静态电场及恒定电场

1、第二章：静态电场与恒定电场主要内容: 理解电场强度和电位的定义、电场强度与电位间的关系；了解静电场中的导体和电介质；掌握静电场的基本方程及电场强度、电位在不同媒质分界面的边界条件，泊松方程和拉斯方程。 了解电场强度和电流密度的概念，掌握恒定电场的基本方程；并了解恒定电流场的边界条件，理解导电媒质中恒定电场和静电场的比拟。Coulomb定律与静电场定律与静电场真空中任意两个静止点电荷真空中任意两个静止点电荷q q1 1 和和q q2 2之间作用力的大小与两电之间作用力的大小与两电荷的电荷量成正比，与两电荷荷的电荷量成正比，与两电荷距离的平方成反比；方向沿距离的平方成反比；方向沿q q1 1 和和

2、q q2 2 连线方向，同性电荷相互连线方向，同性电荷相互排斥，异性电荷相互吸引。排斥，异性电荷相互吸引。31201221124RFRqqq1q2R12F121 Coulomb1 Coulomb定律定律 实验还证明：真空中多个点电荷构成的电荷体系，两两间实验还证明：真空中多个点电荷构成的电荷体系，两两间 的作用力，不受其它电荷存在与否的影响。的作用力，不受其它电荷存在与否的影响。ijijijjiiRqq304RFqiqjiq多个电荷体系中电荷多个电荷体系中电荷 受到的作用力是系统受到的作用力是系统中除中除 以外的电荷与该电荷单独存在时作用以外的电荷与该电荷单独存在时作用力之矢量代数和，满足线性

3、叠加原理。力之矢量代数和，满足线性叠加原理。iq电场与电场强度实验证明，任何电荷在其所 处的空间中激发出对置于其 中别的电荷有力作用的物 质，称为电场。由静止电荷 激发的电场称为静电场。电场静电场：自由空间中相对于观察者静止、并且不随时间变化的静电场：自由空间中相对于观察者静止、并且不随时间变化的 电荷产生的电场称为静电场。电荷产生的电场称为静电场。电场强度电场强度 空间某点电场强度定义为置于该点的单位空间某点电场强度定义为置于该点的单位 点电荷（又称点电荷（又称试验电荷试验电荷）受到的作用力：）受到的作用力： 00qqrFlimrE0Coulomb定律与静电场定律与静电场点电荷：对于无界自由

4、空间中，位于坐标原点的点电荷点电荷：对于无界自由空间中，位于坐标原点的点电荷q q在相在相距距r r处引起的电场，相当于将电荷量处引起的电场，相当于将电荷量q q想象集中在几何点上。想象集中在几何点上。6QqQqqQqQqerQqFEqQerQqFqQ2020441点的场强在的作用力对解：用库仑定理：。、求点电荷的电场分布例qQr真空中静止点电荷真空中静止点电荷Q 激发的电场：激发的电场： 如果电荷是连续分布，密度为 ,它在空间任意一点产生的电场为： )(r30V301i3i0iiiR4RdqdVR4R)(rR4RV)(rE(r)iiV)(r小体积元中的电荷产生的电场8LlSSVVdLrqlq

5、rdSrqSqrdVrqmCVqr) (lim) () (lim) () (;/lim) (0030；线分布总电量：线电荷分布：；面分布总电量：面电荷分布：某体积中的总电量：体电荷分布：R LR LR SR SedLR) r(eRdq)r(EedSR) r(eRdq)r(E) r() r(dLdSdVdq2020202041414141和产生的电场分布为：、线电荷由面电荷，因此自由空间中对于理想的电荷分布9例1:真空中一线密度 沿z轴均匀分布长为l的线电荷，求其中垂面上的场分布。2/ ldzdEdEdEzdEzdERaz z)larctan(esine) z(dzdE),(Ee) z(dzec

6、osRdzcosdEdEeRdqdEdzdql/l/l/R224200444000202322022232202020其中，解：。，从而，则有若为无限长的线电荷，的点电荷产生的电场。相当于电量为。，则有很大时，很小或，即若aaeElllelElll0020022)2arctan(1242sin1210rSSSnSSerq)r(ErqEq(*)rEdsEEdsdseEdSE(*)E(*)qdSE)c(2020020444左边左边射状从原点向外辐射。线呈放无关，和标的方位角产生的电场分布与球坐标原点时，称性，当点电荷位于坐点电荷的结构具有球对、高斯定理：高斯面rEr德国数学家和物理学家高斯曾从理论

7、上证明，静电场中任一闭德国数学家和物理学家高斯曾从理论上证明，静电场中任一闭合曲面上所通过的电通量与这一闭合曲面内所包围的电荷电量合曲面上所通过的电通量与这一闭合曲面内所包围的电荷电量间存在着确定的量值关系，这一关系被称为高斯定理。间存在着确定的量值关系，这一关系被称为高斯定理。11例2：求球状电荷源的场分布。rrSrrVeerrrErrErqrEdSErddrdrrdVdqqarEdEdEdq02020220202220 0 0202142)(24242sin11) 3()2() 1 ( :时，内部总电荷、斯定理有：建立球坐标系，利用高对称。布，空间场分布也呈球给定电荷源按球对称分。在源上积

8、分，得对。，计算元电场取元电荷择适当坐标系。依据场源结构特点，选一般步骤)(0)0(1) (:ararrr已知电荷分布体密度a高斯面r12rSaVaVera)r(EarEaqrEdSEa)r(d)r(drdqdqqar20202202022330224242340341212面，则高斯面内时，在球外做同心高斯、布。的带电球体的空间场分，半径为、求带电量为。，求其在真空中场分布的球体，半径为、均匀电荷体密度为练习：，如何求若已知总结：aqa?) r()r(E)ar(era)ar(e)r(Err212021202013000011EdVEdVdSEdSAdV)A(dVdSEqdSEVVSSVSVS

9、又有散度定理：高斯定理描述的是一个闭合面电场强度的通量与闭合面内电荷间高斯定理描述的是一个闭合面电场强度的通量与闭合面内电荷间的关系。要分析一个点的情形，需要用微分形式。如果闭合面内的关系。要分析一个点的情形，需要用微分形式。如果闭合面内的电荷是密度为的电荷是密度为的体分布电荷，则高斯定理可以写为：的体分布电荷，则高斯定理可以写为：体积V是任意微分形式的高斯定理静电场是有散场14例例 3： 已知半径为a的球内、 外的电场强度为 )ar(ararEeE)ar(raEeErr3302202325求电荷分布。 15解：解：由高斯定理的微分形式 ， 得电荷密度为 0 EE0用球坐标中的散度公式 ArA

10、rrArrArsin1)(sinsin1)(122可得 )ar)(ra(aE)ar(o2230215016+qOr1r2r-qer),(rP场分布：基于位函数场分布：基于位函数 的分析：的分析：高斯定理30R4RdqE(r)场源场分布例：求真空中电偶极子的空间场分布。？+q在P点引起的电场为：-q在P点引起的电场为：1r210qer4qE22r20qer4qE则合成电场为：qqpEEE17BA0BA20LrBA20BALr20BArr4qdrr4qe ,ecosldr4qldeer4qLdEqW1111点时，电场力做功点移到从沿任意路径将单位电荷BA与路径无关qABArBrrLdLdrr Lr

11、e ,e18011AA0LAArr4qLdELdEW当移动电荷一周，即积分路径闭合时，静电场中，沿闭合路径移动电荷，电场力不做功。应用斯托克斯公式：00EdLEdlAdS)A(LlS静电场是无旋场静电场的性质静电场的性质 性质性质1 1 静电场是有散矢量场，电荷是静电场的静电场是有散矢量场，电荷是静电场的 通量源。通量源。 0rrE 直接求散度：直接求散度：SqdSE0静电场的静电场的GaussGauss定律表明：定律表明：静电场的力线发源于正电荷，终止于负电荷。在静电场的力线发源于正电荷，终止于负电荷。在没有电荷的空间中，静电场的力线是连续的。没有电荷的空间中，静电场的力线是连续的。 014

12、141030dVRdVRVVrrRrE， 性质2 静电场是无旋矢量场22任意一个标量函数的梯度的旋度恒等于零。因此，静电场E可以表示为一个标量函数的梯度的形式。即：)r()r(E电场力做功。定义为移动单位正电荷电位差代入上式将点时，电场力做功点移到从沿任意路径将单位电荷BAdLEqWqdllqdlerqdLrqWrrEdLEqWBAABBAABBAABBABABALBABAAB)()()()()(:。，且点为参考点，则：规定电位零点。如取，即必须选择电位的参考点绝对高度、压强一样，绝对电位无意义，如同0BBBBAAdLEdLEB23又方便计算。为零，符合理论分析，因此取无限远处电位间的距离源点

13、可知电位反比于场点与，但从参考点的选择是任意的 rrdV rr) r(V410dV rr) r()r(R4RdqE(r)V30410的空间分布。求，而后根据求标量电位方向不易判断时，可先不成；或由于其矢量性的积分又成立；直接求特殊结构，高斯定理不如果给定源分布不满足产生的电位表达式为：则点电荷在自由空间中。产生的电场坐标原点的点电荷无界自由空间中，位于E)r(E)r(ErqdleerqdLerqdLE)r(erq)r(EqPrrPrPPr4444020202024例：adddSdq)()()()(44)(4)(000rrErdrrddrdSrdrqraZeEa02面的场分布。则等同于无限大带电

14、平无限大平面，即电荷分布扩展为一特例，当za rdaddad25例：+q在P点引起的电位为：-q在P点引起的电位为：rqr04)(104rq204rq电偶极距则有：，三者近似平行，有：和、很大时，对远区场，点的总电位为：qdpreprqdrrrrqrrrdrrrrrrrrrrqrrqPrPP20202101222112212101221044cos4)(cos4)(114+qOr1r2r-qer),(rP26233020202101211)sincos2(4)1(44cos4)(rErEeerpererEreprqdrrrrqrrrP点电荷：有关且与方位角电偶极子：27导体和电介质导体和电介质

15、静电场中的导体静电场中的导体受电场力的作用，导体内可自由移动的电荷将反电场方向产生受电场力的作用，导体内可自由移动的电荷将反电场方向产生宏观定向运动，使电荷从新分布，出现静电感应现象。宏观定向运动，使电荷从新分布，出现静电感应现象。特征：特征：媒质导体：拥有大量可以自由移动的电荷。电介质：拥有大量电荷，但由于受力的作用， 不能自由移动，称为束缚电荷。+q-+-+E4 4、电荷以电荷面密度分布于导体表面。、电荷以电荷面密度分布于导体表面。1 1、导体内部、导体内部E=0E=0。2 2、导体是一等势体。、导体是一等势体。3 3、导体表面与其外侧的电场线正交。、导体表面与其外侧的电场线正交。28n导

16、体壳内表面带电量与腔内电荷的代数和为0。n导体壳内表面没有电荷，电荷只分布于外表面。n空腔内没有电场，腔内电势处处相等。q导体壳：中空的导体。(1)(1)壳内无电荷壳内无电荷(2)(2)壳内有电荷壳内有电荷结论：若给导体带电，电荷只分布在外表面。壳外电场间接反映壳内电荷的作用，壳外电荷对壳内空间无作用。外壳接地，则壳内、壳外相互不影响。导体壳与静电屏蔽导体壳与静电屏蔽E29理想电介质电导为零。束缚电荷-带电粒子受原子内在、分子力或分子间作用力束缚。电介质极化：通常，束缚电荷不能自由活动，内部合成电偶极矩 的矢量和等于零，对外不表现电性；外电场作用时， 束缚电荷会有微小位移，从而使束缚电荷的分布

17、发 生变化，宏观上表现出一定的导电性。静电场中的电介质，电介质的极化静电场中的电介质，电介质的极化极化电荷：因极化产生的面、体分布的束缚电荷。位移极化：在外电场作用下正负电荷中心发生位移，形成电偶极矩取向极化：不规则的电偶极矩在外电场作用下形成规则排列3031ViVpP0limpi = pP = n p极化强度矢量极化强度矢量P: :定义为单位体积中分子或原子团的电偶定义为单位体积中分子或原子团的电偶 极矩的叠加极矩的叠加. .极化电荷极化电荷: :由于极化，分子或原子的正负电荷发生位移，体积元内一部分电荷因极化而迁移到外部，同时外部也有电荷迁移到体积元内部。因此体积元内部有可能出现净余的电荷

18、。32（2）不均匀介质或由多种不同结构 物质混合而成的介质，可出现 极化电荷。（1）线性均匀介质中，极化迁出的 电荷与迁入的电荷相等，不出 现极化电荷分布。（3）在两种不同均匀介质交界面上 的一个很薄的层内，由于两种 物质的极化强度不同，存在极 化面电荷分布。33同时，实验又表明：电介质被极化时，其电极化强度P与介质中的合成场强成正比。即：极化电荷体密度：电介质中电场 = 自由电荷激发电场 + 极化电荷激发电场VpPV0limEPe0PP极化电荷外电场极化极化电场相互作用电介质(束缚电荷)面分布体分布电极化强度：描述电介质被极化的程度34真空中，高斯定理微分形式为：自由电荷场源电介质中，场源

19、= 自由电荷 + 极化电荷，电介质中高斯定理的微分形式为：电介质中的电场，介电常数，击穿场强电介质中的电场，介电常数，击穿场强0E00)()(PEPEPPEDEEEDEPPEDeeee)1 ()1 (000000令，则用于任何空间。若定义电位移PEDDPE00)(35解：理想平板电容器电场可看作平行平面场，内部场强处处相等。建立如图直角坐标系(坐标系不同，结果可以不一样)：- - -+ + + + +- - -xydE0P(x,y)S例：dyUEydyEPedUEDedUEdEdyEUPPyyd0000000000000001电位：考点，则极板间任一点取负极板电位为电位参，、插入介质前：一理想

20、平板电容器有直流电源一理想平板电容器有直流电源U U0 0充电后断开，充电后断开，后在极板间插入厚度为后在极板间插入厚度为d d的均匀介质板，介电的均匀介质板，介电常数常数r r=6=6，忽略极板效应，求，忽略极板效应，求插入介质板前插入介质板前后平板间各点的电场强度后平板间各点的电场强度E E，电位移矢量，电位移矢量D D及及电位，及极板上电荷分布电位，及极板上电荷分布。362、电容器充电后电源切断，则插入介质前后极板上自由电荷的总量不发生变化，极板上电荷仍为均匀分布，板间电场仍为均匀电场。插入介质后：不变，高斯定理仍然使用。由高斯定理，作圆柱形高斯面S，如图虚线所示，底面为S，则有：dUE

21、SSEqdSES0000000右左)6(66)(0020200002220022UUdydyUyEdyEedUdUEEDdUDSqdSDPPyS时，板方向从正极板指向负极37思考：一理想平板电容器有直流电源U0供电，后在极板间插入厚度为d的均匀介质板，介电常数r=6，忽略极板效应，求插入介质板前后平板间各点的电场强度E，电位移矢量D及电位 。dUdyUedUDedUEdUdyUedUDedUEPyyPyy000000000000000066插入介质后插入介质前38恒定电场的基本方程和场的特性静止电荷静电场电流强度-I-标量，描述导体中通过某一截面的电流的整体特性不能表示出导体内电流的分布情况。

22、电流密度：矢量，方向定义为该点电流方向，量值等于通过该点处与电流方向垂直的单位面积的电流强度。电流形成条件：自由电荷电场电荷的定向运动I II I电流强度：单位时间内通过导体任一横截面的电量。即：dq/dt。恒定电流：电流大小与方向都不随时间变化的电流。39设通过S的电流为I，则该点处的电流密度 J为 nnSedSdIeSIlimJ0 可以从电流密度J求出流过任意面积S的电流强度。一般情况下， 电流密度J和面积元dS的方向并不相同。此时，通过面积S的电流就等于电流密度J在S上的通量，即 SSdSJdSJIcos40ndldInlIlimKS0有时，电流仅仅分布在导体表面的一个薄层内，为此，引入

23、面有时，电流仅仅分布在导体表面的一个薄层内，为此，引入面电流密度。任一点面电流密度的方向为该点正电荷移动的方向，电流密度。任一点面电流密度的方向为该点正电荷移动的方向，大小等于通过垂直于电流方向单位长度上的电流强度。大小等于通过垂直于电流方向单位长度上的电流强度。41导电媒质的恒定电场，有任意闭合面净流出的电流等于0。恒定电流电荷守恒定律：021212121电流密度电流线侧SJSJdSeJdSeJdSJdSJdSJdSJdtdSdqdSdIJccSncSncScScScScc。0tq恒定电流:任一闭合面内没有自由电荷增减的变化，即：00dSJtqtqdSJScScJcdS1vtt+tdS2en

24、enI42欧姆定律的微分形式恒定电流J恒定电场E电荷lSJIRU EJlESlSJSldSJIRlEdlEU43ABdlE0ldlElABdlEEdlE) (电动势在电源内部搬运单位正电荷从负极到正极时非静电力做功。静电场非静电场恒定电场：442)()(EJEVPpVJESLJESJLEIUtqUtWP电功率：电功率：电功率电场力做功SJILEUIUtqUtWPqUWVVVJdVEpdVdPP体积V内总功率：功率体密度450)()()()(000:000020恒定电场也可表示为：数的梯度表示，即：无旋场可以用一标量函静电场的有散无旋性电导率导电特性电流连续性方程：rrErrEEEEEEJEdL

25、EJdSJcLcSc无散无旋46不同媒质分界面上的边界条件求场分布时，空间仅限单一媒质。实际各种电磁装置中是多种媒质共存。场源自由电荷+极化电荷场自由空间0 0 电介质1 12 2E E1 1E2 = ? 方向？ 光的传播，波的反射和折射1 1 2 2不同，导致波在两种不同媒质中传播速度等物理量发生变化，但变化满足一定条件。1 12 21 12 2 = ? = ? 471、两种不同介质分界面上的边界条件enetl1l2E1E1tE1nE2E2tE2n12lP P即：两种介质分界面上，电场强度的切向分量连续。即：两种介质分界面上，电场强度的切向分量连续。LdLEE。成立，积分形式为：方程组的微分

26、形式有：麦克斯韦静电场为无旋场，相应00ttttttLLLLLEElElElElEdLEdLEdLEdLEdLE211211121121000001112 48为分界面上可能存在的自由电荷的面密度，通常情况下=0。 D2n = D1n 在两种介质分界面上，电位移的法向分量连续在两种介质分界面上，电位移的法向分量连续。SqdSD高斯定理积分形式：enetlD1D1tD1nD2D2tD2n12P PS SSlSSqdSqdSDdSDqdSD0nnnnDDSSDD1212)(49静电场的折射定律：总结：总结：在两种不同媒质分界面上，电场强度的切向分量连续，在两种不同媒质分界面上，电场强度的切向分量连

27、续，电位移的法向分量连续。电位移的法向分量连续。2121221122211122112121tantancoscossinsinaaaaaaEEEEDDEEnntt，即：及各向同性，有若两种介质均为线性且50表明：表明：导体与电介质表面相邻处的电场强度导体与电介质表面相邻处的电场强度E E及电位移及电位移D D都垂都垂直于导体表面，且电位移的值等于该点的电荷面密度。直于导体表面，且电位移的值等于该点的电荷面密度。2、导体和电介质分界面上的边界条件22212112111211111111221000000021nnnnntttntttntntnnttEEDDDDDDEEEEEEDDEEDEDED

28、DEE能分布在导体表面。则及导体带电时其电荷只中导体有特性：为电介质，并且静电场为导体，媒质如果媒质的边界条件为：两种不同媒质分界面上513、有电位描述的边界条件nCnnDDEEnDnEEeEereErrEdLErnnttnnnnnnPP22211122211221)()()()(表示：边界条件用导体与电介质的分界面表示：，用：介质分界面的边界条件电位连续。，不同介质分界面两侧5212d1d2U0+-E1E2导体例求：两种绝缘材料中的电场强度及极板上的电荷面密度。分界条件nnnddDDDdLEdLEUEEUEdEd121210221102211)(1253边值问题 静电场中关于电位的方程-泊松

29、方程、拉普拉斯方程a)()(00ararPU0ABEEEDD为常数均匀介质，的泛定方程：静电场关于位函数E)(54拉普拉斯算子拉普拉斯算子静电场电位静电场电位的的泊松方程泊松方程泊松方程拉普拉斯方程即22)()(静电场关于静电场关于的的泛定方程泛定方程00)(22222222，则布的区域，对于场中无自由电荷分。直角坐标系下，zyx20255以静电场电位为待求场函数的边值问题的构造，首先需要知道泛定方程，即由静电场的基本方程导出的电位函数应满足的式子；其次，要得到的确定解还需要给出的定解条件。f(x) = 2x = f(x)=x2 + C (泛定方程)若再给出f(x)|x=0= 0 = C =

30、0 从而 f(x)= x2定解条件56PU0ABa0)()(00arar002220),(0UDdda例例1 100)(01)0(101221121212222012212rararararrrrrardrdrdrdrardrdrdrdr例例2 257不同媒质分界面上的边界条件(1) (1) 两种不同导电媒质分界面上的边界条件两种不同导电媒质分界面上的边界条件ttLEEdLE21058恒定电场折射定律21212112tantan0aattnnScEEEJJJdSJ59(2) (2) 良导体与不良导体分界面上的边界条件良导体与不良导体分界面上的边界条件(3) (3) 导体与理想介质导体与理想介质

31、(2 2=0)=0)分界面上的边界条件分界面上的边界条件(4) (4) 两种有损介质分界面上的边界条件两种有损介质分界面上的边界条件)(0tantan2212121不良导体电流总是垂直界面流入aaa000112222nnnnJJJJEJttEE21模拟静电场边界。，存在有自由电荷分布；否则，当0021122212112112222111212nnnnnnnnnJEEEEDDJJ60例：求：(1)两层非理想介质中的电场。 (2)单位体积中的电场能量及 功率损耗。 (3)两层介质分界面上的自 由电荷面密度。(1)：(2)：(3)：D E2112221102211,)(EEJJEEUEdEdnn22

32、2222211111222212211211EJEPEJEPEEee能量密度：.22121122212112JJn61 例例 3-2 设一同心球形电容器，内导体半径为a, 外导体的内半径为b，内、 外导体间填充电导率为的导电媒质，如图所示，求该电容器的漏电电导。62 解：解：媒质内的漏电电流沿径向从内导体流向外导体， 设流过半径为p的任一同心球面的漏电电流为I，则媒质内任一点的电流密度和电场为 2244erIEerIJ内、外导体间的电压为 baIdEUba114漏电电导为 ababUIG463例：计算导电片内电流场分布及两端面间的电阻。.)(000baSdSJURdtdSdSJUIURrEJ?0)(0002UD，电电 容容电容器 (Capacitor)定义：储存电荷的容器，是一种储能元件构成：相互接近而又相互绝缘的任意形状的导导体体分类： 孤立导体的电容 双导体系统的电容 其他多导体系统的电容导体 b导体 aEU任意形状导体构成的电容 纸质电容器陶瓷电容器电解电容器钽电容器可变电容器电容：一个导体上的电荷量与此导体相对相对于另一导体 的电位电位比22aQQQE U0 U=dr = 4r4r4aC4aQCU abQCC(F/)UV例1：计算一个孤立导体球的电容（假设带电为Q，半径为R）(1) 孤立导体孤立导体注：注：孤立导体是指附近无其它带电体