高中数学基础知识强化记忆1

1、专题一：常以客观题考查的内容-'、集口1集合1集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性2常用数集及其记法N表示自然数集， N 或N表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集， R表示实数集.3集合与元素间的关系对象a与集合M的关系是a M，或者a M，两者必居其一 4集合的表示法 自然语言法：用文字表达的形式来描述集合 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合 描述法： x|x具有的性质，其中x为集合的代表元素. 图示法：用数轴或韦恩图来表示集合注意：研究集合问题，一定要 理解集合的意义抓住集合的代表元素。5集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集含有无限个元素

2、的集合叫做无限集不含有任何元素的集合叫做空集().2、集合间的根本关系1子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图子集A B或B A)A中的任一元素都 属于B(1) AA(2) A假设A B且B C，那么A C假设A B且B A，那么A B或真子 集A B或B AA B，且B中至 少有一元素不属于A1AA为非空子集假设A B且B C，那么A C集合 相等A BA中的任一元素都 属于B，B中的任一 元素都属于A(1) AB(2) BACA92集合 A有n(n 1)个元素，那么它有2n个子集，它有2n 1个真子集，它有2n 1个非空子集，它有2n 2非空真子集3、集合间的根本运算 交集、并集、补

3、集名 称记号意义性质示意图交集aDbx| x 代且 x B1ADA A2An3ACBAACBB并 集aUbx| x 代或 x B1AUA A2AUA3 AUB AAUB B补 集Uax|x U ,且x AAD ©AGMb GaUCUbCu BGAnUBaUUau注意：1数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，数形结合是解集合问题的常用方法；2补、常用逻辑用语1、命题：可以判断真假的语句叫命题；逻辑联结词：“或 “且 “非这些词就叫做逻辑联结词； 简单命题：不含逻辑联结词的命题；复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题.常用小写的拉丁字母 p , q , r , s,表示命题.2

4、、四种命题及其相互关系 四种命题的真假性之间的关系：、两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；、两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.注意：在写出一个含有“或、“且命题的否命题时， 命题的条件和结论都否认而命题的否认仅对命题的结论否认。3、充分条件、必要条件与充要条件、一般地，如果 p q，那么就说：p是q的充分条件，q是p的必要条件; 假设p q，那么p是q的充分必要条件，简称充要条件.、充分条件，必要条件与充要条件主要用来区分命题的条件I、从逻辑推理关系上看：原命题遒互 否假设FJtTP?计 逆命题逆査命题要注意“非或即且，非且即或p与结论q之间的关系:。否命题要对集思想常

5、运用于解决否认型或正面较复杂的有关问题。PPpP 假设 假设 假设 假设 假设n、从集合与集合之间的关系上看:q，那么p是q充分条件，q是p的必要条件； q，但q p，那么p是q充分而不必要条件； q，但q p，那么p是q必要而不充分条件； q且q p，贝U p是q的充要条件；p，那么p是q的既不充分也不必要条件Ax|x满足条件p , B x x满足条件q :假设A B ,那么p是q充分条件；假设B A,那么p是q必要条件；假设A -B，那么p是q充分而不必要条件；假设B丄A，那么p是q必要而不充分条件 假设A B，那么p是q的充要条件 假设A B且B A，那么p是q的既不充分也不必要条件4、

6、复合命题复合命题有三种形式：p或q p q； p且q p q；非p复合命题的真假判断“ p或q形式复合命题的真假判断方法：一真必真；“ p且q形式复合命题的真假判断方法：一假必假；“非p 形式复合命题的真假判断方法：真假相对5、全称量词与存在量词全称量词与全称命题表示.含有全称量词的命题，表示.含有存在量词的命短语“所有的 “任意一个在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ 叫做全称命题.存在量词与特称命题短语“存在一个 “至少有一个在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ 题，叫做特称命题.全称命题与特称命题的符号表示及否认全称命题 p : x , p(x)，它的否认p :x0, p(x0).全称命

7、题的否认是特称命题.特称命题p :Xo, P(Xo),，它的否认p : x ,p(x).特称命题的否认是全称命题三、平面向量1向量的物理背景与概念1 了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.2既有大小又有方向的量叫做向 .2、向量的几何表示1带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度2向量AB的大小，也就是向量 AB的长度或称模，记作入B ;长度为零的向量叫做零向量；长度等于1个单位的向量叫做单位向量，a的单位向量是-5|a|3、相等向量与共线向量1长度相等且方向相同的向量叫做相等向量2方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共线向量.规定：零向量与任意向量平行4、向量

8、加法运算及其几何意义1三角形加法法那么和平行四边形加法法那么.三角形法那么的特点：首尾相连 .平行四边形法那么的特点：共起点.2a b w a |b .三角形不等式：|a ,b |a b| |a'|运算性质：交换律：a bt-结合律：a b c a bCab a ；t-c : a 00 a a5、向量减法运算及其几何意义1与a长度相等方向相反的向量叫做a的相反向量.2三角形减法法那么和平行四边形减法法那么.三角形法那么的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量.6、向量数乘运算及其几何意义i规定：实数 与向量a的积是个向量，这种运算叫做向量的数.记作：a，它的长度和方向规定如下:a ,当

9、a的方向与a的方向相同;a的方向与a的方向相反.2平面向量共线定理：向量0与b共线,当且仅当有唯个实数，使 b a.3运算律：I-aI-aa a : a b7、平面向量根本定理1平面向量根本定理：如果ei ,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量有且只有一对实数i , 2，使 ai ei2 亠8、平面向量的正交分解及坐标表示a Xi yj x,y 二9、平面向量的坐标运算1Xi，% ,bX2，y2，那么:Xi X2, yiy2 ,xi X2,yi y2 ，Xi, yi， a/bx2X2yi.2设 A xi, yi , B X2, y2，那么:AB x2xi ,y2 yi

10、.io、平面向量共线的坐标表示(i)分点坐标公式：设点 是线段i2上的一点,2的坐标分别是Xi, yi,X2, y2，当 i时，点的坐标是iX2yiy2i，i2设 A Xi, yi , B X2, y2,CX3, y3 ,XiX2yi y2线段AB中点坐标为2J1 2 ，当厶ABC的重心坐标为ii、平面向量数量积的物理背景及其含义那么:i时，就为中点公式。)Xi X2 X3yi y2 y33ia ba b cos .2 a在b方向上的投影为: 2 23aia2.4a cos5 a b a b0.12、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角22X1y1卩设 a X1, y1 ,bX2,y2，那么:

11、a b x1 x2y1 y2I- - a b a b 0xx2 y1y2 0 a/b a bx1y2 x2y1 0设 A Xi,yi , B X2, y，那么:|AB2 2X2X1y2y1两向量的夹角公式cos a bX1X2y1y22一2 2y1 X213、平面几何中的向量方法14、向量在物理中的应用举例四、不等式1、不等式的根本性质变形公式：a b2 abab用根本不等式求最值时积定和最小，和定积最大，要注意满足三个条件“一正、二定、三相等三个正数的算术一几何平均不等式十 3 赢® b、c R)对称性abb a传递性a b,b cac可加性aba cb c同向可加性a b, cd

12、acbd异向可减性ab,cda cb d可积性ab,c0ac bca b, c 0acbc同向正数可乘性a b0, c d 0 ac bd异向正数可除性a b0,0c da b c d平方法那么ab0 anbn (nN,且 n!1)开方法那么ab 0na临(nN，且 n倒数法那么ab01 1 .;a b a b1 1 0a b几个重要不等式2 2a b 2aba, b)R,当且仅当ab时取""号.变形公式：aba2 b22根本不等式ab2ab _ a, bR ,当且仅当a b时取到等号.I62、1)22当且仅当a b c时取到等号2 2 2 a b c ab bc ca a

13、, b R 当且仅当a b c时取到等号.b ab a 假设ab 0,那么2当仅当a=b时取等号假设ab 0,那么2当仅当a=b时取等号a ba b当a0时，X ax2a2xa或x a;x a x2 a2a x a.平均不等式:即调和平均当且仅当a b时取""号几何平均算术平均平方平均变形公式： ab2 2 2 2 a b a b 2 (a b);a b2 2 2琴生不等式：特例：凸函数、凹函数假设定义在某区间上的函数f (x),对于定义域中任意两点x,X2(x X2),有 f(x X2) f(Xi) f(X2)或f(x X2) f(Xi) f(X2).那么称 f(x) 为

14、凸或凹函数2 2 2 24、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比拟法作差，作商法、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法等常见不等式的放缩方法：舍去或加上一些项，如(a 2)232(a 2)将分子或分母放大缩小，如:k21k(k 1)1 1k2k(k 1)N*,k 1)等.3、几个著名不等式5、一元二次不等式的解法判别式b2 4ac000二次函数J/1I:y axbx c(a0)V&的图象O一元二次方程wb Jb2 4ac2 axbx c 0(a0)C,22aX1bx2c2a无实根的根其中X1 x2)2 axbx c 0(a0)x|xX1 或 XX2

15、X|x 3R的解集2a2 axbx c 0(a0)x|Xi X X2的解集求一元二次不等式 ax2 bx c 0(或 0) (a 0,b2 4ac 0)解集的步骤:一化：化二次项前的系数为正数 二判：判断对应方程的根三求：求对应方程的根四画：画出对应函数的图象 规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边五解集：根据图象写出不等式的解集6、高次不等式的解法：穿根法 分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿奇穿偶切_，结合原式不等号的方向，写出不等式的解集f(x)7、分式不等式的解法:先移项通分标准化，贝Ug(x)f(x) g(x) 0f(x)f(x) g(x) 0g(x)g(x) 0、

16、f(x) a(a 0)f(x) 0 f (x) a2.f(x) a(a 0)f(x) 0 f (x) a2、丽g(x)f (x)0.f(x)0g(x) 0 或2 g(x) 0f(x) g(x)2f(x) 0g(x) 0f(x) g(x)2f(x) 0.f (x)、g(x) g(x) 0f(x) g(x)规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，从“小的一边分析求解9、指数不等式的解法:当 a 1 时,a xag % f (x) g(x)当 0 a 1 时，af(x) ag(x) f(x)10、对数不等式的解法当 a 1 时,logaf(x) loga g(x)当 0 a 1 时，loga f(x

17、) loga g(x)g(x)规律：根据指数函数的性质转化f(x) 0g(x) 0f(x) g(x)f(x) 0g(x) 0规律：根据对数函数的性质转化f(x) g(x)11、含绝对值不等式的解法:规律：关键是去掉绝对值的符号定义法：aa (a 0)a (a 0)平方法：|f(x) |g(x) f2(x) g2(x).“或时同理规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解同解变形法，其同解定理有: x a a x a(a 0); x a x a或 xa(a 0); f(x)g(x) g(x) f(x) g(x) (g(x)0) f (x) g(x) f

18、(x) g(x)或f (x) g(x) (g(x)0)12、含有两个或两个以上绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集13、含参数的不等式的解法解形如ax2 bx c 0且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有: 讨论a与0的大小； 讨论 与0的大小；3讨论两根的大小14、恒成立问题15、能成立问题假设在区间D上存在实数x使不等式f假设在区间D上存在实数x使不等式f16、恰成立问题假设不等式f x A在区间D上恰成立 假设不等式f x B在区间D上恰成立17、线性规划问题二元一次不等式所表示的平面区域的判断： 法一：取点定域

19、法：A 成立,那么等价于在区间D上f 乂尬养 B成立,那么等价于在区间 D上的f x那么等价于不等式 f x那么等价于不等式f xA的解集为D ； B的解集为D.由于直线AxBy C 0的同一侧的所有点的坐标代入Ax ByC后所得的实数的符号相同所以,不等式2 axbxc 0的解集是全体实数或恒成立的条件是：当a0时b0,c0;当a 0时a00.不等式2 axbxc 0的解集是全体实数或恒成立的条件是：当a0时b0,c0;当a 0时a00.f(x)a恒成立f (x)maxa; f (x) a恒成立f (x)max a;f(x)a恒成立f (x)mina;f (x) a恒成立f(x)min a在

20、实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点?, y0如原点，Ax0 By0 C的正负即可判断出Ax By C 0 或 0表示直线哪一侧的平面区域 .即:直线定边界，分清虚实；选点定区域,常选原点法二：根据Ax By C 0 或 0，观察B的符号与不等式开口的符号,假设同号，Ax By C 0 或 0表示直线上方的区域；假设异号，那么表示直线上方的区域即：同号上方，异号下方二元一次不等式组所表示的平面区域：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共局部.利用线性规划求目标函数 z Ax By A,B为常数的最值：法一：角点法：如果目标函数z Ax By x、y即为公共区域中点的横

21、坐标和纵坐标的最值存在，那么这些最值都在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应z值，最大的那个数为目标函数z的最大值，最小的那个数为目标函数z的最小值法二：画一一移一一定一一求：第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步,作直线lo : Ax By 0，平移直线lo据可行域,将直线lo平行移动确定最优解；第三步，求出最优解x,y；第四步，将最优解x, y代入目标函数z Ax By即可求出最大值或最小值第二步中利用z的几何意义：yAx为直线的纵截距B B B假设B 0,那么使目标函数z AxBy所表示直线的纵截距最大的角点处,z取得最大值，使直线的纵截距最小的角

22、点处，z取得最小值;假设B 0,那么使目标函数z AxBy所表示直线的纵截距最大的角点处,z取得最小值，使直线的纵截距最小的角点处，z取得最大值“斜率型：常见的目标函数的类型：“距离型：z“截距型：z Ax By;x2 y2或 zx2 y2; z (x a)2 (y b)2 或 z , (x a)2 (y b)2.在求该“三型的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化五、推理与证明1归纳推理把从个别事实中推演出一般性结论的推理，称为归纳推理简称归纳.简言之，归纳推理是由局部到整体、由特殊到一般的推理。归纳推理的一般步骤：?通过观察个别情况发现某些相同的性质；?从

23、的相同性质中推出一个明确表述的一般命题猜测；?证明视题目要求，可有可无2、类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些特征，推出另一类对象也具有这些特征的推 理称为类比推理简称类比简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理类比推理的一般步骤：?找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；?用一类对象的特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜测；?检验猜测。3、合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比拟、联想，再进行归纳、类比，然后 提出猜测的推理归纳推理和类比推理统称为合情推理，通俗地说，合情推理是指“符合情理的推理 4、演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下

24、的结论，这种推理称为演绎推理.简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理演绎推理的一般模式“三段论.，包括大前提的一般原理；小前提-所研究的特殊情况；结论-据一般原理，对特殊情况做出的判断.用集合的观点来理解：假设集合 M中的所有元素都具有性质 P, S是M的一个子集，那么S中所有元素也都具有性质P.从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在前提和推理形式都 正确的前提下，得到的结论一定正确 5、直接证明与间接证明综合法：禾U用条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明 的结论成立框图表示:要点：顺推证法；由因导果分析法：从要证明的结论

25、出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件条件、定理、定义、公理等为止要点：逆推证法；执果索因反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明 了原命题成立的证明方法它是一种间接的证明方法反证法法证明一个命题的一般步骤：(1)反设假设命题的结论不成立；推理根据假设进行推理，直到导出矛盾为止；归谬断言假设不成立；(4)结论肯定原命题的结论成立六、数系的扩充与复数1复数的概念 虚数单位i ； 复数的代数形式z a bi (a,b R)；复数的实部、虚部，虚数与纯虚数.2、复数的分类复数z a bi a,b R3、

26、相关公式实数(b 0)虚数(b纯虚数(a 0, b 0)0)非纯虚数(a 0,b0) a bi c dia b,且 c d a bi 0 a b 0 z a bi | Ja2 b2 z a biz, z指两复数实部相同，虚部互为相反数互为共轭复数4、复数运算复数加减法：a bi c di a c b d i ；复数的乘法：abicdiac bdbcadi ；复数的除法：abiabic diacbdbc ad iac bdbc adcdicdic di2 cd2c2 d2c2d2类似于无理数除法的分母有理化5、常见的运算规律虚数除法的分母实数化(1)z|zz z 2a,z z 2bi;(3)z zz2a2 b2;(4)z 乙(5)z(6)i4n4ni,i4n1,i4ni,i1；(9)设i i,1.1i2是1的立方虚根，那么123n 13n 2x轴叫做复平面的实轴,y轴叫做复平面的虚轴.6、复数的几何意义复平面：用来表示复数的直角坐标系，其中复数z a bi一一对应复平面内的点Z( a,b)复数z a bi 对应 平面向量OZ |乙 Z2 |的几何意义是Z1、Z2间的距离.七、算法初步1、算法三种语言： 自然语言、流程图、程序语言；2、流程图中