RLC串联与并联谐振电路谐振时的特性

1、123 谐振电路谐振电路 含有电感、电容和电阻元件的单口网络，在含有电感、电容和电阻元件的单口网络，在某些工作频率上，出现端口电压和电流波形相位某些工作频率上，出现端口电压和电流波形相位相同的情况时，称电路发生谐振。能发生谐振的相同的情况时，称电路发生谐振。能发生谐振的电路，称为谐振电路。谐振电路在电子和通信工电路，称为谐振电路。谐振电路在电子和通信工程中得到广泛应用。本节讨论最基本的程中得到广泛应用。本节讨论最基本的RLC串联串联和并联谐振电路谐振时的特性。和并联谐振电路谐振时的特性。 一、一、RLC串联谐振电路串联谐振电路 图图1215(a)表示表示RLC串联谐振电路，图串联谐振电路，图1

2、215(b)是它是它的相量模型，由此求出驱动点阻抗为的相量模型，由此求出驱动点阻抗为 图图1215)2412()(| )j (|)1( j)j (ZCLRIUZ 其中其中 )2612()1arctan()()2512()1(| )j (|22RCLCLRZ 当当 ，即，即 时，时， ( )=0, 01CLLC1 )2712(10LC 式中式中 称为电路的固有谐振角频率。称为电路的固有谐振角频率。LC10 |Z(j )|=R,电压电压u(t)与电流与电流i(t)相位相同，电路发生谐振。相位相同，电路发生谐振。也就是说，也就是说，RLC串联电路的谐振条件为串联电路的谐振条件为 1. 谐振条件谐振条

3、件)2812(210LCff 当电路激励信号的频率与谐振频率相同时，电路发生当电路激励信号的频率与谐振频率相同时，电路发生谐振。用频率表示的谐振条件为谐振。用频率表示的谐振条件为 RLC串联电路在谐振时的感抗和容抗在量值上相等，串联电路在谐振时的感抗和容抗在量值上相等，其值称为谐振电路的特性阻抗，用其值称为谐振电路的特性阻抗，用 表示，即表示，即 )2912(100CLCL 2. 谐振时的电压和电流谐振时的电压和电流 RLC串联电路发生谐振时，阻抗的电抗分量串联电路发生谐振时，阻抗的电抗分量 0100CLX)3012()j (0 RZ 导致导致 即阻抗呈现纯电阻，达到最小值。若在端口上外加电即

4、阻抗呈现纯电阻，达到最小值。若在端口上外加电压源，则电路谐振时的电流为压源，则电路谐振时的电流为 )3112(SSRUZUI 电流达到最大值，且与电压源电压同相。此时电阻、电流达到最大值，且与电压源电压同相。此时电阻、电感和电容上的电压分别为电感和电容上的电压分别为 )328 (SRUIRU)338(jjjSS00LUQURLILU)348(j1jj1SS00CUQURCICU 其中其中 )358(100RRCRLQ Q 称为串联谐振电路的品质因数，其数值等于谐振时称为串联谐振电路的品质因数，其数值等于谐振时感抗或容抗与电阻之比。感抗或容抗与电阻之比。 从以上各式和相量图可见，谐振时电阻电压与

5、电压源从以上各式和相量图可见，谐振时电阻电压与电压源电压相等，电压相等， 。电感电压与电容电压之和为零，。电感电压与电容电压之和为零，即即 ，且电感电压或电容电压的幅度为电压源，且电感电压或电容电压的幅度为电压源电压幅度的电压幅度的Q倍，即倍，即 SRUU0CLUU)3612(RSCLQUQUUU 若若Q1,则则UL=UCUS=UR，这种串联电路的谐振称为，这种串联电路的谐振称为电压谐振。电压谐振。图图1216 3.谐振时的功率和能量谐振时的功率和能量 设电压源电压为设电压源电压为uS(t)=Usmcos( 0t)，则：，则： )90cos()()()90cos()()cos()cos()(0

6、SmLC0SmL0Sm0mtQUtututQUtutRUtIti 由于由于 u(t)=uL(t)+uC(t)=0 (相当于虚短路相当于虚短路)，任何时刻进，任何时刻进入电感和电容的总瞬时功率为零，即入电感和电容的总瞬时功率为零，即pL(t)+pC(t)=0。电感和。电感和电容与电压源和电阻之间没有能量交换。电压源发出的功电容与电压源和电阻之间没有能量交换。电压源发出的功率全部为电阻吸收，即率全部为电阻吸收，即pS(t)=pR(t)。 电感和电容吸收的功率分别为：电感和电容吸收的功率分别为： )2sin()()()2sin()90cos()cos()(0SLC0S00mSmLtIQUtptptI

7、QUttIQUtp 电感和电容之间互相交换能量，其过程如下电感和电容之间互相交换能量，其过程如下:当电流减当电流减小时，电感中磁场能量小时，电感中磁场能量WL=0.5Li2减小，所放出的能量全部减小，所放出的能量全部被电容吸收，并转换为电场能量，如图被电容吸收，并转换为电场能量，如图12-17(a)所示。当电所示。当电流增加时，电容电压减小，电容中电场能量流增加时，电容电压减小，电容中电场能量WC=0.5Cu2减减小，所放出的能量全部被电感吸收，并转换为磁场能量，小，所放出的能量全部被电感吸收，并转换为磁场能量，如图如图1217(b)所示。所示。图图1217串联电路谐振时的能量交换串联电路谐振

8、时的能量交换 能量在电感和电容间的这种往复交换，形成电压和电能量在电感和电容间的这种往复交换，形成电压和电流的正弦振荡，这种情况与流的正弦振荡，这种情况与 LC串联电路由初始储能引起的串联电路由初始储能引起的等幅振荡相同等幅振荡相同(见第九章二阶电路分析见第九章二阶电路分析)。其振荡角频率。其振荡角频率 ，完全由电路参数，完全由电路参数L和和C来确定。来确定。 LC10 谐振时电感和电容中总能量保持常量，并等于电感中谐振时电感和电容中总能量保持常量，并等于电感中的最大磁场能量，或等于电容中的最大电场能量，即的最大磁场能量，或等于电容中的最大电场能量，即 )3712(2S2L2CCLRULLIC

9、UWWW 可以从能量的角度来说明电路参数可以从能量的角度来说明电路参数 R、L、C变化对电变化对电感和电容电压感和电容电压UL= UC的影响。若电阻的影响。若电阻 R减小一半，或电感减小一半，或电感 L增加到增加到4倍倍( 增加一倍增加一倍)，则总能量，则总能量 增增加到加到4倍，这将造成电压倍，这将造成电压UL=UC增加一倍。若电容增加一倍。若电容 C减少到减少到 l/4( Q增加一倍增加一倍)， 总能量不变，而电压总能量不变，而电压UL= UC增增加一倍。总之，加一倍。总之， R、L和和 C的改变造成的改变造成 变化的倍变化的倍数与数与UL= UC变化的倍数相同。变化的倍数相同。 CLRQ

10、122S/ RLUW 2CCUW CLRQ1例例12-7 电路如图电路如图12-18所示。已知所示。已知 求求: (l) 频率频率 为何值时，电路发生谐振。为何值时，电路发生谐振。 (2)电路谐振时电路谐振时, UL和和UC为何值。为何值。 V cos210)(Sttu图图1218 解：解：(l)电压源的角频率应为电压源的角频率应为 rad/s10rad/s1010116840LC (2)电路的品质因数为电路的品质因数为 1000RLQ 则则 V1000V10100SCLQUUU二、二、RLC并联谐振电路并联谐振电路 图图12-19(a)所示所示RLC并联电路，其相量模型如图并联电路，其相量模

11、型如图12-19(b)所示。所示。图图1219)3812()(| )j (|)1( j)j (YLCGUIY 其中其中 )4012()1arctan()()3912()1(| )j (|22GLCLCGY 驱动点导纳为驱动点导纳为 1.谐振条件谐振条件 )4112(10LC 式中式中 称为电路的谐振角频率。与称为电路的谐振角频率。与RLC串联串联电路相同。电路相同。 LC1001LC 当当 时时, Y(j )=G=1/R，电压，电压u(t)和电流和电流i(t)同相，电路发生谐振。因此，同相，电路发生谐振。因此，RLC并联电路谐振的条件是并联电路谐振的条件是 2.谐振时的电压和电流谐振时的电压和

12、电流)4212(SSSIRGIYIU RLC并联电路谐振时，导纳并联电路谐振时，导纳Y(j 0)=G=1/R，具有最小，具有最小值。若端口外加电流源值。若端口外加电流源 ，电路谐振时的电压为，电路谐振时的电压为SI 电路谐振时电压达到最大值，此时电阻、电感和电容电路谐振时电压达到最大值，此时电阻、电感和电容中电流为（见下页）中电流为（见下页） )4512(jjj)4412(jjj1)4312( SS00CSS00LSRIQIRCUCIIQILRULIIUGI)4612(00LCRCRLRQ 其中其中 称为称为RLC并联谐振电路的品质因数，其量值等于谐振并联谐振电路的品质因数，其量值等于谐振时感

13、纳或容纳与电导之比。电路谐振时的相量图如图时感纳或容纳与电导之比。电路谐振时的相量图如图12-20(b)所示。所示。 由以上各式和相量图可见，谐振时电阻电流与电流源由以上各式和相量图可见，谐振时电阻电流与电流源电流相等电流相等 。电感电流与电容电流之和为零，。电感电流与电容电流之和为零，即即 。电感电流或电容电流的幅度为电流源电。电感电流或电容电流的幅度为电流源电流或电阻电流的流或电阻电流的Q倍，即倍，即 SIIR0CL II)478(RSCLQIQIII 并联谐振又称为电流谐振。并联谐振又称为电流谐振。 图图1220 3.谐振时的功率和能量谐振时的功率和能量 设电流源电流设电流源电流iS(t

14、)=Ismcos( 0t)，则：，则： )90cos()()90cos()()cos()cos()(0SmC0SmL0Sm0mtQItitQItitRItUtu 电感和电容吸收的瞬时功率分别为：电感和电容吸收的瞬时功率分别为： )2sin()()()2sin()90cos(cos)(0SLC0S00SmmLtQUItptptQUIttIQUtp 由于由于i(t)=iL(t)+iC(t)=0 (相当于虚开路相当于虚开路)，任何时刻进入，任何时刻进入电感和电容的总瞬时功率为零，即电感和电容的总瞬时功率为零，即pL(t)+pC(t)=0。电感和电。电感和电容与电流源和电阻之间没有能量交换。电流源发出

15、的功率容与电流源和电阻之间没有能量交换。电流源发出的功率全部被电阻吸收，即全部被电阻吸收，即pS(t)=pR(t) 。 能量在电感和电容间往复交换能量在电感和电容间往复交换(图图1221)，形成了电，形成了电压和电流的正弦振荡。其情况和压和电流的正弦振荡。其情况和 LC并联电路由初始储能引并联电路由初始储能引起的等幅振荡相同，因此振荡角频率也是起的等幅振荡相同，因此振荡角频率也是 ，与串，与串联谐振电路相同。联谐振电路相同。 LC10图图1221 并联电路谐振时的能量交换并联电路谐振时的能量交换 谐振时电感和电容的总能量保持常量，即谐振时电感和电容的总能量保持常量，即 )4812(2S22C2

16、LCLICRCULIWWW图图1221 并联电路谐振时的能量交换并联电路谐振时的能量交换 由于并联电路的电压相同，即由于并联电路的电压相同，即UL=UC=RIS。当电阻。当电阻R增增加到加到2倍，或电容倍，或电容 C 增加到增加到4倍倍( 增加一倍增加一倍)时，总时，总储能增加到储能增加到4倍，将导致电流倍，将导致电流IL= IC增加一倍。若电感减小增加一倍。若电感减小到原值的到原值的l/4(Q增加一倍增加一倍)，总能量，总能量 不变，而谐振时的电不变，而谐振时的电流流IL= IC增加一倍。总之，由增加一倍。总之，由 R、L和和C的改变引起的改变引起 Q值变值变化的倍数与化的倍数与IL= IC

17、变化的倍数相同。变化的倍数相同。 LCRQ 2LLI 谐振时电感和电容的总能量保持常量，即谐振时电感和电容的总能量保持常量，即 )4812(2S22C2LCLICRCULIWWW图图1221 并联电路谐振时的能量交换并联电路谐振时的能量交换 例例12-8 图图12-22(a)是电感线圈和电容器并联的电路模型。是电感线圈和电容器并联的电路模型。 已知已知R=1 , L=0.1mH, C=0.01 F。试求电路的谐振。试求电路的谐振 角频率和谐振时的阻抗。角频率和谐振时的阻抗。图图1222解：根据其相量模型解：根据其相量模型图图12-22(b)写出驱动点导纳写出驱动点导纳 2222)(j)(j1j)j (LRLCLRRLRCY2222)(j)()j (LRLCLRRY 令上式虚部为零令上式虚部为零0)(22LRLC 求得求得 22011111QLCLCRLCCLRQ1是是RLC串联电路的品质因数。串联电路的品质因数。 其中其中图图1222 当当Q 1时时, LC10 代入数值得到代入数值得到 rad/s10rad/s1010110101648840 谐