第三节 协方差、相关系数

1、第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 4.3 4.3 协方差、相关系数协方差、相关系数本节要点：本节要点： 两个随机变量的协方差和相关两个随机变量的协方差和相关 系数系数 矩矩一、两个随机变量的协方差和相关系数一、两个随机变量的协方差和相关系数 P1031 1、定义、定义（一）协方差（一）协方差 随机变量随机变量(X,Y)的数学期望和方差，从不同的数学期望和方差，从不同方面刻划了各自的特征。对于二维随机变量，方面刻划了各自的特征。对于二维随机变量，在反映分量之间关系的数字特征中，最重要的，在反映分量之间关系的数字特征中，最重要的，就是协方差和相关系数就是协方差和相关系数设设(X,

2、Y) 是二维是二维R.V,若若 Cov(X,Y)=EX -E(X)Y -E(Y) ()() EXE XYE Y 存存在在, ,X与与Y 的协方差的协方差. 即即 则称它为则称它为特殊地特殊地2、协方差的性质、协方差的性质 COV(X,X)=DX若若X1,X2, ,Xn两两独立，上式化为两两独立，上式化为D(X+Y)= D(X)+D(Y) + 2Cov(X,Y)4 4）随机变量）随机变量和的方差与协方差的关系和的方差与协方差的关系),(2)()(11jininijiiiXXCovXDXD niniiiXDXD11)()(D(aX+bY)=),(222YXabCOVDYbDXa D(X-Y)= D

3、(X)+D(Y) - 2Cov(X,Y)计算协方差的一个简单公式计算协方差的一个简单公式Cov(X,Y)= E(XY)-E(X)E(Y)若若 X与与Y独立独立，则则Cov (X,Y)= 0 若若 Cov(X,Y) 0 ，则则X与与Y不不独立，即它们之独立，即它们之间存在一定的关系。间存在一定的关系。(,)0Cov X Y XY与与 独独立立。 例例1、设、设(X,Y)的的p.d.f 为：为： 其它,01,1),(22yxyxf(,)Cov X Y求求。(,)()() ( )Cov X YE XYE X E Y ()(,)E Xxfx y dxdy dxxx 21112( )0E Y 同同理理：

4、()(,)E XYxy fx y dxdy (,)()()( )Cov X YE XYE X E Y 所所以以21x 21x dyydxxxx 1111221 11dx0 0 dyxx 2211x-110y122 yx解：解：001x 2002数三（数三（3） 设随机变量设随机变量X和和Y的联合概率分布为的联合概率分布为 Y -1 0 1 0 0.07 0.18 0.151 0.08 0.32 0.20 X则则X2和和Y2的协方差的协方差cov(X2，Y2)=-0.02解：解： cov(X2，Y2)= EX2Y2 EX2EY2EX2Y2 =10.08+ 10.2=0.28EX2= 10.6=0

5、.6 EY2= 10.15+ 10.35 =0.5cov(X2，Y2)=0.28-0.3=-0.02为随机变量为随机变量X,Y的相关系数的相关系数(,)XYCOV X YDXDY （二）相关系数（二）相关系数 1、定义、定义,(,)00 ()X YCOV X YEXYEXEYD XYDXDY 注：注：XY 是一个无量纲的量；是一个无量纲的量；称称X,Y不相关不相关,此时此时COV(X,Y)=0。0XY 若若若若X,Y不相关，则：不相关，则：EXY =EX EY 22()D aXbYa DXb DY2、相关系数的性质相关系数的性质,1) 1X Y ,2) 1X Y 存在常数存在常数a,b使使PY

6、=a+bX=13）若）若X，Y独立，则独立，则X,Y不相关。不相关。例例7 设设X服从服从(-1/2, 1/2)内的均匀分布内的均匀分布,而而Y=cos X,求求 (X,Y) 其它其它, 02121 1)(xxfX解：解：E(X)=0，21sin2cosx )(cosxf )(cos)(2121 dxdxxXEYEX即即X和和Y不相关不相关 .但但Y与与X有严格的函数关系，有严格的函数关系， 即即X和和Y不独立不独立 .Cov(X,Y)=EXY-EXEY=0，1212()(cos) Xcosxf ( ) cos 0XE XYE XXx dxXx dx 因而因而 = 0 ，记，记，是二个随机变量

7、，已知是二个随机变量，已知，、设、设例例1cov418 YXDYDXYXYXYX 22 ，试求：试求：， 解：解： YXDD2 YXDYDX，cov44 14441 YXDD 2 YXDYDX，cov44 14414 YXYX 22covcov， YYYXXYXX，cov2covcov4cov2 DYYXDX2cov52 ，421512 5 所以，所以， DD，cov 26135 4135 二、二维正态分布的协方差和相关系数二、二维正态分布的协方差和相关系数221122, ,EXDXEYDY2212(,)Cov X Yr 221212,X YNr设设二二维维随随机机变变量量()，()， 221

8、212Nr 二二维维正正态态随随机机变变量量，相相互互独独立立的的充充分分必必要要条条件件是是 ：0 r定理定理3.53.5三、原点矩和中心矩三、原点矩和中心矩定义：设定义：设X是随机变量，是随机变量，k为正整数，若为正整数，若E(X k)存在，则称它为存在，则称它为X的的k阶原点矩，记为阶原点矩，记为akak = E(X k) k=1,2, 特殊地特殊地a1 = E(X) 1()kkiiiEXxp ( )kkEXx f x dx 定义：定义： 若若EX -E (X)k存在，则称它为存在，则称它为X的的k阶中心矩，记为阶中心矩，记为bkbk = EX -E (X)k k=1,2, 特殊地特殊地b1 = EX -E (X) 1(-E) ()kkiiiE XXxEXp (-E)()( )kkE XXxEXf x dx 定义：定义： 若若EX -E (X)k Y -E (Y)l k,l=1,2, 存在，则称它为存在，则称它为X和和Y的的k+l阶混合中心矩阶混合中心矩.11 klklijijijEXYx y p ( , )yklklEX Yx y f x y dxd 定义：对二维随机变量定义：对二维随机