高中数学函数定义域值域解题方法纳

1、只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。 例：判断以下各组中的两个函数是否是同一函数？为什么?1 yi(X 3)(x5)x 3y2 x 5解：不是同一函数，定义域不同3。 f (x) xg(x)x2解：不是同一函数，值域不同4 f(x) xF(x) 3 x3解：是同一函数5. f1 (x)( . 2x25) f2(x) 2x 5解：不是同一函数，定义域、值域都不同2。 y1, x V. x 1V2 (X 1)(x 1)解：不是同一函数，定义域不同关于复合函数设 f(x)=2x 3g(x)=x2+2 那么称 fg(x)(或 gf(x)为复合函数fg(x)=2(x2+2) 3=衣+1

2、gf(x)=(2x 3)2+2=4x2 12x+112 、 1例：f( x)= x x+3 求：f( )f(x+1)x111解：f( )=( )2 +3f(x+1)=(x+1)2 (x+1)+3=x+x+3x x x1.函数定义域的求法分式中的分母不为零；偶次方根下的数(或式)大于或等于零；指数式的底数大于零且不等于一；对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。y tan x.(x R,且 x k , k )正切函数2余切函数y cotx x R，且x k，k反三角函数的定义域(有些地方不考反三角，可以不理),函数y = arcsinx的定义域是1, 1，值域是2 2 ，函数y = arcco

3、sx的定义域是1, 1，值域是0, n ，函数y = arctgx的定义域是R，值域是(25)，函数y = arcctgx 的定义域是 R，值域是 (0, n ).1.复合函数的定义域。x 1 (1,3) 如：函数f(x)的定义域为(1, 3)，那么函数F(x) f(x 1) f(2 x)的定义域。2 X (1,3)2.函数f(x)的定义域为(a，b),函数g(x)的定义域为(m，n),g(x) (a,b)那么函数fg(x)的定义域为x (m,n)，解不等式，最后结果才是3. 这里最容易犯错的地方在这里：函数f(x 1)的定义域为(1,3),求函数f(x)的定义域；或者说，函数f(x 1)的定

4、义域为(3,4),贝y函数f(2x 1)的定义域为 ?一、复合函数的构成X寒B B'，当u取遍B数称为由外函数设u g(x)是A到B的函数，y f(u)是B'到C'上的函数，且中的元素时，y取遍C,那么y f(g(x)就是A到C上的函数。此函 y f(x)和内函数u g(x)复合而成的复合函数。说明：复合函数的定义域，就是复合函数y f(g(x)中x的取值范围。x称为直接变量，u称为中间变量，u的取值范围即为g(x)的值域。f(g(x)与g(f(x)表示不同的复合函数。.例2:假设函数f(X)的定义域是0 , 1，求f(12x)的定义域；假设f(2x 1)的定义域是-1

5、,1，求函数f(x)的定义域；f(x 3)定义域是4,5，求f(2x 3)定义域.要点1：解决复合函数问题，一般先将复合函数分解，即它是哪个内函数和哪个外函数复合而成的.解答： 函数f(1 2x)是由A到B上的函数u 1 2x与B到C上的函数yf(u)复合而成的函数.函数f(x)的定义域是0 , 1 , B=0,1，即函数u 1 2x的值域为0 , 1.C110 x _ 01 2x 11 2x 0，即2 , 函数 f(12x)的定义域0 , 2 . 函数f(2x 1)是由a到B上的函数u 2x 1与b到C上的函数yf(u)复合而成的函数.f(2x 1)的定义域是-1 , 1 , A=-1,1，

6、即-1 x 1 , 3 2x 1 1,即 u 2x 1 的值域是-3 , 1 , yf(x)的定义域是-3 , 1.y f(u)复合而成的函数.x 3 8 即 u x 3 的值域 B=-1 , 8)u'f(2x 3)是由A'到B'上的函数u' 2x3与B到C上的函数f(u)复合而成的函数，而B B',从而2x 3的值域 B' 1,8)1 2x 2 2x11,11211f (2x3)的定义域是1，2)例4 :函数f(x) xx (x 1)要点2：假设f(x)的定义域为a，那么fg(x)的定义域就是不等式g(x) A的x的集合；假设fg(x)的定义域

7、为a，那么f(x)的定义域就是函数g(x)(x A)的值域。函数f(x 3)是由A到B上的函数U x 3与B到c上的函数f(x 3)的定义域是-4 , 5), A=-4,5)即 4 x 5,.求f(x)的值域。分析：令u(x)(x1) 那么有g(u)(u 0)复合函数f(x)是由u(x)x 1 与 g(u)u 1复合而成，而g(u)u 1, (u °)的值域即f (x)的值域，但g(u) u22 .求有关复合函数的解析式，u 1的本身定义域为R,其值域那么不等于复合函数f(X)的值域了。例6 .2f (x) x 1,求 f (x 1)；f(x1)(x211，求 f(x).例7 .f(

8、x1)，求 f(x)；要点f(x丄7，求 f(x 1)3:f (x)求复合函数f g(x)的解析式，直接把f(X)中的x换成g(x)即可。f g(x)求f (x)的常用方法有：配凑法和换元法。配凑法就是在fg(x)中把关于变量x的表达式先凑成 g(x)整体的表达式，再直接把 g(x)换成x而得f(x)。换元法就是先设g(x) t，从中解出x (即用t表示x)，再把x (关于t的式子)直接代入fg(x)中消去x得到f (t)，最后把f (t)中的t直接换成x即得f(X)，这种代换遵循了同一函数的原那么。例&f(x)是一次函数，满足3f(x 1) 2f(x 1) 2x 17，求f(x)；1

9、3f(x)24x，求f(x) 要点4： 当函数的类型求函数的解析式时，一般用待定系数法。假设抽象的函数表达式，那么常用解方程组、消参的思想方法求函数的解析式。f(x)满足某个等式,这个等式除f(x)是未知量外，还出现其他未知量,如 f( x)、f(-)x等，必须根据等式再构造出其他等式组成方程组，通过解方程组求出f(X)。三、总结：1复合函数的构成;设函数y()，g () ，那么我们称yf(g(x)是由外函数y f(u)和内函数u g(x)复合而成的复合函数。其中 x被称为直接变量，U被称为中间变量。复合函数中直接变量x的取值范围叫做复合函数的定义域，中间变量u的取值范围，即是g(x)的值域，

10、是外函数 y f(u)的定义域。2 有关复合函数的定义域求法及解析式求法：定义域求法：求复合函数的定义域只要解中间变量的不等式(由a g(x) b解x)；求外函数的定义域只要求中间变量的值域范围(由a x b求g(x)的值域)。一个复合函数求另一个复合函数的定义域,必须先求出外函数的定义域。特别强调，此时求出的外函数的定义域一定是前一个复合函数的内函数的值域, 解析式求法：待定系数法、配凑法、换元法、解方程组消元法.2.函数值域的求法(1)、直接观察法例2( 3)反映明显。对于一些比较简单的函数，如正比例，反比例，一次函数，指数函数，对数函数，等等,其值域可通过观察直接得到。例求函数y1-,x

11、x1,2的值域例2.求函数X的值域。解：乜0x 0,3 x 3故函数的值域是：，3(2)、配方法 配方法是求二次函数值域最根本的方法之一。2例3.求函数y x 2x 5,x 1,2的值域。2解：将函数配方得：y (X °4/ X 1,2ymax 8故函数的值域是：4，8由二次函数的性质可知：当x=1时，ymin 4，当x 1时,(3)、根判别式法对二次函数或者分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用,但这类题型有时也可以用其他方法进行化简2x2X 的值域。1 x y 例4.求函数 1解：原函数化为关于x的一元二次方程(y1)x2(y i)x(1)当 y 1 时，x1)24(y1)

12、(y1)解得:(2)当 y=1 时，x10，而故函数的值域为4、反函数法(原函数的值域是它的反函数的定义域) 直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例求函数73x 45x 6值域。3x 47 5x 65xy 6y 3x 46y 4xy3 5y ,分母不等于0,即5、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。cosx例求函数y sinx 3的值域。2解：由原函数式可得：ysinx cosx 3y，可化为：,y 1 sin x(x )3ysi nx(x即3yy2 i/ x Rsi

13、n x(x ) 1,11 3y 1 即.y 1,2 ,2 2 2y4 ' 4解得： 44故函数的值域为4 46.倒数法番境况有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另Jx 2 y 例求函数x 3的值域7.函数单调性法例.求函数y 'X 1x 1的值域。y解：原函数可化为：2x 1x 1令 y1x 1,y2x1，显然 y1，y2 在1,所以y y1，y2在1，上也为无上界的增函数上为无上界的增函数所以当x=1时，y y1 y2有最小值 2，原函数有最大值2显然y °，故原函数的值域为(°厂27.换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特

14、征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型, 例11.求函数y x x 1的值域。解：令 x 1 t , (t 0)那么 x t21y t2t 1 (t 1)2 3又t 0，由二次函数的性质可知当 t 0 时，y min0时，y故函数的值域为1,)例 14.求函数 y Ginx 1)(cosx 1)12 2的值域。解：y (sinx 1)(cosx 1) si nxcosxsin xcosx令 sinx cosx t，贝y1 2sin xcosx (t21)12(t1)(t 1)22由 t sin xcosx2 sin(x/4)12 22可得：2t .2当t 、2时,y max2，当_22时,故

15、所求函数的值域为8.数形结合法例17.求函数y.x2 6x 13. x2 4x 5的值域。解：原函数可变形为:上式可看成x轴上的点P(x,0)到两定点 A(3,2), B( 2, 1) 的距离之和,- 2 2 由图可知当点P为线段与x轴的交点时，ymin |AB|32)(21)故所求函数的值域为* 43，10.映射法ax b z c、y (c 0)原理：因为 ex d在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，假设知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。1 3xy 例21.求函数 2x 1的值域。x | x解：T定义域为1 3x x 1 y y由 2x 1得 2y 31 y2y 31 y2y 3y解得33故函数的值域为22多种方法综合运用 总之，在具体求某个函数的值域