第一次26上刚体的定轴转动

1、大学物大学物理学理学（三版）（三版）4-14-1刚体的定轴转动刚体的定轴转动1大学物大学物理学理学（三版）（三版）4-14-1刚体的定轴转动刚体的定轴转动22、刚体的运动、刚体的运动刚体模型是为简化问题引进的，是理想化的刚体模型是为简化问题引进的，是理想化的力学模型，绝对的刚体是不存在的。力学模型，绝对的刚体是不存在的。说明：说明：一一 刚体的运动刚体的运动 无论无论在多大的外力作用下，形状和大小都保持不在多大的外力作用下，形状和大小都保持不变的物体变的物体1、刚体、刚体 ( ( 任意两质点间距离保持不变的特殊质任意两质点间距离保持不变的特殊质点组。点组。) )平动、转动平动、转动大学物大学物

2、理学理学（三版）（三版）4-14-1刚体的定轴转动刚体的定轴转动3 如果刚体内任何一条直如果刚体内任何一条直线，在运动中始终保持它的线，在运动中始终保持它的方向不变，方向不变，（1）平动）平动 特点特点：各点运动状态一样，如：各点运动状态一样，如： 等都相同。等都相同。avr、 或者说当刚体运或者说当刚体运动时刚体中所有点的运动轨动时刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同，这种运迹都保持完全相同，这种运动称为平动动称为平动 。 刚体平动刚体平动 质点运动质点运动大学物大学物理学理学（三版）（三版）4-14-1刚体的定轴转动刚体的定轴转动4（2）转动）转动 刚体上的各个质点在刚体运动中都绕刚体上的

3、各个质点在刚体运动中都绕同一直线同一直线作圆作圆周运动，这种运动称为周运动，这种运动称为转动转动，该直线称为，该直线称为转轴转轴。 转动又转动又分定轴转动和非定轴转动分定轴转动和非定轴转动 .大学物大学物理学理学（三版）（三版）4-14-1刚体的定轴转动刚体的定轴转动51）每一质点均作圆周运动，圆面为垂直于转轴的转每一质点均作圆周运动，圆面为垂直于转轴的转动平面；动平面；定轴转动特点定轴转动特点x转动平面转动平面参考方向参考方向OP O转转 轴轴 2）任一质点运动任一质点运动 均相同，但均相同，但 不一定不一定相同；相同；,a,vr大学物大学物理学理学（三版）（三版）4-14-1刚体的定轴转动

4、刚体的定轴转动6（3）刚体一般运动）刚体一般运动+的合成的合成平动平动大学物大学物理学理学（三版）（三版）4-14-1刚体的定轴转动刚体的定轴转动7角速度矢量规定：在转轴上画一有向线段，角速度矢量规定：在转轴上画一有向线段，使其长度按一定比例代表角速度的大小使其长度按一定比例代表角速度的大小线速度与角速度之间的关系：线速度与角速度之间的关系：x角加速度矢量：角加速度矢量：dtdrv ,他的方他的方向与刚体转动方向之间的关系按右手螺旋定则向与刚体转动方向之间的关系按右手螺旋定则来确定来确定大学物大学物理学理学（三版）（三版）4-14-1刚体的定轴转动刚体的定轴转动8 2 匀变速转动公式匀变速转动

5、公式 刚体刚体绕绕定轴作匀变速转动定轴作匀变速转动质点质点匀变速直线运动匀变速直线运动at0vv22100attxxv)(20202xxa vvt0)(2020222100tt 当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做匀变速转动匀变速转动 . 刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比大学物大学物理学理学（三版）（三版）4-14-1刚体的定轴转动刚体的定轴转动9飞轮飞轮 30 s 内转过的角度内转过的角度rad75)6(2)5(2220220srad63050t 例例 一飞轮半径为一飞轮半径为 0.2m、 转

6、速为转速为150rmin-1， 因因受制动而均匀减速，经受制动而均匀减速，经 30 s 停止转动停止转动 . 试试求求:（1）角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；）角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；解解（1）,srad510. 0 t = 30 s 时，时，设设.飞轮做匀减速运动飞轮做匀减速运动00时，时， t = 0 s 转过的圈数转过的圈数r5 .372N大学物大学物理学理学（三版）（三版）4-14-1刚体的定轴转动刚体的定轴转动1010srad4)665(t2tsm105. 0)6(2 . 0ra222nsm6 .31)4(2 . 0ra（2）制动开始后）制动开始后 t = 6 s 时

7、飞轮的角速度；时飞轮的角速度； （3）t = 6 s 时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度度和法向加速度 .解解:m2 .0,srad510r已知：已知： . 求：求：2sm5 . 242 . 0rv解解:大学物大学物理学理学（三版）（三版）4-14-1刚体的定轴转动刚体的定轴转动11zOFP*二二 力矩、转动定律力矩、转动定律FdM 刚体绕刚体绕 O z 轴旋转轴旋转 , 力力 作用在刚体上点作用在刚体上点 P , 且在转动且在转动平面内平面内, FFrM 对转轴对转轴z 的力矩大小的力矩大小 F sinrd rsinFM rdM1、力矩、力矩1

8、、力矩、力矩 作用线和转轴之间的作用线和转轴之间的垂直距离为的垂直距离为的d ，d为力臂。为力臂。哪个力容易将哪个力容易将门关闭或打开？门关闭或打开？3F1F2F大学物大学物理学理学（三版）（三版）4-14-1刚体的定轴转动刚体的定轴转动12 其中其中 对转轴的力对转轴的力矩为零，故矩为零，故 对转轴的对转轴的力矩力矩/FF讨论讨论 FrM sinrFMz （1）若力若力 不在转动平面内不在转动平面内FPP*OOrF FFF/FF ，把力分解为平，把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量行和垂直于转轴方向的两个分量 M大学物大学物理学理学（三版）（三版）4-14-1刚体的定轴转动刚体的定轴转动

9、13O（2）合力矩等于各分力力矩的矢量和合力矩等于各分力力矩的矢量和 321MMMM （3）刚体内刚体内作用力作用力和和反作用力反作用力的力矩的力矩jiijMM jririjijFjiFdijMjiM互相抵消互相抵消大学物大学物理学理学（三版）（三版）4-14-1刚体的定轴转动刚体的定轴转动14有心力的力矩为零有心力的力矩为零F （4）当当 不等于零时，力矩为零的两种情况不等于零时，力矩为零的两种情况FA）r=0B）力的方向沿矢径的方向（）力的方向沿矢径的方向（ ）0sin rsinFM 大学物大学物理学理学（三版）（三版）4-14-1刚体的定轴转动刚体的定轴转动152、转动定律、转动定律转动

10、刚体的第一定律转动刚体的第一定律 一个可绕固定轴转动的刚体，当它所受的合外力矩一个可绕固定轴转动的刚体，当它所受的合外力矩（对该轴而言）等于零时，它将保持原有的角速度不变（对该轴而言）等于零时，它将保持原有的角速度不变（原来静止的继续静止，原在转动则作匀角速转动）（原来静止的继续静止，原在转动则作匀角速转动） 一个可绕固定轴转动的刚体，当它所受的合外力矩一个可绕固定轴转动的刚体，当它所受的合外力矩（对该轴而言）不等于零时，它将获得角速度，角速度（对该轴而言）不等于零时，它将获得角速度，角速度的方向与合外力矩的方向相同；角加速度的方向与合外力矩的方向相同；角加速度的量值和它所的量值和它所受的合外

11、力矩受的合外力矩M的量值成正比，并与它的转动惯量的量值成正比，并与它的转动惯量J成反成反比。比。转动刚体的第二定律转动刚体的第二定律 JM JM kJM 或或大学物大学物理学理学（三版）（三版）4-14-1刚体的定轴转动刚体的定轴转动16应用牛顿第二定律，可得：应用牛顿第二定律，可得：iiiiamfF 上式沿着圆周轨道径向和切向分解：上式沿着圆周轨道径向和切向分解：iisinF 转动定律的推导转动定律的推导O-外力外力iFiF- -内力内力ififiiim对刚体中任一质量元对刚体中任一质量元imirO iirm iicosF iicosf iniam iisinf iiam 大学物大学物理学理

12、学（三版）（三版）4-14-1刚体的定轴转动刚体的定轴转动17用用ri乘以上式左右两端：乘以上式左右两端： 2iiiiiiiirmsinrfsinrF 设刚体由设刚体由N 个点构成，对每个质点可写出上述个点构成，对每个质点可写出上述类似方程，将类似方程，将N 个方程左右相加，得：个方程左右相加，得： N1i2iiN1iiiiN1iiii)rm(sinrfsinrF 根据内力性质根据内力性质( (每一对内力等值、反向、共每一对内力等值、反向、共线线, ,对同一轴力矩之代数和为零对同一轴力矩之代数和为零) )，得：，得：01 Niiiisinrf iiiiiiiirmamsinfsinF 大学物大

13、学物理学理学（三版）（三版）4-14-1刚体的定轴转动刚体的定轴转动18 N1i2iiN1iiii)rm(sinrF得到：得到： 右端求和符号内的量与转动状态无关，称为刚右端求和符号内的量与转动状态无关，称为刚体转动惯量，以体转动惯量，以J 表示。表示。 JM 刚体定轴刚体定轴转动定律转动定律 N1i2ii)rm(J 大学物大学物理学理学（三版）（三版）4-14-1刚体的定轴转动刚体的定轴转动19讨论：讨论： 小的量度；小的量度；转动惯量是转动惯性大转动惯量是转动惯性大（3） M 一定，一定，J （1） =常量；常量；0M， 这就是刚体转动第一定律这就是刚体转动第一定律.（4）M=J是瞬时关系

14、式子是瞬时关系式子.tJJMdd（2）转动定律）转动定律M=J是刚体转动规律基本的方程。是刚体转动规律基本的方程。 其在定轴转动中的地位与牛顿定律在质点运动其在定轴转动中的地位与牛顿定律在质点运动 中地位相当。中地位相当。大学物大学物理学理学（三版）（三版）4-14-1刚体的定轴转动刚体的定轴转动20 转动惯量物理转动惯量物理意义意义：转动惯性的量度：转动惯性的量度. 质量连续分布刚体的转动惯量质量连续分布刚体的转动惯量mrrmJiiid22质量元质量元:md 转动惯量的大小取决于刚体的密度、几何转动惯量的大小取决于刚体的密度、几何形状及转轴的位置形状及转轴的位置.注意注意 N1i2ii)rm

15、(J 转动惯量转动惯量大学物大学物理学理学（三版）（三版）4-14-1刚体的定轴转动刚体的定轴转动21lO Ordr 设棒的线密度为设棒的线密度为 ，取一距离转轴，取一距离转轴 OO 为为 处的处的质量元质量元 rrmddrrmrJddd22 例例2.18 一质量为一质量为 m 、长为、长为 l 的均匀细长棒，与棒的均匀细长棒，与棒垂直的轴的位置不同，转动惯量的变化垂直的轴的位置不同，转动惯量的变化 .rd2l2lO O20231dmlrrJl转轴过端点垂直于棒转轴过端点垂直于棒22/02121d2mlrrJl转轴过中心垂直于棒转轴过中心垂直于棒大学物大学物理学理学（三版）（三版）4-14-1

16、刚体的定轴转动刚体的定轴转动22解解(1)(1) 在环上任在环上任取一质元，其质量取一质元，其质量为为d dm，距离为，距离为R，则该质元对转轴的则该质元对转轴的转动惯量为转动惯量为2ddJRm例例2.192.19设质量为设质量为m，半径为，半径为R的细圆环和均匀圆盘的细圆环和均匀圆盘分别绕通过各自中心并与圆面垂直的轴转动，求圆环分别绕通过各自中心并与圆面垂直的轴转动，求圆环和圆盘的转动惯量和圆盘的转动惯量. .大学物大学物理学理学（三版）（三版）4-14-1刚体的定轴转动刚体的定轴转动23考虑到所有质元到转轴的距离均为考虑到所有质元到转轴的距离均为R，所以细圆环对，所以细圆环对中心轴的转动惯

17、量为中心轴的转动惯量为222dddmmJJRmRmmR(2)(2)求质量为求质量为m，半径为，半径为R的圆盘对中心轴的转动惯量的圆盘对中心轴的转动惯量2d2d ,dd2dmSr rmSr rR 如图23dd2dJrmrr 3201d2d2RJJrrmR 大学物大学物理学理学（三版）（三版）4-14-1刚体的定轴转动刚体的定轴转动24T2 T1 例例 一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮，绳的两端分别一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮，绳的两端分别悬有质量为悬有质量为m1和和m2的物体，的物体，m1m2 ，如图所示。设如图所示。设滑轮的质量为滑轮的质量为m，半径为，半径为r，其转动惯量，其转动惯量J=1/2m

18、r2。绳与滑轮之间无相对滑动。试求物体的加速度和绳绳与滑轮之间无相对滑动。试求物体的加速度和绳的张力。的张力。m1m2aT2G2am2T1G1am1解解: :按牛顿运动定律和转动按牛顿运动定律和转动定律可列出下列方程定律可列出下列方程amGT111 amTG222 JrTrT12 ra 1rv2rv大学物大学物理学理学（三版）（三版）4-14-1刚体的定轴转动刚体的定轴转动25 m21mmgmma1212 m21mmm21m2mT12122 gm21mmgm21m2mT12211 这个装置叫阿特伍德机，是一种可这个装置叫阿特伍德机，是一种可用来测量重力加速度用来测量重力加速度g g的简单装置。

19、因为的简单装置。因为在已知在已知m1、m2的情况下，能通过实验测的情况下，能通过实验测出出m1和和m2的加速度的加速度a，再通过加速度，再通过加速度a把把g g算出来。算出来。m1m2a大学物大学物理学理学（三版）（三版）4-14-1刚体的定轴转动刚体的定轴转动26 例例 一长为一长为 质量为质量为 匀质细杆竖直放置，其匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链下端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动相接，并可绕其转动. 由于此竖由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转动转动.试计算细杆转动到与竖直线成试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度和角角时的角加速度和角速度速度