第二章地图数学基础

1、主讲教师：马明舟测绘工程教研室2.1地球椭球体与大地测量控制2.2地图投影基本理论2.3常用地图投影及其应用2.4地图投影选择2.5地图定向与地图比例尺2.6地图投影变换一、地球体的基本特征（一）（一）地球体的量度公元前3世纪 l希腊学者认为大地是个球体。 对地球大小作了第一次估算。这个角度约是圆周的1/50圆周长圆周角弧长弧度50赛伊尼的子午线长地球周长亚历山大到一、地球体的基本特征（一）（一）地球体的量度公元724725年 组织测量计算得子午线上的纬度1的地面距离约132 km，比现代测量值约长21 km。 公元827年l阿拉伯回教主推算出1子午线弧长，比现代测量值只差1%。一、地球体的基

2、本特征（一）（一）地球体的量度17世纪后l牛顿论证地球是一个椭球体。l清康熙年间天文大地测量，实证地球不是正圆球。l法国1735年测量论证地球是椭球。现代天文测量l地球是一个极半径略短、赤道半径略长，北极略突出、南极略扁平，近于梨形的椭球体。 一、地球体的基本特征（一）（一）地球体的量度地表是一个有些微起伏、极其复杂的表面。地球是一个表面光滑、蓝色美丽的正球体。航天器观察地球机舱窗口俯视大地 地球体的自然表面 地球的自然表面并不光滑平顺，珠穆朗玛峰（8 844.43 m）与马里亚纳海沟（11 034 m）之间的高差约达20 km。 由于地球的自然表面凸凹不平，形态极为复杂，难以成为测量与制图的

3、基准面。应寻求一种与地球自然表面非常接近的规则曲面，来代替这种不规则的曲面。一、地球体的基本特征（一）（一）地球体的量度 地球体的自然表面一、地球体的基本特征（二）（二）地球体的物理表面地球不是一个正球体，而是一个极半径略短、赤道半径略长，北极略突出、南极略扁平，近似的不规则椭球体。WDM94 1994年的全球重力场模型一、地球体的基本特征（二）（二）地球体的物理表面 与重力方向相垂直，可有无数个曲面，每个曲面上重力位相等，重力位相等的面被称为重力等位面，即。理想水准面：它是一个无波浪、无潮汐、无水流、无大气压变化，处于流体平衡状态的静止海平面。它没有棱角，没有褶皱。寻找一种与地球自然表面非常

4、接近的规则曲面，来代替这种不规则的地球面。 它实际上是一个起伏不平的重力等位面，是逼近于地球本身形状的一种形体，。一、地球体的基本特征（二）（二）地球体的物理表面大地水准面：以理想水准面作为基准面向大陆延伸，穿过陆地、岛屿，最终形成的封闭曲面。一、地球体的基本特征（二）（二）地球体的物理表面在实际测量中以似大地水准面代替大地水准面，两者在海洋上完全重合，在陆地上只在山区有24 m的差异。各国也往往选择一个平均海水面代替大地水准面，以其作为统一的高程基准面。大地水准面并不是一个规则的曲面，无法用数学公式表达，无法进行量算；找一个与大地水准面相近的数学表面来代替，成为对地球形体的第二次逼近。 它是

5、一个规则的数学表面，所以人们视其为地球体的数学表面，也是对地球形体的二级逼近，用于测量计算的基准面。一、地球体的基本特征（三）（三）地球体的数学表面地球椭球体：假想将大地体绕短轴(地轴)飞速旋转，以形成一个表面光滑的球体表面。地球椭球体地球椭球体 基本参数: 长半轴（赤道半径） a 短半轴（极半径） b椭球体的扁率 = (a-b) / a第一偏心率 e2 = (a2-b2)/a2第二偏心率 e 2 = (a2-b2)/b2赤道半径赤道半径极半径极半径北极北极南极南极赤道赤道a ab bWGS world geodetic system 84椭球体:a = 6 378.137 km b = 6

6、356.7523 km = 1/298.257 224赤道直径 = 12 756.3 km极轴直径 = 12 713.5 km赤道周长 = 40 075.1 km地球表面积 = 510 064 500 km2对 a,b,的具体测定就是近代大地测量学的一项重要工作。（三）（三）地球体的数学表面 二、地理坐标系 用经度、纬度表示地面点位的球面坐标系统，被称之为地理坐标系统，简称地理坐标系。l常用的地理坐标系有：天文经纬度大地经纬度地心经纬度1、天文经纬度 用天文经度、天文纬度表示地面点位的球面坐标系统。铅垂线指向地球质心，属于地心坐标系。也称为赤纬，指地面一点的铅垂线与赤道面的夹角；指过地面一点的

7、子午面与本初子午面的二面角。2、大地经纬度 用大地经度、大地纬度、大地高表示地面点位的球面坐标系统。大地经纬度建立在参考椭球面上，原点是参考椭球的中心，属于参心坐标系。指参考椭球面上一点的法线与赤道面的夹角；指过参考椭球面上一点的子午面与本初子午面的二面角。指地面点沿参考椭球法线到参考椭球面距离。3、地心经纬度 用地心经度、地心纬度表示地面点位的球面坐标系统。同样是建立在参考椭球面上，但原点可以是参考椭球中心，或者是地球中心（质心），前者属参心坐标系，后者地心坐标系。指地面点与质心或椭球中心的连线与赤道面的夹角；概念等同于大地经度。三、大地坐标系 地理坐标系中，最为常用的是大地经纬度，又被称为

8、大地坐标系。l由于不同年代参考椭球的参数不同，我国先后建立起了两套国家大地坐标系：l其作用是：实现在广大区域内平面坐标、球面坐标统一与精度控制。1954年北京坐标系1980年国家大地坐标系1、1954年北京坐标系 建国初，百废待兴，新中国的大地测量处于起步阶段。为了确保保障国民经济建设的快速发展，我国从苏联的弗拉迪罗斯托克（海参崴），将大地原点引测至北京，以克拉索夫斯基参考椭球为基准，建立起，简称。1、1954年北京坐标系 随着国民经济建设的不断发展，我国的大地测量学科得到发展，也逐步发现北京54系的诸多缺点：（1）椭球面与我国的大地水准面存在着自西向东明显的系统性倾斜；（2）椭球体在我国境内

9、没有明确的、严密的定向和定位；（3）坐标轴指向不明确；（4）综合起来，对我国的国民经济和空间技术发展极为不利。2、1980年国家大地坐标系l20世纪70年代，利用丰富的天文测量资料经同一平差，建立了“1980年国家大地坐标系”，简称西安80系。IUGG推荐的1975年参考椭球推荐值（1975IUGG椭球）；山西省西安市泾阳县永乐镇。1980西安坐标系国家大地原点2、1980年国家大地坐标系l优点：（1）参考椭球表面与我国大地水准面吻合；（2）大地控制点经过全国性的整体平差，坐标统一，精度优良；（3）能满足1:5000甚至更大比例尺的测图需求。1980西安坐标系国家大地原点3、2000年国家大地

10、坐标系（）四、高程系 为了使测量工作在一个国家的广阔范围内统一起来，而建立起来的高程系统。l新中国成立后，先后建立了两套高程系：1956年黄海高程系1985年国家高程基准我国幅员辽阔，为保证测量成果的精度符合统一要求，必须现在全国范围内，选取若干典型的、具有控制意义的点，然后精确测定其平面位置和高程，构成统一的大地控制网，并做为测绘地形图的基础。根据控制内容的不同：分为和。测定平面控制网上控制点平面位置的测量工作，成为平面控制测量。主要方法：三角测量和导线测量。1.三角测量：通过测定三角形内角，从而由已知点确定待定点的平面位置，原理如图所示：由三角测量的方法建立起的平面控制网，又被称为三角网。

11、由于，国土面积较大，测量过程中误差传递会影响平面控制网的精度统一，因此需采用层层控制的原则。首先，在全国范围建立一等三角网。一等三角网是由边长为2025km的近似等边三角形所构成；布设方向：基本沿着经纬线方向；作用：是全国平面控制网的骨架，是测量二等三角网的起算基础，又称为一等三角锁。二等三角网是在一等三角网基础上扩展，三角形平均边长13km；起算基础：一等三角网上控制点；作用：精度要求满足全国1:10万、1:5万地形图测图需要，作为三等三角网的起算基础。三等三角网是布设密度最大的控制网，三角形平均边长8km，满足1:2.5W地形图测图需求；起算基础：一、二等三角网上控制点；四等三角网可自行布

12、设，三角形边长要求4km，满足1:1W地形图测图需求，作为一般测图工程的首级控制网。由导线测量的方法建立的控制网成为导线网。导线测量：将各个控制点用折现连接起来，通过测定导线边长和转折角，从而由已知点推算待定点平面位置的方法。导线形式如图所示：高程：地面点沿铅垂线方向到大地水准面的距离。高程测量的方法：水准测量、气压高程测量、重力高程测量，GPS测量。建立全国统一的高程控制网的测量方法：水准测量。高程控制网又被称为水准网，按照层层控制的原则逐级加密布设，分为一等、二等、三等、四等水准网。l一、地图投影概述l什么是投影？是指两个面之间点与点的一一对应关系。l什么是地图投影？ 是指地球表面上点与投

13、影面上点的一一对应关系。l一、地图投影概述l最简单的地图投影？是最简单的、最容易理解的投影方法。l一、地图投影概述l除了方位投影以外还有哪些几何透视投影？方位投影圆柱投影圆锥投影l一、地图投影概述l几何透视投影一共有多少种？l一、地图投影概述l根据，几何透视投影可以分成：切*投影1割*投影2l一、地图投影概述l根据，几何透视投影可以分成：正轴*投影1横轴*投影2斜轴*投影3l因此，一共是3*2*3=18种。方位投影切方位投影正轴切方位投影横轴切方位投影斜轴切方位投影割方位投影正轴割方位投影横轴割方位投影斜轴割方位投影圆柱投影切圆柱投影正轴切圆柱投影横轴切圆柱投影斜轴切圆柱投影割圆柱投影正轴割圆

14、柱投影横轴割圆柱投影斜轴割圆柱投影圆锥投影切圆锥投影正轴切圆锥投影横轴切圆锥投影斜轴切圆锥投影割圆锥投影正轴割圆锥投影横轴割圆锥投影斜轴割圆锥投影l一、地图投影概述l除了几何透视投影以外，还有其他的投影方法吗？从数学的本质上看，地图投影是建立球面坐标与投影面坐标间的数学函数。x = f1 ( B , L )y = f2 ( B , L )l一、地图投影概述l除了几何透视投影以外，还有其他的投影方法吗？l因此，在几何透视投影的数学函数基础上增加若干干预条件，可以形成若干种不同的投影方式，这种方法成为。l二、地图投影变形l投影仅仅是，无论是几何透视投影还是数学解析投影，都不可避免存在。l从下面的地

15、图和地球仪上的经纬线形式，你能发现那些规律？l二、地图投影变形l投影变形的三大特征：123长度变形角度变形面积变形l变形椭圆公式中的m、n表示坐标轴方向的长度比，但投影后（构成倾斜坐标系）；指出，微分圆上必有一对正交方向， 投影后仍然为正交，该对方向称为；该方向上的长度比成为主方向长度比，记作a、b。222222222222222222111xyxyxyrrmnmrnrxyxymnab 由变形椭圆引出投影变形的三个数学概念： 长度比、角度变形、面积比P由变形椭圆引出投影变形的三个数学概念： 表示微分圆上的微分线段与微分椭圆上对应线段的比值。dsds长度比是变量，随投影点的位置和方向不同而变化。

16、主方向长度比为a、b由变形椭圆引出投影变形的三个数学概念： 角度变形：表示微分圆上的两个微分线段的夹角与微分椭圆上对应线段的夹角的差值。sin2abab若某一投影没有角度变形，即为0，则a=b。由变形椭圆引出投影变形的三个数学概念： 面积比：表示微分圆的面积与微分椭圆面积的比值。Pab若某一投影没有面积变形，即P为1，则a=1/b。若保证投影没角度变形，必须满足 a = b ，该投影被称为等角投影；若保证投影没有面积变形，必须满足 a = 1 / b ，该投影成为等积投影；其他均属于任意投影，任意投影中若保证某一方向（通常为主方向、经纬线方向）的长度不变形，必须满足 a = 1 或 b = 1

17、 ，则称之为等距投影。高斯-克吕格投影及高斯平面直角坐标系墨卡托投影UTM投影常见的数学解析投影一、高斯-克吕格投影及高斯平面直角坐标系l又 名：等角横轴切圆柱投影 横轴墨卡托投影；l基本原理： 它把地球视为球体,假想一个平面卷成一个横圆柱面并把它套在球体外面,使横轴圆柱的轴心通过球的中心,球面上一根子午线与横轴圆柱面相切。这样,该子午线在圆柱面上的投影为一直线,赤道面与圆柱面的交线是一条与该子午线投影垂直的直线。 一、高斯-克吕格投影及高斯平面直角坐标系l将横圆柱面展开成平面,由这两条正交直线就构成高斯-克吕格平面直角坐标系。为减少投影变形,高斯-克吕格投影分为3带和6带投影。 （1）中央经

18、线投影后为直线，没有长度变形；（2）赤道线投影后为为直线；（3）其余经线以中央经线为对称轴，向外突出；（4）其余纬线以赤道线为轴，向内突进。一、高斯-克吕格投影及高斯平面直角坐标系l将横圆柱面展开成平面,由这两条正交直线就构成高斯-克吕格平面直角坐标系。为减少投影变形,高斯-克吕格投影分为3带和6带投影。 高斯投影存在长度、面积变形，距离中央经线越远，变形越大；因此，为减小变形，采用分带投影。一个投影带一、高斯-克吕格投影及高斯平面直角坐标系l若以6为一个投影带，全球共分成60个投影带，自本初子午线起，依次编号160号。 我国的经度范围从我国的经度范围从72E 136E，横跨，横跨11个个6带

19、。带。一、高斯-克吕格投影及高斯平面直角坐标系l若以3为一个投影带，全球共分成180个投影带，自本初子午线起，依次编号1180号。 我国的经度范围从我国的经度范围从72E 136E，横跨，横跨21个个3带。带。1、若为高斯6带投影，则带号N的计算公式为：2、若已知6带带号，求该投影带的中央经线，公式为： 16LN取整063LN 3、若为高斯3带投影，则带号n的计算公式为：4、若已知3带带号，求该投影带的中央经线，公式为： 453lN 舍 入03ln每一个投影带上：以中央经线为坐标纵轴（x轴） ，向北为正；以赤道线为坐标横轴（y轴），向东为正。 我国为北半球国家，x坐标均为正；为保证投影带上所有

20、y坐标均为正值，坐标纵轴向西平移500km； 高斯坐标与数学坐标的区别：（1）坐标轴的方向不同；（2）坐标象限的顺序不同。假如某点P1的投影坐标为（ 359376.233 ，26370.484）则为：（）假如某点P2的投影坐标为（343269.142 ，-26155.269） 则为：（ ） 为区分不同投影带的坐标，在y坐标前+。若P1点在21号带，则坐标为:(359376.233 ，21526370.484)二、墨卡托投影l又 名：等角纵轴切圆柱投影l投影原理：二、墨卡托投影l没有角度变形，适用于全球的航海地图、航空地图。三、UTM投影l正 名：通用横轴墨卡托投影l又 名：等角横轴割圆柱投影；

21、l投影原理： 与高斯投影相同，不同之处在于中央经线长度变形，长度比为0.9996；亦采用分带投影。l使用情况：欧美国家地形图的投影方法。四、常见的数学解析投影伪方位投影伪圆柱投影伪圆锥投影四、常见的数学解析投影l伪方位投影：在方位投影的基础上，增加了“纬线投影后仍为同心圆弧”的条件，而产生的数学解析投影类型。四、常见的数学解析投影l伪圆柱投影：在圆柱投影的基础上，增加了“纬线投影后为平行直线”的条件，而产生的数学解析投影类型。四、常见的数学解析投影l伪圆锥投影：在圆锥投影的基础上，增加了“纬线投影后仍为同心圆弧”的条件，而产生的数学解析投影类型。四、常见的数学解析投影l多圆锥投影：设想有许多圆

22、锥与地球球面相切，并将球面的经纬网分别投影到这些圆锥面上，然后沿某一条母线将圆锥面剪开成平面，即得多圆锥投影。 一、影响地图投影选择的因素l1.地图的用途与使用特点；l2.制图区域的空间特征；l3.地图对投影的特殊要求。 一、影响地图投影选择的因素l1.地图的用途与使用特点；l不同用途的地图，对地图投影的要求不同，通常表现在对投影变形的要求不同，而影响对地图投影类型的选择l例如：（1）军事地图、航海地图：要求方位准确等角投影；（2）民用地图、土地管理：要求面积准确等积投影；（3）教学用图：各种变形都不大的任意投影；（4）国家不同比例尺地形图：高斯投影、UTM投影。一、影响地图投影选择的因素l2

23、.制图区域的空间特征；l制图区域的空间特征是指它的形状、大小和其在椭球上的位置；基本原则：投影选择应尽量减少图上变形。l例如：（1）两极地区：亦采用正轴方位投影；（2）赤道地区，东西走向：亦采用正轴圆柱投影；（3）中纬地区：亦采用斜轴方位投影、圆锥投影。一、影响地图投影选择的因素l3.地图对投影的特殊要求；l地图对投影的特殊要求表现在经纬线投影后的形式，例如：（1）教学用图：经线对称与中央经线、赤道线；（2）航空地图：大圆航线投影呈直线；（3）航海地图：等角航线投影呈直线。二、我国编制地图常用的地图投影制图范围地图名称投影类型全球世界地图正切差分纬线多圆锥投影大洲亚洲地图等积斜轴方位投影、彭纳

24、投影（伪圆锥）欧洲地图等积斜轴方位投影、等角圆锥投影、等距圆锥投影北美洲地图等积斜轴方位投影、等距斜轴方位投影、彭纳投影其他大洲地图等积斜轴方位投影为主二、我国编制地图常用的地图投影制图范围地图名称投影类型大洋太平洋印度洋乌尔马耶夫投影（伪圆柱投影）大西洋伪方位投影半球东、西半球等角、等积横轴方位投影南、北半球各种正轴方位投影二、我国编制地图常用的地图投影制图范围地图名称投影类型中国全国地图斜轴方位投影、伪方位投影、正轴割圆锥投影各省、直辖市省、直辖市地图等角正轴割圆锥投影一、地图定向概念：确定地图上图形的地理方向。地图定向的两种形式：“北方定向”和“斜方位定向”l北方定向：图形北方向与图纸北

25、方向一致；l斜方位定向：图形北方向与图纸北方向不一致；图形北方向：“三北方向”。：子午线指向地球自转轴的北极方向；n磁北方向：磁针指向地球磁场的北极方向；n坐标北方向：测量直角坐标系的坐标纵轴正轴方向。一、地图定向（一）地形图定向l地形图通常采用“北方定向”，图纸北方向与某一条经线的真北方向一致。l比例尺1:10万的地形图，必须标注三北方向线及其三个偏角的图形关系，便于图形在图纸上的方位罗盘定位。一、地图定向（二）小比例尺地图定向l尽可能采用“北方定向”，中央经线与南北图廓垂直；l北方定向不利于有效利用标准纸张和印刷机的版面时，考虑采用“斜方位定向”。二、地图比例尺比例尺的概念：地图上某线段的长度与实地相应线段的水平长度之比，称为地图的比例尺。lM：比例尺的分母（比例尺系数）。l（一）地图比例尺形式l1.数字式： 1:100 000 或者 l