高中数学典型例题解析平面解析几何初步

1、高中数学典型例题分析§一、知识导学1. 两点间的距离公式：不管A(xi, y i), B( X2, y2)在坐标平面上什么位置，都有 d=|AB|= (Xi X2)2 (yi y2)2，特别地，与坐标轴平行的线段的长|AB|=| X2- xi|或 |AB|=| y 2- y i|.2. 定比分点公式：定比分点公式是解决共线三点 A(xi, y i) , B(X2, y 2), P( X , y ) 之间数量关系的一个公式，其中入的值是起点到分点与分点到终点的有向线段的数量之比XiX2i.当P点为AB的中点yi丫2i这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的，一旦选定后入的值也就随之确

2、定了假设x以A为起点，B为终点，P为分点，那么定比分点公式是yXXiX22yyiy22时，入=i,此时中点坐标公式是3. 直线的倾斜角和斜率的关系i每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率2斜率存在的直线，其斜率 k与倾斜角a之间的关系是k =tan a .4确定直线方程需要有两个互相独立的条件。直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围名称方程说明适用条件斜截式y kx bk为直线的斜率 b为直线的纵截距倾斜角为90。的直线不 能用此式点斜式yyok(x xo)(x0, y0)为直线上的点，k为直线的斜率倾斜角为90。的直线不 能用此式两点式y yi = x Xi y2yiX2

3、Xi(Xi,yi), ( X2, y2)是直线上两个点与两坐标轴平行的直线 不能用此式截距式x y+ 丄=i a ba为直线的横截距 b为直线的纵截距过0, 0及与两坐标 轴平行的直线不能用此 式一般式Ax By C 0ACC一，一，一分别BAB为斜率、横截距和纵截距A、B不全为零5.两条直线的夹角。当两直线的斜率ki, k2都存在且k1 -k2丰-1时，tan 9 =当直线的斜率不存在时，可结合图形判断另外还应注意到：“到角公式与“夹角公式的区别6.怎么判断两直线是否平行或垂直？判断两直线是否平行或垂直时，假设两直线的斜 率都存在，可以用斜率的关系来判断； 假设直线的斜率不存在， 那么必须用

4、一般式的平行垂直 条件来判断1斜率存在且不重合的两条直线I 1： y kX b| , l 2： y k?X b2 ,有以下结论:丨1 /丨2«= k?，且 b 1 =b 22对于直线丨1 ： A1 xB1y C10,丨2 : A2x B2yC2当 A1, A 2, B 1,B2都不为零时，有以下结论: I 1 / I 2A2BC7丨1丄I 2 A1A2+ B 1 B 2 = 0丨1与丨2相交A1A2B2丨1与丨2重合A1 = CA2B2 C27.点到直线的距离公式1丨一点p xo，yo丨及一条直线丨:Ax By C那么点P到直线丨的距离d=| Ax。By。C I ；“A2B22丨两平

5、行直线I 1： Ax By C10 , I 2： AxByC20之间的距离d= |C1 C2 I、A2 B2&确定圆方程需要有三个互相独立的条件。圆的方程有两种形式，要知道两种形式之 间的相互转化及相互联系1圆的标准方程：(x a)2(y b)22r ，其中a, b是圆心坐标，r是圆的半径；2圆的一般方程：x2y2Dx EyF 0 D2E2 4F > 0，圆心坐标2 2也 DE伞汉也 v'D E 4F为-一,-一，半径为r =2 2二、疑难知识导析1 直线与圆的位置关系的判定方法1方法一直线：AxBy0 ;圆：x2 y2 DxAxBy2y消元2方法Dx EyEyF0.0相

6、交0相切0相离元二次方程判别式 b2 4ac直线:AxBy0 ；圆：(x a)2 (y b)2r2,圆心a , b到直线的距离为dAa_Bb.A2 B2相离相切相交2.两圆的位置关系的判定方法设两圆圆心分别为 O、Q,半径分别为ri, r2, |0iQ|为圆心距，那么两圆位置关系如下: 两圆外离； 两圆外切；两圆相交；00|> r 1+r 2IQ1O |= r 1+ r 2| r 1- r 2|<|O 1Q|< r 1+ r 2| O1Q |=| r 1 - r 2|0<| O 1骑<|r 1- r 2I三、经典例题导讲例1直线I经过两圆内切；两圆内含错解：设直线

7、方程为a直线方程为P2,3丨，且在x,y轴上的截距相等，试求该直线方程x 11 ,又过 P(2,3), -31 ,求得 a=5ba bx+y-5=0.错因：直线方程的截距式- 上1的条件是：a工0且bM 0,此题忽略了 a a bb 0这一情正解：在原解的根底上，再补充这样的过程：当直线过(0,0)时，此时斜率为：k3直线方程为y=-x2综上可得：所求直线方程为例2动点P到y轴的距离的 方程x+y-5=0 或 y=3 x .23倍等于它到点 A(1,3)的距离的平方，求动点P的轨迹错解：设动点P坐标为(x,y).由3x (x 1)2 (y 3)2,3322化简 3 x =x -2x+1+y -

8、6y+9 .22当 x > 0 时得 x -5x+y -6y+10=0 .22当 x v 0 时得 x + x+y -6y+10=0 .错因：上述过程清楚点到y轴距离的意义及两点间距离公式，并且正确应用绝对值定义将方程分类化简，但进一步研究化简后的两个方程，配方后得52221 亍1223(x- 2 ) +(y-3)=石 和(X+ 2 ) +(y-3)= - 4两个平方数之和不可能为负数，故方程的情况不会出现52221122正解： 接前面的过程，方程化为(x- ) +(y-3)=,方程化为(x+2 ) +(y-3)=-3521-，由于两个平方数之和不可能为负数，故所求动点P的轨迹方程为：(

9、x- - ) 2+(y-3) 2 =(x > 0)例3 m是什么数时，关于 x，y的方程2mf+m-1x2+ ni-m+2 y2+m+2=0的图象表示一个 圆？错解：欲使方程Ax2+Cy2+F=0表示一个圆，只要 A=CM 0,222得 2m+m-1=m-m+2, 即卩 m+2m-3=0,解得 m=1, m=-3 ,.当m=1或m=-3时，x2和y2项的系数相等，这时，原方程的图象表示一个圆错因：A=C是Ax2+Cy2+F=0表示圆的必要条件，而非充要条件，其充要条件是：FA=O 0 且二 v 0.正解：欲使方程Ax2+Cy2+F=0表示一个圆，只要 A=CM 0,222得 2m+m-1

10、=m-m+2,即卩 m+2m-3=0,解得 m=1, m=-3 ,(1) 当m=1时，方程为2x2+2y2=-3不合题意，舍去1(2) 当m=-3时，方程为14x2+14y2=1,即x2+y2=-，原方程的图形表示圆例4 自点A(-3 , 3)发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆 x2+y2-4x-4y+7 = 0相切，求光线L所在的直线方程错解：设反射光线为L'，由于L和L '关于x轴对称，L过点A(-3 , 3)，点A关于x轴的对称点 A (-3 , -3)，于是 L '过 A(-3 , -3).设 L'的斜率为 k,贝U L'

11、的方程为 y-(-3)= k :x-(-3),即 kx-y+3k-3 = 0,圆方程即(x-2) 2+(y-2) 2= 1，圆心0的坐标为(2 , 2)，半径r = 1因L'和圆相切，贝U 0到L'的距离等于半径r = 12k 2 3k 3|5k 5|即 、-k21,k212整理得 12k -25k+12 = 044解得k= L'的方程为y+3 = (x+3)即4x-3y+3 = 0 因L和L'关于x轴对称 故L的方程为4x+3y+3 = 0.错因：漏解正解：设反射光线为L'，由于L和L '关于x轴对称，L过点A(-3 , 3)，点A关于x轴的对

12、 称点 A (-3 , -3), 于是 L'过 A(-3 , -3).设 L'的斜率为 k,贝U L'的方程为 y-(-3) = k :x-(-3),即 kx-y+3k-3 = 0,. .22. .圆方程即(x-2) +(y-2) = 1,圆心0的坐标为(2 , 2)，半径r = 1因L '和圆相切，那么0到L'的距离等于半径 r = 12k 2 3k 3|5k 5|即、k21k2112整理得 12k -25k+12 = 043解得k=或k=3 44L'的方程为 y+3= (x+3);或 y+3 =3即 4x-3y+3 = 0 或 3x-4y-3

13、 = 0因L和L '关于x轴对称-(x+3)。4=0.例5求过直线x 2y 40和圆x2x4y 1一的圆的方程：(1)过原点；2有最小面积解：设所求圆的方程是:2x4yx 2y即:0的交点，且满足以下条件之4040故L的方程为4x+3y+3 = 0或3x+4y-31因为圆过原点，所以故所求圆的方程为:(2) 将圆系方程化为标准式,有:当其半径最小时，圆的面积最小,此时2为所求.故满足条件的圆的方程是x点评：1直线和圆相交问题，这里应用了曲线系方程，这种解法比拟方便；当然也可以待 定系数法。2面积最小时即圆半径最小。也可用几何意义，即直线与相交弦为直径时圆面积最小.例6 06年辽宁理科点

14、A( x1, y1) ,B(x2,y2) x1x2丰0是抛物线y2 2px(p 0)上的两个动点，O是坐标原点，向量 OA,OB满足丨OA OB I = 1 OA OB I .设圆C的方程为 x2 y2 (% x2)x (y1 y2)y 01证明线段 AB是圆C的直径；2当圆C的圆心到直线x 2y 0的距离的最小值为5时，求p的值.5解: 1证明 OAOB 1 = 1 OA OB 丨，. OA OB2= OA OB2,整理得：OA 0B = 0X1X2 + yy = 0设M x, y丨是以线段AB为直径的圆上的任意一点，贝yMA MB = 0即(x Xi)(x X2) + (y yi)(y y

15、?) = 0整理得：x2 y2 (x1 x2)x (y1 y2)y 0 故线段AB是圆C的直径.2设圆C的圆心为C x,y丨，贝U% y222y1x1 x22 2y1 y24p2又 T %x2 +x1x2 =-yy2px2(p 0)2 2 % y2 4p2X X2 工 0,x1x2X2丄S4p2y2丄W124p月;2y2)1y24p所以圆心的轨迹方程为2)px2p2设圆心C到直线x 2y 0的距离为d,那么|x 2y|.5l1(y22p2) 2y|l(y p)2 p2IJ5p当y = p时，d有最小值由题设得p = 2.四、典型习题导练1.直线 3x0截圆x2圆心角为nA.云62.直线()A.

16、5B.4C.371C.D.22x=a(a > 0)和圆(x-1) +y =4 相切4得的劣弧所对的n2，那么a的值是3. 如果实数x、y满足等式(x-2) 2+y2=3,2 2x +y -6x+a=0a<9，C D 点为：.4. 设正方形ABCD A、B、C、D顺时针排列的外接圆方程为1所在直线l的斜率为丄.31求外接圆圆心 M点的坐标及正方形对角线 AC BD的斜率；2如果在x轴上方的A B两点在一条以原点为顶点，以 x轴为对称轴的抛物线上, 求此抛物线的方程及直线 I的方程；3如果ABCD勺外接圆半径为 2 . 5，在x轴上方的A、B两点在一条以x轴为对称轴的抛物线上，求此抛物

17、线的方程及直线I的方程.5. 如图，圆 C:x+4+y=4。圆D的圆心D在y轴上且与圆 C外切。圆D与y轴交于 A B两点，点P为(-3 , 0).1假设点D坐标为0, 3，求/ APB的正切值；2当点D在y轴上运动时，求/ APB的正切值的最大值；3在x轴上是否存在定点 Q,当圆D在y轴上运动时，/ AQB是定值？如果存在，求 出点Q坐标；如果不存在，说明理由 .yyR523 GA*2 x2 a2yb21，左准线l1:x2 ac右准线12 : x2 ac2y22 x1，下准线l1:y2 a；上准线12: y2 aVab2cc对于对于2 a2 a§一、知识导学1椭圆定义：在平面内，到

18、两定点距离之和等于定长定长大于两定点间的距离 的轨迹.2 椭圆的标准方程:2x2ab22 21 ,笃笃 1 a b 0 a b3，椭圆的第二定义，:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个e,那么这个点的轨迹叫做椭圆.其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数 椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式.4 椭圆的准线方程的动点(°，1)内常数e就是离心率2 b2一焦参数c椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称x a cos6.椭圆的参数方程(为参数).y bsi n7 .双曲线的定义：平面内到两定点 Fi，F2的距离的差的绝对

19、值为常数小于 点的轨迹叫双曲线， 即IMFJ |MF2| 2a*这两个定点叫做双曲线的焦点， 离叫做焦距+&双曲线的标准方程及特点：1双曲线的标准方程有焦点在x轴上和焦点y轴上两种：2 2焦点在x轴上时双曲线的标准方程为：笃 与 1(a °,b O)；a2b22 2焦点在y轴上时双曲线的标准方程为：冷 1( a °, b °)a2b22 2 , 2a,b,c有关系式cab成立，且a °,b Qc 0 +其中a与b的大小关系：可以为a b,a b,a b*F1F2丨的动两焦点间的距2 2x、y项的分9.焦点的位置：从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点

20、位置可由方程中含字母母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴+而双曲线是根据项的2 2正负来判断焦点所在的位置，即x项的系数是正的，那么焦点在x轴上；y项的系数是正的，那么焦点在y轴上+10.双曲线的几何性质：1范围、对称性2 2由标准方程冷耸 1，从横的方向来看，直线x=- a ,x= a之间没有图象，从纵的方向来 a2 b2看，随着x的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那 样是封闭曲线*双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心2顶点顶点：A(a,0),A2 a,0 ,特殊点：Bi(0,b),B2 0, b实轴：A1A2长为2 a,a叫

21、做半实轴长虚轴：B1B2长为2b, b叫做虚半轴长双曲线只有两个顶点，而椭圆那么有四个顶点，这是两者的又一差异 3渐近线过双曲线2 x-2 a21的渐近线yb24离心率双曲线的焦距与实轴长的比e2c2aC，叫做双曲线的离心率a范围：e 1双曲线形状与e的关系：k -a匕1 Je21 , e越大，即渐近线的斜a率的绝对值就大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔.由此可知，双曲线的离心率越11.双曲线的第二定义:到定点F的距离与到定直线1的距离之比为常数e -(c a 0)a的点的轨迹是双曲线. 是双曲线的离心率.12.双曲线的准线方程：其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线.常数e

22、大，它的开口就越阔+2 a2 2对于 务 %1来说，相对于左焦点 F, c,0)对应着左准线h：xa b，相对于右焦点F2 (c,0)对应着右准线l2：X2a;c焦点到准线的距离 pb2地叫焦参数222对于爲 笃 1来说，相对于上焦点 F!0,c对应着上准线h : y ；相对于下焦点a bc2F2 0, c对应着下准线l2 :y c抛物线图 形Jrfyy7lOfj/O方 程2y 2px(p 0)2y2px(p 0)2x 2py(p 0)2x2py(p 0)焦占八、po(匕0)2p o与p0,专准线xp_2x卫2y子y 113抛物线定义:平面内与一个定点 F和一条定直线1的距离相等的点的轨迹叫做

23、抛物线.定点F叫做抛物线 的焦点，定直线1叫做抛物线的准线+ 二、疑难知识导析椭圆、双曲线、抛物线同属于圆锥曲线， 它们的定义、标准方程及其推导过程以及简单的几 何性质都存在着相似之处，也有着一定的区别 ，因此，要准确地理解和掌握三种曲线的特点 以及它们之间的区别与联系1 等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线等轴双曲线的性质：1渐近线方程为：yx ； 2渐近线互相垂直；3离心率e 2、2 共渐近线的双曲线系如果一双曲线的渐近线方程为y -x xk 0,那么此双曲线方程就一定a ka是:(ka)22y(kb)21(k0或写成2x2ab23 共轭双曲线以

24、双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上 确定双曲线的共轭双曲线的方法： 将1变为-1 + 4.抛物线的几何性质1范围因为p>0,由方程 y 2 px p 0可知，这条抛物线上的点M的坐标(x , y)满足不等式x>0,所以这条抛物线在 y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上 方和右下方无限延伸.2对称性以y代y,方程寸 2px p 0不变，所以这条抛物线关于 x轴对称，我们把抛物线的 对称轴叫做抛物线的轴.3顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点在方程2y 2px p 0 中，当 y=0

25、 时，x=0,因此抛物线y2 2px p 0的顶点就是坐标原点.4离心率叫做抛物线的离心率， 用e表示.由抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比, 抛物线的定义可知，e=1.19抛物线的焦半径公式：2抛物线 y2Px(P 0) , pfx°2抛物线y2px(p0)PFx°x°2抛物线X2py(p0)PF y0 子2抛物线X2py(p 0) , PF y p2y0三、经典例题导讲例1设双曲线的渐近线为：y错解：由双曲线的渐近线为：y32x，求其离心率?x,可得：b 3，从而 e E . 1 b：2a 2aa2、132剖析：由双曲线的渐近线为 y3x是不能确定

26、焦点的位置在 x轴上的，当焦点的位置在2y轴上时，b -，故此题应有两解，即:b2a 3 13或 -2 3例2设点P(x,y)在椭圆4x2y24上，求x y的最大、最小值错解：因4x2y24 4x24，得：1 x1 ,同理得：2y2 ,故3 x y 3 最大、最小值分别为3,-3.剖析：此题中x、 y 除了分别满足以上条件外，还受制约条件4x2 y24 xcos , y2 sin ，贝U x y cos2si n5 si n()，故其最大值为、:5，最小值为.5.4，右焦点F(1°,°) ,离心率e 2,求双曲线方程错解一：2a/x4,cc10,a240, b2c2a260

27、.故所求的双曲线方程为2 2x y40601.错解二：由焦点F(10,0)知cc10, e2, aa5,b2c2 a275.例3双曲线的右准线为 x2 2故所求的双曲线方程为x y 1.2575错因：这两个解法都是误认为双曲线的中心在原点，而题中并没有告诉中心在原点这个条离心率e2，由双曲线的定义知(x 10)2 y2|x 4|2.整理得(x 2)2162丄1.48件。由于判断错误，而造成解法错误。随意增加、遗漏题设条件，都会产生错误解法解法一：设P(x, y)为双曲线上任意一点，因为双曲线的右准线为x 4，右焦点F(10,0),解法二：依题意，设双曲线的中心为 (m,°),2 a4

28、a4cmcm10 解得c8 ,所以 b2 c2 a264 16 48,c2.m2.a2 y故所求双曲线方程为(x 2)21648例4设椭圆的中心是坐标原点，长轴1.x在轴上，离心率e33巧，点P(0,-)到这个椭圆上的最远距离是 .7，求这个椭圆的方程22错解：依题意可设椭圆方程为笃爲 1(a b 0)a2b22 2.2 .22 c a b , be 2 1 a aa所以b 1孑4，即a 2b.设椭圆上的点(x, y)到点P的距离为d，那么 d2 x2 (y -)222a2(1 汁 y2 3y 弓b41 2 23( y ) 4b 3.21 2所以当y时，d有最大值，从而d也有最大值。2所以4b

29、2 3 C7)2，由此解得：b2 1,a2 4.2 w于是所求椭圆的方程为y2 1.4错因：尽管上面解法的最后结果是正确的，但这种解法却是错误的。 结果正确只是碰巧而已。1 2由当y 时，d2有最大值，这步推理是错误的，没有考虑y到的取值范围.事实上，由2于点(x, y)在椭圆上，所以有 b y b，因此在求d2的最大值时，应分类讨论.1 2正解：假设b ，那么当y b时，d 从而d丨有最大值.23311于是(、7)2 (b -)2,从而解得b 7，与b 矛盾.2 2 2 2112所以必有b -，此时当y 时，d2从而d丨有最大值，22所以 4b2 3 C7)2，解得 b21,a24.于是所求

30、椭圆的方程为2x4y2 1.22例5从椭圆令ayb21,( a >b>0)上一点M向x轴所作垂线恰好通过椭圆的左焦点F1,A B分别是椭圆长、短轴的端点，AB/ 0M设Q是椭圆上任意一点，当 QF2丄AB时，延长QF2与椭圆交于另一点 P,假设"FiPQ的面积为20 . 3，求此时椭圆的方程.解：此题可用待定系数法求解*2 2Tb=c, a =、2c,可设椭圆方程为笃 1.2c c PQ! AB, a kpF-丄-2，贝U PQ的方程为 y= 2 (x-c),kABb代入椭圆方程整理得5x2-8cx+2c 2=0,根据弦长公式，得 PQ =乞2c,5又点F1到PQ的距离d

31、=Sc3- S F1PQ |PQd24、3 2 c20 .3,得 c225,2 2故所求椭圆方程为1.50252 例6椭圆：y1，过左焦点F作倾斜角为6的直线交椭圆于 A、B两点，求9弦AB的长+解：a=3,b=1,c=22； 那么 F -22 , 0由题意知：I : y13 (xy21联立消去y得:4x212 2x 150设A x1,y1)、B x2,y2)，那么x1,x2是上面方程的二实根，由违达定理，x1 x23.22例706年全国理科设P是椭圆笃 y2a1(a 1)短轴的一个端点，Q为椭圆上的一个动点，求丨PQI解：依题意可设P 0,1 丨，Q x, y，那么 I PQIx2(y1)2

32、，又因为Q在椭圆上,所以，x2 a2(12 2 2y ), I PQI = a (1 y )y2 2y=(12 2a )y2y 1 a22=(1a )(y亠 1 a2.1 a因为| y | w 1, a > 1，假设PQI取最大值12-;假设 1 v a va2 12 2 a - a1时，I PQI取最大值2.例8双曲线的中心在原点，过右焦点F2, 0作斜率为，3的直线，交双曲线于 5M N两点，且 MN =4,求双曲线方程+解：设所求双曲线方程为2与 1(a 0,b0)，由右焦点为2, 0+知 C=2, b2=4- a2b22 2那么双曲线方程为笃 J 1，设直线MN的方程为:a 4

33、a、3(x 2)，代入双曲线方程:5整理得：(20-8 a2)x2+12a2x+5a4-32 a2=0设 M X1,y1,N(x 2,y 2),那么 x1 x212a220 8a2 ，x1x25a432a220 8a2.x1 x2 4x1x2812a2245a432a2248a-5208a220解得a21,b24 13*故所求双曲线方程为：x22y31点评：利用待定系数法求曲线方程，运用一元二次方程的根与系数关系将两根之和与积整体 代入，表达了数学的整体思想，也简化了计算，要求学生熟练掌握*四、典型习题导练221.设双曲线冷笃 1(a0,b0)两焦点为Fi、F2，点Q为双曲线上除顶点外的任一点

34、a b过Fi作/ FiQF的平分线的垂线，垂足为P,那么点P的轨迹是C抛物线的一局部D.圆的一局部2 .点(-2 , 3)与抛物线y2=2px(p > 0)的焦点 的距离是5,那么p=.22A 1,0)和B (1,0),在圆(x 3)2 (y 4)2 4上，求一点 P 使|AP | BP 取得最2 x2a大值或最小值，并求出最大值和最小值y 1(a b 0)的离心率为 .1假设圆x-22+(y-1) 2=彳 与椭圆相交于 A b223B两点且线段AB恰为圆的直径，求椭圆方程；2设L为过椭圆右焦点 F的直线，交椭圆于M N两点，且L的倾斜角为600，求 巴匚 的值.NFy2 2p(x 1)

35、( p 0)，直线l : x y m过抛物线的焦点 F且被抛物线截得的弦长为 3, 求p的值.x轴正半轴上一点 Mm,0 m>C，端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过 A, 0, B三点作抛物线*1求抛物线方程；2假设tg AOB 1,求m的取值范围*§ 7.3 点、直线和圆锥曲线、知识导学1.点M(x。, y。)与圆锥曲线C： f(x,y)=0的位置关系2222x2y21 a > b> 0的焦点为F1、F2, x2y .21 a> 0,b > 0abab的焦点为F1、F2, y 2px (p > 0)的焦点为F, 定点为P(xo,y

36、0), M点到抛物线的准线的距离为d,那么有:条件结论圆点往曲线上|MI| > 2a等十晋?1点在曲线外|哪已哪加驾十罟1点在曲竣内敷曲线|眄|一|昭|=加 驾一尊 “3点狂曲堆上点在曲线外1呻|吧|心竽詈>1直在曲线内拋物线|1VIF図弘叱Pltg点在曲线上IMFP d 如 > 冇曲点在曲线外IMFK 日 yj < 丁叭点在曲钱内上述结论可以利用定比分点公式，建立两点间的关系进行证明.2.直线l : Ax+ By + C=0与圆锥曲线 C： f(x , y) = 0的位置关系:直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离对于抛物线来说，平行于对称轴的 直线与抛物线

37、相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线丄 Ax By C 由f(x, y) 0只有一个交点，但并不相切.这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为： 设直线丨:Ax+By+C=0,圆锥曲线C:f(x,y)=0, 消去 y(或消去 x)得:ax 2+bx+c=0, =b2-4ac,假设 a* 0 时， > 0 相交< 0 相离 = 0 相切注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件， 但不是充分条件.二、疑难知识导析1 椭圆的焦半径公式：左焦半径* aex；3,右焦半径r2aex3,其中e是离心率。焦点在y轴上的椭圆的焦半径

38、公式:MF!MF2a ey°a ey°其中FF2分别是椭圆的下上焦点焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关.可以记为：左加右减，上减下加.2双曲线的焦半径定义：双曲线上任意一点 M与双曲线焦点 戸丁2的连线段，叫做双曲线的焦半径焦点在x轴上的双曲线的焦半径公式：MFiMF2a exoa ex0焦点在y轴上的双曲线的焦半径公式:MF1MF2a eyoa eyo其中Fi,F2分别是双曲线的下上焦点3双曲线的焦点弦:定义：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦。 焦点弦公式：当双曲线焦点在x轴上时,过左焦点与左支交于两点时:AB 2a e(x1 x2)；过右焦

39、点与右支交于两点时：AB2ae“X2)。当双曲线焦点在y轴上时，AB2ae(y1y2；过左焦点与左支交于两点时：过右焦点与右支交于两点时：AB2ae(%y2)。定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦2b24双曲线的通径:5.直线和抛物线1位置关系：相交两个公共点或一个公共点；相离无公共点；相切一个公共点联立2，得关于x的方程ax bx c 0y 2px当a 0二次项系数为零，唯一一个公共点交点；当a 0，贝U假设0 ,两个公共点交点；0，一个公共点切点0，无公共点相离2相交弦长：弦长公式：d1 k2.a3焦点弦公式:抛物线y它正好与抛物线 y 2x相切.当所求直线斜率为零时，直线为2px(p0),

40、ABp咅X2).抛物线y22px(p0),AE3 p洛X2)抛物线x22py(p0),ABp(y1y2).抛物线x22py(p0),ABp(y1y2).4通径:定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦+通径：d 2 p.y k(x -P)22y 2px2p 2Ty p5常用结论:2 22k p(k2p 2p)x04y2p2和x1 x2三、经典例题导讲例1求过点Q1的直线，使它与抛物线2x仅有一个交点.错解：设所求的过点0,1的直线为ykx，那么它与抛物线的交点为y kx 122y 2x，消去 y 得(kx 1)2x0-整理得k2x2(2k2)x1 0.直线与抛物线仅有一个交点,0,解得k i所求直线

41、为y丄x 1.2正解： 当所求直线斜率不存在时,即直线垂直x轴,因为过点叩，所以x 0,即y轴,y = 1平行x轴，它正好与抛物线y2x只有一个交点.一般地，设所求0,1的直线为y kx 1 (k0),那么 y2ykx 12x 'k2x2(2k 2)x10.令0,解得!x 1.2综上，满足条件的直线为:y 1, x0, y丄x 1.2例2曲线C: y 20 x22与直线L:x m仅有一个公共点，求 m的范围.错解：曲线C y ¥可化为x2 4y220，联立y x mx2 4y2202 25x 8mx 4m 200，由= 0,得 m 5 .错因：方程与原方程并不等价，应加上 y

42、 °，.正解：原方程的对应曲线应为椭圆的上半局部如图，结合图形易求得m的范围为m 5或2 5 m 2.、5.注意：在将方程变形时应时时注意范围的变化，这样才不会出错2例3双曲线x2 -1，过P(1,1)能否作一条直线L与双曲线交于A、B两点，且P2为AB中点.错解：1过点P且与x轴垂直的直线显然不符合要求.2设过P的直线方程为y1k(x1)，代入x2 厶 1并整理得2(22 2k )x2k(1 k)x (1k)2 20X22k(1 k)2 ，又X22 .2k(1 k) 22 22 k22 k22解之得：k=2，故直线方程为：y=2x-1,即直线是存在的.正解：接以上过程，考虑隐含条件

43、“ >0，当k=2时代入方程可知厶<0,故这样的直线不存在例4A、B是圆x2 y2 1与x轴的两个交点，CD是垂直于AB的动弦，直线 AC和DB相交于点P,问是否存在两个定点 E、F, 求出E、F的坐标；假设不存在，请说明理由 解：由得A ( 1,0 )、B ( 1,0 ),设 P ( x, y ), C (由A、C P三点共线得X。由D B P三点共线得y。X°12yx212y。2Xo2Xo2yo y。21Xo2,代入得x2 y21,即点P在双曲线x2 y21上, 故由双曲线定义知，存在两个定点F ( ' 2,0 )即此双曲线的焦点，使| PE |I PF |

44、= 2 (即此双曲线的实轴长为定值).例5椭圆的中心在坐标原点O,焦点在坐标轴上，直线y=x+1与该椭圆相交于 P和Q*且OPLOQ | PQI = ，求椭圆的方程.22 2解：设所求椭圆的方程为笃爲=1.a2 b2依题意知，点P、Q的坐标满足方程组：2X2 a2；2 1y x 1将代入，整理得(a2b2)x22a2x a2(1 b2)0,设方程的两个根分别为x1> x2，那么直线y=x+1和椭圆的交点为P( X1, X1+1), q(X2 , X2+1)10由题设OFL OQ | OP| =二°，可得2X-!1x21X11022)X2(X2X1)2(X21)(X11)2整理得

45、(x1x2)2x1x21024(x-| x2)16x1x2 5 0解这个方程组，得11X-|X2x1x24或431X-jX2X1x222根据根与系数的关系，由式得2a232a212 2(1) a2 b 2 2或(2)a2 b22a2(1 b2)1a2(1b2)a2 b24a2 b2解方程组(1)、(2)得2 a222a.22或3b3b22故所求椭圆方程为222 2Xy =1或:y =1222 233例6 06年高考湖南椭圆(y m)22px(p 0)，且 O、C2的公共弦2 X2yC1 :c= 1，抛物线C243AB过椭圆C的右焦点。1当AB! x轴时,4求m、p的值，并判断抛物线 C2的焦点

46、是否在直线 AB上；2假设p =-，且抛物线C23的焦点在直线 AB上，求m的值及直线 AB的方程解：1当AB! X轴时，点A B关于X轴对称，所以 m = 0,直线AB的方程为X = 1,3 3从而点A的坐标为1,或1 ,丨，2299因为点A在抛物线上，所以 -2p , p = 9.4 89此时，抛物线C2的焦点坐标为，0，该焦点不在直线 AB上.168k23 4k2C2的焦点的弦,(2)当抛物线C2的焦点在直线 AB上时，由1知直线AB的斜率存在，设直线 AB的方程 为 y k(x 1).yk(x 1)由x2y2消去 y 得(3 4k2)x2 8k2x 4k2 12 0134设A、B的坐标

47、分别为x1 ,y1、 x2, y2那么x1, x2是方程的两根， + x2因为AB既是过C1的右焦点的弦，又是X2)111所以丨 AB |= 2 x1+ 2 X2= 4- (x1222且1 AB| =X1p+X2-=X-!22从而X1X243 =4 如1X2)168k216所以X-IX2即93 4k294x2 p = X1x2.3解得k 6 .2k(x 1)上，所以m因为C2的焦点F、 2 ,m在直线y336(x 1)；6(x 1).6时直线AB的方程为y36'时直线AB的方程为y3四、典型习题导练1 顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线被直线I : y=2x+1截得的弦长为 15，那么抛

48、物线方程为 2 22. 直线m： y=kx+1和双曲线x -y =1的左支交于 A B两点，直线I过点P一 2, 0和线段AB的中点，那么直线I在y轴上的截距b的取值范围为 2 23. 椭圆C : -1上存在关于直线l : y 2x m对称的两点，94试求m的取值范围.4. 设过原点的直线I与抛物线y2=4(x 1)交于A、B两点，且以AB为直径的圆恰好过抛物线的焦点F,1求直线I的方程；2求|AB|的长.25. 如图，过抛物线y=4x的顶点O作任意两条互相垂直的弦OM ON求(1)MN与x轴交点的坐标；(2)求MN中点的轨迹方程.9.设曲线C的方程是y= x3-x，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动 t,s单 位长度后得曲线 C1.(1) 写出曲线G的方程；t s证明曲线C与C1关于点A(-,-)对称；2 2如果曲线C与C1有且仅有一个公共点，证明§、知识导学在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0 的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的