大学物理上振动02概述

1、第三章第三章 机械振动机械振动 简谐运动的合成简谐运动的合成哈尔滨工程大学理学院 姜海丽3.2 无阻尼自由振动实例无阻尼自由振动实例mgook以挂上以挂上m后新平衡位置为坐标后新平衡位置为坐标原点原点O,向下为正方向向下为正方向3.2.1 竖直弹簧振子竖直弹簧振子在在x处处22)(dtxdmmaxookmg化简得化简得022xmkdtxd满足简谐振动的动力学方程满足简谐振动的动力学方程O O x x m m x 在在o x 系中，微分方程为：系中，微分方程为：gxmkdtxd22第三章第三章 机械振动机械振动 简谐运动的合成简谐运动的合成哈尔滨工程大学理学院 姜海丽3.2.2 单摆单摆则在角位

2、移很小的时候，单摆的振则在角位移很小的时候，单摆的振动是简谐振动。角频率动是简谐振动。角频率,振动的周振动的周期分别为：期分别为：glTlg2200022lgdtd当当 时时sinsin222mgldtdmlgmflm+-第三章第三章 机械振动机械振动 简谐运动的合成简谐运动的合成哈尔滨工程大学理学院 姜海丽22sindtdJJmghJ为为m绕绕O点转动的转动惯量。点转动的转动惯量。3.2.3 复摆（物理摆）复摆（物理摆）Compound pendulum （Physics Pendulum）可见，复摆的运动也满足谐振动可见，复摆的运动也满足谐振动方程。且其圆频率与周期为方程。且其圆频率与周期

3、为 COmghOC mghJT2Jmgh0022Jmghdtd当当 时时sin第三章第三章 机械振动机械振动 简谐运动的合成简谐运动的合成哈尔滨工程大学理学院 姜海丽将弹簧振子放在斜面上振动将弹簧振子放在斜面上振动,其频率是否变化其频率是否变化?将单摆放在月球上摆动将单摆放在月球上摆动,其频率是否变化其频率是否变化?第三章第三章 机械振动机械振动 简谐运动的合成简谐运动的合成哈尔滨工程大学理学院 姜海丽简谐振动的判断式简谐振动的判断式平动平动 转动转动BMkxF合合2222dtdJJMdtxdmmaF合合00222222dtdxdtxdJBmk22)cos()cos(00ttAx第三章第三章

4、机械振动机械振动 简谐运动的合成简谐运动的合成哈尔滨工程大学理学院 姜海丽例例1 倔强系数分别为倔强系数分别为k1、k2的两根弹簧的两根弹簧 和质量为和质量为m的物体相连（如图），求该系统的振动周期。的物体相连（如图），求该系统的振动周期。 k1 m k2 x1 x2第三章第三章 机械振动机械振动 简谐运动的合成简谐运动的合成哈尔滨工程大学理学院 姜海丽解：解： 设在平衡状态下，两弹簧的伸长量分别设在平衡状态下，两弹簧的伸长量分别 为为x1和和x2，则则 k1x1=k2x2 。 以平衡位置为原点，向右为以平衡位置为原点，向右为x轴正方向，得轴正方向，得 k1 m k2 x1 x x2 x O2

5、22211)()(dtxdmmaxxkxxk第三章第三章 机械振动机械振动 简谐运动的合成简谐运动的合成哈尔滨工程大学理学院 姜海丽化简得化简得02122xmkkdtxd则该系统的固有角频率为则该系统的固有角频率为mkk210振动周期为振动周期为21022kkmT第三章第三章 机械振动机械振动 简谐运动的合成简谐运动的合成哈尔滨工程大学理学院 姜海丽讨论：讨论：（1）弹簧的串联）弹簧的串联the springs in series connection k1k2Oxx设振子的位移为设振子的位移为x ,k1伸长为伸长为l1 ,k2伸长为伸长为l2 ,则则21llxFFFF21等等效效而而2211

6、kFlkFlkFx等等效效所所以以21111kkk等等效效即即：第三章第三章 机械振动机械振动 简谐运动的合成简谐运动的合成哈尔滨工程大学理学院 姜海丽（2）弹簧的并联）弹簧的并联the springs in parallel connectionk1k2Oxx21llx21FFF等等效效而而222111lkFlkFxkF等等效效所所以以21kkk等等效效即即：如：如：第三章第三章 机械振动机械振动 简谐运动的合成简谐运动的合成哈尔滨工程大学理学院 姜海丽3.3 简谐振动的能量简谐振动的能量)(sin21212222ktAmmEv)(cos2121222ptkAkxE线性回复力是线性回复力是保

7、守力保守力，作，作简谐简谐运动的系统运动的系统机械能守恒机械能守恒 以弹簧振子为例以弹簧振子为例)sin()cos(tAtAxvkxF22pk21AkAEEEmk /2（振幅的动力学意义）（振幅的动力学意义）第三章第三章 机械振动机械振动 简谐运动的合成简谐运动的合成哈尔滨工程大学理学院 姜海丽简简 谐谐 运运 动动 能能 量量 图图txtv221kAE 0tAxcostAsinvv, xtoT4T2T43T能量能量oTttkAE22pcos21tAmE222ksin21第三章第三章 机械振动机械振动 简谐运动的合成简谐运动的合成哈尔滨工程大学理学院 姜海丽能量守恒能量守恒简谐运动方程简谐运动

8、方程推导推导常量222121kxmEv0)2121(dd22kxmtv0ddddtxkxtmvv0dd22xmktx第三章第三章 机械振动机械振动 简谐运动的合成简谐运动的合成哈尔滨工程大学理学院 姜海丽3.4 简谐振动的合成简谐振动的合成Superposition of Simple Harmonic Motion 若某一质点同时参加了两个简谐振动，且二振动方若某一质点同时参加了两个简谐振动，且二振动方向沿同一直线，且具有相同频率，振幅和初相位分向沿同一直线，且具有相同频率，振幅和初相位分别为别为A1、A2、 1、 2，则二振动方程为则二振动方程为3.4.1 同方向、同频率的简谐振动的合成同

9、方向、同频率的简谐振动的合成same direction and same frequency )cos()(111tAtx)cos()(222tAtx第三章第三章 机械振动机械振动 简谐运动的合成简谐运动的合成哈尔滨工程大学理学院 姜海丽11A1xx021xxx22112211coscossinsintanAAAA)cos(212212221AAAAA)cos(tAx)cos(111tAx)cos(222tAxAx2x2A2两个两个同同方向方向同同频频率简谐运动率简谐运动合成合成后仍为后仍为简谐简谐运动运动1、旋转矢量法、旋转矢量法Method of reference circle第三章第

10、三章 机械振动机械振动 简谐运动的合成简谐运动的合成哈尔滨工程大学理学院 姜海丽tAtAtAtxsinsincoscos)cos()(1111111tAtAtAtxsinsincoscos)cos()(2222222）（tAtAtAtAAtAAtxtxtxcossinsincoscossin)sinsin(cos)coscos()()()(2211221121合运动方程合运动方程2、解析法、解析法Analytical method第三章第三章 机械振动机械振动 简谐运动的合成简谐运动的合成哈尔滨工程大学理学院 姜海丽)cos(212212221AAAAA式中：式中：22112211coscos

11、sinsinAAAAtg第三章第三章 机械振动机械振动 简谐运动的合成简谐运动的合成哈尔滨工程大学理学院 姜海丽xxtoo212k)cos()(21tAAxA21AAA1A2AT1 1）相位差相位差212k), 2 1 0( ，k)cos(212212221AAAAA 讨论讨论第三章第三章 机械振动机械振动 简谐运动的合成简谐运动的合成哈尔滨工程大学理学院 姜海丽xxtoo21AAA2)cos()(12tAAx)cos(212212221AAAAAT2A21AA2 2）相位差相位差) 12(12k) , 1 0( ，ktAxcos11)cos(22tAx第三章第三章 机械振动机械振动 简谐运动

12、的合成简谐运动的合成哈尔滨工程大学理学院 姜海丽3 3）一般情况一般情况2121AAAAA21AAA2 2）相位差相位差1 1）相位差相位差21AAA212k)10( ， k相互加强相互加强相互削弱相互削弱) 12(12k)10( ， k第三章第三章 机械振动机械振动 简谐运动的合成简谐运动的合成哈尔滨工程大学理学院 姜海丽11Axo二二 多个同方向同频率简谐运动多个同方向同频率简谐运动的的合成合成2A23A3)cos(tAxnxxxx21)cos(111tAx)cos(222tAx)cos(nnntAxA多多个个同同方向方向同同频率简谐运动频率简谐运动合成合成仍为仍为简谐简谐运动运动第三章第

13、三章 机械振动机械振动 简谐运动的合成简谐运动的合成哈尔滨工程大学理学院 姜海丽1A2A3A4Axo5A0NAAAiiAtAxcos01)cos(02tAx) 1(cos0NtAxN)2cos(03tAx1A2A3A4AxO5A6A0A),2, 1,(kkNk2 2） 2kN1 1）2 k),2, 1,0(k 个矢量依次相接构个矢量依次相接构成一个成一个闭合闭合的多边形的多边形 . .N讨讨论论第三章第三章 机械振动机械振动 简谐运动的合成简谐运动的合成哈尔滨工程大学理学院 姜海丽 1、图中所示为两个简谐振动的振动曲线若以余弦函数图中所示为两个简谐振动的振动曲线若以余弦函数表示这两个振动的合成

14、结果，则合振动的方程为表示这两个振动的合成结果，则合振动的方程为21xxx_(SI) x (m) t (s) O x1 x2 1 2 0.08 -0.04 )21cos(04. 0t第三章第三章 机械振动机械振动 简谐运动的合成简谐运动的合成哈尔滨工程大学理学院 姜海丽 2、两个同方向的简谐振动，周期相同，振幅分别为、两个同方向的简谐振动，周期相同，振幅分别为A1 = 0.05 m和和A2 = 0.07 m，它们合成为一个振幅为，它们合成为一个振幅为A = 0.09 m的简谐振动则这两个分振动的相位差的简谐振动则这两个分振动的相位差为为_rad 1.47 21103、两个同方向同频率的简谐振动

15、，其合振动的振幅为、两个同方向同频率的简谐振动，其合振动的振幅为20 cm，与第一个简谐振动的相位差为，与第一个简谐振动的相位差为f f f f1 = /6若第若第一个简谐振动的振幅为一个简谐振动的振幅为 cm，则第二个简谐振动的，则第二个简谐振动的振幅为振幅为_ cm，第一、二两个简谐振动的，第一、二两个简谐振动的相位差相位差f1 - f2为为_ 310第三章第三章 机械振动机械振动 简谐运动的合成简谐运动的合成哈尔滨工程大学理学院 姜海丽 频率频率较大较大而频率之而频率之差很小差很小的两个的两个同方向同方向简谐运动的简谐运动的合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫合成，其合振动的振幅

16、时而加强时而减弱的现象叫拍拍. . 3.4.2 同方向不同频率简谐振动的合成同方向不同频率简谐振动的合成the same direction but different frequencies第三章第三章 机械振动机械振动 简谐运动的合成简谐运动的合成哈尔滨工程大学理学院 姜海丽合振动频率合振动频率Frequency * 振幅部分振幅部分Amplitude tAtAxxx2010212cos2cos21AA 2112讨论讨论 , , 的情况的情况 ttAx22cos)22cos2(12120tAtAx111112coscostAtAx222222coscos21xxx 方法一方法一第三章第三章

17、 机械振动机械振动 简谐运动的合成简谐运动的合成哈尔滨工程大学理学院 姜海丽2212T121TtAA22cos2120122)(210max2AA0minA合振动频率合振动频率振幅部分振幅部分ttAx22cos)22cos2(12120振幅振幅 振动频率振动频率拍频拍频（振幅变化的频率）（振幅变化的频率）第三章第三章 机械振动机械振动 简谐运动的合成简谐运动的合成哈尔滨工程大学理学院 姜海丽xocos2212221AAAAA)()(1212t2A2x2xA1A1x111t)()(1212t22t 方法二：旋转矢量合成法方法二：旋转矢量合成法12021t )( 212第三章第三章 机械振动机械振

18、动 简谐运动的合成简谐运动的合成哈尔滨工程大学理学院 姜海丽2A2x2xAxo1A1x112t1t )(12t2cos2212221AAAAAt )( 212)(cos(2120tA（拍在声学和无线电技术中的应用）（拍在声学和无线电技术中的应用）Axxt21cos22112拍频拍频)cos1 (20 AA振幅振幅Amplitude 振动圆频率振动圆频率Angular frequency第三章第三章 机械振动机械振动 简谐运动的合成简谐运动的合成哈尔滨工程大学理学院 姜海丽3.4.3 两个相互垂直的同频率简谐运动的合成两个相互垂直的同频率简谐运动的合成same frequency and mut

19、ually perpendicular directions)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx质点运动轨迹质点运动轨迹1 1） 或或2012xAAy12)cos(11tAx)cos(22tAyyx1A2Ao （椭圆方程）（椭圆方程） 讨论讨论第三章第三章 机械振动机械振动 简谐运动的合成简谐运动的合成哈尔滨工程大学理学院 姜海丽yx1A2Ao2 2）12xAAy123 3）2121222212AyAxtAxcos1)2cos(2tAy)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAxxy1A2Ao第三章第三章 机械振动机械振动 简谐运动的合成简谐运动

20、的合成哈尔滨工程大学理学院 姜海丽用用旋旋转转矢矢量量描描绘绘振振动动合合成成图图第三章第三章 机械振动机械振动 简谐运动的合成简谐运动的合成哈尔滨工程大学理学院 姜海丽简简谐谐运运动动的的合合成成图图两两相相互互垂垂直直同同频频率率不不同同相相位位差差第三章第三章 机械振动机械振动 简谐运动的合成简谐运动的合成哈尔滨工程大学理学院 姜海丽3.4.4 两相互垂直不同频率的简谐运动的合成两相互垂直不同频率的简谐运动的合成一般是复杂的运动轨道，不是封闭曲线，一般是复杂的运动轨道，不是封闭曲线，即合成运动不是周期性的运动。即合成运动不是周期性的运动。下面就两种情况讨论下面就两种情况讨论(1) 2-

21、1 0 , 视为同频率的合成，不过两个振动的视为同频率的合成，不过两个振动的相位差在缓慢地变化，所以质点运动的轨道将不相位差在缓慢地变化，所以质点运动的轨道将不断地从下页所示图形依次的循环变化。断地从下页所示图形依次的循环变化。其中当其中当 0 = 20- 10 时是顺时针旋转；时是顺时针旋转； 当当 = 20- 10 2 时是逆时针旋转。时是逆时针旋转。第三章第三章 机械振动机械振动 简谐运动的合成简谐运动的合成哈尔滨工程大学理学院 姜海丽20443474523第三章第三章 机械振动机械振动 简谐运动的合成简谐运动的合成哈尔滨工程大学理学院 姜海丽(2)如果两个互相垂直的振动频率成整数比，如

22、果两个互相垂直的振动频率成整数比，合成运动的轨道是封闭曲线，运动也具有合成运动的轨道是封闭曲线，运动也具有周期。这种运动轨迹的图形称为李萨如图形。周期。这种运动轨迹的图形称为李萨如图形。在示波器上，垂直方向与水平方向同时输入两个振动，在示波器上，垂直方向与水平方向同时输入两个振动，已知其中一个频率，则可根据所成图形与已知标准的已知其中一个频率，则可根据所成图形与已知标准的李萨如图形去比较，就可得知另一个未知的频率。李萨如图形去比较，就可得知另一个未知的频率。用李萨如图形用李萨如图形在无线电技术在无线电技术中可以测量频中可以测量频率：率：2:1:yxTT第三章第三章 机械振动机械振动 简谐运动的

23、合成简谐运动的合成哈尔滨工程大学理学院 姜海丽)cos(111tAx)cos(222tAynm212,83,4,8,0201测量振动频率测量振动频率和相位的方法和相位的方法李李 萨萨 如如 图图第三章第三章 机械振动机械振动 简谐运动的合成简谐运动的合成哈尔滨工程大学理学院 姜海丽角频率角频率振幅振幅maCkxv0dddd22kxtxCtxm0dd2dd2022xtxtx3.5.1 3.5.1 阻尼振动阻尼振动Damped)cos(tAext22022022TvCFr阻尼力阻尼力mk0mC 2固有角频率固有角频率阻尼系数阻尼系数阻力系数阻力系数第三章第三章 机械振动机械振动 简谐运动的合成简谐

24、运动的合成哈尔滨工程大学理学院 姜海丽otx三种阻尼的比较三种阻尼的比较阻尼振动位移时间曲线阻尼振动位移时间曲线AAtOx)0(220)cos(tAext0dddd22kxtxCtxm220 b b）过阻尼过阻尼220 a a）欠阻尼欠阻尼220 c c）临界阻尼临界阻尼tAeTabctAetcos第三章第三章 机械振动机械振动 简谐运动的合成简谐运动的合成哈尔滨工程大学理学院 姜海丽驱动力驱动力tFkxtxCtxmp22cosdddd3.5.2 3.5.2 受迫振动受迫振动Forced Oscillationsmk0mC2mFf tfxtxtxp2022cosdd2dd)cos()cos(p

25、0tAteAxt2p22p204)(fA2p20p2tg驱动力的角频率驱动力的角频率第三章第三章 机械振动机械振动 简谐运动的合成简谐运动的合成哈尔滨工程大学理学院 姜海丽PAo共振频率共振频率)cos(ptAx2p22p204)(fA0大阻尼大阻尼小阻尼小阻尼220r2共振频率共振频率220r2fA共振振幅共振振幅0ddpA阻尼阻尼03.5.3 3.5.3 共振共振Resonancetfxtxtxp2022cosdd2dd第三章第三章 机械振动机械振动 简谐运动的合成简谐运动的合成哈尔滨工程大学理学院 姜海丽共振演示实验共振演示实验236145220r2 共振频率共振频率220r2fA 共振

26、振幅共振振幅 共振现象在实际中的应用共振现象在实际中的应用乐器、收音机乐器、收音机 单摆单摆1作垂直于纸面作垂直于纸面的简谐运动时，单摆的简谐运动时，单摆5将将作相同周期的简谐运动，作相同周期的简谐运动，其它单摆基本不动其它单摆基本不动.第三章第三章 机械振动机械振动 简谐运动的合成简谐运动的合成哈尔滨工程大学理学院 姜海丽 共振现象的危害共振现象的危害1940 年年7月月1日美国日美国 Tocama 悬索桥因共振而坍塌悬索桥因共振而坍塌第三章第三章 机械振动机械振动 简谐运动的合成简谐运动的合成哈尔滨工程大学理学院 姜海丽 华盛顿州耗资华盛顿州耗资640万美元新造的这座悬索大桥，享有世界单跨万美元新造的这座悬索大桥，享有世界单跨桥之王的称号。然而从桥之王的称号。然而从1940年年7月月1日大桥通车的那天起，桥在结日大桥通车的那天起，桥在结构上就明显存在问题，当风速达到每小时构上就明显存在问题，当风速达到每小时57公里时，桥面