列条件方程的原则1、足数；2、独立；3、最简如何列立如何列立条件方程？条件方程？首先确定条件方程的个数分析：n=9 t=4 r = n-t =9-4=5985.2 条件方程的列立条件方程的列立水准网水准网三角网三角网(测角网测角网)三边网三边网(测边网测边网)GPS基线向量网基线向量网单一附合导线单一附合导线995.2 条件方程的列立条件方程的列立水准网的条件方程v水准网的分类及水准网的基准水准网的分类及水准网的基准 有已知点和无已知点两类。要确定各点的高程，需要1个高程基准

49、。v水准网中必要观测数水准网中必要观测数t的确定的确定（保证足数） 有已知点：t等于待定点的个数 无已知点： t等于总点数减一v水准网中条件方程的分类水准网中条件方程的分类 附合条件和闭合条件两类 已知点个数大于1：存在附合和闭合两类条件 已知点个数小于等于1：只有闭合条件1005.2 条件方程的列立条件方程的列立v 水准网中条件方程的列立方法水准网中条件方程的列立方法（1）先列附合条件，再列闭合条件；（2）附合条件按测段少的路线列立，附合条件的个数等于已知点的个数减一；（3）闭合条件按小环列立（保证最简），对于无重叠图形的水准网，网中有多少个小环，就列多少个闭合条件；（4）对于有重叠图形的水

50、准网，可先拿掉造成重叠图形的观测值，变为（3）中的情况，然后再加上拿掉的观测值，每加一个观测值就加一个包含此观测值的条件。 在水准网条件平差中，按以上方法列条件方程，一定能满足所列条件方程足数、独立、最简的原则。1015.2 条件方程的列立条件方程的列立v水准网条件方程列立举例水准网条件方程列立举例1025.2 条件方程的列立条件方程的列立1035.2 条件方程的列立条件方程的列立104三角网三角网(测角网测角网)的条件方程的条件方程v 三角网的观测值三角网的观测值 三角网的观测值很简单，全部是角度观测值。v 三角网的作用三角网的作用 确定待定点的平面坐标。v 三角网的类型三角网的类型 单三角

51、形、大地四边形、中点多边形、组合图形v 三角网的基准数据三角网的基准数据 在三角测量中，要确定各三角点的平面坐标，必须先建立平面坐标系。在平面坐标系中，只要已知任意一个点的坐标、任意一条边的方位角和任意一条边的边长，那么，这个平面图形在平面坐标系中的位置、大小和方向就唯一地确定了。因此，三角测量中的基准数据为：位置基准 2个（任意一点的坐标 ）、方位基准 1个（任意一条边的方位角 ）以及长度基准 1个（任意一条边的边长 ）。这四个基准数据等价于已知两个点的坐标。00, yx00S105三角网三角网(测角网测角网)的条件方程的条件方程v 三角网中必要观测数三角网中必要观测数 t 的确定的确定 有

52、足够的基准数据：t =2m，m为待定点点数； 无足够的基准数据：t =2（z -2）, z为三角网中的总点数。v 三角网中条件方程的类型三角网中条件方程的类型 图形条件（内角和条件）：图形条件（内角和条件）：三角形三内角和等于180度； 圆周条件（水平条件）：圆周条件（水平条件）：圆周角等于360度； 方位角条件：方位角条件：由一个已知方位角推至另一已知方位角； 极条件（边长条件）：极条件（边长条件）：由不同推算路线得到的同一边的边长相等。106三角网三角网(测角网测角网)的条件方程的条件方程7、三角网中条件方程的列立举例、三角网中条件方程的列立举例图1中，n=3，t=2，r=1，即一个图形条

53、件。图2中，n=8，t=4，r=4，即三个图形条件，一个极条件。107三角网三角网(测角网测角网)的条件方程的条件方程 图3中，n=15,t=8,r=15-8=7，即5个图形条件，一个圆周条件，一个极条件。 由以上三例知，三角形只有图形条件；大地四边形有图形条件和极条件两类条件；只有中点多边形才有全部的三类条件。108三角网三角网(测角网测角网)的条件方程的条件方程v 用一般符号列出图4的条件方程：n=33109三边网三边网(测边网测边网)的条件方程的条件方程 三边网(测边网)的条件方程1、三边网的观测值、三边网的观测值 三边网的观测值也很简单，全部是边长观测值。2、三边网的作用、三边网的作用

54、 也是确定待定点的平面坐标。3、三边网的类型、三边网的类型 单三边形、大地四边形、中点多边形、组合图形4、三边网的基准数据、三边网的基准数据 三边网与三角网的区别是观测值。由于在三边测量中，观测值中带有长度基准。所以，三边测量中不需要长度基准。因此三边网的基准数据为：位置基准 2个（任意一点的坐标 ）、方位基准 1个（任意一条边的方位角 ），即三个基准。00, yx0110三边网三边网(测边网测边网)的条件方程的条件方程5、三边网中必要观测数、三边网中必要观测数 t 的确定的确定 有足够的基准数据：t =2m，m为待定点点数； 无足够的基准数据：t =2z - 3, z为三角网中的总点数。 单

55、三角形： t =2 3 3=3，而n=3，故r=n-t=3-3=0 大地四边形：t =2 4 3=5，而n=6，故r=n-t=6-5=1 中点N边形： t =2（N+1） 3=2N-1，而n=2N，故r=n-t=2N-2N+1=1。 以上各式表明：在测边网中，单三角形不存在条件，大地四边形和中点多边形都只一个条件。故测边网中条件方程的个数等于大地四边形和中点多边形的个数之和。6、三边网中条件方程的列立、三边网中条件方程的列立 可按角度闭合、也可按边长闭合、还可按面积闭合列立。 按角度闭合：按角度闭合：0321111GPS基线向量网三维无约束平差条件方程基线向量网三维无约束平差条件方程1、GPS

56、基线向量网的观测值：基线向量网的观测值： 一条基线三个观测值，他们是 ,n=3s，s是基线数。2、GPS基线向量网三维无约束平差的基准及必要观测数基线向量网三维无约束平差的基准及必要观测数t 三个坐标基准x、y、z 。必要观测数为t=3(m-1) ，m 为总点数。所以条件方程的个数为：r=3（s-m）+33、GPS基线向量网三维无约束平差的条件方程的列立基线向量网三维无约束平差的条件方程的列立 按三角形列条件方程，每个三角形中应保证至少有一条基线是新基线，如此列立，可保证足数、独立、最简的原则。ijijijzyx,112GPS基线向量网三维无约束平差条件方程基线向量网三维无约束平差条件方程4、

57、 GPS基线向量网三维无约束平差条件方程列立举例基线向量网三维无约束平差条件方程列立举例 图1图2图1中r =3（3-3）+3=3，即三个条件方程。这三个条件方程如下：图2中，r=3（6-4）+3=9，即9个条件方程。 )()()(CABCABzzzCABCAByyyCABCABxxxzzzvvvyyyvvvxxxvvvCABCABCABCABCABCAB113GPS基线向量网三维无约束平差条件方程基线向量网三维无约束平差条件方程4、 GPS基线向量网三维无约束平差条件方程列立举例基线向量网三维无约束平差条件方程列立举例n = 3*22=66，t = 3*（9-1）=24，r =3（22-9）

58、+3= 42114单一附合导线单一附合导线1、导线的观测值、导线的观测值 导线的观测值由角度和边长两类观测值组成。2、单一附合导线的形状、单一附合导线的形状3、单一附合导线的必要观测数、单一附合导线的必要观测数 t =2m，m为待定点点数。已知控制点待定控制点115单一附合导线单一附合导线4、单一附合导线的条件方程个数、单一附合导线的条件方程个数观测值的个数：角度m+2个；边长m+1个；观测值总数 n=2m+3个。条件方程个数： r = n-t = 2m+3- 2m=3即不论待定点点数m为多少，单一附合导线的条件方程个数固定为3。5、单一附合导线的条件方程、单一附合导线的条件方程一个方位角条件

59、两个坐标条件 21221180)2(0miBBiAAmmwwvvv001111miBiAmiBiAyyyxxx116非线性条件方程的线性化非线性条件方程的线性化1、问题的提出 由前面列出的条件方程知，水准网平差、三维无约束平差中的条件方程，以及三角网平差中的图形条件和圆周条件、单导线中的方位角条件等都是线性方程。而极条件、坐标条件等都是非线性条件。因为条件平差中要求条件方程必须为线性形式，所以，平差前必须将非线性条件转化为线性条件。这一转化工作称为非线性条件方程的线性化。非线性条件方程的线性化。2、线性化的方法 将非线性条件方程按台劳级数展开，略去二阶以上各项，即得条件方程的线性形式。117非

60、线性条件方程的线性化非线性条件方程的线性化 设非线性条件方程为： 为了将其按台劳级数展开，将观测值的平差值写为观测值加改正数的形式，即： 于是，有令0),(21nLLLiiivLL0),(),(),(2211212211212211nnLLnLLLLnnnnLvLvLLLLvLvLvLLLLiiLLiinLhLLLw21, ),(118非线性条件方程的线性化非线性条件方程的线性化 于是，非线性条件方程 的线性形式为： 3、几种非线性条件方程的线性形式极条件：极条件：在图5-4中，极条件为线性化得：0),(21nLLL02211wvhvhvhnn1sinsinsinsinsinsin321321