第八章立体的投影及直线、平面与立体相交

1、 立体的投影及直线、平立体的投影及直线、平面与面与立体相交基本形体可分为基本形体可分为平面立体平面立体和和曲面立体曲面立体平面立体：平面立体：表面由平面围成的几何体表面由平面围成的几何体曲面立体：曲面立体：表面由曲面或者曲面与平面围成的几何体表面由曲面或者曲面与平面围成的几何体平面平面立体立体曲面曲面立体立体8 81 1 平面立体的投影平面立体的投影平面立体的表面由若干平面（多边形平面立体的表面由若干平面（多边形）围成，各平面间的交线称为）围成，各平面间的交线称为棱线棱线或或底边底边，它们间的交点称为，它们间的交点称为顶点顶点。工程。工程上最常见的平面立体为上最常见的平面立体为棱柱棱柱和和棱锥

2、棱锥。 一、棱柱体一、棱柱体2） 棱柱的三视图棱柱的三视图1） 棱柱的组成棱柱的组成 由由两个底面和几个侧棱面两个底面和几个侧棱面组成。侧棱面与侧棱面的交线组成。侧棱面与侧棱面的交线叫侧棱线，叫侧棱线，侧棱线相互平行侧棱线相互平行。 在图示位置时，六棱柱的两在图示位置时，六棱柱的两底面为水平面，在平面图中反映底面为水平面，在平面图中反映实形。前后两侧棱面是正平面，实形。前后两侧棱面是正平面，其余四个侧棱面是铅垂面，它们其余四个侧棱面是铅垂面，它们的水平投影都积聚成直线，与六的水平投影都积聚成直线，与六边形的边重合。边形的边重合。点的可见性规定：点的可见性规定： 若点所在的平面的投若点所在的平面

3、的投影可见，点的投影也可见；影可见，点的投影也可见；若平面的投影积聚成直线，若平面的投影积聚成直线，点的投影也可见。点的投影也可见。 由于棱柱的表面都是由于棱柱的表面都是平面，所以在棱柱的表面平面，所以在棱柱的表面上取点与在平面上取点的上取点与在平面上取点的方法相同。方法相同。3） 棱柱表面上取点棱柱表面上取点 a a a (b ) b b s s 二、棱锥体二、棱锥体2）棱锥的三视图）棱锥的三视图 b a c abc a (c )b 1） 棱锥的组成棱锥的组成 由由一个底面和几个一个底面和几个侧棱面侧棱面组成。组成。侧棱线交侧棱线交于有限远的一点于有限远的一点锥锥顶顶。 棱锥处于图示位置时，

4、棱锥处于图示位置时，其底面其底面ABC是水平面，在是水平面，在平面图上反映实形。侧棱平面图上反映实形。侧棱面面SAC为侧垂面，另两个为侧垂面，另两个侧棱面为一般位置平。侧棱面为一般位置平。s ( ) s s 3）在棱锥面上取点）在棱锥面上取点 k k k b a c abc a (c )b s n n n 同样采用平面上取点法。同样采用平面上取点法。截切：截切： 用一个平面与立体相交，截去立体的一部分。用一个平面与立体相交，截去立体的一部分。 截平面截平面 截切物体的平面截切物体的平面截交线截交线 截平面与物体表截平面与物体表 面的交线面的交线截断面截断面 截截交线所围成的图形交线所围成的图形

5、讨论的问题：截交线的分析和作图讨论的问题：截交线的分析和作图SABCPIIIIII截断面截平面截交线8 82 2 平面与平面立体相交平面与平面立体相交 截交线的性质：截交线的性质：截交线截交线是截平面与立体表面的交集，是是截平面与立体表面的交集，是共共有线有线。截交线上的点、线，属于两者的共有。截交线上的点、线，属于两者的共有点、线。点、线。截交线截交线为为封闭的平面图形封闭的平面图形。 求截交线的问题，实质上就是求求截交线的问题，实质上就是求平面与平面与立体表面的共有点、线立体表面的共有点、线的问题。可用求线面的问题。可用求线面交点的方法，或用求两面交线的方法来解题。交点的方法，或用求两面交

6、线的方法来解题。解题步骤1.形体分析2.求六条棱线与截切平面 的交点3.整理图形，加深图线一、平面与棱柱相交一、平面与棱柱相交求六棱柱截切后的侧面投影求六棱柱截切后的侧面投影二、平面与棱锥相交二、平面与棱锥相交补全三棱锥截切后的水平投影和侧面投影补全三棱锥截切后的水平投影和侧面投影解题步骤1.形体分析2.求棱线与截切平面的交点3.整理图形，加深图线yyyy8 83 3 平面与曲面立体相交平面与曲面立体相交 平面与平面与平面立体平面立体相交，其截交线相交，其截交线为平面曲线为平面曲线。 一、平面与圆柱相交一、平面与圆柱相交 截平面与圆柱的截交线的形状取决于截截平面与圆柱的截交线的形状取决于截平面

7、与圆柱轴线的相对位置平面与圆柱轴线的相对位置垂直垂直圆圆椭圆椭圆平行平行矩形矩形倾斜倾斜P PV VP PP PV VP PP PV VP P截交线的已知投影？截交线的已知投影？求圆柱被截切后的侧面投影求圆柱被截切后的侧面投影找特殊点找特殊点补充中间点补充中间点光滑连接各点光滑连接各点分析轮廓素线的投影分析轮廓素线的投影截交线的侧面投截交线的侧面投影是什么形状？影是什么形状？截交线的截交线的空间形状？空间形状？ 找特殊点找特殊点找中间点找中间点光滑连接各点光滑连接各点分析轮廓素线的投影分析轮廓素线的投影求圆柱被截切后的侧面投影求圆柱被截切后的侧面投影 椭圆的长、椭圆的长、短轴随截平面与短轴随截

8、平面与圆柱轴线夹角的圆柱轴线夹角的变化而改变。变化而改变。4545什么情况下什么情况下投影为圆呢？投影为圆呢？截平面与圆柱截平面与圆柱轴线成轴线成4545时。时。 解题步骤1.图形分析2.绘制圆柱轮廓3.求截交线4.整理加深图线求圆柱开槽后的侧面投影求圆柱开槽后的侧面投影求圆柱截交线求圆柱截交线解题步骤1分析 截交线为矩形、椭圆及圆和直线的组合；截交线的水平投影为已知，侧面投影为矩形、椭圆和直线的组合；2求出截交线上的特殊点、 、 、；3求一般点；4 顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5整理轮廓线。3311 22445532514二、平面与圆锥相交二、平面与圆锥相交 根据截平面与圆锥

9、轴线的相根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截交线有五种形状。对位置不同，截交线有五种形状。过锥顶过锥顶三角形三角形P PV V圆圆P PV V= 90= 90P PV V椭圆椭圆抛物线和抛物线和直线段直线段P PV V=双曲线和双曲线和直线段直线段P PV V= 0= 0圆锥被正垂面截切，求截交圆锥被正垂面截切，求截交线，并完成三视图。线，并完成三视图。截交线截交线的空间的空间形状？形状？截交线截交线的投影的投影特性？特性？找特殊点找特殊点如何找椭圆另如何找椭圆另一根轴的端点？一根轴的端点？补充中间点补充中间点光滑连接各点光滑连接各点分析轮廓线的分析轮廓线的 投影投影圆锥被正垂面截切，求截交

10、圆锥被正垂面截切，求截交线，并完成三视图。线，并完成三视图。解题步骤1.图形分析2.求截交线上的特殊点3.求截交线上的一般点4.加深图线补全圆锥截切后的正面投影补全圆锥截切后的正面投影分析并想象出圆锥穿孔后的投影分析并想象出圆锥穿孔后的投影三、平面与圆球相交三、平面与圆球相交 平面与圆球相交，平面与圆球相交，截交线的形状都是圆截交线的形状都是圆，但根据截平面与投影面但根据截平面与投影面的相对位置不同，的相对位置不同，其其截截交线的投影可能为圆、交线的投影可能为圆、椭圆或积聚成一条直线椭圆或积聚成一条直线。求圆球截交线求圆球截交线解题步骤1分析 截平面为正垂面，截交线为圆；截交线的水平投影和侧面

11、投影均为椭圆；2求出截交线上的特殊点、 、 ；3求出若干个一般点A、B、C、D；4光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5整理轮廓线。1212343456567878abcdbacd2134567 8abcd求半球体截切后的俯视图和左视图求半球体截切后的俯视图和左视图水平面截圆球的截交线水平面截圆球的截交线的投影，在俯视图上为的投影，在俯视图上为部分圆弧，在侧视图上部分圆弧，在侧视图上积聚为直线。积聚为直线。两个侧平面截圆球的截两个侧平面截圆球的截交线的投影，在侧视图交线的投影，在侧视图上为部分圆弧，在俯视上为部分圆弧，在俯视图上积聚为直线。图上积聚为直线。求半球体截切后的俯视图和

12、左视图求半球体截切后的俯视图和左视图例：四棱锥被正垂面例：四棱锥被正垂面P P切割，求其截交线的投影切割，求其截交线的投影 。3 3 2 2 1 1 ( (4 4 ) )3 3 2 2 4 4 1 1 3 32 24 41) 1) 空间空间分析分析1 12) 2) 投影投影分析分析3) 3) 求求截交线截交线4) 4) 补全补全棱线的投影棱线的投影检查检查: :尤其注意检查尤其注意检查截交线投影的截交线投影的相仿性相仿性s ss s s s 我我们们采采用用的的是是哪哪种种解解题题方方法？法？线面交点法线面交点法截平面与体的截平面与体的几个棱面几个棱面相交相交？截交线的截交线的形状形状？四边形四边形例：已知立体的例：已知立体的V V、W W投影，试求其投影，试求其H H投影。投影。单击立体模型区可观看三维动画单击立体模型区可观看三维动画 4例：求例：求P P、Q Q 两平面与三棱锥截交线的投影两平面