第四讲 黄金分割及数学的真、善、美

1、免师教育硕士课程免师教育硕士课程数学文化与数学史数学文化与数学史1第四讲第四讲 黄金分割及数学的真、善、美黄金分割及数学的真、善、美免师教育硕士课程免师教育硕士课程数学文化与数学史数学文化与数学史2提纲：提纲：1、引 言2、黄金分割的简单性质3、正五边形中的黄金分割4、黄金分割与斐波那契数列5、黄金分割与优选法6、余音：数学的真、善、美免师教育硕士课程免师教育硕士课程数学文化与数学史数学文化与数学史3艺术与生活中黄金比的美艺术与生活中黄金比的美免师教育硕士课程免师教育硕士课程数学文化与数学史数学文化与数学史4一、引言一、引言黄金分割是具有悠久历史同时却永葆青春的数学珍品。 “几何学有两大财富：

2、一个是毕达哥拉斯定理，另一个是按照中外比划分一个线段。第一大财富可称得上是黄金定理，而第二大财富则可称之为珍珠定理。”德国天文学家 开普勒免师教育硕士课程免师教育硕士课程数学文化与数学史数学文化与数学史5几何原本几何原本第二篇问题第二篇问题11：分割一已给直线，使整段与其中一分段所成矩：分割一已给直线，使整段与其中一分段所成矩形等于另一分段上的正方形。形等于另一分段上的正方形。 AB C D E F G H xx免师教育硕士课程免师教育硕士课程数学文化与数学史数学文化与数学史6几何原本几何原本第六篇中的定义：第六篇中的定义：分一线段为二线段，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被

3、分为中外比中外比（extreme and mean ratio）。需指出的是：黄金分割这一名称只是在它十分出名之后，即到19世纪初期才出现的。免师教育硕士课程免师教育硕士课程数学文化与数学史数学文化与数学史7二、黄金分割的简单性质二、黄金分割的简单性质ACBEF1上图上图E点位线段点位线段AC的黄金分割点的黄金分割点0.5黄金比的几何画法黄金比的几何画法免师教育硕士课程免师教育硕士课程数学文化与数学史数学文化与数学史8黄金分割点（比）黄金分割点（比）A B C1-1101-2251-618. 021-5解得解得 其正根为其正根为 即即 有有 免师教育硕士课程免师教育硕士课程数学文化与数学史数学

4、文化与数学史9黄金比的连分数表示：1111111111免师教育硕士课程免师教育硕士课程数学文化与数学史数学文化与数学史10黄金比的根式表示：黄金比的根式表示： 由由 -1-1-1-1-1还可得 免师教育硕士课程免师教育硕士课程数学文化与数学史数学文化与数学史11三、正五边形中的黄金分割三、正五边形中的黄金分割B C D E F G H I J A免师教育硕士课程免师教育硕士课程数学文化与数学史数学文化与数学史12命题命题3.1：正五边形边长与对角线之比为黄金比：正五边形边长与对角线之比为黄金比B C D E F G H I J A免师教育硕士课程免师教育硕士课程数学文化与数学史数学文化与数学史

5、13四、黄金分割与斐波那契数列四、黄金分割与斐波那契数列免师教育硕士课程免师教育硕士课程数学文化与数学史数学文化与数学史14斐波那契兔子问题：斐波那契兔子问题： 兔子出生以后两个月就能生小兔，若每次不多不少恰好生一对（一雌一雄），且每月生一次。假如养了初生的小兔一对，则一年以后共可有多少对兔子（如果生下来的小兔都不死的话）？免师教育硕士课程免师教育硕士课程数学文化与数学史数学文化与数学史15用表示一对小兔子，用表示一对大兔子 。且用下图a表示一对小兔子一月后长成一对大兔子，图b表示一对大兔子一月生一对小兔子。(a) (b) 免师教育硕士课程免师教育硕士课程数学文化与数学史数学文化与数学史16

6、免师教育硕士课程免师教育硕士课程数学文化与数学史数学文化与数学史17命题命题4、1：当：当即nnFFn1时，)(11111111111nFFnnn个1其中 为斐波那契数列的第n项。nF免师教育硕士课程免师教育硕士课程数学文化与数学史数学文化与数学史18斐波那契数列的通项公式斐波那契数列的通项公式 ：) 1()251()251(51nFnnn免师教育硕士课程免师教育硕士课程数学文化与数学史数学文化与数学史19斐波那契数列的一些有趣性质斐波那契数列的一些有趣性质:命题4.4：成立命题4.3：成立命题4.5：成立命题4.2：成立1221nnFFFF11224221231nnNnFFFFFFFF及12

7、2221nnnFFFFF为奇数。为偶数，nFnFFFnnnn, 1, 121212命题4.6：成立为奇数。为偶数，nFnFFFFFFFnnnn, 1,2213221免师教育硕士课程免师教育硕士课程数学文化与数学史数学文化与数学史20命题命题4.6的一个简单应用：的一个简单应用：七个依次的矩形之和等于一个大的正方形。七个依次的矩形之和等于一个大的正方形。 1321 813 58 352312 11免师教育硕士课程免师教育硕士课程数学文化与数学史数学文化与数学史21爬楼梯问题：爬楼梯问题：上楼梯时，从楼梯外只能进入第上楼梯时，从楼梯外只能进入第1梯，跨入楼梯后若允许每梯，跨入楼梯后若允许每次跨一梯

8、或两梯，问：可以用多少种方法，跨到第次跨一梯或两梯，问：可以用多少种方法，跨到第n梯？梯？ 2 3 4 5 1 n-2 n-1 n 免师教育硕士课程免师教育硕士课程数学文化与数学史数学文化与数学史22蜜蜂进蜂房问题：蜜蜂进蜂房问题：一只蜜蜂从蜂房一只蜜蜂从蜂房A出发，想爬到第出发，想爬到第1,2,3，n号蜂号蜂房，但只允许它自左向右（不许反向倒走），问它爬到第房，但只允许它自左向右（不许反向倒走），问它爬到第n号蜂房的路线号蜂房的路线数可以有多少条？数可以有多少条？1436257An免师教育硕士课程免师教育硕士课程数学文化与数学史数学文化与数学史23推广的推广的斐波那契数列：卢卡斯数列斐波那契

9、数列：卢卡斯数列 从任何两个前小后大的正整数开始，往后的每一个数是该数之前两个数的和，由此构成的无穷数列称为推广的斐波那契数列。 1,3,4,7,11,18，29，现称为卢卡斯数列。它与黄金分割同样有密切的联系。免师教育硕士课程免师教育硕士课程数学文化与数学史数学文化与数学史24五、黄金分割点与优选法五、黄金分割点与优选法中国数学家 华罗庚免师教育硕士课程免师教育硕士课程数学文化与数学史数学文化与数学史25 假设在区间【0,1】上有一个单峰函数，我们要求其达到极大值的点。可以通过在区间上不断取点进行比较后得到。 在区间上取两个点的原则是：这两个点应该关于区间的中点对称配置，同时，其中的任何一个

10、点应同时是缩小区间中的一个这样的点。免师教育硕士课程免师教育硕士课程数学文化与数学史数学文化与数学史26用优选法在一个区间中所选的两个点，就是此区间上的左、右黄金分割点。换言之，优选法是基于黄金分割的优选法。黄金分割点具有再生性。ABOC/C/C免师教育硕士课程免师教育硕士课程数学文化与数学史数学文化与数学史27余余 音：数学的真、善、美音：数学的真、善、美思 索：黄金分割是美的，同时亦是有用的（善的），它的美和善来自何方？黄金分割的美和善来自于它的真。即它是本存在于自然界与人类社会许多事物之间的确定的数量关系。当人们通过深入的观察，把这种数量关系抽象出来后，就成为了具有普遍联系性的知识和有用的一种思想方法。而美的东西与有用的东西之间常常是有联系的。因此，黄金分割正是集真、善、美与一体的数学艺术品。免师教育硕士课程免师教育硕士课程数学文化与数学史数学文化与数学史28 数学教学应当是在激起学生的学习兴趣后，在