理论力学第三章刚体力学

1、理论力学理论力学 电子科技大学物理电子学院电子科技大学物理电子学院 付传技付传技 Email: 刚体也是一个理想模型，它可以看作是一种特殊刚体也是一个理想模型，它可以看作是一种特殊的质点组，这个质点组中任何两个质点之间的距离不的质点组，这个质点组中任何两个质点之间的距离不变，这使得问题大为简化，使我们能更详细地研究它变，这使得问题大为简化，使我们能更详细地研究它的运动性质，得到的结果对实际问题很有用。的运动性质，得到的结果对实际问题很有用。 我们先研究刚体运动的描述，在建立动力学方程我们先研究刚体运动的描述，在建立动力学方程后，着重研究平面平行运动和定点运动。后，着重研究平面平行运动和定点运动

2、。3.2 角速度矢量角速度矢量3.1 刚体运动的分析刚体运动的分析 第三章第三章 刚体力学刚体力学 3.3 欧勒角欧勒角3.4 刚体运动方程与平衡方程刚体运动方程与平衡方程3.5 转动惯量转动惯量 3.6 刚体的平动与绕固定轴的转动刚体的平动与绕固定轴的转动 3.7 刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动3.8 刚体绕固定点的运动刚体绕固定点的运动 3.9 重刚体绕固定点转动的解重刚体绕固定点转动的解 3.10 拉莫尔进动拉莫尔进动 3.1 刚体运动的分析刚体运动的分析 质点质点3个变量个变量质点组质点组3n个变量个变量A确定刚体在空间的位置，需要几个变量？确定刚体在空间的位置，需要几个变量？C

3、B6个变量可以确定刚体位置个变量可以确定刚体位置1）平动）平动2）定轴转动）定轴转动世界最大的摩天轮世界最大的摩天轮“伦敦眼伦敦眼” 3）平面平行运动）平面平行运动4）定点转动）定点转动Euler定理定理 定点运动刚体的任何位移都可以通过定点运动刚体的任何位移都可以通过绕过该定点某轴的一次转动来实现。绕过该定点某轴的一次转动来实现。5）一般运动）一般运动(Chasles定理定理)刚体的最一般位移可以视为其上任意一点的平移加上刚体的最一般位移可以视为其上任意一点的平移加上绕该点的一个转动，即绕该点的一个转动，即刚体的一般运动基点的平动绕基点的转动刚体的一般运动基点的平动绕基点的转动3.2 角速度

4、矢量角速度矢量无限小转动是矢量，无限小转动是矢量，它满足矢量加法交换律它满足矢量加法交换律证明证明nn角位移其大小定，义位移矢量位移矢量0rrn 时，垂直于平面平面,sinrPMPMrsinrrnrnr n若若是矢量它应当满足矢量加法交换律是矢量它应当满足矢量加法交换律nnnn 2）转动）转动 后：后：rn r n1）转动前：）转动前：r3）再转动）再转动 后：后：nrn rnrn r 不计二阶微量，则有不计二阶微量，则有rrn rnr 交换转动次序，则有交换转动次序，则有rrnrn r 已知对线位移，有已知对线位移，有rrrr 即即nnrnnr 可得可得n rnrnrn r nnnn 0li

5、 mtnd ntd t00limlimttdrrnrdnvrrdtttdt 角速度的绝对性（即角速度与基点的选取无关）角速度的绝对性（即角速度与基点的选取无关）,()()APAABPBBAABABABBAAPvvAPBvvBPvABBPABAPBPPBBPBP 证明：设当取 点为基点时，刚体的角速度为此时刚体上任意一点 的速度为：若取 为基点时，设角速度为，则 上两式相减，得 0（BAP 由于 点选取的任意性，故 （即角速度与基点选取无关） 正交变换正交变换 对于作定点运动的刚体，如何描述其对于作定点运动的刚体，如何描述其转轴的取向？一种可行的方法是，以定点转轴的取向？一种可行的方法是，以定点

6、O为原点，建立两个坐标系：一个固定在为原点，建立两个坐标系：一个固定在地球上，称为空间坐标系或静止坐标系，地球上，称为空间坐标系或静止坐标系，另一个固定在刚体上，称为本体坐标系，另一个固定在刚体上，称为本体坐标系，也叫随体坐标系或体轴坐标系。后者可以也叫随体坐标系或体轴坐标系。后者可以看作扩展的刚体。本体坐标系相对于空间看作扩展的刚体。本体坐标系相对于空间坐标系的取向就代表了刚体在空间中的取坐标系的取向就代表了刚体在空间中的取向。向。3.3 3.3 欧勒角欧勒角1 2 31 2 3123()()1,2,3, ,9,)1,2,3Oxx xOxyzOxx xOxyzeex y zeeee eeea

7、 我们分别用或和或来标志空间坐标系和本体坐标系，它们的单位矢量分别为 和（ 或）。 本体系相对于空间系的取向可以用其单位矢量 ， 在空间系中的 个方向余弦来描写： cos( （ ）311,2,3ea eea e此时，有 （ ）可以省去求和符号，默认对重复指标自动求和， 这种约定称为爱因斯坦约定。11111213221222323132333312 3xaxxxaaaxaaaxaaaxxrArA 用任意点的位矢点乘上式两端，得 （ ， ， ） 上式即是从空间系到本体系的坐标变换，可以将它表示成矩阵形式： 或简记为 矩阵 称为转动矩阵或变换矩阵。转动矩阵的性质：转动矩阵的性质：11 11TAAAA

8、EulerArArAA rrAAAAA ） 是可逆的，且其逆阵就是自身的转置 证：设从空间系到本体系的变换矩阵为 ，按定理，也存在从本体系到空间系的变换矩阵 ，于是 因为 是任意的，所以 为单位阵，对调空间系和本体系的地位，可知上式中 与 的位置也可以交换，所以 是可逆的，逆阵与逆变换相对应。 ()() 1 1TTTTTTTTr rArArrA A rr rrA AAAAA A 转动不改变位矢的长度，所以 由 的任意性可得 这表明 的逆矩阵就是其转置。这个结论还可以写成 或a a(行行正交)a a(列列正交)这些关系通常叫做正交条件。满足正交条件的矩阵叫正交矩阵，相应的变换称为正交变换。ker

9、963396 3Kronec 根据符号对指标的交换的对称性可知， 个正交条件实际上只有 个独立（ 个对角， 个非对角），所以独立的方向余弦数目为 1.det1detdetdet1TAAAAA 2） 的行列式为 即 证：对正交条件两端取行列式，并注意到，得 因为不转动（恒等变换）为连续转动的一种特例，它所对应的变换矩阵为单位阵，所以只能取正号。1101,11det(1)det(1)3iTTAAXeEulerAAAAAA 3） 的本征方程 （ ） 有一本征值为，相应的本征矢对应于转动操作的转轴，另外两个本征值为为转角（这就是定理的矩阵表述）。证：对恒等式（ ）两边取行列式，得 因为行列式是奇数（

10、）阶的，上式两端一定为零，与本征方程的系数行列式比较可知， 的本征值之一为 1.A相应的本征矢在变换 下保持不变，故一定沿转轴方向。2312323det1cossin0sincos000131iiAAzAeeA 3）设 的另外两个本征值为， ，则（将矩阵对角化的相似变换不改变其行列式的值） 上式要求，互为共轭复数。如取转轴为 轴，转角为，则 容易验证该矩阵的 个本征值分别为 ，一般的 与上式相差相似变换，但这种变换不改变本征值的性质，故结论仍成立。112233100010001xxxxxx 另外，存在行列式为1的正交变换，如空间反演 它将所有的右手坐标系化为左手坐标系，但不能反映刚体位置的连续

11、变化。凡是含有反演操作的正交变换S都不能由连续的转动生成，我们把这种变换叫作非正常转动。反映刚体连续变化的转动称为正常转动。非正常转动可以看作是由反演和正常转动联合组成的变换。张量张量.()NNAA 在三维欧氏空间中，N阶张量T定义为具有3 个分量的量T个下标 ，它在正交变换 下，按下列方式变换： TaaaT N阶赝张量的定义与张量类似，只不过在变换式前面多出一个变换矩阵的行列式，即 TdetaaaT对于正常转动，赝张量与张量的变换相同；对于非正常转动，赝张量的变换多出一个负号。 .2ABABA= BABCABCAB 对于张量，可定义如下运算：1）相等。 设 和 为两个同阶张量，如果它们的所有

12、分量相等，即 ，则称它们相等，记为）加法。 两个同阶张量 和 的和定义为 它仍为一个张量，记为 .:42:MANBMNCCABABCABCABMANBMNCC3）张量积。 阶张量 和 阶张量 可以按照下列方式组成一个阶张量 称为 与 张量积，记为或。这种运算不不满足交换律，但满足结合律和分配律。）内积。 将阶张量 的一个指标和 阶张量 的一个指标取成重复指标，并对该重复指标求和（称为指标缩并）可以证明得到的是一个 阶张量 ABABAB 我们称之为 与 的内积。 求证求证C C为一张量为一张量)()()()CCABABABAB 证：只需证明 是按照一个张量的变换规则变换即可。由内积的定义，得 （

13、aaaaaaaaaaaaaaaaaC a上式表明C满足M+N-2阶张量的变换规则，故C为张量。 522NANBAA ）一个张量的收缩（缩并）。 （）阶张量 的收缩定义为对其自身的两个指标进行缩并，得到一个 阶张量B: 讨论阶数讨论阶数N N取几种特定值的张量取几种特定值的张量01NTNT1）当时，张量 只有一个分量，变换规则为 T =T零阶张量也称为标量。如温度、能量等都是标量。2）当时，张量 只有3个分量，变换规则为 T =a T一阶张量也称为矢量。如位矢、动量等。123Te矢量常表示为 =T或记为矩阵形式 T T= TT一阶赝张量也称为赝矢量，或轴矢量。如角速度磁感应强度等都是赝矢量。11

14、12132122233132332NTTe eTTTTTTTTT 3）当时，张量 共有9个分量，变换规则为 T =a aT二阶张量可记为 =T或表为矩阵形式 T=():(ABABA B e eABCA B CCABC ABABCCABABCDAB 将两个矢量 和 按顺序并在一起，不作任何运算得到的量称为并矢，记为 并矢是一种二阶张量，它与矢量的内积定义为 （）（） （）（）一般说来（）（）。两个并矢和的双重内积定义为 )()()1CDB CA De ee e 一个特殊的二阶张量是二阶单位张量： 它的矩阵表示为单位阵。41, ,1230, ,1, ,123Levi CivitaA B ）三阶以上

15、的张量称为高阶张量。一个特殊的三阶张量是张量，它定义为 （当指标取， ， 的轮换顺序且无重复时） （当指标中有两个重复时） （当指标取， ， 的非轮换顺序且无重复时）该张量对于任意两个指标的交换都是反称的。借助于它，两个矢量的矢积(或外积) C=可表示为 CA B 用用9 9个方向余弦描述刚体的定点转动引入了冗个方向余弦描述刚体的定点转动引入了冗余的参数，实际上只需要用余的参数，实际上只需要用3 3个独立的参数就个独立的参数就可以确定它在任何一个时刻的位形。在文献中可以确定它在任何一个时刻的位形。在文献中可以找到多种对这组参量的描述，但最有用的可以找到多种对这组参量的描述，但最有用的是是节线节

16、线ON进动进动角角自转自转角角章动章动角角Z轴位置由轴位置由， 角决定角决定002023cossin0sincos00011000cossin0sincoscossin0sincos0001次转动所对应的变换矩阵分别为 A A A 将将3 3个矩阵按照从右到左的顺序相乘，便得到从空间系个矩阵按照从右到左的顺序相乘，便得到从空间系 到本体系的变换矩阵到本体系的变换矩阵 cos cossin cos sincos sinsin cos cossin sinsin coscos cos sinsin sincos cos coscos sinsin sinsin coscos A A A A1)T

17、从本体系到空间系的变换矩阵为A的逆或转置： A AAA A AA(- ,- ,-应当指出的是，用来确定本体坐标系最终取向的3个转动在一定程度上是任意的：第一次转动可以绕3个笛卡尔坐标中的任何一个；对剩下的两次转动，唯一的限制是相继的两次转动不能绕同一轴。所以，（在右手坐标系下）共有3 2 212中这种定义欧勒角的约定！上面所采用的约定中，第二次转动是绕x轴的，故称为x约定。333,yzyxyzyxxyz 在量子力学、核物理和粒子物理中，常常采用另一种约定：取第二次转动是绕 轴的（其他两次仍然绕 轴），称为 约定。 第 种约定普遍地应用于卫星和飞行器之类的工程技术中。当本体系和空间系只有微小差别

18、时， 约定与 约定均有使 和 变得不可区分的缺点。为了克服这一问题，可取 次转动沿 个不同的轴：第一次绕 轴转 角，第二次绕轴转 角第三次绕 轴转 角。这种约定通常叫约定。Nzeee根据欧勒角的定义，角速度矢量可以写成 角速度可以在空间系或本体系中分解。以后我们会看到，本体系在描写刚体的运动时具有特别的优越性。cossin (sincos)sinsin sinsin cos( cos)NzxyNxyxyzeeeeeeeeeeee 我们将 和 在本体系中进行分解： cos带入角速度表达式，得（ cos ）（sin ）sinsincossincossincosxyz1.1.力系的简化力系的简化3.

19、4 刚体运动方程与平衡方程刚体运动方程与平衡方程力的作用线不能随意移动力的作用线不能随意移动力的可传性原理力的可传性原理共点力系的简化共点力系的简化 平行四边形法则平行四边形法则共面非平行力系的简化共面非平行力系的简化 力的可传性原理力的可传性原理+平行四边形法则平行四边形法则平行力系的简化平行力系的简化 合力的量值和方向由代数和确定合力的量值和方向由代数和确定 合力的作用线用力矩关系确定合力的作用线用力矩关系确定 （合力对垂直于诸力的某轴的力矩与诸（合力对垂直于诸力的某轴的力矩与诸 分力对同一轴线力矩的代数和相等）分力对同一轴线力矩的代数和相等）力偶矩力偶矩MrF空间力系的简化空间力系的简化

20、空间力系可简化为对某一空间力系可简化为对某一简化中心的主矢和主矩简化中心的主矢和主矩既不平行又不汇交的力既不平行又不汇交的力 1neCiimrFF 1neiiidJMrFdt思路思路 将作用在刚体上的力简化为过质心的力将作用在刚体上的力简化为过质心的力 及对质心的力矩及对质心的力矩。xxdJMdtyyd JMd tzzdJMdt1neCixxim xFF1neCiyyim yFF1neCizzim zFF 1neCiimrFFdJMdt6个方程正好确定刚体的个方程正好确定刚体的6个独立变量个独立变量1neiiid TFd r动能定理可作为辅助方程动能定理可作为辅助方程10neCixxim xF

21、F10neCiyyim yFF10neCizzim zFF0 xxdJMdt0yyd JMd t0zzd JMd t对共面力系，有对共面力系，有0,0,0 xyzFFM例例 p171，如图，求，如图，求A处的摩擦系数。处的摩擦系数。解解 是共面力系的平衡问题是共面力系的平衡问题 01001020100 :co s9 000 :sin9 000 :co s0sinxyzFNfFNNPhMP lN解出解出2200200sinco ssinco sfNlhl1. 1. 刚体的动量矩刚体的动量矩21niiiiiJmrrriiiirx iy jz kxyzijk3.5 转动惯量转动惯量1niiiiJrm

22、 v刚体对刚体对O点的动量矩点的动量矩1ni iiiJm rr222122111nxixiiiixiyiziinnnxiiiyiiiziiiiiiJmxyzxxyzmyzm x ym x z22111nnnyxiiiyiiiziiiiiiJm y xmzxm y z 22111nnnzxiiiyiiiziiiiiiJm z xm z ymzy 21niiiiiJmrrr221nxxiiiiImyz221nyyiiiiImzx221nzziiiiImxy1nyzzyiiiiIIm y z1nzxxziiiiIIm z x1nxyyxiiiiIIm x y令令xxxxxyyxzzJIIIyyxxy

23、yyyzzJIII zzxxzyyzzzJIII 有有xxxyxzxyyyyzxzyzzzIIIIIIIIIIJI12211211(1)(1)niiiiiniiiiinnniiiiiiiiiiiiiJmrm vmrrrmrr rImrr rrIrJ 引 入 惯 量 张 量 则 定 点 转 动 刚 体 的 角 动 量 可 写 成 2. 2. 刚体的转动动能刚体的转动动能2111122nni iiiiiiTm rm v v 111122nniiiiiiiiTm vrrm v1122TJI 12xyzxyzTijkJ iJ jJ k22212222xxxyyyzzzyzyzzxzxxyxyTIIII

24、II 3. 3. 转动惯量转动惯量 1222221121211sin2212niiiinniiiiiiiTmrrmrmI21niiiIm转动惯转动惯量量2CIImd2Imk令令Ikm回转半回转半径径平行轴定理平行轴定理22112() ):niiiiniiiIm rnnnrImnnI设转轴方向单位矢量为 ，则转动惯量可写为 4. 4. 惯量张量和惯量椭球惯量张量和惯量椭球22xxIyzdm22yyIzxdm22zzIxydmyzzyIIyzdmzxxzIIzxdmxyyxIIxydm对质量连续分布的刚体，转动惯量对质量连续分布的刚体，转动惯量轴转动惯量轴转动惯量惯量积惯量积注意注意 刚体绕不同轴

25、转动，转动惯量不同刚体绕不同轴转动，转动惯量不同21niiiIm至转动瞬轴至转动瞬轴的垂直距离的垂直距离是否有简单的计算公式？是否有简单的计算公式？xyz因为因为22212222xxxyyyzzzyzyzzxzxxyxyTIIIIII 212TI由由222222xxyyzzyzzxxyIIIIIII可得可得222222xxxyxzxyyyyzxzyzxxyyzzzzyzzxxyIIIIIIIIIIIIIIII上式也可用惯量张量表出上式也可用惯量张量表出 一般说来，惯量张量矩阵的每个元素一般说来，惯量张量矩阵的每个元素都是时间的函数，且与坐标系的选择有都是时间的函数，且与坐标系的选择有关，但在本

26、体坐标系中这些矩阵元不随关，但在本体坐标系中这些矩阵元不随时间变化。时间变化。惯量椭球方程惯量椭球方程在转动轴上取线段在转动轴上取线段1OQRIQ点的坐标点的坐标,xRyRzR21R I 222222xxyyzzyzzxxyIIIIIII利用利用2222221xxyyzzyzzxxyI xI yI zI yzI zxI xy得到得到 在各种本体坐标系中，有一类特别重在各种本体坐标系中，有一类特别重要，就是主轴坐标系。惯量张量矩阵在要，就是主轴坐标系。惯量张量矩阵在主轴坐标系中简单地取对角形式。主轴坐标系中简单地取对角形式。5. 5. 惯量主轴及其求法惯量主轴及其求法123000000 xxxy

27、xzxyyyyzxzyzzzxxxyxzTxyyyyzxzyzzzIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII 为实对称矩阵。按线性代数，总可以通过某种正交变换 由定义可知，惯量张量矩阵 e将其对角形式： ee= 这种使惯量张量矩阵取对角形式的坐这种使惯量张量矩阵取对角形式的坐标系称为主轴坐标系，它的标系称为主轴坐标系，它的3 3个互相垂直个互相垂直的坐标轴称为惯量主轴。对角元称为主的坐标轴称为惯量主轴。对角元称为主转动惯量。由初始坐标系到主轴坐标系转动惯量。由初始坐标系到主轴坐标系的正交变换称为主轴变换。的正交变换称为主轴变换。一般坐标系下的惯量椭球一般坐标系下的惯量椭球2222221xxy

28、yzzyzzxxyI xI xI zI yzI zxI xy2221231I xI yI z若取椭球三主轴为坐标轴，交叉项消失，若取椭球三主轴为坐标轴，交叉项消失，得到主轴坐标系下的惯量椭球得到主轴坐标系下的惯量椭球123xyzJIiIjIk22212312xyzTIII动能和角动量简化为动能和角动量简化为一般坐标系下的惯量椭球一般坐标系下的惯量椭球主轴坐标系下的惯量椭球主轴坐标系下的惯量椭球惯量主轴的求法惯量主轴的求法 从数学方面看，就是解析几何里求二次曲面主轴的方法，从数学方面看，就是解析几何里求二次曲面主轴的方法，或者线性代数里求本征值的方法。或者线性代数里求本征值的方法。 在力学里，对

29、于具有对称性的均匀刚体，可利用对称性在力学里，对于具有对称性的均匀刚体，可利用对称性方便地求出。方便地求出。x轴对称轴对称(x为主轴为主轴)10niiiim x z10niiiim x yx轴对称轴对称 xy面对称面对称 xy面对称面对称(z为主轴为主轴)10niiiim x z10niiiim y z例例 均匀长方形薄片绕对角线的转动惯量。均匀长方形薄片绕对角线的转动惯量。p182解解 （A）直接用定积分）直接用定积分2222Iy dmty udy22sinsinuayaab22sinsinayabua22sin20223322222sinsin1sin616aabItyay dyataba

30、a bmab22sinbab解解 （B）用）用(3.5.15)计算计算2222cos,0aabbab222222xxyyzzyzzxxyIIIIIII222xxyyxyIIII23013bxxIyt adytab23013ayyIxt bdxta b220014baxyIxyt dxdyta b 222216a bImab解解 （C）取惯量主轴为坐标轴）取惯量主轴为坐标轴/ 221/ 23112bbIyt adytab/ 222/ 23112aaIxt bdxta b221222332222222222221112121166IIIabtabta bababa ba btabmabab3.6

31、刚体的平动与绕固定轴的转动刚体的平动与绕固定轴的转动 1. 刚体平动刚体平动 1neCiidpmrFFdt2. 定轴转动定轴转动ddtddtiiidvaRdt22iiniivaRR 定轴转动时只有一个变量，定轴转动时只有一个变量，用用角位移角位移就可以确定刚体位置。就可以确定刚体位置。ivR定轴转动动力学方程定轴转动动力学方程dJMdtzzdJMdtzzzzJIJIzzzzzzMII转动方程转动方程212zzIVE机械能守恒机械能守恒例例 复摆复摆解解 运动微分方程运动微分方程zzzMI200sinmglImk由转动方程由转动方程220Cglkl2220,sinCkkl 22sinCglAtk

32、l22022CklIglmgl周期周期讨论讨论等值单摆长等值单摆长222011CCIklkOOlllmlll 若以若以O为悬点为悬点2222212COCCklIm kllmkl振动周期振动周期22222122/2CCCmkklklmg lllgl 3.3.定轴转动轴上的附加力定轴转动轴上的附加力xxyyzzJMdJMd tJMxxyyzzPFdPFd tPF 刚体作定轴转动，可看作是刚体作定轴转动，可看作是AB两点不动的约束运动，去掉两点不动的约束运动，去掉约束代之以约束反力，就可以约束代之以约束反力，就可以动量定理和动量矩定理求运动动量定理和动量矩定理求运动和约束反力。和约束反力。11nni

33、iAxBxixiidm xNNFdt11nniiAyByiyiidm yNNFdt11nniiA ziziidm zNFdtcossiniiiiixRyRzc2iiiiixyxxy2iiiiiyxyyx00iizz21nCcAxBxiximxmyNNF21nCcAyByiyimymxNNF10nAziziNF1,nCiiimxm x11nnii iiiByixiidm yzz yAB NMdt11nniiii iBxiyiidm z xxzAB NMdt11nniiiiiiziidmx yy xMdt2yzzxByxIIAB NM2zxyzBxyIIAB NMzzzIMcossiniiiiix

34、RyRzc2iiiiixyxxy2iiiiiyxyyx00iizz2yzzxByxIIAB NM2zxyzBxyIIAB NMzzzIM21nCcAxBxiximxmyNNF21nCcAyByiyimymxNNF10nAziziNF00当，时为平衡方程，可求为平衡方程，可求静约束反力静约束反力。00当，时为运动方程，可求为运动方程，可求动约束反力动约束反力。要使刚体转动时轴上没有附加压力，要有要使刚体转动时轴上没有附加压力，要有20yzzxII20zxyzII20Ccmxmy20Ccmymx该方程组有解的条件是该方程组有解的条件是xc,yc,Iyz和和Izx同时为零，同时为零，即重心在转动轴（

35、惯量主轴）上。即重心在转动轴（惯量主轴）上。 例例 2 涡轮可以看作是一个均质圆盘由于安装不善，涡涡轮可以看作是一个均质圆盘由于安装不善，涡轮转动轴与盘面法线成交角轮转动轴与盘面法线成交角1o巳知涡轮圆盘质量为巳知涡轮圆盘质量为20千千克，半径克，半径r=0.2米，重心米，重心O在转轴上，在转轴上，O至两轴承至两轴承A与与B的距离的距离各为各为a=b0.5米设轴以米设轴以12000转分的角速度匀速转动时，转分的角速度匀速转动时，试求轴承上某一时刻的最大压力。试求轴承上某一时刻的最大压力。解解 因因,( ),x y yz是几何对称轴，而重心是几何对称轴，而重心O在转轴上，故在转轴上，故0,0,0

36、,0CCy zz xyzAzxyIIIN 以以O为参考点为参考点0AyByaNbN2zxAxBxIaNbN0AxBxNNmg0AyByNN112211222211cossinsincossincos1sin221sin22nzxiiiiniiiiiinniiiiiinniiiiiiiiz zx xIm z xmxzxzm zm xmzymxyII cossinsincosiiiiiixxzzxz 1sin22zxz zx xIII 2211,24z zx xImrImr 21sin28zxImr 解出解出221sin28BxmagmrNa ba b221sin28AxmbgmrNabab0Ay

37、ByNN代入数据得附加压力代入数据得附加压力221sin285400mrabN静压力为静压力为196mbgNab静约束反力静约束反力动约束反力动约束反力平面平行运动平面平行运动 刚体中的任一点始终在平行于某固定平面刚体中的任一点始终在平行于某固定平面 的平面内运动。的平面内运动。3.7 刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动1.1.平面平行运动运动学平面平行运动运动学平面平行运动平面平行运动 = 基点平动基点平动 + 绕基点的转动绕基点的转动0rrrAvvr0Avvrr加速度表达式加速度表达式Avvr Advddrardtdtdt2AdaarrdtP点对点对O点的点的绝对加速度绝对加速度A点相对

38、点相对O点加速度点加速度P点的相对点的相对A点加速度点加速度 200Adaarrrrdt在固定参考在固定参考系的表示系的表示 刚体角速度不为零时，在任一时刻恒有一点的速度刚体角速度不为零时，在任一时刻恒有一点的速度为零，称为为零，称为转动瞬心转动瞬心。2. 转动瞬心转动瞬心对实验室坐标系对实验室坐标系对固着刚体坐标系对固着刚体坐标系0 xAxvvyy0yAyvvxx0A yCvxx0AxCvyyxAxvvyyAyvvxA yCvx A xCvy 利用转动瞬心利用转动瞬心C与刚体上与刚体上任一点连线与其速度方向垂直，任一点连线与其速度方向垂直，可以用几何法求瞬心可以用几何法求瞬心ABCAvBv转

39、动瞬心的求法转动瞬心的求法 转动瞬心转动瞬心C在固定平面在固定平面xy上的轨迹称为上的轨迹称为空间极迹空间极迹，而在薄片上（动平面）的轨而在薄片上（动平面）的轨迹称为迹称为本体极迹本体极迹。 刚体的运动是本体极迹刚体的运动是本体极迹在空间极迹上的无滑滚动。在空间极迹上的无滑滚动。 例如车轮在轨道上的滚例如车轮在轨道上的滚动。动。 例例1 试用转动瞬心法求椭圆规尺试用转动瞬心法求椭圆规尺M点的速度、加速度，并求点的速度、加速度，并求本体极迹和空间极迹的方程式。本体极迹和空间极迹的方程式。转动瞬心转动瞬心空间空间极迹极迹本体本体极迹极迹sinBvca b sinca b2222222sincosc

40、MvMCabcabtga b 解解 22222xyOCABab222212xyO Cab2222222222222222cos1sinsin1cossinsin1coscoscossincossinsin1cossinsinMBddaarrkbjbjdtdtccbibja ba bbcija bbcijija bbca b 223sin1sinibcia bsinca b4 223sin1Mb caixbxa b3. 3. 平面平行运动动力学平面平行运动动力学 平面平行一般分解为平面平行一般分解为绕过质心绕过质心C点的轴的转动点的轴的转动和质心和质心C的平动。的平动。若外力只有保守力作若外力只有保守力作功，功，刚体的机械能守恒刚体的机械能守恒221122CzzEm vIV质心平质心平动动能动动能绕质心轴绕质心轴转动动能转动动能Cxm xFCym yF质心运动质心运动方程方程zzzzzIIM绕过质心轴的转动方程绕过质心轴的转动方程例例2 无滑下滚圆柱体的加速度和约束反力。无滑下滚圆柱体的加速度和约束反力。COmgNfOyxC解解 （A）机械能守恒定律）机械