材料力学梁的应力..

1、第六章第六章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学第第6 6章章 弯曲内力弯曲内力第六章第六章 弯曲应力弯曲应力 上一章学习了弯曲内力 弯矩、剪力弯矩、剪力 （计算内力、画内力图）目的：为解决弯曲强度“铺路” 地球上的人造结构，弯曲现象弯曲现象最常见， 太重要了！ 如何解决弯曲强度问题弯曲强度问题？第六章第六章 弯曲应力弯曲应力 为此，请回顾一下以往的强度强度问题拉压、扭转拉压、扭转 由应力算强度（已清楚） 弯曲弯曲 应力（不了解） 如何求出弯曲应力？如何求出弯曲应力？第六章第六章 弯曲应力弯曲应力弯曲弯曲弯矩弯矩M剪力剪力Q？拉（压）拉（压）轴力轴力NAN应力应力内力内力变形形式变形形式构

2、件构件扭转扭转扭矩扭矩TpIrT 第六章第六章 弯曲应力弯曲应力应力从内力出发，亦即 由 弯曲内力弯曲内力 求 弯曲应力弯曲应力 弯曲问题的整个分析过程：弯曲内力 弯曲应力弯曲应力 弯曲变形强度问题强度问题刚度问题刚度问题第六章第六章 弯曲应力弯曲应力6-1梁的梁的正应力正应力6-26-2梁的正应力梁的正应力强度条件及其应用强度条件及其应用 6-3梁的梁的合理截面形状合理截面形状及变截面梁及变截面梁6-4矩形截面梁的切应力矩形截面梁的切应力 6-7考虑材料塑性时梁的强度计算6-5工字型截面及其他形状截面梁的切应力 6-6 梁的切应力强度条件梁的切应力强度条件第六章第六章 弯曲应力弯曲应力. .

3、纯弯曲纯弯曲 梁的横截面上只有弯矩而无剪力的弯曲（横截面上只有正应力而无剪应力的弯曲）。剪力剪力“Fs”切应力切应力“”；弯矩弯矩“M”正应力正应力“”2.2.横力弯曲（剪切弯曲）横力弯曲（剪切弯曲）aaFBAFMxFsxFaFF 梁的横截面上既有弯矩又有剪力的弯曲（横截面上既有正应力又有剪应力的弯曲）。一、一、 纯弯曲和横力弯曲的概念纯弯曲和横力弯曲的概念6-1梁的正应力梁的正应力第六章第六章 弯曲应力弯曲应力二二 、纯弯曲梁横截面上的正应力公式、纯弯曲梁横截面上的正应力公式（一）变形几何关系：（一）变形几何关系：由纯弯曲的变形规律纵向线应变的变化规律。1 1、观察实验：、观察实验：第六章第

4、六章 弯曲应力弯曲应力abcdabcdMM2 2、变形规律：、变形规律： 横向线横向线：仍为直线，只：仍为直线，只是相对转动了一个角度且仍是相对转动了一个角度且仍与纵向线正交。与纵向线正交。 纵向线纵向线：由直线变为曲：由直线变为曲线，且靠近上部的纤维缩短，线，且靠近上部的纤维缩短，靠近下部的纤维伸长。靠近下部的纤维伸长。3 3、假设：、假设：（1 1）弯曲平面假设：）弯曲平面假设：梁变形前原为平面的横截面变形后仍为平梁变形前原为平面的横截面变形后仍为平面，且仍垂直于变形后的轴线，只是各横截面绕其上的某轴转面，且仍垂直于变形后的轴线，只是各横截面绕其上的某轴转动了一个角度。动了一个角度。凹入一

5、侧纤维凹入一侧纤维缩短缩短突出一侧纤维突出一侧纤维伸长伸长 根据变形的连续性可知，梁弯曲时从其凹入一侧的纵向线缩短区到其凸出一侧的纵向线伸长区，中间必有一层纵向无长度改变的过渡层-称为中中性层性层 。中间层与横截面中间层与横截面的交线的交线中性轴中性轴（2 2）纵向纤维假设：）纵向纤维假设：梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向纤维梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向纤维 之间无挤压。之间无挤压。 梁的弯曲变形实际上是各截面绕各自的中性轴转梁的弯曲变形实际上是各截面绕各自的中性轴转动了一个角度，等高度的一层纤维的变形完全相同。动了一个角度，等高度的一层纤维的变形完全相同。第六章第六章 弯曲应力弯曲应

6、力Aabcd4 4、线应变的变化规律：、线应变的变化规律：(1) . ydxyoo1ABABBA111111OOOOBAdddy)(yabcd第六章第六章 弯曲应力弯曲应力yxd A在弹性范围内，E（二）物理关系：由纵向线应变的变化（二）物理关系：由纵向线应变的变化规律规律正应力的分布规律。正应力的分布规律。(2) . EyE第六章第六章 弯曲应力弯曲应力 EyE应力的分布图：应力的分布图：MZymaxmax中性轴的位置？中性轴的位置？中中性性层层的的曲曲率率 1为梁弯曲变形后的曲率1第六章第六章 弯曲应力弯曲应力yxMZANdAF) 1 (00zzAASSEydAEdAyE（中性轴（中性轴Z

7、轴为形心轴）轴为形心轴）AydAzM) 2(00yzyzAAIIEyzdAEzdAyE（y轴为对称轴，自然满足轴为对称轴，自然满足）yzAAzdAyM) 3(MIEdAyEydAyEzAA2弯曲变形计算的基本公式弯曲变形计算的基本公式Z1EIM（三）、静力方面：（三）、静力方面： 由横截面上的弯矩和正应由横截面上的弯矩和正应力的关系力的关系正应力的计算公式。正应力的计算公式。第六章第六章 弯曲应力弯曲应力zIMy弯曲正应力计算公式弯曲正应力计算公式。 弯矩可代入绝对值，应力的符号由变形来判断。弯矩可代入绝对值，应力的符号由变形来判断。 当当M 0时，下拉上压；时，下拉上压； 当当M 5 （细长

8、梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。弯曲正应力公式弯曲正应力公式ZIMy可推广应用于横力弯曲和小曲率梁1m2mBA截面关于中性轴对称zctWMmaxmaxmax截面关于中性轴不对称(最大拉应力、最大压应力可能发生在不同的截面内)ZmaxmaxmaxIyM横力弯曲梁上的最大正应力横力弯曲梁上的最大正应力BAl = 3mq=60kN/mxC1m30zy180120K1.C 截面上K点正应力2.C 截面上最大正应力3.全梁上最大正应力4.已知E=200GPa，C 截面的曲率半径 FSx90kN90kNmkN605 . 0160190CM1. 求支反力求支反力kN90AyFkN90ByF45

9、33Zm10832. 51218. 012. 012bhIMPa7 .61Pa107 .6110832. 510)302180(10606533ZKCKIyM（压应力）（压应力）解：解：m67.5kN8/2ql xM2. C 截面上截面上K点正应力点正应力例例BAl = 3mq=60kN/mxC1m30zy180120K FSx90kN90kN3. C 截面最大正应力截面最大正应力C 截面弯矩mkN60CM45Zm10832. 5IMPa55.92Pa1055.9210832. 510218010606533ZmaxmaxIyMCCm67.5kN8/2qlx MBAl = 3mq=60kN/m

10、xC1m30zy180120K FSx90kN90kN4. 全梁最大正应力全梁最大正应力最大弯矩最大弯矩mkN5 .67maxM45m10832. 5zIMPa17.104Pa1017.10410832. 5102180105 .676533ZmaxmaxmaxIyMm67.5kN8/2qlx MBAl = 3mq=60kN/mxC1m30zy180120K FSx90kN90kN5. C 截面曲率半径截面曲率半径C 截面弯矩截面弯矩mkN60CM45Zm10832. 5Im4 .194106010832. 510200359CZCMEIEIM1m67.5kN8/2qlx M第六章第六章 弯曲

11、应力弯曲应力例：例：求图示悬臂梁的最大、压应力。已知：,/6,1mkNqml10槽钢槽钢q解：解：1）画弯矩图）画弯矩图kNmqlM35 . 0|2max2）查型钢表：）查型钢表：cmycmIcmbz52. 1,6 .25,8 . 414cmy28. 352. 18 . 423）求应力）求应力：1maxyIMzt6106 .2552. 13000MPa1782maxyIMzc6106 .2528. 33000MPa384MPaMPact384,178maxmaxbz1yy2ycmaxtmaxbz1yy2y第六章第六章 弯曲应力弯曲应力6-26-2梁的正应力梁的正应力强度条件及其应用强度条件及其

12、应用一、梁的正应力强度条件一、梁的正应力强度条件利用上式可以进行三方面的强度计算：利用上式可以进行三方面的强度计算：已知外力、截面形状尺寸、许用应力，校核梁的强度已知外力、截面形状尺寸、许用应力，校核梁的强度已知外力、截面形状、许用应力，设计梁的截面尺寸已知外力、截面形状、许用应力，设计梁的截面尺寸已知截面形状尺寸、许用应力，求许可载荷已知截面形状尺寸、许用应力，求许可载荷maxmax MWZ 例：例：主主梁梁AB，跨度为，跨度为l，采用加副梁，采用加副梁CD的方法提高承载能力的方法提高承载能力，若主梁和副梁材料相同，截面尺寸相同，则副梁的最佳长度，若主梁和副梁材料相同，截面尺寸相同，则副梁的

13、最佳长度a为多少？为多少？a2a2l2l2PABCD第六章第六章 弯曲应力弯曲应力解：解：主梁主梁AB的最大弯矩的最大弯矩PlaPa44()副梁副梁CD的最大弯矩的最大弯矩MPaCDmax4由由CDABMMmaxmax即即得得al2MPlaABmax()4 例：图示梁的截面为例：图示梁的截面为T形，材料的许用拉应力和许用压应力形，材料的许用拉应力和许用压应力分别为分别为t和和c，则，则 y1 和和 y2 的最佳比值为多少？（为的最佳比值为多少？（为截面形心）截面形心） PCy1y2z第六章第六章 弯曲应力弯曲应力解：解：( )( )1212得：yytctztMyImax1czcMyImax2(

14、 ) 1( )2 例：图示外伸梁，受均布载荷作用，材料的许用应力例：图示外伸梁，受均布载荷作用，材料的许用应力=160MPa，校核该梁的强度。，校核该梁的强度。 10kN / m2m4m100200第六章第六章 弯曲应力弯曲应力解：由弯矩图可见解：由弯矩图可见Mmax20kN m10kN / m2m4m10020045kNkN15)kN(sF202515tzMWmax20100102632. 30MPa 该梁满足强度条件，安全该梁满足强度条件，安全 例：图示三种截面梁，材质、截面内例：图示三种截面梁，材质、截面内max、max全相同，求全相同，求三梁的重量比。并指出哪种截面最经济。三梁的重量比

15、。并指出哪种截面最经济。A1A2A32bbaad解：由题意可知解：由题意可知WWWzzz123A1A2A32bbaad即即bbad()26632233321:AAA24222bad:bada063001193. 0794 1 112.: : . 例：图示铸铁梁，许用拉应力例：图示铸铁梁，许用拉应力t =30MPa，许用压应力，许用压应力c =60MPa,z=7.6310-6m4，试校核此梁的强度。，试校核此梁的强度。9kN4kNCz52881m1m1mABCDtzI2588.9kN4kNCz52881m1m1m25 . kN105 . kNABCDczI2552.tzI452czI488C截面

16、截面：B截面截面： 288 . MPa 170 . MPa 273 . MPa 461 . MPa 例：简支梁受均布荷载，在其截面的下边缘贴一应变片例：简支梁受均布荷载，在其截面的下边缘贴一应变片，已知材料的，已知材料的E=200GPa，试问该应变片所测得的应变值应为，试问该应变片所测得的应变值应为多大？多大？CL8TU14q 40kN / m15 . mABC20030015 . mq 40kN / m15 . mABC20030015 . m解：解：C截面下边缘截面下边缘的应力的应力CCzMWC截面的弯矩截面的弯矩MqlC2845kN mCE应变值应变值15MPa1510200106975

17、105.第六章第六章 弯曲应力弯曲应力 zWMmaxmax一、合理安排梁的受力，减小弯矩。一、合理安排梁的受力，减小弯矩。ABF/LMmax = FL / 8P/LMmax =FL / 400.2L0.2L 6-3梁的梁的合理截面形状合理截面形状及变截面梁及变截面梁第六章第六章 弯曲应力弯曲应力合理安排梁的受力，减小弯矩。合理安排梁的受力，减小弯矩。FABL/2L/2Mmax=PL / 4F/2Mmax = FL / 8L/4L/4F/2F第六章第六章 弯曲应力弯曲应力合理截面形状应该是截面面积A较小，而抗弯截面模量大的截面。二、合理安排梁的截面，提高抗弯截面模量。二、合理安排梁的截面，提高抗

18、弯截面模量。, 121bhWWzz竖放比横放要好。1）放置方式）放置方式：62bhWZ左62hbWZ右第六章第六章 弯曲应力弯曲应力2）抗弯截面模量）抗弯截面模量/截面面积截面面积AWz截面形状截面形状 圆形圆形矩形矩形槽钢槽钢工字钢工字钢d125. 0h167. 0h)31. 027. 0(h)31. 027. 0(第六章第六章 弯曲应力弯曲应力3）根据材料特性选择截面形状）根据材料特性选择截面形状 对于铸铁类抗拉、压能力不同的材料，最好使用对于铸铁类抗拉、压能力不同的材料，最好使用T T字形类的截字形类的截面，并使中性轴偏于抗变形能力弱的一方，即：若抗拉能力弱，面，并使中性轴偏于抗变形能力

19、弱的一方，即：若抗拉能力弱，而梁的危险截面处又上侧受拉，则令中性轴靠近上端。如下图：而梁的危险截面处又上侧受拉，则令中性轴靠近上端。如下图：Z第六章第六章 弯曲应力弯曲应力采用变截面梁 ，如右图：PX )()()(maxxWxMx bxMxh)(6)( 若为等宽度矩形截面，则高为若为等宽度矩形截面，则高为三、设计等强度梁三、设计等强度梁(变截面梁变截面梁)。得： )()(xMxWz等强度梁等强度梁复习复习弯曲正应力弯曲正应力中性层中性层yIMzEIEIz z 抗弯刚度抗弯刚度强度条件：强度条件：maxzWM曲率变化量曲率变化量zEIM1中性轴中性轴用用z表示表示y ymaxzWMWWz z抗弯

20、系数抗弯系数6-4矩形截面梁的切应力矩形截面梁的切应力 裂纹发生在枕木的中间裂纹发生在枕木的中间如何解释？如何解释？力学模型力学模型qF FS S图图MM图图若弯矩引起的破坏应当若弯矩引起的破坏应当如何？如何？剪力引起的破坏剪力引起的破坏剪力的分布剪力的分布切应力切应力5-45-4弯曲切应力（剪应力）及强度条件弯曲切应力（剪应力）及强度条件 一、矩形截面梁：一、矩形截面梁：ZZSIbSF假设所有的假设所有的 都平行于都平行于 y yFdxdxFSMFSM+dMbhbh假设同一高度假设同一高度 y y 处处 相等相等12SdFNN0XZZAZASIMdAIMdAN1ZZSIdMMN2bdxdFSZZbISdxdMM+dMMdxdFSyyzN2N1A*-矩形截面梁横截面上矩形截面梁横截面上 任一点的切应力计算公式。任一点的切应力计算公式。ZZSIbSFSF-横截面上的剪力；横截面上的剪力；zI-截面对中性轴的惯性矩；截面对中性轴的惯性矩；b-截面的宽度；截面的宽度；-面积面积 对中性轴的静矩；对中性轴的静矩；zS*A-过欲求应力点的水平线到截面边缘间的面积。过欲求