电子科大-微分方程

1、1第九章第九章电子科技大学应用电子科技大学应用数学学院数学学院2014.022014.022解解)(xyy 设设所所求求曲曲线线为为，xxy2dd xxyd22,1 yx时时其中其中,2Cx , 1 C得得.12 xy所所求求曲曲线线方方程程为为例例 一一 曲曲线线 通通 过过点点 (1,2),且且 在在 该该 曲曲 线线上上任任 一一 点点),(yxM处处的的切切线线的的斜斜率率为为x2,求求这这曲曲线线的的方方程程. 第一节第一节 基本概念基本概念，代代入入将将2, 1 yx3凡含有未知函数的导数或微分的方程叫凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程微分方程. .例例,xyy , 0dd

2、)(2 xxtxt,e32xyyy , yxxz 若未知函数是一元函数，称若未知函数是一元函数，称常微分方程常微分方程，否，否则称则称偏微分方程偏微分方程. . 本章只讨论前者本章只讨论前者. 方程中所含未知函数的导数的最高阶方程中所含未知函数的导数的最高阶,称为微称为微分方程的分方程的阶阶 ., 0),( yyxF一阶微分方程一阶微分方程);,(yxfy 高阶高阶( (n阶阶) )微分方程微分方程, 0),()( nyyyxF).,()1()( nnyyyxfy4使方程成立的函数称微分方程的使方程成立的函数称微分方程的解解. .微分方程的解的分类：微分方程的解的分类：(1)(1)通解通解:

3、: 微分方程的解中含有任意常数微分方程的解中含有任意常数, ,且任且任意常数的个数与微分方程的阶数相同意常数的个数与微分方程的阶数相同. .(2)(2)特解特解: : 确定了通解中任意常数以后的解确定了通解中任意常数以后的解. ., yy 例例;excy 通通解解, 0 yy;cossin21xcxcy 通解通解初始条件初始条件: : 用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件. .5过定点的积分曲线过定点的积分曲线; 00),(yyyxfyxx一阶一阶:二阶二阶: 0000,),(yyyyyyxfyxxxx过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线

4、.初值问题初值问题: : 求微分方程满足初始条件的解的问题求微分方程满足初始条件的解的问题. .6第二节第二节 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程( )( )g y dyf x dx xxfyygd)(d)(设函数设函数)(yG和和)(xF是依次为是依次为)(yg和和)(xf的某个原函数的某个原函数, CxFyG )()(为微分方程的通解为微分方程的通解.两边积分两边积分,为为可分离变量的方程可分离变量的方程. . 称称则则7解解分分离离变变量量, ,xxyyd2d2 , , 积积分分 Cxy 21, , 所所以以通通解解为为 Cxy 21. . 例例1 18解解例例2 29第三节第三节

5、 一阶线性微分方程一阶线性微分方程)()(ddxQyxPxy 一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式:, 0)( xQ当当上方程称为上方程称为齐次的齐次的. .上方程称为上方程称为非齐次的非齐次的. ., 0)( xQ当当例如例如d dd d2,yyxxx ,sindd2ttxtx 1,yy 2cos,yyx 线性的线性的;非线性的非线性的.一、线性方程一、线性方程10. 0)(dd yxPxy,d)(dxxPyy ,d)(d xxPyy,lnd)(lnCxxPy 齐次方程的通解为齐次方程的通解为.ed)( xxPCy1. 线性齐次方程线性齐次方程一阶线性微分方程的一阶线性微分方

6、程的解法解法使用分离使用分离变量法变量法这这里里记记号号 xxPd)(表表示示)(xP的的某某个个确确定定的的原原函函数数. . 112.2. 线性非齐次方程线性非齐次方程).()(ddxQyxPxy 常数变易法把相对应的齐次方程通解中的常数变易为待定函数把相对应的齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法的方法. .实质实质: : 未知函数的变量代换未知函数的变量代换.作变换作变换 xxPxuyd)(e )(,e)()(e )(d)(d)( xxPxxPxPxuxuy代代入入原原方方程程得得和和将将yy ),(e )(d)(xQxuxxP 12,de)()(d)(CxxQxuxxP 积分得积分

7、得所以一阶线性非齐次微分方程的通解为所以一阶线性非齐次微分方程的通解为:de)(ed)(d)(CxxQyxxPxxP xxQCxxPxxPxxPde)(eed)(d)(d)( 对应齐次方对应齐次方程的通解程的通解非齐次方程特解非齐次方程特解,e )()(d)( xxPxQxu代代入入原原方方程程得得和和将将yy ),(e )(d)(xQxuxxP xxPxuyd)(e )(13求求方方程程的的通通解解23.xyye 先先求求对对应应的的齐齐次次方方程程的的通通解解30dyydx 3.xyce 再再设设为为原原方方程程的的解解，代代入入得得3( )xyc x e 3332( )3 ( )3 (

8、)xxxxc x ec x ec x ee 解解例例1 1得得到到5( )xc xe 51( )5xc xeC通通解解531().5xxyeC e 14求求方方程程的的通通解解23.xyye ( )3,P x 2( ),xQ xe d dd de ee ed d332xxxyexC e ed d35xxexC 351().5xxeeC 解法解法2 2de)(ed)(d)(CxxQyxxPxxP 例例1 115Review)()(ddxQyxPxy 一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式:, 0)( xQ当当上方程称为上方程称为齐次的齐次的.上方程称为上方程称为非齐次的非齐次的.,

9、 0)( xQ当当. 0)(dd yxPxyd de e( ).P xxyC 1. 线性齐次方程线性齐次方程16ReviewReview常数变易法常数变易法 xxPxuyd)(e )(,e)()(e )(d)(d)( xxPxxPxPxuxuy),(e )(d)(xQxuxxP 2.2. 线性非齐次方程线性非齐次方程).()(ddxQyxPxy ,de)()(d)(CxxQxuxxP ddddddeeedeeed( )( )( )( ).P xxP xxP xxyCQ xx 170)()( yxQyxPy(3)线性微分方程的解的结构线性微分方程的解的结构先讨论先讨论二阶二阶齐次线性方程齐次线性

10、方程如如果果)(),(21xyxy是是方方程程( (3 3) )的的两两个个解解, ,则则它它们们的的任任意意线线性性组组合合 也是也是(3)的解的解. .)()(2211xyCxyCy 定理定理1 1(4)进一步，进一步，如果)(),(21xyxy线性无关,则则(4)就是就是(3)的的通解通解. .1. 1. 齐次线性方程解的结构齐次线性方程解的结构180)()()(1)1(1)( yxPyxPyxPynnnn(2)推论推论(齐次线性方程的叠加原理齐次线性方程的叠加原理) 如如果果)(),(),(21xyxyxyn是是n阶阶齐齐次次方方程程 的的n个线性无关的解个线性无关的解, , 则它们的

11、任意线性组合则它们的任意线性组合，)()()(2211xyCxyCxyCynn 即为方程即为方程(2)的通解的通解. .192. 2. 非齐次线性方程解的结构非齐次线性方程解的结构回顾：回顾：)()(ddxQyxPxy 一阶线性微分方程一阶线性微分方程de)(ed)(d)(CxxQyxxPxxP xxQCxxPxxPxxPde)(eed)(d)(d)( 对应齐次方对应齐次方程的通解程的通解非齐次方程特解非齐次方程特解202. 2. 非齐次线性方程解的结构非齐次线性方程解的结构. yYy定理定理2 2设设)(xy 是二阶非齐次线性方程是二阶非齐次线性方程 (5)的一个特解的一个特解, ,)(xY

12、是是与与(5)对对应应的的齐齐次次线线性性方方程程 0)()( yxQyxPy(3)()()(xfyxQyxPy 的通解的通解, , 那么那么(5)的通解为的通解为21(1)为二阶为二阶常系数常系数齐次线性微分方程齐次线性微分方程, , 常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程 0 cyybya由由定定理理 1 1 知知, ,若若求求得得齐齐次次方方程程(1)的的两两个个特特解解)()(21xyxy，, , 且且 )(/ )(21xyxy常常数数, ,则则(1)的的通通解解为为 )()(1211xyCxyCy , ,其其中中21,CC为为任任意意常常数数. . 例例如如, ,0 yy, ,

13、 有有两两个个特特解解 xyxycos,sin21 , , 它它们们显显然然线线性性无无关关, , 于是方程通解为于是方程通解为 .cossin21xCxCy 其中其中a, ,b, ,c是常数是常数. .称称22(1)0 cyybya下下面面来来寻寻找找方方程程(1)的的形形如如 rxye 的的特特解解. . 将将rxye 代代入入方方程程(1), ,得得 而而0e rx, ,于于是是有有 (2) 代数方程代数方程(2)称为微分方程称为微分方程(1)的的特征方程特征方程, ,它的根称为它的根称为特征根特征根. . 23(3)情形情形 1 1 若若0 , , 则则特特征征方方程程(2)有有两两个

14、个相相异异的的实实根根 得得到到方方程程(1)的的两两个个特特解解xry1e1 , ,xry2e2 , , 而而Cxyxyxrr )(2121e)(/ )(, , 故故它它们们线线性性无无关关, , 因因此此(1)的的通通解解为为 xrxrCCy21ee21 . . 下下面面来来寻寻找找方方程程(1)的的形形如如 rxye 的的特特解解. . 24情情形形 2 2 若若 0 , , 则则特特征征方方程程(2)有有两两个个相相等等的的实实根根 只只得得到到方方程程(1)的的一一个个特特解解 xry1e1 , , 需需要要求求另另一一个个特特解解 2y, ,使使 12/ yy常常数数. . 设设)

15、(/12xuyy , , 即即xrxuy1e)(2 , , 代代入入方方程程(1), ,并并约约去去 xr1e, ,得得 取取特特解解 xu , , 即即得得xrxy1e2 , , 于于是是(1)的的通通解解为为 xrxCCy1e)(21 . . 25情情形形 3 3 若若 0 , , 则则特特征征方方程程(2)有有一一对对共共轭轭复复根根 ir 2, 1, , 方方程程(1)有有两两个个特特解解 xiy)(1e , ,xiy)(2e , , )sincos(e21xCxCyx . . 由由欧欧拉拉公公式式知知 由由叠叠加加原原理理, , xiyyyxyyyxx sine2/ )(cose2/

16、 )(212211 仍仍然然是是(1)的的解解, , 且且线线性性无无关关, , 所所以以方方程程(1)的的通通解解为为 )sin(cose)sin(cose21xixyxixyxx 2602 cbrar0 cyybya小结小结 特征根的情况特征根的情况通解的表达式通解的表达式 21rr 21rr ir 2, 1实根实根实根实根复根复根xrxrCCy21ee21 xrxCCy1e)(21 )sincos(e21xCxCyx 27解解特征方程为特征方程为故所求通解为故所求通解为例例1 1例例2 2.052的的通通解解求求方方程程 yyy解解特征方程为特征方程为,0522 rr解得解得,2121i

17、r ，故所求通解为故所求通解为).2sin2cos(e21xCxCyx 28解解特征方程为特征方程为故所求通解为故所求通解为例例3 3例例4 4.0136的的通通解解求求方方程程 yyy解解特征方程为特征方程为,01362 rr解得解得,2321ir ，故所求通解为故所求通解为).2sin2cos(e213xCxCyx 29解解特征方程为特征方程为故通解为故通解为求求微微分分方方程程0dd2dd22 ststs满满足足初初始始条条件件 0122 rr, , 特特征征根根为为 121 rr, , ttCCs e )(21. . 2)0(, 4)0( ss的的特特解解. . 4)0(1 Cs, ,

18、 ttCCCs e)(212, , 2) 0( 12 CCs, , 22 C, , 所所以以所所求求特特解解为为 tts e)24(. . 例例5 5P205P20530n阶常系数齐次线性方程阶常系数齐次线性方程01)1(1)( yPyPyPynnnn特征方程为特征方程为0111 nnnnPrPrPr特征方程的根特征方程的根通解中的对应项通解中的对应项rk重重实实根根若若是是rxkkxCxCCe)(1110 ik 根根重重共共轭轭复复若若是是xkkkkxxDxDDxxCxCC e sin)(cos)(11101110 31)(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程对应

19、齐次方程对应齐次方程, 0 qyypy通解结构通解结构, yYyf(x)常见类型常见类型),(xPm,e)(xmxP ,cose)(xxPxm ,sine)(xxPxm 难点难点：如何求特解？如何求特解？ 方法方法：待定系数法待定系数法.* *常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程 32其其中中 是是常常数数, ,)(xPm是是m次次多多项项式式. . 设设xxQy e )( , ,其中其中)(xQ是多项式是多项式, , xxxQxQy e )(e )()( , , xxxxQxQxQy e )(e )(2e )()(2 , , 代代入入方方程程)(xfqyypy , , 整整理理并

20、并约约去去x e, ,得得 )()()2(2xPQqpQpQm ( (* *) ) 情情形形1 1 若若 不不是是特特征征根根, , 即即02 qp , , 则则可可设设)(xQ为为次次数数与与)(xPm次次数数相相同同的的多多项项式式: : )()(xQxQm , , xmxQy e )( . . 即即 型型一、一、)(e)(xPxfmx 则则33)()()2(2xPQqpQpQm ( (* *) ) 情情形形2 2 若若 是是特特征征方方程程的的单单根根, , 即即02 qp , , )()(xxQxQm , , xmxxQy e )( . . 即即 而而02 p , , 则则令令 情情形

21、形3 3 若若 是是特特征征方方程程的的二二重重根根, , 即即02 qp , , )()(2xQxxQm , , xmxQxy e )(2 . . 即即 且且02 p , , 则则令令 然然后后根根据据恒恒等等式式( (* *) )来来确确定定)(xQ, ,从从而而得得到到特特解解 y. . 34综上讨论综上讨论 )(xQ不是特征根不是特征根 )(exPqyypymx 设特解为设特解为，)(xQm是单特征根是单特征根 ，)(xxQm是二重特征根是二重特征根 ，xxQy e)( 其中其中，)(2xQxm)()()2(2xPQqpQpQm 代入原方程代入原方程, ,或利用下式或利用下式来确定来确

22、定Q(x). .35解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程, 0322 rr特征根特征根，1321 rr,ee231xxCCY 求求微微分分方方程程1332 xyyy的的通通解解. . 因因为为0 不不是是特特征征根根, , 故故设设特特解解baxy , , 代代入入原原方方程程, ,得得 13)( 32 xbaxa, , 31, 1 ba, , 所所以以特特解解 xy 31, , 即即原原方方程程的的通通解解为为 31ee321 xCCyxx. . 例例1 136.e232的的通通解解求求方方程程xxyyy 解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程, 0232 rr

23、特征根特征根，2121 rr.ee221xxCCY 是是单单根根，2 ),()(BAxxxQ 其其中中代入代入xBAxA 22，121 BA，于于是是xxxy2e )121( 原方程通解为原方程通解为.e ) 121(ee2221xxxxxCCy 例例2 2,e )(2xxQy 设设得得，)()()2(2xPQqpQpQm 37解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程, 0962 rr特征根特征根，32, 1 r.e )(321xxCCY 求求微微分分方方程程xxyyy3e96 的的通通解解. . 因因为为3 是是二二重重特特征征根根, , 故故设设特特解解为为xxQy3e )(

24、, , 其其中中232)()(bxaxbaxxxQ , , xbax 26, , 解解得得 0,61 ba, , 所所以以特特解解 xxy33e61 , , 即即原原方方程程的的通通解解为为 xxxxCCy33321e61e )( . . 代入代入得得例例3 3，)()()2(2xPQqpQpQm 38由由欧欧拉拉公公式式, , 其其中中 ixPxPxPnl2)(2)()( ixPxPnl2)(2)( , , ixPxPxPnl2)(2)()( ixPxPnl2)(2)( 互互为为共共轭轭的的m次次多多项项式式, , ,maxnlm . . 型型二二、xxPxxPxfnlx sin)(cos)

25、(e)( 2ee)(2ee)(e)(ixPxPxfxixinxixilx xixixPxP)()(e)(e)( 39由由第第一一种种情情况况可可知知, , 可可求求m次次多多项项式式)(xQm, , 使使ximkxQxy)(1e)( 为为方方程程 xixPqyypy)(e)( 的的特特解解, , 其其中中 是是特特征征方方程程的的单单根根不不是是特特征征方方程程的的根根 iik , 1 , 0 , , )(),(xPxP互互为为共共轭轭的的m次次多多项项式式 由由于于xixP)(e)( 与与xixP)(e)( 共共轭轭, , 故故ximkxQxy)(2e)( 必必为为方方程程 xixPqyyp

26、y)(e)( 的的特特解解, , 由由叠叠加加原原理理, , xixixPxPxf)()(e)(e)()( 40由由叠叠加加原原理理, , ximkximkxQxxQxyy)()(21e)(e)( 是是原原方方程程的的一一个个特特解解. . 化化简简: : e)(e)(eximximxkxQxQxy 共轭共轭其其中中)(),()2()1(xRxRmm是是( (实实系系数数) )m次次多多项项式式. . )sin(cos)(exixxQxmxk )sin(cos)(xixxQm sin)(cos)(e)2()1(xxRxxRxmmxk 41解解求求微微分分方方程程xxyy2cos 的的通通解解.

27、 . 特特征征方方程程 012 r, , ir , , 所所以以对对应应齐齐次次方方程程的的通通解解为为 xCxCYsincos21 . . ii2 不不是是特特征征根根, , 所所以以应应设设特特解解为为 xdcxxbaxy2sin)(2cos)( , , xbaxcxdcxay2sin)22(2cos)22()( , , 于是于是xdcxaxbaxcy2sin)444(2cos)444()( , , 代代入入原原方方程程, ,得得 ，xxxdcxaxbaxc2cos2sin)334(2cos)334( 例例4 442，xxxdcxaxbaxc2cos2sin)334(2cos)334( 所

28、所以以 0303413034cdaabc, , 解解得得 9/4003/1dcba. . 所所以以特特解解为为xxxy2sin942cos31 . . 所所以以原原方方程程的的通通解解为为 xxxxCxCy2sin942cos31sincos21 . . 43解解求求微微分分方方程程xyy4cos22 的的通通解解. . 特特征征方方程程 02 rr, ,特特征征根根 1 , 0 r, , 所所以以对对应应齐齐次次方方程程的的通通解解为为 xCCxYe)(21 . . 原原方方程程转转化化为为xyy8cos1 . . 先先求求1 yy的的特特解解： 0 , , 单单根根, , 设设axy 1, ,