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1、 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 1 矩阵的初等变换 一.引例求解线性方程组979634226442224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx(1)(1)1239796323222424321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx (2)(2) (3)321314+2+32123423423423424222055363343xxxxxxxxxxxxx (3)2 1/23 +5 24 3 2(4)(4)342 3 +4（5）123423444240263 xxxxxxxxx12342344240300 xxxxxxxx于是得 其中 x3可任意取值

2、，或令x3 = c 这里c为任意常数.则方程组可记为：x =3344321cccxxxx30340111cx =即13234433xxxxx 把上面方法加以数学抽象B =（A b) =称为方程组（1）的增广矩阵. 把方程组的上述三种同解变换移植到矩阵上，就得到矩阵的三种初等变换. 21112112144622436979 二.矩阵的初等变换 定义1 下面三种变换称为矩阵的初等变换: (1) 对调矩阵的两行(列); (2) 以数k0乘矩阵某一行(列)中的所有元素; (3) 把矩阵的某一行(列）所有元素的k倍加到另一行(列）对应的元素上去; 矩阵初等行变换与初等列变换矩阵初等行变换与初等列变换,统

3、称为初等变统称为初等变换换. 显然,三种初等变换都是可逆的,且其逆变换是同一类型的初等变换:(1) 对换变换 的逆变换就是其本身;(2) 倍乘变换 的逆变换为 ; (3) 倍加变换 的逆变换为 ; 如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A与B等价,记作AB. 矩阵之间的等价关系具有下列性质：（1）反身性 AA（2）对称性 若AB，则BA；（3）传递性 若AB，BC，则AC. 两个线性方程组同解，就称这两个线性方两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价。程组等价。jirr krijikrr 1irk ijrk r 三三.矩阵初等变换的应用矩阵初等变换的应用例例1. 解线性方程组979634226442224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx 解解 对方程组的增广矩阵B施以行初等变换97963422644121121112B9796321132211124121134330635500222041211310006

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