导数的几何意义教学设计B4

1、导数的几何意义教学设计海南省农垦中学何文胜教学目标1了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2.理解曲线的切线的概念；3通过函数的图像直观地理解导 数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；教学难点：导数的几何意义.教学过程：一创设情景(一) 平均变化率、割线的斜率(二) 瞬时速度、导数我们知道，导数表示函数y=f(x)在x=xo处的瞬时变化率，反映了函数y=f(x)在x=xo附近的变化情况，导数f (x0)的几何意义是什么呢？二新课讲授(一)曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2，当巳(xn, f (xn)( n=1,2,3,4)沿着曲线f

2、(x)趋近 问题：割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系?切线PT的斜率k为多少?容易知道，割线PPn的斜率是 心二fdf (X),当点Pn沿着曲线无限接近点P时，心无限趋近于 焉一xo切线PT的斜率k，即k =limf(xoX)-f(x) = f()goAx说明：(1)设切线的倾斜角为a,那么当xT0时，割线PQ的斜率，称为曲线在点P处的切线的斜率 这个概念：提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法；切线斜率的本质一函数在X = x处的导数.(2)曲线在某点处的切线：1)与该点的位置有关；2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限，则在此点有切线，且切线是唯一的；如不存在，则

3、在此点处无切线；3)曲线的切线，并不一定 与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多个(二)导数的几何意义： 函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点处的切线的斜率,于点P(x0, f (x0)时，割线PPn的变化趋势是什么?说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤求出P点的坐标；2求出函数在点X)处的变化率f (%)=典。f (X0 x)_f (X0)= k，得到曲线在点&0，(沧)的切线的斜率；3利用点斜式求切线方程(二)导函数：由函数f(X)在X=X0处求导数的过程可以看到，当时，厂(x0)是一个确定的数，那么，当X变化时，便是X的一个函数，我们叫它为f(X)的导函数记作

4、：f (x)或y,即：f (x) =厂limf(XWf(x)0二x注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数.(三)函数f(x)在点X。处的导数(X。)、导函数f (X)、导数 之间的区别与联系。我们发现，当点Pn沿着曲线无限接近点P即厶xT0时，割线PPn趋近于确 定的位置，这个确定位1)函数在一点处的导数厂(X0)，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是 个常数，不是变数。2)函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的， 就是函数f(x)的导函数置的直线PT称为曲线在点P处的切线.3)函数f(X)在点X0处的导数f(X0)就是导函数f(X)在X二X0处的函数值，这也是 求函数在

5、点X0f (X0)pm0f(x0：x) - f(X。)_kAx-2处的导数的方法之一。三.典例分析2例1:(1)求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程(2)求函数y=3x2在点(1,3)处的导数.(3)当t2时，曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率h(t2)：0,所以，在t = t2附近曲线下降，即函数h(x)二-4.9x26.5x 10在t = t2附近单调递减.解：(1)2 2(1 .：x) 1-(11)Z2X lx=limx 0 x所以，所求切线 的斜率为2，因此，所求的切线方程为y-2=2(x-1)即2x-y = 0从图3.1-3可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l

6、2的倾斜程度，这说明曲线在t1附近比在t2附近下降的缓慢.例3.(课本例3)如图3.1-4，它表示人体血管中药物浓度c= f (t)(单位：mg/mL)随时间t(单位：min)变化的图象.根据图像，估计0.2,0.4,0.6,0.8时，血管中药物浓度的瞬时变化率(精2 2 2 2因为y |xlxm133r=lxm13= lim3( x 1) = 6x.1确到0.1).解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度f (t)在此时刻的导数，从图像上看,所以，所求切线的斜率为6,因此，所求的切线方程为y-3 = 6(x-1)即6x-y-3 = 0(2)求函数f(x)=-X2 X在x -1附近

7、的平均变 化率，并求出在该点处的导数.解:2今 _ _(_1LX) (_1LX) _2=x=X=3LX2f(_1)惋十亠巳=叫3_：x) =3它表示曲线f(t)在此点处的切线的斜率.如图3.1-4,画出曲线上某点处的切 线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值.作t =0.8处的切线，并在切线上去两点，女如(0. 7 ,0. 9,1 (1.0,0.48),则它的斜率为：0. 48 0. 91k-1.41.0 0. 7所以f (0.8)：-1.4例2.(课本例2)如图3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(x -4.9x26.5x 10,根据图像，请描述、比较曲线h(t)在to、t1、t2附近的变化情况.解：我们用曲线h(t)在t0 t1、t2处的切线，刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况.(1) 当t二to时，曲线h(t)在to处的切线lo平行于X轴，所以，在t =t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降.L0t0.20.40.60.8药物浓度瞬时变化率f(t)0.40-0.7-1.4F表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值:(2)当t二t1时，曲线h(t)在t1处的切线l1的斜率h (t1) - 0，所以，在t之1附近曲线下降，即函数h(x)二-4.9x