121任意角的三角函数

1、M APoyx第第1课时课时三角函数的定义三角函数的定义 在初中阶段在初中阶段, ,我们对在直我们对在直角三角形中锐角的三角函数角三角形中锐角的三角函数定义如下：定义如下：cba正弦函数：正弦函数：余弦函数余弦函数 ( (邻邻边边比比斜斜边边) )cosaBc 正切函数：正切函数： ( (对对边边比比邻邻边边) )tanbBa BAC ( (对对边边比比斜斜边边) )sinbBc 问题问题1：请大家回忆一下我们初中所学的三角请大家回忆一下我们初中所学的三角函数的定义函数的定义 为了研究任意角为了研究任意角的三角函数的三角函数, ,我们先我们先在平面上建立一个直在平面上建立一个直角坐标系角坐标系

2、oxy, ,将任意将任意角角的顶点放在坐标的顶点放在坐标原点原点, ,始边放在始边放在x轴轴的的非负半轴上非负半轴上, ,设设OP为为它的终边它的终边, ,如右图：如右图：xyoPM 如果我们将角放在坐标系中，你能如果我们将角放在坐标系中，你能用角的终边上的点的坐标来表示三角用角的终边上的点的坐标来表示三角函数吗？函数吗？ 问题问题2：则则 22.rabsin;bMPOPr cos;OMaOPr tan.bMPOPa xyoPM 在角在角的终边上任取一点的终边上任取一点P(a, b), 这点到原这点到原点的距离为点的距离为 r. 则则 22.rabsin;bMPOPr cos;OMaOPr t

3、an.bMPOPa xyoPM 如果我们改变终边上的点的位置，这如果我们改变终边上的点的位置，这三个比值会变吗？三个比值会变吗？ 问题问题3：则则 22.rabsin;bMPOPr cos;OMaOPr tan.bMPOPa xyoPM 问题问题4： 我们能否通过取适当的点让这三个我们能否通过取适当的点让这三个表达式简化？表达式简化？ 即当点即当点P(x, y)满足满足x2+y2=1时时,正弦函数值正弦函数值,余弦函数值余弦函数值,正切函数值会有什么样的结果？正切函数值会有什么样的结果？ 设设是一个任意角是一个任意角, ,它的终边与它的终边与单位圆单位圆( (在直角坐标系中在直角坐标系中, ,

4、称以原点为圆心称以原点为圆心, ,以单位长以单位长度为半径的圆为单位圆度为半径的圆为单位圆) )交于点交于点P(x, y).sin;MPyOP cos;OMxOP tan.yMPOPx M APoyx定义定义1：当角当角是其它象限角时是其它象限角时, ,它的三角函数的它的三角函数的定义也是一样定义也是一样 设设是一个任意角是一个任意角, ,它的终它的终边与单位圆交于点边与单位圆交于点P( (x, ,y).).MAPoyxy叫叫的正弦：的正弦：;siny ;cosx x叫叫的余弦：的余弦：tan.yx 叫叫的正切：的正切：yx定义定义1： 设设是一个任意角是一个任意角, ,它的终它的终边与单位圆

5、交于点边与单位圆交于点P( (x, ,y).).MAPoyxy叫叫的正弦：的正弦：;siny ;cosx x叫叫的余弦：的余弦：tan.yx 叫叫的正切：的正切：yx我们把正弦、余弦我们把正弦、余弦, ,正切正切, ,都看成是都看成是以角为自变以角为自变量量, ,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数的函数, ,以上以上三三种函数统称种函数统称三角函数三角函数定义定义1：请你谈谈对三角函数中对应关系的理解请你谈谈对三角函数中对应关系的理解解解: : 在直角坐标系中在直角坐标系中, ,作作31(,).22B 35sin;32 51cos;32 5tan

6、3.3 BAoyx例例1.1.求求 的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值. .53 5,3AOB 易知AOB的终边与单位圆的交点坐标为例题：例题： 利用三角函数的定义求利用三角函数的定义求 的三个三角函的三个三角函数值数值. (课本课本P.15T1)76 BAoyx解解: : 在直角坐标系中在直角坐标系中, ,作作31(,).22B 71sin;62 37cos;62 37tan.63 7,6AOB 易知AOB的终边与单位圆的交点坐标为练习练习1： 如果知道角终边上一点如果知道角终边上一点, ,而这个点不是终边与单位而这个点不是终边与单位圆的交点圆的交点, ,该如何求它的三角函数值呢该如何

7、求它的三角函数值呢? ? 前面我们已经知道前面我们已经知道,三角函数的值与点三角函数的值与点P (x, y)在终在终边上的位置无关，仅与角边上的位置无关，仅与角的大小有关的大小有关. 点点P到原点到原点O的距离的距离 22rxy 1sin1y 22yxy ;yr oyx 111( , )P x y1M( , )P x yM1cos1x 22xxy ;xr 11tanyx .yx 问题问题6： 设角设角 是一个任意角，是一个任意角， 是终边上的任意一点，是终边上的任意一点，点点 与原点的距离与原点的距离),( yxP022yxrP那么那么 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即ryrysin 叫做叫做

8、的余弦，即的余弦，即rxrxcos 叫做叫做 的正的正切切，即，即xy0tanxxy2、任意角的三角函数第二定义：、任意角的三角函数第二定义：xyrOxyMP (x,y)升级兼容 定义定义2：例例2.2.已知角已知角 终边经过点终边经过点P0(- -3, - -4),求角求角 的正的正弦、余弦和正切值弦、余弦和正切值. .解解: x - -3, y- - 4,22( 3)( 4)5.r 44sin;55yr 33cos;55xr 44tan.33yx Oyx0P例题：例题：已知角已知角 终边经过点终边经过点P0(- -12, 5 5),求角求角 的正弦、的正弦、余弦和正切值余弦和正切值. .解

9、解: x - -3, y- - 4,22( 3)( 4)5.r 44sin;55yr 33cos;55xr 44tan.33yx Oyx0P练习练习2： 问题问题7： 对比例1和例2，你有什么体会？当堂巩固：当堂巩固：M APoyx第第2课时课时三角函数的基本性质三角函数的基本性质 问题问题1： 根据以前的经验，对三角函数这种新的函数你觉得我们需要研究那些问题？请完成课本第请完成课本第13页的页的“探究探究”【探究【探究1】三角函数的定义域与值域】三角函数的定义域与值域三角函数三角函数定义域定义域值域值域 sin)( f cos)( f tan)( fRR Zkk ,2 -1,1-1,1R 探

10、究探究1：【探究【探究2】三角函数】三角函数在各个象限的符号在各个象限的符号一全正、二正弦、三正切、四余弦一全正、二正弦、三正切、四余弦xyoxyoxyoy sinx cosxy tan 探究探究2： 三个三角函数在坐标轴上的取值怎样？ 探究探究3：例题例题1：课本例课本例3课本练习课本练习练习练习1：几个特殊角的三角函数值几个特殊角的三角函数值角角0o30o45o60o90o180o270o360o角角的弧的弧度数度数sinsincoscostantan2 32 2 000000001111 1 不不存存在在不不存存在在03 4 6 2222112323332123 我们知道，终边相同的角相

11、差我们知道，终边相同的角相差22的的整数倍整数倍如果两个角的终边相同，那么这如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？两个角的同一三角函数值有何关系？ 终边相同的角的同一三角函数值相等（诱导公式一）终边相同的角的同一三角函数值相等（诱导公式一）tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(kkk（其中（其中 ）zk 公式作用：公式作用：可以把求任意角的三角函数值，可以把求任意角的三角函数值，转化为求转化为求 角的三角函数值角的三角函数值 . .360020到或到 ？ 问题问题2：yoP),(yxx1M例题例题2：课本例课本例4、5练习练习2：课本练习课本练习当堂巩固：

12、当堂巩固：M APoyx第第3课时课时三角函数线三角函数线yxxyyyxxMMMMOOOOPPPP的的终边终边的的终边终边的的终边终边的的终边终边A(1,0)A(1,0)A(1,0)A(1,0)()()()()角角的终边与单位圆的终边与单位圆交于点交于点P.过点过点P作作x轴轴的垂线的垂线,垂足为垂足为M.|MP|=|y|=|sin|OM|=|x|=|cos| 为了去掉上述等为了去掉上述等式中的绝对值符号式中的绝对值符号, ,能能否给线段否给线段OMOM、MPMP规定规定一个适当的方向一个适当的方向, ,使它使它们的取值与点们的取值与点P P的坐标的坐标一致一致? ? 问题问题1： 有向线段有

13、向线段* 带有方向的线段叫有向线段带有方向的线段叫有向线段.*有向线段的大小称为它的数量有向线段的大小称为它的数量.在坐标系中在坐标系中, ,规定规定: : 有向线段的方向与坐标系的方向相同有向线段的方向与坐标系的方向相同.即同向时即同向时,数量为正数量为正;反向时反向时,数量为负数量为负. 定义：定义：yxxyyyxxMMMMOOOOPPPP的的终边终边的的终边终边的的终边终边的的终边终边A(1,0)A(1,0)A(1,0)A(1,0)()()()() 当角当角的终边不在坐的终边不在坐标轴上时标轴上时,以以M为始点、为始点、P为终点为终点,规定规定: 当线段当线段MP与与y轴轴同同向向 时时

14、,MP的方向为的方向为正正向向,且有且有正值正值y; 当线段当线段MP与与y轴轴反反向向时时MP的的方向方向为为负向负向,且有且有负值负值y. MP=y=sin 有有向线段向线段MP叫角叫角的的正正弦线弦线 定义定义1：yxxyyyxxMMMMOOOOPPPP的的终边终边的的终边终边的的终边终边的的终边终边A(1,0)A(1,0)A(1,0)A(1,0)()()()() 当角当角的终边不在坐的终边不在坐标轴上时标轴上时,以以O为始点、为始点、M为终点为终点,规定规定: 当线段当线段OM与与x轴轴同向同向 时时,OM的方向为的方向为正向正向,且且有有正值正值x; 当线段当线段OM与与x轴轴反向反

15、向时时,OM的方向为的方向为负向负向,且且有有负值负值x. OM=x=cos 有向线段有向线段OM叫角叫角的的余弦线余弦线 定义定义2：TTTyxxyyyxxMMMMOOOOPPPP的的终边终边的的终边终边的的终边终边的的终边终边A(1,0)A(1,0)A(1,0)A(1,0)()()()()T过点过点A(1,0)作单位作单位圆的切线圆的切线,设它与设它与的终边或其反向延的终边或其反向延长线相交于点长线相交于点T.tanMPOMATyATOAx有向线段有向线段ATAT叫叫角角的的正切线正切线 定义定义2：这三条与单位圆有关的有向线段这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT,分别叫做角分别叫做角的的正弦线、余弦线、正切正弦线、余弦线、正切线线,统称为统称为三角函数线三角函数线yxTM OP的的终边终边A(1,0)当角当角的终边与的终边与x轴重合时轴重合时,正弦线、正切正弦线、正切线线,分别变成一个点分别变成一个点,此时角此时角的的正弦值和正正弦值和正切值都为切值都为0;当角当角的终边与的终边与y轴重合时轴重合时,余余弦线变成一个点弦线变成一个点,正切线不存正切线不存在在,此时角此时角的的正切值不存在正切值不存在. 1.在单位圆中作出符合下列条件的角的终边在单位圆中作出符合下列条件的角的终边:;21sinxOy-1-