第3章 数控机床加工控制原理

1、 3.1 3.1 数控装置的工作过程数控装置的工作过程3.2 3.2 插补原理插补原理3.3 3.3 刀具补偿原理刀具补偿原理3.4 3.4 进给速度控制原理进给速度控制原理 3.1 3.1 数控装置的工作过程数控装置的工作过程 在在CNCCNC机床上，加工过程中的人工操作均被数控系统机床上，加工过程中的人工操作均被数控系统所取代。在进行零件加工前，首先根据零件图纸要求编写所取代。在进行零件加工前，首先根据零件图纸要求编写零件数控加工程序，并通过键盘、纸带阅读机或计算机通零件数控加工程序，并通过键盘、纸带阅读机或计算机通信接口等把数控加工程序输入给数控装置的内部存储器中。信接口等把数控加工程序

2、输入给数控装置的内部存储器中。加工控制信息输入后，可选择加工控制信息输入后，可选择MDIMDI方式或自动方式，启动方式或自动方式，启动加工运行时，数控装置在系统控制程序的作用下，对输入加工运行时，数控装置在系统控制程序的作用下，对输入的零件加工程序进行译码、刀补计算、坐标变换等预处理。的零件加工程序进行译码、刀补计算、坐标变换等预处理。经过译码后，零件加工程序中的几何数据和工艺数据以统经过译码后，零件加工程序中的几何数据和工艺数据以统一格式被存放到译码结果缓冲区中，用于控制刀具相对工一格式被存放到译码结果缓冲区中，用于控制刀具相对工件的运动路径，加工出图纸要求的零件几何形状；零件加件的运动路径

3、，加工出图纸要求的零件几何形状；零件加工程序中的主轴起工程序中的主轴起/ /停、刀具选择和交换等开关命令输出停、刀具选择和交换等开关命令输出被存放到被存放到CNCCNC装置与装置与PLCPLC接口信息缓冲区中，用于控制机床接口信息缓冲区中，用于控制机床的辅助动作。的辅助动作。 综上所述，可以归纳出零件加工程序段在综上所述，可以归纳出零件加工程序段在CNCCNC装置内装置内部的六个处理步骤，其顺序是输入部的六个处理步骤，其顺序是输入译码译码刀具补偿刀具补偿进进给速度处理给速度处理插补插补位置控制。位置控制。 （一）译码（一）译码 译码程序的主要功能是将用文本格式（通常用译码程序的主要功能是将用文

4、本格式（通常用ASCIIASCII码）表达的零件加工程序以程序段为单位转换成后续程序码）表达的零件加工程序以程序段为单位转换成后续程序所要求的数据结构（格式）。该数据结构用来描述一个程所要求的数据结构（格式）。该数据结构用来描述一个程序段解释后的数据信息。它主要包括：序段解释后的数据信息。它主要包括：X X、Y Y、Z Z等坐标值等坐标值；进给速度；主轴转速；进给速度；主轴转速；G G代码；代码；M M代码；刀具号；子程序代码；刀具号；子程序处理和循环调用处理等数据或标志的存放顺序和格式。处理和循环调用处理等数据或标志的存放顺序和格式。 在程序中一般都有若干个程序缓冲区组，当前程序段在程序中一

5、般都有若干个程序缓冲区组，当前程序段被解释完后便将该段的数据信息送人缓冲区组中空闲的一被解释完后便将该段的数据信息送人缓冲区组中空闲的一个。后续程序从该缓冲区中获取程序信息进行工作。个。后续程序从该缓冲区中获取程序信息进行工作。 （二）刀补处理（计算刀具中心轨迹）（二）刀补处理（计算刀具中心轨迹） 用户零件加工程序通常是按零件轮廓编制的，而数控用户零件加工程序通常是按零件轮廓编制的，而数控机床在加工过程中控制的刀具中心轨迹，因此，在加工前机床在加工过程中控制的刀具中心轨迹，因此，在加工前必须将零件轮廓变换成刀具中心的轨迹。刀补处理就是完必须将零件轮廓变换成刀具中心的轨迹。刀补处理就是完成这种转

6、换的程序，它主要进行以下几项工作：成这种转换的程序，它主要进行以下几项工作： 根据绝对坐标（根据绝对坐标（G90G90）或增量坐标（）或增量坐标（G91G91）计算零件轮廓）计算零件轮廓 的终点坐标值；的终点坐标值； 根据刀具半径和刀具半径补偿的方向（根据刀具半径和刀具半径补偿的方向（G41/42G41/42）计算刀）计算刀 具半径补偿后本段刀具中心轨迹的终点坐标值；具半径补偿后本段刀具中心轨迹的终点坐标值； 根据本段与前段的连接关系进行段间连续处理。根据本段与前段的连接关系进行段间连续处理。 经刀补处理程序转换的数据存放在刀补缓冲区中，以经刀补处理程序转换的数据存放在刀补缓冲区中，以供后续程

7、序之用。刀补缓冲区与译码缓冲区结构相似。供后续程序之用。刀补缓冲区与译码缓冲区结构相似。 （三）速度预处理（三）速度预处理 该程序主要功能是根据加工程序给定的进给速度，计该程序主要功能是根据加工程序给定的进给速度，计算在每个插补周期内的合成移动量，供插补程序使用。速算在每个插补周期内的合成移动量，供插补程序使用。速度处理程序主要完成以下几步计算：度处理程序主要完成以下几步计算： 1 1、计算本段总位移量、计算本段总位移量 对直线则计算其合成位移量；对圆弧就计算其总角位移对直线则计算其合成位移量；对圆弧就计算其总角位移量。这个数据供插补程序判断减速起点或终点判断之用。量。这个数据供插补程序判断减

8、速起点或终点判断之用。2 2、计算每个插补周期内的合成进给量、计算每个插补周期内的合成进给量 L=Ft/60 L=Ft/60（mm）式中，式中，F F进给速度值（进给速度值（mm/minmm/min） t t数控系统的插补周期（数控系统的插补周期（msms） 经速度预处理程序转换的数据存放在插补缓冲区中，经速度预处理程序转换的数据存放在插补缓冲区中，以供插补程序之用。以上二步有时统称为插补预处理。以供插补程序之用。以上二步有时统称为插补预处理。 （四）插补计算（四）插补计算 插补的任务是通过插补计算程序在已知的有限信息基插补的任务是通过插补计算程序在已知的有限信息基础上进行础上进行“数据点的密

9、化数据点的密化”工作，即在给定运动轨迹的起工作，即在给定运动轨迹的起点和终点之间插入一些中间点。在闭环和半闭环控制的数点和终点之间插入一些中间点。在闭环和半闭环控制的数控系统中，插补计算一般分两步完成：控系统中，插补计算一般分两步完成：第一步粗插补，将加工轮廓根据进给速度按插补周期分割第一步粗插补，将加工轮廓根据进给速度按插补周期分割成若干微小程序段；成若干微小程序段；第二步精插补，对粗插补输出的微小直线段进一步细化，第二步精插补，对粗插补输出的微小直线段进一步细化，以脉冲形式输出。以脉冲形式输出。 （五）位置控制处理（五）位置控制处理 位置控制处理主要进行各进给轴跟随误差（位置控制处理主要进

10、行各进给轴跟随误差（x3x3，y3y3）的计算，并进行调节处理，其输出为）的计算，并进行调节处理，其输出为位移速度控制指令（位移速度控制指令（vxvx，vyvy）。（）。（vxvx，vyvy）送给伺）送给伺服驱动单元控制电机驱动两执行部件以某一速度移服驱动单元控制电机驱动两执行部件以某一速度移动一个距离，以实现动一个距离，以实现CNCCNC装置的轨迹控制。装置的轨迹控制。 位置控制完成以下几步计算：位置控制完成以下几步计算：（1 1）计算新的位置指令坐标值）计算新的位置指令坐标值 (2) (2) 计算新的位置实际坐标值计算新的位置实际坐标值 (3) (3) 计算跟随误差（指令位置计算跟随误差（

11、指令位置- -实际位置）实际位置） (4) (4) 计算速度指令值计算速度指令值（六）输入（六）输入/输出（输出（I/O）处理）处理 I/O处理主要是利用处理主要是利用PLC处理处理CNC装置和机床装置和机床之间来往信号的输入之间来往信号的输入/输出控制输出控制（七）显示（七）显示 CNC装置的显示主要是为操作者提供方便，通装置的显示主要是为操作者提供方便，通常显示有：零件加工程序、参数设置、刀具位置、常显示有：零件加工程序、参数设置、刀具位置、机床状态、报警、刀具加工轨迹动态模拟以及在线机床状态、报警、刀具加工轨迹动态模拟以及在线编程时的图形等。编程时的图形等。（八）诊断（八）诊断 诊断是指

12、诊断是指CNC装置利用内装诊断程序进行装置利用内装诊断程序进行自诊断，主要有起动诊断和在线诊断。自诊断，主要有起动诊断和在线诊断。v起动诊断是指起动诊断是指CNC装置每次从通电开始进入正常装置每次从通电开始进入正常的运行准备状态中，系统相应的内装诊断程序通的运行准备状态中，系统相应的内装诊断程序通过扫描自动检查系统硬件、软件及有关外设是否过扫描自动检查系统硬件、软件及有关外设是否正常。正常。v在线诊断是指在系统处于正常运行状态中，由系在线诊断是指在系统处于正常运行状态中，由系统相应的内装诊断程序，通过定时中断周期扫描统相应的内装诊断程序，通过定时中断周期扫描检查系统本身以及外设。检查系统本身以

13、及外设。3.2 3.2 插补原理插补原理3.2.1 3.2.1 概述概述（一）插补的概念（一）插补的概念 所谓插补就是根据给定进给速度和给定轮廓线所谓插补就是根据给定进给速度和给定轮廓线形的要求，在轮廓的已知点之间，确定一些中间点形的要求，在轮廓的已知点之间，确定一些中间点的方法，这种方法称为插补方法或插补原理。而对的方法，这种方法称为插补方法或插补原理。而对于每种方法称之为插补算法。于每种方法称之为插补算法。 插补功能是轮廓控制系统的本质特征。因此，插补功能是轮廓控制系统的本质特征。因此，插补算法的优劣将直接影响插补算法的优劣将直接影响CNCCNC系统的性能指标。系统的性能指标。 （二）评价

14、插补算法的指标（二）评价插补算法的指标1 1、稳定性指标、稳定性指标 插补算法稳定的充分必要条件是在插补运算过程中，插补算法稳定的充分必要条件是在插补运算过程中，其舍入误差和计算误差不随迭代次数的增加而累积。其舍入误差和计算误差不随迭代次数的增加而累积。2 2、插补精度指标、插补精度指标 插补精度指插补轮廓与给定轮廓的符合程度，它可用插补精度指插补轮廓与给定轮廓的符合程度，它可用插补误差来评价。插补误差包括：逼近误差（指用直线逼插补误差来评价。插补误差包括：逼近误差（指用直线逼近曲线时产生的误差）、计算误差和圆整误差。其中，逼近曲线时产生的误差）、计算误差和圆整误差。其中，逼近误差和计算误差与

15、插补算法密切相关。因此，应尽量采近误差和计算误差与插补算法密切相关。因此，应尽量采用上述两误差较小的插补算法。一般要求上述三误差的综用上述两误差较小的插补算法。一般要求上述三误差的综合效应不大于系统的最小设定单位或脉冲当量值。合效应不大于系统的最小设定单位或脉冲当量值。3 3、合成速度的均匀性指标、合成速度的均匀性指标 合成速度的均匀性指插补运算输出的各轴进给量，经合成速度的均匀性指插补运算输出的各轴进给量，经运动合成的实际速度与给定的进给速度的符合程度。为了运动合成的实际速度与给定的进给速度的符合程度。为了描述这种符合程度，引入速度不均匀性系数：描述这种符合程度，引入速度不均匀性系数： %1

16、00FFFC式中，式中，F F给定的进给速度；给定的进给速度； FCFC实际合成进给速度。实际合成进给速度。 4 4、插补算法要尽可能简单，要便于编程、插补算法要尽可能简单，要便于编程（三）插补方法的分类（三）插补方法的分类 目前常用的各种插补算法大致分为两类：目前常用的各种插补算法大致分为两类： 1 1、脉冲增量插补（基准脉冲插补、行程标量插补）、脉冲增量插补（基准脉冲插补、行程标量插补） （1 1）每次插补的结果仅产生一个单位的行程增量（一个）每次插补的结果仅产生一个单位的行程增量（一个脉冲当量），以一个脉冲的方式输出给步进电机。其基本脉冲当量），以一个脉冲的方式输出给步进电机。其基本思想

17、是：用折线来逼近曲线（包括直线）。思想是：用折线来逼近曲线（包括直线）。（2 2）插补速度与进给速度密切相关，而且还受到步进电）插补速度与进给速度密切相关，而且还受到步进电机最高运行频率的限制。机最高运行频率的限制。（3 3）脉冲增量插补的实现方法较简单，通常仅用加法和）脉冲增量插补的实现方法较简单，通常仅用加法和移位运算方法就可完成插补。移位运算方法就可完成插补。2 2、数字增量插补（数据采样插补、时间标量插补）、数字增量插补（数据采样插补、时间标量插补） （1 1）插补程序以一定的时间间隔定时（插补周期）运行）插补程序以一定的时间间隔定时（插补周期）运行，在每个周期内根据进给速度计算出各坐

18、标轴在下一插补，在每个周期内根据进给速度计算出各坐标轴在下一插补周期内的位移增量（数字量）。其基本思想是：用直线段周期内的位移增量（数字量）。其基本思想是：用直线段（内接弦线、内外均差弦线、切线）来逼近曲线（包括直（内接弦线、内外均差弦线、切线）来逼近曲线（包括直线）。线）。 （2 2）插补运算速度与进给速度无严格的关系，因而采用）插补运算速度与进给速度无严格的关系，因而采用这类插补算法时，可达到较高的进给速度。这类插补算法时，可达到较高的进给速度。 （3 3）数字增量插补的实现算法较脉冲增量插补复杂，它）数字增量插补的实现算法较脉冲增量插补复杂，它对计算机的运算速度有一定要求，不过现在的计算

19、机均能对计算机的运算速度有一定要求，不过现在的计算机均能满足它的要求。满足它的要求。 二、脉冲增量插补二、脉冲增量插补 这类插补算法有逐点比较法、最小偏差法、数字积分这类插补算法有逐点比较法、最小偏差法、数字积分法、目标点跟踪法、单步追踪法等，它们主要用在采用步法、目标点跟踪法、单步追踪法等，它们主要用在采用步进电机驱动的数控系统。进电机驱动的数控系统。 所谓所谓逐点比较法逐点比较法，即每走一步都要和给定轨迹上的坐，即每走一步都要和给定轨迹上的坐标值进行一次比较，视该点在给定轨迹的上方或下方，或标值进行一次比较，视该点在给定轨迹的上方或下方，或在给定轨迹的里面或外面，决定下一步的进给方向，使之

20、在给定轨迹的里面或外面，决定下一步的进给方向，使之趋近加工轨迹。如此，走一步，比较一次，决定下一步走趋近加工轨迹。如此，走一步，比较一次，决定下一步走向，以便逼近给定的轨迹。向，以便逼近给定的轨迹。 逐点比较法是以折线来逼近直线或圆弧曲线的，它与逐点比较法是以折线来逼近直线或圆弧曲线的，它与规定的直线或圆弧之间的最大误差不超过一个脉冲当量，规定的直线或圆弧之间的最大误差不超过一个脉冲当量，因此，只要将脉冲当量（每走一步的距离）取得足够小，因此，只要将脉冲当量（每走一步的距离）取得足够小，就可达到加工精度的要求。就可达到加工精度的要求。 图图3-3 3-3 直线插补轨迹直线插补轨迹图图3-2 3

21、-2 圆弧插补轨迹圆弧插补轨迹 逐点比较法插补过程中，每进给一步都要经过逐点比较法插补过程中，每进给一步都要经过4 4个节拍的个节拍的处理。处理。 第第1 1拍：偏差判别。判别刀具当前位置相拍：偏差判别。判别刀具当前位置相对于编程轮廓的偏离情况，以决定进给对于编程轮廓的偏离情况，以决定进给方向；方向；第第2 2拍：进给。根据偏差判别结果，控制拍：进给。根据偏差判别结果，控制相应坐标轴进给一步，使刀具向编程轮相应坐标轴进给一步，使刀具向编程轮廓靠拢以减小偏差；廓靠拢以减小偏差；第第3 3拍：偏差计算。刀具进给一步后，计拍：偏差计算。刀具进给一步后，计算新的偏差，作为下一次偏差判别的依算新的偏差，

22、作为下一次偏差判别的依据。据。第第4 4拍：终点判别。判别刀具是否到达终拍：终点判别。判别刀具是否到达终点，若已到达终点，则停止插补；否则点，若已到达终点，则停止插补；否则，继续循环，继续循环4 4个节拍，直到到达终点。个节拍，直到到达终点。 （一）（一） 逐点比较法直线插补计算逐点比较法直线插补计算 1 1、偏差计算公式、偏差计算公式 假定加工如图所示的第一象假定加工如图所示的第一象限的直线限的直线OAOA，取直线起点为坐标，取直线起点为坐标原点，直线终点坐标（原点，直线终点坐标（xexe，yeye）已知，已知，M M（xmxm，ymym）为加工点（动）为加工点（动点），若点），若M M在在

23、OAOA直线上，则根据相直线上，则根据相似三角形的关系可得：似三角形的关系可得： eemmxyxy 取取 ememmyxxyF作为直线插补的偏差判别式。作为直线插补的偏差判别式。 若若M M点在点在OAOA直线上，直线上， 若若M M点在点在OAOA直线上方的直线上方的MM处，处， 若若M M点在点在OAOA直线下方的直线下方的MM处，处， eemmxyxy0mF则则 eemmxyxy则则 0mFeemmxyxy则则 0mF 2 2、偏差计算、偏差计算 刀具每走一步，将刀具新的坐标值代入偏差判别式刀具每走一步，将刀具新的坐标值代入偏差判别式 中，求出新的值，以确定下一步的进给方向。中，求出新的

24、值，以确定下一步的进给方向。偏差计算出进给后的新偏差，作为下一个偏差判别的依据。偏差计算出进给后的新偏差，作为下一个偏差判别的依据。 （1 1）设在某加工点处，有）设在某加工点处，有 时，为了逼近给定轨迹，时，为了逼近给定轨迹，应沿应沿+X+X方向进给一步，走一步后新的坐标值为：方向进给一步，走一步后新的坐标值为： ememmyxxyF0mF11mmxxmmyy1新的偏差为：新的偏差为： emeemmeemmeememmyFyyxyxyxyxyxxyF) 1(111 （2 2）若）若 时，为了逼近给定轨迹，应向时，为了逼近给定轨迹，应向+Y+Y方向方向进给一步，走一步后新的坐标为：进给一步，走

25、一步后新的坐标为：新的偏差为：新的偏差为： 上述公式就是第一象限直线插补偏差的递推公式，即上述公式就是第一象限直线插补偏差的递推公式，即每进给一步，新加工动点的偏差可以用前一加工动点的偏每进给一步，新加工动点的偏差可以用前一加工动点的偏差推算出来。从式中可以看出，偏差计算只用到了终点坐差推算出来。从式中可以看出，偏差计算只用到了终点坐标值，不必计算每一加工动点的坐标值，且只有加法和减标值，不必计算每一加工动点的坐标值，且只有加法和减法计算，形式简单。法计算，形式简单。 0mFmmxx111mmyyemeememememememmxFxyxxyyxxyyxxyF)() 1(111 根据偏差判别式

26、，求得图中根据偏差判别式，求得图中近似直线（由折线组成）。若刀近似直线（由折线组成）。若刀具加工点的位置（具加工点的位置（xmxm，ymym）处在）处在直线上方（包括在直线上），即直线上方（包括在直线上），即满足满足 ，向，向x x轴方向发出一轴方向发出一个正向运动的进给脉冲（个正向运动的进给脉冲（+x+x），），使刀具沿使刀具沿x x轴坐标动一步（一个轴坐标动一步（一个脉冲当量脉冲当量），逼近直线；若刀），逼近直线；若刀具加工点的位置处于直线下方，具加工点的位置处于直线下方，即满足即满足 ，向，向y y轴发出一个轴发出一个正向运动的进给脉冲（正向运动的进给脉冲（+y+y），），使刀具沿使刀具

27、沿y y轴移动一步逼近直线。轴移动一步逼近直线。 0mF0mF3 3、终点判别法、终点判别法 逐点比较法的终点判断有多种方法，下面介绍逐点比较法的终点判断有多种方法，下面介绍两种：两种： 第一种方法：设置第一种方法：设置X X、Y Y两个减法计数器，加工开两个减法计数器，加工开 始前，在始前，在X X、Y Y计数器中分别存入终点坐标（计数器中分别存入终点坐标（xexe， ye ye），在），在X X坐标（或坐标（或Y Y坐标）进给一步时，就在坐标）进给一步时，就在X X计计 数器（数器（Y Y计数器）中减去计数器）中减去1 1，直到这两个计数器中，直到这两个计数器中 的数都减到的数都减到0 0

28、时，便到达终点。时，便到达终点。 第二种方法：用一终点计数器，寄存第二种方法：用一终点计数器，寄存X X和和Y Y两个坐两个坐 标，从起点到达终点的总步数标，从起点到达终点的总步数；X X、Y Y坐标每进坐标每进 一步，一步，减去减去1 1，直到，直到为为0 0时就到了终点。时就到了终点。 例例3-3-1 1 加工直线，起点坐标为加工直线，起点坐标为O O（0 0，0 0），终点），终点E E（4 4，3 3），用逐点比较法进行插补计算，并画出插补轨迹。），用逐点比较法进行插补计算，并画出插补轨迹。 解：用第二种判别方解：用第二种判别方法，则：法，则： = =4 4+ +3 3= =7 7。又

29、因。又因为为E E点的坐标为（点的坐标为（4 4，3 3），），即该直线位于第一象限，即该直线位于第一象限，故按第一象限直线进行插故按第一象限直线进行插补计算。其插补计算过程补计算。其插补计算过程如表，插补轨迹如图所示。如表，插补轨迹如图所示。Y X 2 E(4,3) O 1 3 4 1 2 3 直线插补运算直线插补运算序号 偏差判别 坐标进给 偏差计算 终点判别 起点 00F =7 1 F0=0 +X 301eYFF =6 2 F10 +X 223eYFF =4 4 F30 +X 145eYFF =2 6 F50 +X 067eYFF =0 4 4、不同象限的直线插补计算、不同象限的直线插补

30、计算Y X E(Xe,Ye) O E(-Xe,-Ye) yxL1F0L2L3F0F0F0L4F0F0F0F0v逐点比较法的直线插补算法小结逐点比较法的直线插补算法小结0 eijeyxyx0 eijeyxyxeeijxyxy 0 eijeyxyxeeijxyxy eeijxyxy eijeijyxyxF 0ijF0 ijF j ,iF1 1j , iF eijeyxyx) 1( eeijeyyxyx eijeyxyx) 1( eeijexyxyxej , iyF ej , ixF 1 1、偏差计算公式、偏差计算公式 下面以第一象限逆圆为例讨论逐点比较法圆弧插补的下面以第一象限逆圆为例讨论逐点比较

31、法圆弧插补的过程。过程。 如图所示，设需要加工第一象限如图所示，设需要加工第一象限逆时针圆弧逆时针圆弧ABAB，圆弧的圆心在坐标系，圆弧的圆心在坐标系原点，已知圆弧的起点为原点，已知圆弧的起点为A A（x0 x0 ，y0y0），终点为），终点为B B（xexe，yeye），圆弧半），圆弧半径为径为R R。设瞬时加工点为。设瞬时加工点为M M（xmxm，ymym），），它与圆心的距离为它与圆心的距离为RmRm。比较。比较RmRm和和R R反反映加工偏差。映加工偏差。 ( (二）二） 逐点比较法圆弧插补计算逐点比较法圆弧插补计算若若 ，表明加工点，表明加工点M M在圆弧上在圆弧上，即即若若 ，表明

32、加工点，表明加工点M M在圆弧外在圆弧外 ，即，即 若若 ，表明加工点，表明加工点M M在圆弧内，即在圆弧内，即 222Ryxmm222Ryxmm222Ryxmm222mmmyxR20202yxR因此，可得圆弧偏差判别式如下：因此，可得圆弧偏差判别式如下： 22222RyxRRFmmmm0mF0mF0mF 设加工点正处于设加工点正处于M M（xmxm，ymym）点，若）点，若 ，对于第一，对于第一象限的逆圆，为了逼近圆弧，应沿象限的逆圆，为了逼近圆弧，应沿-X-X方向进给一步，到方向进给一步，到m+1m+1点，其坐标值为点，其坐标值为 ， 。新加工点的偏差。新加工点的偏差为：为： 若若 ，为逼

33、近圆弧，应沿，为逼近圆弧，应沿+Y+Y方向进给一步到方向进给一步到m+1m+1点，点，其坐标值为其坐标值为 ， ，新的加工点偏差为：，新的加工点偏差为： 因为加工是从圆弧的起点开始，起点的偏差因为加工是从圆弧的起点开始，起点的偏差是是 ，所以新加工点的偏差总可以根据前一点的数，所以新加工点的偏差总可以根据前一点的数据计算出来。据计算出来。 0mF11mmxxmmyy1121222222!211mmmmmmmmxFRyxxRyxF0mFmmxx111mmyy121222222!211mmmmmmmmyFRyyxRyxF00FADYSR1NR1F0F0F0F0 X X OOCY图图3-10 第一象

34、限顺、逆圆弧第一象限顺、逆圆弧 图图3-10a中中AB为第一象限顺圆弧为第一象限顺圆弧SR1，若，若F0时，动点在圆弧上或圆弧外，时，动点在圆弧上或圆弧外，向向Y向进给，计算出新点的偏差；若向进给，计算出新点的偏差；若F0，表明动点在圆内，向表明动点在圆内，向X向进给，向进给，计算出新一点的偏差，如此走一步，算一步，直至终点。计算出新一点的偏差，如此走一步，算一步，直至终点。 2 2、终点判别法、终点判别法 圆弧插补的终点判圆弧插补的终点判断方法和直线插补相同，断方法和直线插补相同，可将从起点到达终点可将从起点到达终点X X、Y Y轴走步数和总和轴走步数和总和存存入一个计数器，每走一入一个计数

35、器，每走一步，从步，从中减去中减去1 1，当，当=0=0时发出终点到达信时发出终点到达信号。号。N Y N Y x=Xa y=Ya F=0 =Xb-Xa+Yb-Ya F0 X 向进给 -Y向进给 FF+2X+1 XX+1 0 开始 FF-2Y+1 YY-1 -1 结束 3 3、插补计算过程、插补计算过程 圆弧插补计算过程和直线插补计算过程相同，但是圆弧插补计算过程和直线插补计算过程相同，但是偏差计算公式不同。偏差计算公式不同。 4 4、四个象限圆弧插补计算公式、四个象限圆弧插补计算公式 圆弧所在象限不同，顺逆不同，则插补计算公式和圆弧所在象限不同，顺逆不同，则插补计算公式和进给方向也不同。归纳

36、起来共有进给方向也不同。归纳起来共有8 8种情况，这种情况，这8 8种情况的种情况的进给脉冲方向见图。进给脉冲方向见图。 SR1 SR1、SR3SR3、NR2NR2、NR4NR4四种圆弧为一组，四种圆弧为一组，其共同特点是，其共同特点是，F0F0时，向时，向Y Y方向进方向进给；给；F0F0时，向时，向X X方方向进给。偏差计算向进给。偏差计算与第一象限顺圆相与第一象限顺圆相同，只是同，只是X X、Y Y值都值都取绝对值。取绝对值。 圆弧过象限，即圆弧的起点和终点不在同一象限内。若坐圆弧过象限，即圆弧的起点和终点不在同一象限内。若坐标采用绝对值进行插补运算，应先进行过象限判断，当标采用绝对值进

37、行插补运算，应先进行过象限判断，当X0或或Y0时过象限。如图时过象限。如图3-13所示，需将圆弧所示，需将圆弧AC分成两段圆弧分成两段圆弧AB 和和BC，到，到X0时，进行处理，对应调用顺圆时，进行处理，对应调用顺圆2和顺圆和顺圆1的插补的插补程序。程序。 CAy B图3-14 跨象限圆弧Xo坐标变换坐标变换 前面所述的逐点比较法插补是在前面所述的逐点比较法插补是在xy平面中讨论的，平面中讨论的，对于其它平面的插补可用坐标变换的方法实现。对于其它平面的插补可用坐标变换的方法实现。v用用y代替代替x，z代替代替y，可实现，可实现yz平面内的直线和圆弧插补；平面内的直线和圆弧插补；v用用z代替代替

38、y而而x坐标不变，就可以实现坐标不变，就可以实现xz平面内的直线和平面内的直线和圆弧插补圆弧插补例例3-2 现欲加工第一现欲加工第一象限顺圆弧象限顺圆弧AB，如图如图3-12所示，起点所示，起点A（0，4），），终点终点B（4，0），），试用逐点比较法进行试用逐点比较法进行插补。插补。插补从圆弧起点开始，故插补从圆弧起点开始，故F0，0=0；E 存存X、Y方向总步数，方向总步数，E44=8，每进给一步减，每进给一步减1，E=0时停止插补。时停止插补。 X Y 3 2 1 1 2 3 4 4 O A(0,4) B(4,0) 步数 偏差判别 坐标进给 偏差计算 坐标计算 终点判别 起点 00F X

39、0=0,Y0=4 =8 1 F0=0 -Y 712001YFF X1=0,Y1=3 =7 2 F10 +X 612112XFF X2=1,Y2=3 =6 3 F20 +X 312223XFF X3=2,Y3=3 =5 4 F30 -Y 312445YFF X5=3,Y5=2 =3 6 F50 -Y 112667YFF X7=4,Y7=1 =1 8 F70 -Y 012778YFF X7=4,Y7=0 =0 三、数字增量插补三、数字增量插补 这类插补方法有数字积分法（这类插补方法有数字积分法（DDADDA）、二阶近似）、二阶近似插补法、双插补法、双DDADDA插补法、角度逼近插补法、时间分割插补

40、法、角度逼近插补法、时间分割法等。法等。 这类插补算法主要用于交、直流伺服电机为伺这类插补算法主要用于交、直流伺服电机为伺服驱动系统的闭环、半闭环数控系统，也可用于以步服驱动系统的闭环、半闭环数控系统，也可用于以步进电机为伺服驱动系统的开环数控系统，目前所使用进电机为伺服驱动系统的开环数控系统，目前所使用的的CNCCNC系统中，大多数都采用这类插补方法。系统中，大多数都采用这类插补方法。 3.2.3 3.2.3 数字积分法数字积分法 数字积分法又称数字微分分析法数字积分法又称数字微分分析法DDA(Digital differential DDA(Digital differential Ana

41、lyzer)Analyzer)，是在数字积分器的基础上建立起来的一种插补算法。是在数字积分器的基础上建立起来的一种插补算法。数字积分法的优点是，易于实现多坐标联动，较容易地实现二次数字积分法的优点是，易于实现多坐标联动，较容易地实现二次曲线、高次曲线的插补，并具有运算速度快，应用广泛等特点。曲线、高次曲线的插补，并具有运算速度快，应用广泛等特点。YYist0titnt图图3-16 函数函数Y=f(t)的积分的积分100niitttYYdtSn式中式中Yi为为t=ti时时f(t)的值，这个公式说明，求积分的过的值，这个公式说明，求积分的过程也可以用累加的方式来近似。在数学运算时，取程也可以用累加

42、的方式来近似。在数学运算时，取t为基本单位为基本单位“1”，则上式可简化为，则上式可简化为10niiYS累加器累加器函数寄存器函数寄存器与门与门t图图3-17 数字积分器结构框图数字积分器结构框图s图3-18 直线插补走步过程0XYE(7，4)图图3-18 直线插补走步过程直线插补走步过程0XYE(7，4)1. 1. 数字积分法直线插补数字积分法直线插补如此下去，直如此下去，直到输入第到输入第8 8个个脉冲时，积分脉冲时，积分器工作一个周器工作一个周期，期， X X方向溢方向溢出脉冲总数为出脉冲总数为7/8=77/8=7，Y Y方向方向溢出脉冲总数溢出脉冲总数为为4/8=44/8=4，到，到达

43、终点达终点E E。若要加工第一象限直线若要加工第一象限直线OE，如图如图3-19所示，起点为坐标所示，起点为坐标原点原点O，终点坐标为终点坐标为E（Xe，Ye），），刀具以匀速刀具以匀速V由起点由起点移向终点，其移向终点，其X、Y坐标的速度分量为坐标的速度分量为Vx，Vy， Y X Vy V Vx E(Xe,Ye) O 图图3-19 DDA直线插补直线插补则有则有kYVXVOEVeyex(k为常数为常数) (3-16)各坐标轴的位移量为各坐标轴的位移量为dtkYdtVYdtkXdtVXeyex(3-17) 数字积分法是求式（数字积分法是求式（3-17）从）从O到到E区间的定积区间的定积分。此积

44、分值等于由分。此积分值等于由O到到E的坐标增量，因积分是的坐标增量，因积分是从原点开始的，所以坐标增量即是终点坐标。从原点开始的，所以坐标增量即是终点坐标。0000YYdtkYXXdtkXtteetteenn(3-18)式式(3-18)中中t0对应直线起点的时间，对应直线起点的时间，tn对应终点时间。对应终点时间。 用累加来代替积分，刀具在用累加来代替积分，刀具在X，Y方向移动的微小增量方向移动的微小增量分别为分别为tkYtVYtkXtVXeyex (3-19) 动点从原点出发走向终点的过程，可以看作是各坐标轴每经过一动点从原点出发走向终点的过程，可以看作是各坐标轴每经过一个单位时间间隔个单位

45、时间间隔t，分别以增量分别以增量kXe及及kYe同时累加的结果。同时累加的结果。 miiemiiimiemiitkYYYtkXXX1111取取1it（一个单位时间间隔），则（一个单位时间间隔），则emiiemieiekmYtkYYkmXtkXX11eeeeYkmYYXkmXX可见累加次数与比例系数之间有如下关系可见累加次数与比例系数之间有如下关系1km或或km/1若经过若经过m次累加后，次累加后，X，Y都到达终点都到达终点E（Xe，Ye）,下式成立下式成立两者互相制约，不能独立选择，两者互相制约，不能独立选择，m是累加次数，取整是累加次数，取整数，数，k取小数。即先将直线终点坐标取小数。即先将

46、直线终点坐标Xe，Ye缩小到缩小到kXe，kYe，然后再经然后再经m次累加到达终点。另外还要保证沿坐次累加到达终点。另外还要保证沿坐标轴每次进给脉冲不超过一个，保证插补精度，应使标轴每次进给脉冲不超过一个，保证插补精度，应使下式成立下式成立11eekYYkXX如果存放如果存放Xe，Ye寄存器的位数是寄存器的位数是n，对应最大允许数字量为对应最大允许数字量为12 n（各位均为（各位均为1）, 所以所以Xe，Ye最大寄存数值为最大寄存数值为12 n则则1211) 12(nnkk为使上式成立，取为使上式成立，取 代入得代入得nk211212nn累加次数累加次数nkm21上式表明，若寄存器位数是上式表

47、明，若寄存器位数是n，则直线整个插补过程要则直线整个插补过程要进行进行2n 次累加才能到达终点。次累加才能到达终点。 对于二进制数来说，一个对于二进制数来说，一个n位寄存器中存放位寄存器中存放Xe和存放和存放kXe的数字是一样的，只是小数点的位置不同罢了，的数字是一样的，只是小数点的位置不同罢了，Xe除除以以2n，只需把小数点左移只需把小数点左移n位，小数点出现在最高位数位，小数点出现在最高位数n的前面。采用的前面。采用kXe进行累加，累加结果大于进行累加，累加结果大于1，就有溢出。，就有溢出。若采用若采用Xe进行累加，超出寄存器容量进行累加，超出寄存器容量2n有溢出。将溢出有溢出。将溢出脉冲

48、用来控制机床进给，其效果是一样的。在被寄函数脉冲用来控制机床进给，其效果是一样的。在被寄函数寄存器里可只存寄存器里可只存Xe，而省略而省略k。 X函数寄存器函数寄存器JVX与门与门X累加器累加器JRX Y函数寄存器函数寄存器JVY与门与门YY累加器累加器JRYtYx图图图图3-20 平面直线的插补框图平面直线的插补框图XYt 例例3-3 设有一直线设有一直线OE，如图如图3-21所示起点坐标所示起点坐标O(0，0)，终点坐标为终点坐标为E（4，3），），累加器和寄存器的位数为累加器和寄存器的位数为3位，其最大位，其最大可寄存数值为可寄存数值为7（J8时溢出）。若用二进制计算，起点坐标时溢出）。

49、若用二进制计算，起点坐标O（000，000），），终点坐标终点坐标E（100，011），），J1000时溢出。试时溢出。试采用采用DDA法对其进行插补。法对其进行插补。累加次数 (t) X积分器 Y积分器 终点 计数器 JE JVX JRX X JVY JRY Y 0 4 0 3 0 0 100 011 000 1 4 0+4=4 3 0+3=3 1 100 000+100=100 011 000+011=011 001 2 4 4+4=8+0 1 3 3+3=6 2 100 100+100=1000 011 011+011=110 010 3 4 0+4=4 3 6+3=8+1 1 3 10

50、0 000+100=100 011 110+011=1001 011 4 4 4+4=8+0 1 3 1+3=4 4 100 1001001000 011 001011100 100 表表3-3 DDA直线插补运算过程直线插补运算过程5 4 0+4=4 3 4+3=7 5 100 000+100=100 011 100011111 101 6 4 4+4=8+0 1 3 7+3=8+2 1 6 100 100+100=1000 011 1110111010 110 7 4 0+4=4 3 2+3=5 7 100 000+100=100 011 010011101 111 8 4 4+4=8+0

51、 1 3 5+3=8+0 1 8 100 100+100=1000 011 1010111000 1000 2. 2. 数字积分法圆弧插补数字积分法圆弧插补 第一象限顺圆如图第一象限顺圆如图3-223-22，圆弧的圆心在坐标原点圆弧的圆心在坐标原点O O，起点起点为为A A（X Xa a，Y Ya a），），终点为终点为B B（X Xb b，Y Yb b）。）。圆弧插补时，要求刀具沿圆弧插补时，要求刀具沿圆弧切线作等速运动，设圆弧圆弧切线作等速运动，设圆弧上某一点上某一点P P（X X，Y Y）的速度为的速度为 V V，则在两个坐标方向的分速度则在两个坐标方向的分速度为为V Vx x，V Vy

52、 y，根据图中几何关系，根据图中几何关系，有如下关系式有如下关系式kXVYVRVyx(3-20)对于时间增量而言，在对于时间增量而言，在X X，Y Y坐标轴的位移增量分别为坐标轴的位移增量分别为tkXtVYtkYtVXyx(3-21) 由于第一象限顺圆对应由于第一象限顺圆对应Y坐标值逐渐减小，所以式坐标值逐渐减小，所以式(3-21)中表达式中取负号，即中表达式中取负号，即Vx，Vy均取绝对值计算。均取绝对值计算。与与DDADDA直线插补类似，也可用两个积分器来实现圆弧插补，如图直线插补类似，也可用两个积分器来实现圆弧插补，如图3-233-23所示。所示。X函数寄存器函数寄存器JVX与门与门X累

53、加器累加器JRXY函数寄存器函数寄存器JVY与门与门Y累加器累加器JRYtt图图3-23 3-23 第一象限顺圆弧插补器第一象限顺圆弧插补器YX DDADDA圆弧插补与直线插补的主要区别为：圆弧插补与直线插补的主要区别为：（1 1）圆弧插补中被积函数寄存器寄存的坐标值与对）圆弧插补中被积函数寄存器寄存的坐标值与对应坐标轴积分器的关系恰好相反。应坐标轴积分器的关系恰好相反。（2 2）圆弧插补中被积函数是变量，直线插补的被积）圆弧插补中被积函数是变量，直线插补的被积函数是常数。函数是常数。（3 3）圆弧插补终点判别需采用两个终点计数器。对）圆弧插补终点判别需采用两个终点计数器。对于直线插补，如果寄

54、存器位数为于直线插补，如果寄存器位数为n n，无论直线长短都无论直线长短都需迭代需迭代2 2n n次到达终点。次到达终点。 例例3-4 3-4 设有第一象限顺圆设有第一象限顺圆ABAB，如图如图3-243-24所示，起点所示，起点A A（0 0，5 5），），终点终点B B（5 5，0 0），），所选寄存器位数所选寄存器位数n n=3=3。若用二进制计算，起点坐若用二进制计算，起点坐标标A A（000000，101101），），终点坐标终点坐标B B（101101，000000），），试用试用DDADDA法对此圆弧法对此圆弧进行插补。进行插补。 A(0,5)4 2 3 5 4 Y O 1 2

55、3 X B(5,0) 5 1 图图3-243-24累加次数 (t) X积分器 Y积分器 JVX JRX X JEX JVY JRY Y JEY 0 5 0 5 0 0 5 101 101 000 000 101 1 5 0+5=5 5 0 000 5 101 000101101 101 000 000000000 101 2 5 5+5=8+2 1 4 0 000 5 101 1011011010 100 000 000000000 101 1 001 表表3-4 DDA圆弧插补运算过程圆弧插补运算过程3 5 5+2=7 4 1 1 5 101 101010111 100 001 001000

56、001 101 4 5 5+7=8+4 1 3 1 1+1=2 5 101 1011111100 011 001 001001010 101 2 010 5 5 5+4=8 1 1 2 2 2+2=4 5 101 1011001001 010 010 010010100 101 3 011 6 5 5+1=6 2 3 3+4=7 5 101 101001110 010 011 011100111 101 7 5 5+6=8+3 1 1 3 3+7=8+2 1 4 101 1011101011 001 011 0111111010 100 4 4 100 100 8 4 4+3=7 1 4 4+

57、2=6 4 100 100011111 001 100 100010110 100 9 4 4+7=8+3 1 0 4 4+6=8+2 1 3 100 1001111011 000 100 1001101010 011 3 5 011 101 10 3 停止 5 5+2=7 3 011 101 101010111 011 11 3 5 5+7=8+4 1 2 011 101 1011111100 010 2 010 12 2 5 5+4=8+1 1 1 010 101 101+100=1001 001 1 001 13 1 5 5+1=6 1 001 101 101001110 001 14

58、1 5 5+6=8+3 1 0 001 101 101+110=1011 000 0 000 15 0 5 停 止 101 A(0,5) 4 2 3 5 4 Y O 1 2 3 X B(5,0) 5 1 图图3-23 DDA圆弧插补实例圆弧插补实例3. 3. 数字积分法插补的象限处理数字积分法插补的象限处理 DDADDA插补不同象限直线和圆弧时，用绝对值进行累插补不同象限直线和圆弧时，用绝对值进行累加，把进给方向另做讨论。加，把进给方向另做讨论。 DDADDA插补是沿着工件切线方向移动，四个象限直线插补是沿着工件切线方向移动，四个象限直线进给方向如图进给方向如图3-253-25所示。所示。 圆

59、弧插补时被积函数是动点坐标，在插补过程中要圆弧插补时被积函数是动点坐标，在插补过程中要进行修正，坐标值的修改要看动点运动是使该坐标绝进行修正，坐标值的修改要看动点运动是使该坐标绝对值是增加还是减少，来确定是加对值是增加还是减少，来确定是加1 1还是减还是减1 1。四个象。四个象限直线进给方向和圆弧插补的坐标修改及进给方向如限直线进给方向和圆弧插补的坐标修改及进给方向如表表3-63-6所示。所示。Y XL3L2L4L1图3-25内容内容 L1 L2 L3 L4 进给进给 X + - - + 修正修正 JVY 进给进给 Y + + - 修正修正 JVX -NR2SR2YNR1SR1NR3SR3NR

60、4SR4NR1 NR2 NR3 NR4 SR1 SR2 SR3 SR4 - - + + + + - - -1 +1 -1 +1 +1 -1 +1 -1 + - - + - + + - +1 -1 +1 -1 -1 +1 -1 +1 图图3-26四象限圆弧插补进给方向四象限圆弧插补进给方向X3.2.4 3.2.4 数据采样法（时间分割法）数据采样法（时间分割法）( (一）一）时间分割法插补原理时间分割法插补原理 时间分割法，又称为数据采样插补法。这种时间分割法，又称为数据采样插补法。这种方法是把加工一段直线或圆弧的整段时间细分为方法是把加工一段直线或圆弧的整段时间细分为许多相等的时间间隔（如图所