高中数学【Word版题库】3.2-用导数研究函数的单调性与极值

1、3.2用导数研究函数的单调性与极值一、填空题1. 假设f(x) = x解析 由题意，得y3x2+ 2x + m>0解集为R,所以 = 4 12mc0,解得m>g. 1答案 3，+4 .函数f (x) = x3 3x2+ 1在x = 取得极小值.解析 由 f'(x) = 0,得 x= 0 或 xf '(x) >0得 xv0 或 x>2, 由f'(x) v0得Ovxv 2,所以f (x)在x = 2处取得极小值.答案2 x3225. 函数f(x) = 3 (4m- 1)x + (15m 2m 7)x + 2在实数集R上是增函数， 那么实数m的取值范围

2、是.解析 f'(x) = x2 2(4m 1)x + 15卅2m 7,依题意，知f'(x)在R上恒大于 或等于 0,所以= 4(m 6m+ 8) <0 得 2< me4.答案2,4+ 3ax2 + 3(a+ 2)x+ 1有极大值和极小值，那么a的取值范围是解析f'(x) = 3x2+ 6ax+ 3(a + 2)，由题意知f'(x) = 0有两个不等的实根，由 = (6 a) 4x 3x 3( a + 2) > 0，即卩 a a 2> 0,解得 a>2 或 av 1.答案(, 1) U (2 ,+*)2. 函数f(x) = In x

3、+ 2x，假设f(x2 + 2) vf(3x)，那么实数x的取值范围是1解析 由 f(x) = In x+ 2x，得 f '(x) = - + 2xln 2 >0，x (0，+)，x所以 f (x)在(0，+x)上单调递增，又 f (x2+ 2) v f (3 x)，得 0v x2+ 2v 3x， 所以 x (1,2).答案(1,2)3. 假设函数y = x3+ x2 + m>+ 1是R上的单调函数，那么实数m的取值范围是2n nn6. 函数 f (X) = x COS x , x 2 , 2，那么满足 f(Xo) > f 的 Xo 的取nn解析f (x)是偶函数，且

4、由f'(x) = 2x+ sin x>0 0< x，知f (x)在0,空nnnn上单调递增，所以由f (xo)> f-3，得f(|xo|)> f-3，从而§ V|Xo|, 解得于< XoV-专或专v xw牙答案7. 函数f (X) = X3+ ax2 + 3x 9,f (X)在x= 3时取得极值，那么a=.解析/ f '(x) = 3x + 2ax + 3，又f(x)在x = 3时取得极值， f' ( 3) = 30 6a = 0,那么 a = 5.答案58. 函数f(x)的定义域为(一2,2)，导函数为f'(x) = x

5、2 + 2cos x且f(0)=0,那么满足f(1 + x) + f(x2 x) > 0的实数x的集合是.解析 因为当x ( 2,2)时，f '(x) >0且为偶函数，所以f(x)是奇函数且在(2,2)上单调增，于是由 f(1 + x) > f (x2 x) = f (x x2),得2v x x2v 1 + x v 2,解得1 v x v 1.答案(一1,1)9. 假设 a>0, b>0,且函数 f (x) = 4x3 ax2 2bx+ 2 在 x = 1 处有极值，那么 ab的最大值为.解析由题意，x= 1是f'(X)= 12x2 2ax 2b的

6、一个零点，所以12 2a 2b=0, 即卩 a+ b = 6(a>0, b>0)，因此 abwa+ b 229,当且仅当a= b = 3时等号成立.答案 910. 设a R,假设函数y eax + 3x, x R有大于零的极值点，那么a的取值范围是.133解析 由y'= a, + 3= 0,得x=-|n -,所以一->0, av0,又因为有正根,aaaav 0,所以必有3得av 3.Ov v 1,a答案(s, 3)11. 函数f(x) = x3 3ax15. 函数f (x) = x3+ ax2+ bx+ c在x = 3与x= 1时都取得极值. + 3xf(x)在区间(

7、2,3)中至少有一个极值点，那么 a的取值范围是.解析 f '(x) = 3x2 6ax+ 3= 3( x a)2+ 1 a2.当1 a2>0时，f '(x) >0, f(x)为增函数，故f (x)无极值点；当 1 a v 0 时，f (x) = 0 有两个根 X1 = a=：； a 1, X2 = a+匕.一 a 1.由题意，知2 v a ； a 1 v 3,或 2va+，:a2 1v3,55无解，的解为4< av 3,55因此a的取值范围为4, § .答案4, i12. 函数f(x)的定义域为(a, b)，导函数f '(x)在(a, b)

8、内的图象如下列图，贝U函数f(x)在(a, b)内有极小值点的个数为 .解析f '(x)图象与x轴的交点从左至右第1个与第4个是极大值点，第2个是 极小值点，x = 0不是极值点.答案1个13. 定义在R上的函数f(x)满足f=1, f'(x)为f(x)的导函数，y = f'(x)的图象如下列图，b+ 1假设两个正数a, b满足f(2a+ b) v 1,那么不的取值 范围是.解析 当x 0 ,+s)时，f '(x) > 0,所以f (x)在区间0 ,+s)上单调递增,Ov 2a+ bv 4,于是由f(2a+ b) v f，得它表示的平面区域如下列图(不包a

9、>0, b>0,括边界),1所以kPA<b+ 1a+ 1v kpB=5.1答案1, 5二、解答题14. 函数f(x) = x2 (1)求a, b的值以及函数f(x)的单调区间； 假设对x 1,2，不等式f (x) v c2恒成立，求c的取值范围.解析 (1) f'(x) = 3x2+ 2ax+ b.+ ax2 + bx(a, b R)的图象过点P(1,2),且在点P处的切 线斜率为8.(1) 求a, b的值；(2) 求函数f(x)的单调区间；解析(1)由函数f(x)的图象过点P(1,2)，得f(1) = 2,所以a+ b= 1.因为函数图象在点P处的切线斜率为8,所以

10、f' (1) = 8,又 f'(X)= 3x + 2ax+ b,所以 2a+ b= 5.解由组成的方程组，可得 a= 4, b= 3.2 1 由(1)得 f'(x) = 3x + 8x 3,令 f '(x) >0,可得 xv 3 或 x>-;1令f '(X) v 0,可得一3vxv3，故函数f(x)的单调增区间为(一X, 3)与1 13，+，减区间为一3, 3.亠 2由题意可知f '(X)= 0的两根为Xi= 3和X2= 1 ,2 22即 3X 一3 + 2a -3 + b二 °，23X1 + 2a x 1 + b = 0.

11、1 2 解得 a= 2, bf'(x) = 3x x 2.2 当 f '(X)> 0 时，解得 XV 3 或 X > 1.2 当 f'(X)V0 时，解得一3<XV 1.、 2 、 2 故函数f(X)的递增区间是 一X, 3与(1 ,+x)，递减区间是 一3, 1 .2 由 知，函数f(X)在1,2上的极大值为f 3，端点X = 2的函数值f(2),2 而 f 3 Vf(2)，故只需 f(2) Vc2即可因为 f(2) = 2 + c,所以 2+ cv c2.解得cV 1或c>2,故c的取值范围为(x, 1) U (2 , +)116曲线f(X)

12、 = ln(2 X) + ax在点(0 , f(0)处的切线斜率为2，(1)求f(x)的极值； 设g(x) = f (X) + kx，假设g(x)在(X, 1)上是增函数，求实数k的取值范围.1 解析(1)f(x)的定义域是(一x, 2), f '(x) = x2 + a.111x1由题知 f' (0) = 2+ a = 2，所以 a = 1,所以 f '(x) = X2 + 1 = x 2.令 f '(x) = 0,得 x= 1.当X变化时，f '(X), f(x)的变化情况如下表所示X(X, 1)1(1,2)f'(x)+0一f(x)1所以f(

13、x)在x= 1处取得极大值1，无极小值.1 g(x)二ln(2 -X) + (k + 1)x, g'(x)二厂 + 仆+ 1),1由题知g'(x)?0在(, 1)上恒成立，即k> x- 1在(, 1)上恒成立, 2 x1 1因为xv 1,所以2 x> 1,所以Ov2 xv 1,所以一1 v2x 1< 0,所以k?0.故实数k的取值范围是0 ,+).17. 函数 f (x) = x3 ax 1.(1) 假设f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；(2) 是否存在实数a,使f(x)在(-1,1)上单调递减？假设存在，求出a的取值范 围；假设不存在，请说明

14、理由.解析(1) f'(X)= 3x2 a,故3x2 a?0在R上恒成立， a< 0.f(x)在(一1,1)上单调递减，那么3x2 aW0在(一1,1)上恒成立，即a>3x2在(一1,1)上恒成立， a> 3.18. 函数 f(x) = (a+ 1)ln x + ax2 + 1.(1) 讨论函数f(x)的单调性；(2) 设 av 1,如果对任意 X1, X2 (0,+x), |f(x" f(X2)| >4“一x?|，求 实数a的取值范围.a+ 12ax2 + a+ 1解析(1)f(x)的定义域为(0,+x), f '(x) = + 2ax =

15、x .入入当a?0时，f '(x) >0,故f(x)在(0 ,+)上单调递增;当a< 1时，f'(x) v0,故f(x)在(0,+x)上单调递减;当一1 v av 0 时,令 f '(x) = 0,解得 x =a+ 12a .所以当x 0,a+ 1 +x2a，+a+ 1时，f '(x) >0，此时函数f(x)单调递增；当x2a时，f'(x) v 0,此时函数f(x)单调递减. 不妨设X1 >X2,而av 1,由(1)知f(x)在(0,+x)上单调递减，从而对于 任意的Xi, X2 (0,+x), |f(Xi) f(X2)| > 4|Xi X2|成立