经济数学-二阶常系数差分方程

1、一、二阶常系数齐次线性差分方程的求解一、二阶常系数齐次线性差分方程的求解二、二、二阶常系数非齐次线性差分方程的求解二阶常系数非齐次线性差分方程的求解 第八节二阶常系数线性差分方程第八节二阶常系数线性差分方程三、小结 1.1.定义定义 )(12xfbyayyxxx 形如形如)(0,(为为已已知知函函数数均均为为常常数数，其其中中xfba 常常系系数数线线性性差差分分方方程程的的差差分分方方程程，称称为为二二阶阶称称为为齐齐次次的的时时称称为为非非齐齐次次的的，否否则则0)( xf称称为为相相应应的的齐齐次次方方程程012 xxxbyayy2.解的结构定理解的结构定理 二阶常系数线性差分方程的通解

2、二阶常系数线性差分方程的通解等于对应齐次方程的通解加上非齐次方程的一个特解.即. xxxyYy一一 、二、二阶常系数齐次线性差分方程的求解阶常系数齐次线性差分方程的求解，代代入入得得为为对对应应齐齐次次方方程程一一个个解解设设)0( xxY012 xxxba 02 ba 即即其其根根程程的的特特征征方方程程此此方方程程称称为为对对应应齐齐次次方方,24,242221baabaa .称称为为相相应应方方程程的的特特征征根根.42式式的的符符号号来来确确定定其其通通解解形形现现根根据据ba 如如下下形形式式：，此此时时的的通通解解具具有有与与有有两两个个相相异异的的实实特特征征根根21 ),(21

3、2211为为任任意意常常数数CCCCYxxx (2)第二种情形第二种情形时时ba42 的的通通解解具具有有如如下下形形式式：，此此时时征征根根方方程程有有两两个个相相等等的的实实特特221a ),()2)(2121为任意常数为任意常数CCaxCCYxx (1)第一种情形第一种情形时时ba42 (3)第三种情形第三种情形时时ba42 ,征征根根方方程程有有一一对对共共轭轭的的复复特特 i2ab4ia21i2ab4ia212221：把把它它们们化化为为三三角角表表示示式式)0 , 0(tan,r22 sin,cosrr 则则)sin(cos),sin(cos21 irir )xsinix(cosr

4、y)xsinix(cosryxx2)2(xxx1)1(x 解可以证明解可以证明都是对应齐次方程的特都是对应齐次方程的特)(21)(21)2()1()2()1(xxxxyyiyy 及及有有以以下下形形式式的的通通解解：也也都都是是特特解解故故可可得得具具),()sincos(2121是是任任意意常常数数CCxCxCrYxx 解解2560特征方程特征方程(2)(3)0即即122,3解解得得1223xxxyCC解解210250特征方程特征方程2(5)0 即即125 解解得得12()( 5)xxyCC x解解2109 特征方程特征方程1,23i 即即1,32r 于于是是121( ) (cossin)3

5、22xxyCxCx通通解解：二、二、二阶常系数非齐次线性差分方程的求解二阶常系数非齐次线性差分方程的求解.xxYy分分方方程程的的通通解解另另一一项项是是对对应应的的齐齐次次差差，解解一一项项是是该该方方程程的的一一个个特特的的和和组组成成：差差分分方方程程的的通通解解由由两两项项二二阶阶常常系系数数非非齐齐次次线线性性 .2 xxxyYy）的通解为）的通解为即差分方程（即差分方程（(1) ( )( )nf xP x 21( )xxxnyaybyP x20ab )10iab ，( )xnyQx 令令可改写成：可改写成： 2(2)(1)( )xxxnyayab yP x特征方程为：特征方程为：

6、即即1 1不是特征方程的根时不是特征方程的根时 代入方程求解代入方程求解 )102iiiaba 且且)102iiaba 且且即即1 1是特征方程的单根时是特征方程的单根时 ( )xnyxQx 令令即即1 1是特征方程的重根时是特征方程的重根时 2( )xnyx Qx 令令将上式代入方程，比较等式两边系数，求出将上式代入方程，比较等式两边系数，求出 ( )nQx解解022 0)1)(2( 即即1, 221 解得解得21)2(AAYxx 1 是是特特征征方方程程根根（不不是是重重根根）4xxyCxyx代代入入得得21)2(4AAxyxx 所所给给方方程程通通解解为为42,240,212112121

7、0 AAAAyAAAAy即即即即由由34,3421 AA可得可得34)2(344 xxxy故故此此时时特特解解为为解解12=-1=-4.1特特征征根根，不不是是特特征征根根xBByx10 可设可设xxBBxBBxBB 10101044)1(55)2(代入方程代入方程比比较较两两端端同同次次项项系系数数有有 1100710110BBB101,100710 BBxyx1011007 则则1271( 1)( 4)10010 xxxyxCC 故故通通解解解解1212=-4=1.( 4)xxYCC，)(10 xBBxyx :代入方程得代入方程得xxBxBxBxBxBxB 21021021044)1(3)

8、1(3)2()2(101,50710 BB可得可得1271(),5010( 4),xxxyxxCC 又又Y Y通通解解为为1271()( 4)5010 xxyxxCCxxxyz 令令(2) ( )( )(1)xnf xP x 是是常常量量 ，即即方方程程21( )xxxxnyaybyP x 方程化为方程化为2121( )xxxxxxxnzazbzP x即即221( )xxxnza zbzP x由前面所讨论方法求出由前面所讨论方法求出xz 从而从而xxxyz 解解（1）对应特征方程为）对应特征方程为260特征根为特征根为122,3 故故123( 2)xxxYCC（2）3xxxyz 令令代入原方程

9、代入原方程2193621xxxzzzx对应特征方程为对应特征方程为29360特征根为特征根为1221,3 1是特征方程单根，令是特征方程单根，令()xzx AxB 代入原方程，比较系数，得代入原方程，比较系数，得12,1525AB 2121525xzxx 因此因此2123 ()1525xxyxx 原方程通解为原方程通解为212123( 2)3 ()1525xxxxyCCxx三、小结1.二阶常系数齐次线性差分方程求通解二阶常系数齐次线性差分方程求通解2.二阶常系数非齐次线性差分方程求通解二阶常系数非齐次线性差分方程求通解练习题)2, 2( , 022)2()1, 1( , 0164)1(. 110121