[理学]§11 向量与矩阵的定义及运算ppt课件

1、第一章第一章 向量与矩阵的根本运算向量与矩阵的根本运算21 向量与矩阵的定义及运算向量与矩阵的定义及运算1212(,1,)(1,2, ).nninnina aaaaaain 由由 个个数数构构成成的的有有序序数数组组，记记作作称称为为；若若记记作作则则称称为为。并并称称数数维维行行向向量量维维列列向向为为 的的定定量量第第 个个分分量量义义23(),1 3 8 ;(10,23,45,2);nnvector nxyzn 维维行行向向量量和和 维维列列向向量量都都可可称称为为维维向向量量常常用用小小写写黑黑体体希希腊腊字字母母 ， ，维维向向量量例例表表示示。：（ ， ， ）34121211221

2、12212(,),(,)(1),1,2, ,(2)(,)(,)2(3)(,)(nniinnnnnna aab bbab inab ababab ababkka kakakkk 设设两两个个 维维向向量量 如如果果它它们们对对应应的的分分量量分分别别相相等等，即即则则称称定定义义相相等等加加法法和和向向量量 与与，记记作作 。：称称向向量量为为与与 的的，记记作作 。：设设 为为数数，称称向向量量为为与与 的的，记记作作数数量量乘乘法法数数乘乘12,).na kaka45(4)(0,0,0)0()分分量量全全为为零零的的向向量量称称为为，记记作作应应注注意意区区别别数数零零和和零零向向量量零零向

3、向量量 ；12(5)(,).naaa称称为为 的的，记记作作向向量量的的加加法法以以及及数数与与向向量量的的数数乘乘统统称称为为向向量量的的负负向向量量线线性性运运算算。56;)()(;)();()()(,040321 ；下的运算规律：下的运算规律：向量的线性运算满足如向量的线性运算满足如，及任意的数及任意的数，维向量维向量对任意的对任意的lkn67(5)1;(6) ()() ;(7) ();(8)();k lklkkkklkl 1122().(,).nnab abab ：在在上上面面的的八八条条运运算算规规律律中中只只利利用用了了向向量量的的加加法法和和数数乘乘。但但是是，利利用用负负向向量

4、量的的概概念念，依依然然可可以以定定义义向向量量的的运运算算： 直直观观地地说说就就是是对对应应的的分分量量相相减减， 注注意意减减法法78。或或则则若若，的的性性质质：显显然然，向向量量还还满满足足以以下下00000100 ,;)(kkk89123123(1, 1,2),(1,2,0),(1,0, 3),212,1 求求例例。(1, 1,2)2(1,2,0)12(1,0, 3)(1, 1,2)(2,4,0)(12,0, 36)(1212, 140,2036)(11, 5, 34). 解解：910112233123123kkk 线线性性表表题题中中的的 可可以以表表示示为为的的形形式式，称称可

5、可由由向向量量，或或称称 是是，的的一一个个出出线线性性组组合合。3123131.iiiiik 为为了了简简化化记记号号，可可以以用用连连加加号号表表示示向向量量之之和和。可可简简记记为为因因此此题题中中的的向向量量运运算算可可表表为为10111212(,)(1,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1)2nnnk kk 证证明明：任任意意 维维向向量量是是向向量量组组的的例例一一个个线线性性组组合合。1212121(,)(,0,0)(0,0,0)(0,0,)(1,0,0)(0,1,0,0)(0,0,1),.nnnniiik kkkkkkkkk ：由由向向量量的的线线性性运运算算，得得也也即

6、即是是明明证证12 nnn n，称称， ，为为 维维线线性性空空间间R R 的的. .基基本本向向量量组组L L1112 + 2 1 5 2 0 - 3 0 11 4 . 已已 知知（，） ，（，） ， 求求补补，：例 2 + - 23 10 51 21 04 （） （）（，）（ 5 5 , , 1 1 , , 6 6 , , 1 1 , , 4 4 ) ) ，解2 + - 23 10 51 21 04 （）（）（，）= =（ - -1 1， 1 1， 4 4， 3 3， - -4 4） , ,1213 1(2 )21111151614)222222.5, 0.5, 3,0.5, 2, （，（

7、） , , 1( 2 )(0 .5 , 0 .5 , 2 , 1 .5 ,2 ).21314二二 矩阵矩阵01,().3PCPa bPPnumber field设设 是是复复数数集集 的的一一个个子子集集合合，其其中中包包含含与与 。如如果果 中中的的任任意意两两个个数数（这这两两个个数数也也可可以以定定义义数数相相同同）的的和和、差差、积积、除除（除除数数不不为为零零）仍仍在在 中中，则则称称 是是一一个个域域QRCZ：有有理理数数集集 、实实数数集集 、复复数数集集 都都是是数数域域，分分别别称称为为有有理理数数域域、实实数数域域、复复数数域域。而而整整数数集集不不是是数数域域。我我们们主

8、主要要用用到到的的是是实实数数域域和和例例子子复复数数域域。1415111212122212()(),(1,2, ;1,2,4)()nnsssns nij s nijPs nsnaaaaaaaaaPs nmatrixA AAaa is jnAijentry 数数域域 中中个个数数排排成成的的 行行 列列的的长长方方表表，称称为为数数域域 上上的的，通通常常用用一一个个大大写写黑黑体体字字母母如如 或或表表示示，有有时时也也记记作作其其中中称称为为矩矩阵阵 的的第第行行第第定定义义列列素素。矩矩阵阵元元L LL LM MM MM MM ML LL LL L15161112121222121122

9、,11nnnnnnnnsnaaaaaaaaaaaaAnnnnnn L LL LM MM MM MM ML LL L阶阶矩矩特特别别地地，当当时时，称称为为或或，为为 的的主主对对角角线线上上的的元元素素。 维维行行向向量量可可视视为为矩矩阵阵， 维维列列向向量量阵阵阶阶方方可可视视为为阵阵矩矩阵阵。1617矩阵的线性运算矩阵的线性运算()()()()(1),(1,2, ;1,2, )5,.ijs nijs nijijAaBbPsnabis jnABAB LLLL设设和和是是 数数域域 上上两两个个矩矩阵阵，则则如如果果它它们们对对应应的的元元素素分分别别相相等等，即即则则称称 与与，记记作作定

10、定义义同同型型相相等等1718111112121121212222221122(2)().nnnnijijs nsssssnsnababababababababababABAB ：称称矩矩阵阵为为与与的的，记记作作加加法法和和L LL LM MM MM MM ML L111212122212(3).nnijsnsssnkPkakakakakakakakakakakAkA ： 设设为为 数数 域域中中 的的 数数 ， 称称 矩矩 阵阵（为为 数数与与的的， 记记乘乘 法法乘乘作作数数 量量数数L LL LM MM MM MM ML L1819(4)0sn 称称元元素素全全为为零零的的矩矩阵阵为为

11、矩矩阵阵，记记作作零零。111212122212(5)()nnijs nsssnaaaaaaaaaaAA 称称矩矩阵阵为为负负矩矩，记记阵阵的的作作。L LL LMMMMMMMML L1920矩阵的线性运算性质矩阵的线性运算性质;1 )5(; 0)()4(;0)3();()(2()1(AAAAAACBACBAABBA ；2021.,)(;,)( ,)(;)(;)()(;)()()(00010001009876 AkkAkAAAlAkAAlkkBkABAkAkllAk或者或者，则，则若若21223()2() ,236324,.1351354ABCACBCABC 设设矩矩阵阵、满满足足等等式式其其

12、中中求求例例解解 由等式可得由等式可得 523CBA2 32 22 43 23 3 3 62 1 2 ( 3) 2 53 ( 1) 3 3 3 5 0510,5155 012.131C22232 312(),102 3(1,2;1,2,3)0100005ijijAaEijijEA 设设表表示示第第 行行第第 列列元元素素为为 ，其其余余元元素素为为 的的矩矩阵阵，如如等等，则则例例可可表表示示为为：111112121313212122222323332311221111()();jjjjijijjjijAa Ea Ea Ea Ea Ea Ea Ea Ea E 11112121121222221

13、31323232223211223311111()()().iiiiiiijijiiijiAa Ea Ea Ea Ea Ea Ea Ea Ea Ea E 或或2324三、三、 矩阵的乘法矩阵的乘法1.引例引例:1212,;,设设是是三三组组变变量量123x ,x ,x ; yyzz12,123x ,x ,xyy与与的的关关系系如如下下： 32322212123132121111xaxaxayxaxaxay完全由系数构成的矩阵完全由系数构成的矩阵A A决定决定. .111213212223aaaAaaa 12,123x ,x ,xz z与与的的关关系系为为：1111122221122233113

14、22xb zbzxb zbzxb zbz 完全由系数构成完全由系数构成的矩阵的矩阵B B决定决定111221223132bbBbbbb 2425通过代换变量可得通过代换变量可得的的关关系系：与与2121,zzyy11111 112 21221 122 21331 132 222111 112 22221 122 22331 132 2()()()()()()yab zb zab zb zab zb zyab zb zab zb zab zb z 111 1112 2113 31111 1212 2213 312221 1122 2123 31121 1222 2223 312()()()()y

15、a ba ba bza ba ba bzya ba ba bza ba ba bz 其系数矩阵为其系数矩阵为11 1112 2113 3111 1212 2213 322 221 1122 2123 3121 1222 2223 32( )ija ba ba ba ba ba bCca ba ba ba ba ba b 矩阵矩阵C C就定义为矩阵就定义为矩阵A A与与B B乘积乘积为，其中为，其中31, ,1, 2.ijikkjkcabij 25261 1221()()(1,2, ;1,2,)(6.).ijs nijn mijijijijinnjnikkjkijs mAasnBbnmABcAi

16、Bjca ba ba ba bis jmCcABCAB L LLLLL设设是是一一个个矩矩阵阵，是是一一个个矩矩阵阵， 的的列列数数等等于于 的的行行数数。用用表表示示 的的第第 行行与与 的的第第 列列的的对对应应分分量量乘乘积积之之和和，即即称称矩矩阵阵为为矩矩阵阵 与与，记记为为乘乘积积的的定定义义26271 12 21212(,)(1,2, ;1,2,).ijijijin njjjiiinnjca ba ba bbbaaabAiBjis jm L LL LM ML LL L，由由矩矩阵阵乘乘法法的的定定义义的的第第 行行乘乘 的的第第 列列故故可可以以把把乘乘法法规规则则总总结结为为：

17、需需要要注注意意到到左左行行乘乘右右列列。2728注意注意1 1 只有当第一个矩阵的列数等只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘乘. . 106861985123321例如例如不存在不存在. . 2 2 乘积矩阵乘积矩阵C C的行数左的行数左矩阵的行矩阵的行数，数，乘积矩阵乘积矩阵C C的的列数右矩阵的列数列数右矩阵的列数. .2829设设 415003112101A 121113121430B例例6 62930故故 121113121430415003112101ABC. 解解,)(43 ijaA,34)( ijbB3 3().ij

18、CABc 5 671026 2 17 1030311212,(),7.nnaaABbbbAB BAaL LM M例例设设计计算算1 11212 122212112211 1(1 1).nnnnnnnnniiiABBAABnnBAa ba ba ba ba ba bABa ba ba bBAb ab ab aba L LL LMMMMMMMML LL L：根根据据乘乘法法的的定定义义，与与都都有有意意义义。为为矩矩阵阵，为为矩矩阵阵矩矩阵阵可可等等同同于于数数 。解解3132112210,112210004400,.0044008ABCABBAAC则则例例设设(1),(2)(3)ABACBCAB

19、BA 仔仔细细观观察察，我我们们发发现现：，但但因因此此矩矩阵阵乘乘法法不不满满足足消消去去律律；，因因此此矩矩阵阵乘乘法法不不满满足足交交换换律律；两两个个非非零零矩矩阵阵的的乘乘积积可可以以为为零零。3233矩阵的乘法性质矩阵的乘法性质(1)()()(),(),()()()()( , )() ,() ( , ) () .:ijs nij n mij m pititAB CA BCAaBbCcAB CA BCspAB Ci tAB CA BCi tA BC ：设设，则则乘乘积积与与都都有有意意义义，且且都都为为矩矩阵阵。分分别别记记矩矩阵阵的的位位置置上上的的元元素素为为的的位位置置上上的的

20、元元素素为为由由乘乘合合律律证证明明法法定定义义结结33341212111111111() ()(,()()ittnnntijjijjijjmjjjmtmnijjkktkjmnijjkktkjnmijjkktjkAB CABiCtcca ba ba bca bca b ca b c L LM M的的第第 行行的的第第 列列）加加乘乘分分配配律律双双重重连连加加号号交交换换次次序序3435.)()(),;,()()()()(CABBCAptsiBCAtBCiAcbcbcbaaacbaitmkktnkmkktkmkktkiniimkktjknjij定义，有定义，有所以，根据矩阵相等的所以，根据矩阵

21、相等的列列的第的第行行的第的第定义定义乘法乘法矩阵矩阵加乘分配律加乘分配律21211121121113536(2) ()()(),(3): ();:();(4)00,00;(5),.q ss nq ns nn ps pss ns nnk ABkA BA kB kA BCABACAB CACBCAAE AA AEA 是是一一个个数数；左左分分配配律律右右分分配配律律3637311000 10 (00 1);nnnEnEnnEEEI 特特别别地地，和和所所有有 阶阶方方阵阵可可交交换换。其其中中表表示示主主对对角角线线上上的的元元素素为为，其其余余元元素素为为零零的的 阶阶方方阵阵，称称为为 阶阶

22、单单位位矩矩阵阵。如如在在不不引引起起混混淆淆的的情情况况下下，简简记记为为 和和37380(6),(),()( ,),().knkklk lklklkkkAnAAEAAAA kA AAAAk lA BABBAA BA BABA B L L144 4244 4 3144 4244 4 3个个设设 为为 阶阶方方阵阵，由由乘乘法法结结合合律律，可可定定义义的的。规规定定为为自自然然数数指指数数律律为为非非负负整整数数成成立立。：当当同同阶阶方方阵阵满满足足时时，则则称称。当当同同阶阶方方阵阵不不可可交交换换时时，乘乘幂幂注注意意般般可可交交换换一一3839一些特殊矩阵的乘法一些特殊矩阵的乘法12

23、12()0,( ,1,2,)000000(,).ijijnnAaaiji jnAaaadiag a aa L LL LL LMMMMMMMML LL L对对角角阵阵对对角角形形矩矩阵阵对对角角：若若方方阵阵的的元元素素，则则称称 为为阵阵，简简称称为为。如如：记记为为3940112200000000,0000.nnababABabCAB L LL LL LL LM MM MM MM MM MM MM MM ML LL L设设计计算算11( ,1, 2,)0;0,0ijnikkjkikkjnijikkjiiijkiiiicAiBjabijnikakjbijcaba ba bijC L L：的的

24、第第 行行 与与的的 第第 列列 相相 乘乘根根 据据 对对 角角 矩矩 阵阵 的的 定定 义义 ： 当当时时 ，当当时时 ，所所 以以所所 以以 ， 矩矩 阵阵也也 是是解解一一 个个 对对 角角 矩矩 阵阵 。4041(),(),.ijnijnAanDdnBAD CDA 设设任任意意 阶阶方方阵阵为为 阶阶对对角角阵阵，求求111)( ,1,2, )2)( ,1,2, )nijikkjijjjknijikkjiiijkba da di jncd ad a i jn L LL L：解解4142nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnndadadadadadadadadaCdadadad

25、adadadadadaB212222222222111111121111222111222221121122121111;4243()0,1,2, ,123012005ijnijAaaiji jnA L L：如如果果的的元元素素则则称称 为为上上三三角角形形矩矩阵阵，简简称称为为上上三三角角矩矩阵阵。如如：上上三三角角矩矩阵阵()0,1,2, ,100210011ijnijAaaiji jnA L L：如如果果的的元元素素则则称称 为为下下三三角角形形矩矩阵阵，简简称称为为下下三三角角矩矩阵阵。如如：下下三三角角矩矩阵阵4344() ,().ijnijnAaBbCAB 设设为为上上三三角角矩矩

26、阵阵，求求1111jninijikkjikkjikkjikkjkkk ikjjikkjk iijca ba ba ba ba b ：当当时时，解解111000jnnijikkjikkjikkjkkkjijca ba ba b 当当时时，1111niniiikkiikkiiiiiikkiiiiikkk iijca ba ba ba ba b 当当时时，4445120012,.001AAX 设设求求所所有有与与可可交交换换的的矩矩阵阵例例9 9解解NoImage111213212223313233,xxxXxxxAXXAxxx 设设满满足足于于是是法一法一 直接用矩阵乘法和相等得到方程组，然后求解

27、。直接用矩阵乘法和相等得到方程组，然后求解。法二法二 利用利用A A的特殊性，可改写的特殊性，可改写A A为为100020010002,001000AEB 4546那么由那么由E+BE+BX=XX=XE+BE+B当切仅当当切仅当X+BX=X+XB,X+BX=X+XB,于是于是AX=XAAX=XA当且仅当当且仅当XB=BX,XB=BX,从而有从而有212223111231323321223132222022222022000022xxxxxxxxxxxx 由矩阵的相等的得到线性方程组，解之得由矩阵的相等的得到线性方程组，解之得1112131112111213110,.00 xxxXxxxxxx

28、其其 中中，为为 任任 意意 数数4647)1(22112222212111212111 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa例例10：线性方程组的矩阵表示式线性方程组的矩阵表示式 mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211 nxxxX2112mbbbb 可以表示为可以表示为)1(.AXb 4748解：解：2()()()ABABAB ()()A ABB AB 22AABBAB 22ABABBA 222().AABBABBA 因因为为222.AABBABBA 2 2事事 实实 上上 ，( (A A+ +B B) )22()().ABABABABBA 例例1111.)(.2)()1(22222BABABABABABA ?4849例例12 设设2( )362Pf xxx 是是数数域域上上的的多多项项式式，A A是是P P上的上的n n阶方阵，那么阶方阵，那么f fx x在在x=Ax=A的值的值2()362f AAAE 称为称为A A的一个的一个矩阵多项式矩阵多项式。一般地一般地, A的矩阵多项式之间可交换的矩阵多项式之间可交换.,h(x),g(x)设多项式设多项式( ),( )( ) ( ),l xh(x)g(x) m xh x g x (),()