bode图 nyquist图

1、系统开环频率特性分析系统开环频率特性分析l 系统开环系统开环Bode图的绘制图的绘制l 系统开环系统开环Nyquist 图的绘制图的绘制l Nyquist稳定判据稳定判据l 对数稳定判据对数稳定判据l 稳定裕量稳定裕量l 开环频率特性分析开环频率特性分析系统开环系统开环Bode图的绘制图的绘制l概述概述 大多数情况下，开环系统的传递函数表示成若干典型大多数情况下，开环系统的传递函数表示成若干典型环节的串联形式；环节的串联形式；)().()()(21sGsGsGsGn )()(2)(1)(.)()()(21 njnjjeAeAeAjG )().()()(21 nAAAA )(.)()()(21

2、n l概述概述幅频特性幅频特性 组成系统的各典型环节的对数幅频特性之代数和组成系统的各典型环节的对数幅频特性之代数和相频特性相频特性 组成系统的各典型环节的相频特性之代数和。组成系统的各典型环节的相频特性之代数和。)(lg20.)(lg20)(lg20)(lg20)(21 nAAAAL )(.)()()(21 nLLLL )(.)()()(21 n 系统开环系统开环Bode图的绘制图的绘制l绘制过程举例绘制过程举例例例1 1：已知系统的开环传递函数为：已知系统的开环传递函数为：解：系统可等效为解：系统可等效为试绘制系统的开环对数频率特性曲线（试绘制系统的开环对数频率特性曲线（BodeBode图

3、）。图）。)11 . 0(7)( sssG)()()()(321sGsGsGsG 7)(1 sGssG1)(2 11 . 01)(3 ssG)()()()(321 jGjGjGjG 系统开环系统开环Bode图的绘制图的绘制l绘制过程举例绘制过程举例7)(1 jG jjG1)(2 11 . 01)(3 jjG13321( )( )tan0.1(0.1 )1A )(3)(2)(1321)()()()( jjjeAeAeAjG 0)(7)(11 A90)(1)(22 A)()()()(321 jGjGjGjG 系统开环系统开环Bode图的绘制图的绘制l绘制过程举例绘制过程举例n3=10dB0dB20

4、dB-40dB-20dB-40dB/dec-20dB/dec1)(1 L0)(7)(11 AdBAL9 .16)(lg20)(11 20lgK101000.1)(2 L-20dB/dec)(3 L)()()()(321 LLLL -20dB/decC40dB90)(1)(22 A lg20)(lg20)(22 AL 1 . 0tan)(1)1 . 0(1)(1323 A1)1 . 0(lg20)(lg20)(233 AL系统开环系统开环Bode图的绘制图的绘制l例题分析例题分析2 )10010)(12()15 . 0(1000)()(2 ssssssHsG)10010(100)12(11)15

5、 . 0(102 sssss10)(1 KsG15 . 01)(12 ssTsGssG1)(3 )12(1)1(1)(44 ssTsG52100( )10100Gsss5 . 010 n系统开环系统开环Bode图的绘制图的绘制l绘制过程绘制过程dB0dB20dB-40dB-20dB)(1 L20lgK101000.1-20dB/dec1)(3 L-20dB/dec40dB)(2 L2)(4 L0.5-40dB/dec)(5 LC-60dB/dec系统开环系统开环Bode图的绘制图的绘制l绘制过程举例绘制过程举例0o-90o-180o)( 1000.1-270o)(3 )()()()()()(5

6、4321 90o)(1 10)(5 2)(2 1)(4 0.5系统开环系统开环Bode图的绘制图的绘制l绘制过程举例绘制过程举例dB0dB20dB-40dB-20dB101000.11-20dB/dec40dB20.5C-60dB/dec20lgK系统开环系统开环Bode图的绘制图的绘制l绘制曲线总结绘制曲线总结 最低频段的斜率取决于积分环节的数目最低频段的斜率取决于积分环节的数目v，斜率为，斜率为-20v dB/dec；最低频段的对数幅频特性可近似为最低频段的对数幅频特性可近似为L( )=20lgK-20vlg 当当1 rad/s时，时，L()=20lgK；如果各环节的对数幅频特性用渐近线表

7、示则对数幅频特如果各环节的对数幅频特性用渐近线表示则对数幅频特性为一系列折线，折线的转折点为各环节的转折频率；性为一系列折线，折线的转折点为各环节的转折频率； 对数幅频特性的渐近线每经过一个转折点其斜率对数幅频特性的渐近线每经过一个转折点其斜率相应发生变化相应发生变化, ,斜率变化量由当前转折频率对应的环节斜率变化量由当前转折频率对应的环节决定决定. . 惯性环节惯性环节:-20dB/dec ； 振荡环节振荡环节: - 40dB/dec；一阶微分环节一阶微分环节:+20dB/dec ； 二阶微分环节二阶微分环节:+40dB/dec。系统开环系统开环Bode图的绘制图的绘制l单回路开环系统单回路

8、开环系统Bode图的绘制步骤图的绘制步骤确定各环节的转折频率并由小到大标示在对数频率轴上；确定各环节的转折频率并由小到大标示在对数频率轴上；计算计算20lgK，在，在1 rad/s处找到纵坐标等于处找到纵坐标等于20lgK 的点，的点，过该点作斜率等于过该点作斜率等于 -20v dB/dec的直线，向左延长此线至所的直线，向左延长此线至所有环节的转折频率之左，得到最低频段的渐近线。有环节的转折频率之左，得到最低频段的渐近线。向右延长最低频段渐近线，每遇到一个转折频率改变一次向右延长最低频段渐近线，每遇到一个转折频率改变一次渐近线斜率；渐近线斜率；对惯性环节，对惯性环节，- 20dB/dec-

9、20dB/dec振荡环节，振荡环节， - 40dB/dec- 40dB/dec一阶微分环节，一阶微分环节，+20dB/dec+20dB/dec二阶微分环节，二阶微分环节，+40dB/dec+40dB/dec对渐近线进行修正以获得准确的幅频特性；对渐近线进行修正以获得准确的幅频特性；相频特性曲线由各环节的相频特性相加获得。相频特性曲线由各环节的相频特性相加获得。系统开环系统开环Bode图的绘制图的绘制l最小相位环节的频率特性最小相位环节的频率特性 凡在右半凡在右半S 平面上有开环零点或极点的系平面上有开环零点或极点的系统，称为非最小相位系统。统，称为非最小相位系统。 “ “最小相位最小相位” ”

10、 是指，具有相同幅频特性的是指，具有相同幅频特性的一些环节，其中相角位移有最小可能值的，称一些环节，其中相角位移有最小可能值的，称为最小相位环节；反之，其中相角位移大于最为最小相位环节；反之，其中相角位移大于最小可能值的环节称为非最小相位环节；后者常小可能值的环节称为非最小相位环节；后者常在传递函数中包含右半在传递函数中包含右半S S平面的零点或极点。平面的零点或极点。 系统开环系统开环Bode图的绘制图的绘制11( )1 10TsG sTs21( )1 10TsG sTs2221)10(1)(1)()(TTAATTarctan10arctan)(1TTarctan10arctan)(2系统开

11、环系统开环Bode图的绘制图的绘制从从Bode图上看，一个对数幅频特性所代表的环图上看，一个对数幅频特性所代表的环节，能给出最小可能相位移的，称为最小相位环节，节，能给出最小可能相位移的，称为最小相位环节，不给出最小相位移的，称为非最小相位环节。不给出最小相位移的，称为非最小相位环节。对于最小相位环节（或系统）当给出了环节对于最小相位环节（或系统）当给出了环节（或系统）的幅频特性时，也就决定了相频特性；（或系统）的幅频特性时，也就决定了相频特性；或者，给定了环节（或系统）的相频特性，也就决或者，给定了环节（或系统）的相频特性，也就决定了幅频特性。定了幅频特性。 延迟环节延迟环节是不是是不是最小

12、相位环节最小相位环节 ？系统开环系统开环Bode图的绘制图的绘制lBode图的绘制举例图的绘制举例系统开环系统开环Bode图的绘制图的绘制l单回路开环系统单回路开环系统Bode图的绘制图的绘制系统开环系统开环Bode图的绘制图的绘制系统开环系统开环Nyquist图的绘制图的绘制l概述概述22112211(1)(21)( )(1)(21)nkkknkvijjjijKsssG ssTsT sT s 22112211(1)()2() 1)()()(1)()2() 1)nkkknkvijjjijKjjjG jjj TjTT j l概述概述幅频特性幅频特性= =组成系统的各典型环节的组成系统的各典型环节

13、的幅频特性之乘积幅频特性之乘积。1.求求A(0)、 (0)；A()、 ()；2.补充必要的特征点补充必要的特征点(如与坐标轴的交点如与坐标轴的交点)，根据，根据A()、 () 的变化趋势，画出的变化趋势，画出Nyquist图的大致形状。图的大致形状。绘制：绘制：)().()()(21sGsGsGsGn )()(2)(1)(.)()()(21 njnjjeAeAeAjG )().()()(21 nAAAA )(.)()()(21 n 系统开环系统开环Nyquist图的绘制图的绘制l举例说明举例说明 例例1 已知系统的开环传递函数如下，试绘制系统的已知系统的开环传递函数如下，试绘制系统的开环开环N

14、yquist图。图。系统开环系统开环Nyquist图的绘制图的绘制l举例说明举例说明 例例2 已知系统的开环传递函数如下，试绘制系统的已知系统的开环传递函数如下，试绘制系统的开环开环Nyquist图图,并求与实轴的交点。并求与实轴的交点。NyquistNyquist图与实轴相交时图与实轴相交时系统开环系统开环Nyquist图的绘制图的绘制l举例说明举例说明 例例3 已知系统的开环传递函数如下，试绘制系统的已知系统的开环传递函数如下，试绘制系统的开环开环Nyquist图。图。系统开环系统开环Nyquist图的绘制图的绘制l总结总结 0 0型系统（型系统（v = 0v = 0）只包含惯性环节的只包

15、含惯性环节的0型系统型系统Nyquist图图)1).(1)(1()()1).(1)(1()(2121 nmTjTjTjjjjjKjGmn 0 KA )0(0)0( 0)( A90)()( mn 系统开环系统开环Nyquist图的绘制图的绘制 I I型系统（型系统（v = 1v = 1）)1).(1)(1()()1).(1)(1()(2121 nmTjTjTjjjjjKjGmn 0 )0(A90)0( 0)( A90)()( mn 只包含惯性环节的只包含惯性环节的I型系统型系统Nyquist图图系统开环系统开环Nyquist图的绘制图的绘制l总结总结 IIII型系统（型系统（v = 2v = 2

16、）)1).(1)(1()()1).(1)(1()(2121 nmTjTjTjjjjjKjGmn 0 )0(A180)0( 0)( A90)()( mn 只包含惯性环节的只包含惯性环节的II型系统型系统Nyquist图图系统开环系统开环Nyquist图的绘制图的绘制l总结总结 开环含有开环含有v个积分环节系统，个积分环节系统，Nyquist曲线起曲线起自幅角为自幅角为-v90的无穷远处。的无穷远处。90(0) )0(A)()(9021800 0)0( (0)A)90(0) r 0 1 2 r )0(AK)0( A系统开环系统开环Nyquist图的绘制图的绘制l总结总结Nyquist稳定判据稳定判

17、据l辅助函数辅助函数G(s)C(s)R(s)H(s)设设: :图所示系统的开环传递函数为图所示系统的开环传递函数为: :)()()()(s)(s)1(s)(s)sMsNsNsGHGG GB 则闭环传递函数为则闭环传递函数为: : )()(s)(s)(s) sNsMHGGk )()()(s)(s)1(s)sNsMsNHGF 设一辅助函数设一辅助函数: : njjniipsssk11)()( l辅助函数的特点辅助函数的特点G(s)C(s)R(s)H(s)3.3.辅助函数的零极点个数相同辅助函数的零极点个数相同1.1.辅助函数的零点就是系统的闭辅助函数的零点就是系统的闭环特征根（闭环极点）环特征根（

18、闭环极点）2.2.辅助函数的极点就是系统的开环特征根（开环极点）辅助函数的极点就是系统的开环特征根（开环极点）0)()( sMsN0)( sN0)(1 niiss0)(1 njjps4.F(s)4.F(s)与与G Gk k(s(s) )只差一个常数只差一个常数1 1 )(1(s)(s)1(s)ksGHGF Nyquist稳定判据稳定判据lNyquist稳定判据稳定判据G(s)C(s)R(s)H(s)当当从从0时，时，F(j)的幅角变化为：的幅角变化为：)()(1(s)( jHjGFjFjs )()()()(11 jDjDpjsjkkbnjjnii 11()1()()()()()kbknniji

19、jF jGjDjDjjsjp Nyquist稳定判据稳定判据lNyquist稳定判据稳定判据 系统在系统在开环状态稳定开环状态稳定的条件下，闭环稳定的的条件下，闭环稳定的充要条件是：当充要条件是：当由由0变化到变化到时，时，1+G(j )H (j ) 轨迹不包围轨迹不包围1+GH平面的原点。平面的原点。()2bDjn闭环稳定闭环稳定开环稳定开环稳定()2kDjn0)()()()(1 jDjDjHjGkb不不稳稳定定Nyquist稳定判据稳定判据lNyquist稳定判据稳定判据 系统在系统在开环不稳定开环不稳定，且有，且有p个右半平面的极个右半平面的极点，则闭环稳定的充要条件是：当点，则闭环稳定

20、的充要条件是：当由由0变化到变化到时，时，1+G(j )H (j ) 轨迹包围轨迹包围1+GH平面的原平面的原点转过的角度为点转过的角度为P(p/2圈圈)。（规定：逆时针转。（规定：逆时针转角为正，顺时针转角为负。角为正，顺时针转角为负。()2bDjn系统稳定，则闭环稳定系统稳定，则闭环稳定开环不稳定，在右半平面有开环不稳定，在右半平面有p p个根个根()()22(2 )2kDjnppnp1()()()KbkGjDjDjp Nyquist稳定判据稳定判据lNyquist稳定判据稳定判据系统在系统在开环状态稳定开环状态稳定的条件的条件, ,闭环稳定的充要条件是：当闭环稳定的充要条件是：当由由0

21、0变化到变化到时，开环时，开环G(jG(j )H)H(j(j ) )轨迹不包围轨迹不包围GHGH平面的平面的(-1,j0)(-1,j0)点。点。 在复平面上将在复平面上将1+G(j)H(j)的轨迹向左移动一个的轨迹向左移动一个单位，便得到单位，便得到G(j)H(j)的轨迹的轨迹-11Im0=0=0=01-1=0=-1Im0Nyquist稳定判据稳定判据lNyquist稳定判据稳定判据 同理：设系统开环不稳定，特征根有同理：设系统开环不稳定，特征根有p p个位于右半个位于右半s s平面。平面。若系统若系统开环不稳定开环不稳定，且有，且有p p个开环特征根位于个开环特征根位于右半右半s s 平面，

22、则闭环系统稳定的充要条件：平面，则闭环系统稳定的充要条件：当当由由0 0变化到变化到时，开环时，开环G(jG(j )H )H (j(j ) ) 轨迹轨迹逆时针包围逆时针包围 GHGH平面平面(-1(-1，j0)j0) 点点pp。Nyquist稳定判据稳定判据lNyquist稳定判据的应用稳定判据的应用 当系统开环含有积分环节（原点处存在极点）或当系统开环含有积分环节（原点处存在极点）或者在虚轴上存在极点的时候，者在虚轴上存在极点的时候，用半径用半径00的半圆在的半圆在虚轴上极点的右侧绕过这些极点，即将这些极点划到虚轴上极点的右侧绕过这些极点，即将这些极点划到左半左半s s平面，再平面，再找出该

23、极点对应的向量找出该极点对应的向量 j+pj+pi i 在在由由0 0变化到变化到时的相角变化量。时的相角变化量。Nyquist稳定判据稳定判据lNyquist稳定判据的应用稳定判据的应用常规方法：常规方法：(1)(1)作出作出由由 0+0+变化时的变化时的NyquistNyquist曲线；曲线；(2)(2)从从G(j0+)G(j0+)开始，以开始，以的半径逆时针补画的半径逆时针补画v90v90的的圆弧圆弧( (辅助线辅助线) )。 由由 00+变化时的轨迹变化时的轨迹Nyquist稳定判据稳定判据lNyquist稳定判据的推广稳定判据的推广以半径为无穷大的圆弧顺时针方向连接正实轴端和以半径为

24、无穷大的圆弧顺时针方向连接正实轴端和 G(j) H(j)G(j) H(j)轨迹的起始端。轨迹的起始端。对于最小相位系统，对于最小相位系统，0( 0)G je 其辅助线的起始点始终其辅助线的起始点始终在无穷远的正实轴上。在无穷远的正实轴上。Nyquist稳定判据稳定判据lNyquist稳定判据的推广稳定判据的推广具有零根的开环具有零根的开环G(j)H(j)G(j)H(j)轨迹轨迹Nyquist稳定判据稳定判据lNyquist稳定判据的推广稳定判据的推广系统的开环幅相频率特性曲线如图所示。试判断各系统闭环的稳定性。未注明时p=0,v=0。Nyquist稳定判据稳定判据稳定稳定稳定稳定不稳定不稳定l

25、Nyquist稳定判据的推广稳定判据的推广单位反馈系统的开环传递函数为单位反馈系统的开环传递函数为)1()( TssKsG应用应用NyquistNyquist判据判别闭环系统的稳定性。判据判别闭环系统的稳定性。开环稳定开环稳定P P=0=0，开环开环 NyquistNyquist曲线不包围曲线不包围 (-1,j0 )(-1,j0 )点点系统闭环稳定。系统闭环稳定。Nyquist稳定判据稳定判据lNyquist稳定判据的推广稳定判据的推广穿越：指开环穿越：指开环NyquistNyquist曲线穿过曲线穿过(-1,j0 )(-1,j0 )点点左边实轴左边实轴时时的情况。的情况。正穿越：正穿越：增大

26、时，增大时，NyquistNyquist曲线由上而下穿过曲线由上而下穿过-1-1 -段实轴。段实轴。正穿越时相当于正穿越时相当于NyquistNyquist曲线正向包围曲线正向包围(-1,j0 )(-1,j0 )点一圈点一圈负负穿越穿越：增大时，增大时，NyquistNyquist曲线由下而上穿过曲线由下而上穿过-1 -1 -段实轴。段实轴。负穿越相当于负穿越相当于NyquistNyquist曲线反向包围曲线反向包围(-1,j0 )(-1,j0 )点一圈点一圈Nyquist稳定判据稳定判据lNyquist稳定判据的推广稳定判据的推广 当当由由0 0变化到变化到时，时，NyquistNyquis

27、t曲线在曲线在(-1,j0 )(-1,j0 )点点左边实轴上的正负穿越次数之差等于左边实轴上的正负穿越次数之差等于p/2p/2时时(p(p为系统为系统开环右极点数开环右极点数) )，闭环系统稳定，否则，闭环系统不闭环系统稳定，否则，闭环系统不稳定。稳定。开环不稳定闭环稳定开环不稳定闭环稳定开环稳定闭环稳定开环稳定闭环稳定Nyquist稳定判据稳定判据lNyquist稳定判据的推广稳定判据的推广半次穿越半次穿越：G(j)H (j)G(j)H (j) 轨迹起始或终止于轨迹起始或终止于(-(-1,j0)1,j0)点以左的负实轴。点以左的负实轴。+1/2+1/2次穿越次穿越-1/2-1/2次穿越次穿越Nyquist稳定判据稳定判据lNyquist稳定判据的推广稳定判据的推广开环不稳定开环不稳定 P=1P=1次穿越次穿越闭环稳定闭环稳定Nyquist稳定判据稳定判据l利用利用Nyquist稳定判据判别系统稳定性的步骤稳定判据判别系统稳定性的步骤 绘制极坐标图绘制极坐标图 v0，补半径为无穷大的圆弧，补半径为无穷大的圆弧 图形围绕图形围绕 (-1, j0) 旋转的圈数旋转的圈数 p=? 判断闭环稳定性判断闭环稳定性Nyquist稳定判据稳定判据000022NNP0 1122NNP0 12122NNPNyquist稳定判据稳定判据1 10022NNP 0 10022NNP1