第二节-求导法则

1、第二节二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题四、初等函数的求导问题 一、四则运算求导法则一、四则运算求导法则 函数的求导法则 第二章 五、导数的实际应用举例五、导数的实际应用举例 思路思路:xxfxxfxfx)()(lim)(0( 构造性定义 )求导法则求导法则其它基本初等其它基本初等函数求导公式函数求导公式0 xcosx1 )(C )sin(x )ln(x证明中利用了两个重要极限初等函数求导问题初等函数求导问题本节内容一、四则运算求导法则一、四则运算求导法则 定理定理13.具有导数都在及函数xxvvxuu)()()()(xv

2、xu及的和、 差、 积、 商 (除分母为 0的点外) 都在点 x 可导, 且)()( )()() 1 (xvxuxvxu)()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu)()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu下面分三部分加以证明,并同时给出相应的推论和例题.)0)(xv此法则可推广到任意有限项的情形.证证设, 则vuvu )() 1 ()()()(xvxuxfhxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh )()( )()(lim0hxuhxuh)()(lim0hxvhxvh)()(lim0)()(xvxu故结论成立.wvuwvu)( ,例如例如

3、,(2)vuvuvu )(证证 设, )()()(xvxuxf则有hxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0故结论成立.)()()()(xvxuxvxuhhxuh )(lim0)(xu)(hxvhxv)( )(xu)(hxv推论推论: )() 1uC )()2wvuuC wvuwvuwvu( C为常数 )()( lim0 xvhxvh)()()()()()(xvhxvhxvxuxvhxuh)()(xvxu(3)2vvuvuvu证证 设)(xf则有hxfhxfxfh)()(lim)(0hh lim0,)()(xvxu)()(hxvhxu)()(xvxu

4、hhxu )( )(xu)(xvhhxv )( )(xu)(xv故结论成立.)()()()()(2xvxvxuxvxu推论推论:2vvCvC( C为常数 )例例解解xsin41(21)1sin, )1sincos4(3xxxy.1xyy 及求 y)(xx)1sincos4(213xxx23( xx)1xy1cos4)1sin43( 1cos21sin2727)1sincos4(3xx)1sincos4(3xx例例24解解:)(3x23x)(log2xxe.5sin的导数求xxy y)(sinxxcos.logecos2523的导数求例xxxyx y解)(cosx)e (xxsin2ln1x)5

5、(x. 5ln5x例例26解解:)(coslnexxx212x. )sinlncoscos(lne3xxxxxxx.,coslne34sin23yxxxxxyx求设 y)sin2(xxsin)(2xx cosln)e( 3xxxxxxcos)(lnexxsin1xx cos2)4(3x)(sinxx)coslne3(xxx212x例例27解解:., )cos(sineyxxyx求设 y)cos(sin)e (xxx)cos(sinexxx.cose2xx)sin(cosexxx)cos(sinexxx )(cscxxsin1x2sin)(sinxx2sin例例28 求证,sec)(tan2xx

6、证证.cotcsc)(cscxxxxxxcossin)(tan x2cosxx cos)(sin)(cossinxx x2cosx2cosx2sinx2secxcosxxcotcsc类似可证:,csc)(cot2xx.tansec)(secxxx )( xf二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则 定理定理4y 的某邻域内单调可导, 证证 在 x 处给增量由反函数的单调性知且由反函数的连续性知 因此,)()(1的反函数为设yfxxfy在)(1yf0 )(1yf且 ddxy或,0 x)()(xfxxfy,0 xyyx,00yx时必有xyxfx0lim)( lim0yyxyxdd 1 )(1yf1

7、1 )(1yf111例例30 求反三角函数及指数函数的导数.解解 1) 设,arcsin xy 则,sin yx , )2,2(y)(arcsinx)(sinyycos1y2sin11211x类似可求得?)(arccosx,11)(arctan2xx211)arccot(xx211xxxarcsin2arccos利用0cosy, 则2) 设, )1,0(aaayx则),0(,logyyxa)(xa)(log1ya 1ayln1aylnaaxlnxxe)e( )arcsin(x211x )arccos(x211x )arctan(x211x )cotarc(x211xaaaxxln)(xxe)e

8、(特别当ea时,小结小结:在点 x 可导, lim0 xxuxuuf)(xyxyx0limdd三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则定理定理5)(xgu )(ufy 在点)(xgu 可导复合函数 fy )(xg且)()(ddxgufxy在点 x 可导,证证)(ufy 在点 u 可导, 故)(lim0ufuyuuuufy)(（当 时 )0u0故有)()(xgufuy)(uf)0()(xxuxuufxy例如,)(, )(, )(xvvuufyxydd)()()(xvufyuvxuyddvuddxvdd关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.推广推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.例例3

9、2 设,)52(73xy求.ddxy解解. 52,37xuuy设uyxydddd则xudd)(7 u)52(3x67u)06(2x.)52(42263xx 2642xu例例33 设,coslnxy 求.ddxy解解.cos,lnxuuy设uyxydddd则xudd)(lnu)(cosxu1)sin(x.tan x)sin(cos1xx例例34 设,21tanxy 求.ddxy解解:.,tan,21xvvuyu设uyxydddd则vudd)2(u)(tanv)2ln2(u)(sec2vxvdd)(1x.1sec22ln21tan2xxx)(2x例例35 设, )ecos(lnxy 求.ddxy解

10、解xydd)cos(1xe)sin(xexe)tan(xxee思考思考: 若)(uf 存在 , 如何求)cos(lnxef的导数?xfdd)cos(ln(xef ) )cos(lnxe)cos(ln)(xeuuf这两个记号含义不同练习练习: 设,)(xfffy .,)(yxf求可导其中例例36 设, )(sinln22xy 求.ddxy解解xydd)ln(sin22x )ln(sin2x)ln(sin22xx2sin1)(sin2xxx22sin1)ln(sin2)(sinsin2xx练习练习: 设,)(xfffy .,)(yxf求可导其中xxxsin2sin1)ln(sin222xcos.c

11、ot)ln(sin42xx 例例37 设, )(ln22axxy.y求解解 y221axx12221ax )(22ax2222axxax)(22axx221axx1(2221ax )2x221axx221ax 221axx例例38. 求解解:,1111xxxxy.y21222xxy12xx1 y1212x)2( x112xx练习练习.设),0( aaaxyxaaaxa解解:1aaaxayaaaxln1axaaaxaln求.yaaxln例例39. 求下列导数:. )(arctan)()2();(ln)(ln) 1 (2xfxfyxfxfy解解: (1) )(lnxfy )(lnxf)ln(xf

12、)(lnx)(1xf)(xf )()()(lnxfxfxxf(2) )(2xfy)(arctanxf)(2xf )(arctanxf)(22xxf)(arctanx)(arctan xf )(arctanxf. )(arctan1)(22xfxxf)(2xf)(arctan)(22xfxf x 例例40. 求下列导数:. )(sh)3(;)()2(;)() 1 (xxxx解解 (1)()(lnxexxeln)ln(xxx1x)()(lnxxxexxxeln)ln(xxxx)1ln(x(2)(3)2)(shxxeex2 xexexch说明说明: 类似可得;sh)(chxxaxxealn)(thx

13、)(xaxxxchshth2shxxeex;ch12x.lnaax例例41. 设f(u)为可导函数，且. )()3(,)3(5xfxfxxf和求解法一 先求函数 f(x)的表达式, 3,3uxux则令得代入,)3(5xxf.)3()(5 uuf的表达式为可得函数于是)(,xf,)3()(5 xxf.)3(5)(,4xxf有因此.5)3(4xxf将x换成x+3,可得解法二 等式 f(x+3)=x5两边直接对x求导数,得,5)3)(3(4xxxf,5)3(4xxf即可得换成将,3xx .) 3(5)(4xxf四、初等函数的求导问题四、初等函数的求导问题 1. 常数和基本初等函数的导数 )(C0 )

14、(x1x )(sin xxcos )(cosxxsin )(tan xx2sec )(cot xx2csc )(secxxxtansec )(cscxxxcotcsc )(xaaaxln )(xexe )(log xaaxln1 )(ln xx1 )(arcsin x211x )(arccosx211x )(arctan x211x )cot(arcx211x2. 有限次四则运算的求导法则 )(vuvu )( uCuC )( vuvuvuvu2vvuvu( C为常数 )0( v3. 复合函数求导法则)(, )(xuufyxydd)()(xuf4. 初等函数在定义区间内可导初等函数在定义区间内可

15、导, )(C0 )(sin xxcos )(ln xx1由定义证 ,说明说明: 最基本的公式uyddxudd其它公式用求导法则推出.且导数仍为初等函数且导数仍为初等函数练习练习1. 求解解,1arctan2sin2xeyx.y1arctan) (2xy) (2sin xe2sin xe2cosxx221x1212xx2x21arctan2x2sin xe2cos x2sin xe112xx关键关键: 搞清复合函数结构 由外向内逐层求导练习练习2. 设求,1111ln411arctan21222xxxy.y解解: y22)1(1121x21xx) 11ln() 11ln(22xx111412x2

16、1xx1112x21xx2121xx221x21x231)2(1xxx练习练习3. 设 yxxxx2sec12csc41232,2tan2cotxxy解：解：2csc2xx2sec2x2121)121(23x练习练习4 . 设,)(xfffy 解解:)(fy)(xff)(f )(xf)(xf 其中)(xf可导, 求.y求.y五、导数的实际应用举例五、导数的实际应用举例 当x的微小变化会引起函数值 f(x)的较大变化时，就说函数 f(x)对x的变化是相当敏感的,导数正是对这种敏感性的度量. 例42 孟德尔在进行豌豆杂交试验时,选择种子形状是圆粒和皱粒的品种作为亲本,设p(0p1)是使豌豆表皮圆滑

17、的基因(显性基因) 的频率,则1-p是使豌豆表皮起皱的基因(隐性基因)的频率,通过杂交试验后, 表皮圆滑的豌豆在下一代中所占的比例为 y=2p(1-p)+p2=2p-p2.试讨论表皮圆滑的豌豆所占的比例对显性基因的频率p变化的敏感性. 解 根据导数的定义,表皮圆滑的豌豆所占的比例对显性基因频率 p变化的敏感性,即为y对p的导数.为了讨论y对p变化的敏感性.作.22ddppyppy22dd的图象如右图：ppy22ddpyddp12o 由图象可知：当p很小时，p的微小变化会引起y的很大变化 ，即此时y关于p的变化非常敏感. 当p很大时，p的微小变化不会不会引起y的较大变化 ，即此时y关于p的变化不

18、敏感不敏感. 例43 物质在化学分解过程中,开始时质量为m0 经过时间t后,其质量为 m(t),它们之间满足方程 m=m0 e-k t其中k为常数，试求该物质的分解速度. 解 物质的分解速度v 就是质量m对时间t的导数,即tmvdd.e0ktkm,e0tkmm因为.kmv故即物质的分解速度v 与该物质本身在t时刻的质量成正比,负号表示质量减少. 例44 人体对一定剂量的药物的反应可用方程 解 人体对药物的敏感性就是R作为M的函数的导数, 即MRdd)31()32(22MMCM.2MMC)32(2MCMR来表示，其中C是一正常数，M是血液中吸收的一定量的药物，R是人体对一定剂量的药物的反应，求人体对药物的敏感性.内容小结内容小结求导公式及求导法则注意注意: 1),)(vuuvvuvu2) 搞清复合函数结构 , 由外向内逐层求导 .41143x1.xx1431x思考与练习思考与练习对吗?2114341xx2. 设, )()()(xaxxf其中)(x在ax 因)()()()(xaxxxf故)()(aafaxafxfafa