(完整版)二次函数中的存在性问题(等腰三角形的存在性问题)

1、二次函数中的存在性问题 （等腰三角形 ）07 福建龙岩 如图，抛物线 y ax2 5ax 4经过 ABC 的三个顶点，已知BC x轴，点 A在x轴上，点 C在 y轴上，且 ACBC求抛物线的对称轴；写出 A，B，C 三点的坐标并求抛物线的解析式； 探究：若点 P 是抛物线对称轴上且在 x 轴下方的动点，（1）（2）（3） 是否存在 PAB 是等腰三角形若存在，求出所有符合条 件的点 P 坐标；不存在，请说明理由5a 2ayCBA0解：（ 1）抛物线的对称轴 x2） A（ 3，0）B（5，4）C（0，4）把点 A 坐标代入 y2ax5ax 4 中，解得1 2 5 y x x66（3）存在符合条件

2、的点 P 共有 3 个以下分三类情形探索 设抛物线对称轴与 x 轴交于 N ，与 CB 交于 M 过点 B 作 BQ x轴于 Q ，易得 BQ 4， AQ 8， AN 5.5 ，2 以 AB 为腰且顶角为角A的PAB有 1个： P1ABAB2 AQ2 BQ 2 8242 80在 Rt ANP1中， P1NAP12 AN2AB2 AN 2 80 （5.5） 219925P1 52，1992 AB 为腰且顶角为角B的PAB有 1个： P2AB 在 RtBMP2 中， MP2BP22 BM 2 AB2 BM 2802542952P2以 AB 为底，顶角为角P 的PAB有 1 个，即 P3AB 画 A

3、B 的垂直平分线交抛物线对称轴于P3，此时平分线必过等腰 ABC的顶点C过点 P3作P3K垂直 y轴，垂足为 K，显然 Rt P3CK Rt BAQ P3K BQCK AQQ P3K 2.5CK 5 于是 OKP3（2.5， 1）8 2952242 2 4 x2x 2 的图象与 x 轴交于33线的对称轴与 x轴交于点 D 点 M从 O点出发，以每秒 1个单位长度07 广西河池 如图，已知抛物线 yA，B 两点，与 y 轴交于点 C ，抛物的速度向 B 运动，过 M 作 x 轴的垂线，交抛物线于点 P，交 BC 于 Q（1）求点 B 和点 C 的坐标；（2）设当点 M 运动了求 S 与 x 的函

4、数关系式，并指出自变量（3）在线段 BC 上是否存在点 等腰三角形？若存在，1）把 x =0 代入 y把 y =0 代入 yx （秒）时，四边形 OBPC 的面积为 S， x 的取值范围Q，使得 DBQ 成为以 BQ 为一腰的 Q 的坐标，若不存在，说明理由4x34x3求出点y2）连结 OP，设点22x322x3 P 的坐标为 P2 得点 C 的坐标为 C（0， 2）2 得点 B的坐标为B（3，0）x，y）=+= 12x1S四边形 OBPC = S OPC+ S OPB= 22x23y22x33x 3 点 M 运动到B 点上停止， 0 x 33( 0 x 3 )43)存在 BC= OB2 OC

5、2 = 13 若 BQ = DQ BQ = DQ ， BD = 2QM tan OBCBM 若 BQ=BD=2 BM = 1 OC 2 OB 3OM = 3 2 QM =3所以 Q 的坐标为Q （ 2，23)BCCO2QM QM =4 1313213BQBM2BMBC =OB 13=3BO BQM BCO， BQ=QM = BM BM =6 13136 13 OM = 31311分所以 Q 的坐标为3 6 13 ， 4 13 )13 1312分07 年云南省 已知：如图，抛物线 y ax2bxc 经过 A(1, 0) 、B(5,0)、C (0,5) 三点6P 使得 ABP 为等腰三角形？若存在

6、，请 ；若不存在这样的点 P ，请说明理由（1）求抛物线的函数关系式；（2）若过点 C 的直线 y kx b 与抛物线相交于点 E （4， m）， 请求出 CBE的面积 S的值；（3）在抛物线上求一点 P0使得 ABP0为等腰三角形并写出 P0 点的坐标；（4）除（ 3）中所求的 P0 点外，在抛物线上是否还存在其它的点 求出一共有几个满足条件的点 P （要求简要说明理由，但不证明） 解：（1）抛物线经过点 A（1, 0）、 B（5,0） y a（x 1）（x 5）又抛物线经过点 C（0,5） 5a 5 ，a 1抛物线的解析式为 y （x 1）（x 5） x2 6x 5 2） E点在抛物线上，

7、m = 424×6+5 = -3直线 y = kx+b 过点 C（0， 5）、E（4， 3），b 5,4k b解得 k = - 2， b = 5 3.5 设直线 y=- 2x+5 与 x 轴的交点为 D，当 y=0 时，- 2x+5=0 ，解得 x=25 D 点的坐标为 （ ，0）21 S=S BDC + S BDE=5 1 5 (5 2) 5+ 2 (5 2) 3=103）抛物线的顶点 P0（3, 4） 既在抛物线的对称轴上又在抛物线上，点 P0（3, 4） 为所求满足条件的点4）除 P0点外，在抛物线上还存在其它的点 P使得 ABP理由如下： AP0 BP022 42 2 5 4

8、 ，分别以 A、 B为圆心半径长为 4 画圆，分别与抛物线 交于点 B、 P1、 P2、 P3、 A、 P4、P5、P6， 除去 B、 A两个点外，其余 6个点为满足条件的点 （说明：只说出 P 点个数但未简要说明理由的不给分）207山东威海 如图， 在平面直角坐标系中， 点 A的坐标为 （1，2） ，点B的坐标为 （3，1） ，二次函数 y x2的图象记为抛物线 l1 1）平移抛物线 l1，使平移后的抛物线过点A ，但不过点 B ，写出平移后的一个抛物线的函数表达式：任写一个即可） 2）平移抛物线 l1 ，使平移后的抛物线过A， B两点，记为抛物线 l2 ，如图，求抛物线 l2的函数表达式3

9、）设抛物线 l2 的顶点为 C ， K 为 y 轴上一点若 S ABK S ABC ，求点 K 的坐标4）请在图上用尺规作图的方式探究抛物线l2上是否存在点 P，使 ABP为等腰三角形若存在，请判断点 P 共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明理由x2yx2 x2yx解：（1）有多种答案，符合条件即可例如1，x，(x1)2 2或 y x2 2x3， y (x 2 1)2y (x2)22）设抛物线l2 的函数表达式为 ybx c ，Q点 A(1，2) ，B（3，1） 在抛物线 l2 上，bc3b2，解得19，2，11.2.抛物线l2 的函数表达式为1123）11716C 点的坐标为

10、，716过 A，B，C 三点分别作则 AD 2 ， CF 7 ， BE 1 ， DE16x 轴的垂线，垂足分别为 D，E，52， DF 5，4F，FES ABCS梯形 ADEBS梯形 ADFCS梯形 CFEB112(2 1) 27167163 154 16延长 BA 交 y 轴于点 G ，设直线 AB 的函数表达式为 y mx n ，Q 点 A（1，2） ， B（3，1）在直线 AB上，n，3m n.解得1，2，5.2.直线 AB 的函数表达式为15x225G 点的坐标为 0，2设 K 点坐标为 （0，h） ，分两种情况：若 K 点位于 G 点的上方，则 KGS S S 1 3SABK SBK

11、G S AKG325连结 AK，hBK 2h51551hh2222Q S ABKS ABC15161516，解得5516K 点的坐标为0，1565 若 K 点位于 G 点的下方，则（4）作图痕迹如图所示 注：作出线段 AB 的中垂线得KG525 h 同理可得，2516K 点的坐标为由图可知，点 P 共有 3 个可能的位置1 分，画出另外两段弧得 1 分0，25 x07 山东泰安 如图，在 OAB 中，B 90o ，BOA 30o ， OA4，将 OAB绕点 O 按逆时针方向旋转至OAB，C 点的坐标为（ 0，4）（ 1）求 A 点的坐标；（2）求过 C ， A ， A三点的抛物线2 y axb

12、x c 的解析式；所求解析式为 y2（2 3 3）x 41322 3 3（3）在（ 2）中的抛物线上是否存在点 P，使以 O，A，P 为顶点的三角形 是等腰直角三角形？若存在，求出所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 解：（1）过点 A 作 AD 垂直于 x轴，垂足为 D ,则四边形 OBAD为矩形 在 ADO 中， AD OA sin A OD 4 sin 60o 2 3OD AB AB 2 点 A 的坐标为 （2，2 3）2）Q C （0，4） 在抛物线上，c 4 y ax2 bx 4Q A（4，0） ， A （2，2 3） ，在抛物线 y ax2 bx 4 上16a 4b 4 0，

13、解之得4a 2b 4 2 3C（0，4） 为满足条件的点（4，4）或 （4， 4） ，经计算知；（2，2）或 （2， 2） ，经计算知；3）若以点 O为直角顶点，由于 OC OA 4，点 C在抛物线上，则点若以点 A 为直角顶点，则使 PAO 为等腰直角三角形的点 P 的坐标应为 此两点不在抛物线上若以点 P 为直角顶点，则使 PAO 为等腰直角三角形的点 P 的坐标应为 此两点也不在抛物线上综上述在抛物线上只有一点 P（0，4） 使 OAP为等腰直角三角形CDB=CBD=DBA， DBA=30 ，AB=4，DC = AD=2 ，08 广东梅州 如图 11 所示，在梯形 ABCD 中，已知 A

14、BCD， ADDB， AD=DC=CB，AB=4以 AB所在直线为 x轴，过 D 且垂直于 AB 的直线为 y 轴建立平面直角坐标系（1）求 DAB 的度数及 A、D 、C 三点的坐标；（2）求过 A、D、C 三点的抛物线的解析式及其对称轴L（3）若 P是抛物线的对称轴 L上的点，那么使 PDB 为 等腰三角形的点 P有几个 ?（不必求点 P 的坐标，只需说明理由） 解： （1） DC AB，AD=DC=CB，DAB=CBA， DAB =2 DBA ，DAB+ DBA =90 ，DAB =60 ，Rt AOD，OA=1，OD= 3 ，.A（-1，0），D（0， 3 ），C（2，3 ）A（ 1，

15、0），B（ 3， 0），（2）根据抛物线和等腰梯形的对称性知，满足条件的抛物线必过点 故可设所求为 y = a （ x+1）（ x-3）将点 D（0， 3 ）的坐标代入上式得，a=所求抛物线的解析式为y= 3 （x31)(x3).7分其对称轴 L 为直线 x=1 ········ ······ · ··········· 8 分（ 3）

16、PDB 为等腰三角形，有以下三种情况： 因直线 L 与 DB 不平行， DB 的垂直平分线与 L 仅有一个交点 P1，P1D=P1B，P1DB 为等腰三角形；········ ······ · ······ ··· · 9 分 因为以 D 为圆心，DB 为半径的圆与直线 L 有两个交点 P2、P3，DB=DP2，DB=DP3， P2DB， P3DB

17、 为等腰三角形； 与同理， L 上也有两个点 P4、 P5，使得 BD=BP4，BD=BP5···· · 10 分由于以上各点互不重合，所以在直线 L 上，使 PDB 为等腰三角形的点 P有 5 个08 福建南平 如图，平面直角坐标系中有一矩形纸片OABC ， O为原点，点 A，C分别在 x轴， y 轴上，点 B 坐标为 （m，2） （其中 m 0），在 BC 边上选取适当的点E 和点 F ，将 OCE 沿 OE 翻折，得到OGE ；再将ABF沿 AF 翻折，恰好使点 B与点G重合，得到 AGF ，且 OGA 90o （1）求 m 的值；（2）

18、求过点 O，G，A 的抛物线的解析式和对称轴； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使得 OPG 是 等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，直接答出 所有满足条件的点 P 的坐标（不要求写出求解过程） （1）Q B（ m， 2） ，由题意可知 AG AB 2， OGOC 2 ， OA mQ OGA 90o， OG 2 AG2 OA222 2 m2又Qm 0， m 2（2）过G作直线GH x轴于 H，则OH 1，HG 1，故G（1，1）又由（ 1）知 A（2，0） ， 设过 O，G，A 三点的抛物线解析式为 y ax2 bx cQ 抛物线过原点，c 0 又Q 抛物线过 G，A两点，ab1

19、解得4a 2b 0所求抛物线为 y2x 2x它的对称轴为3）答：存在 ,满足条件的点 P有 （1，0） ， （1， 1） ，08 湖南株洲 如图（ 1），在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（ 1，- 2），点 B 的坐标为（ 3，- 1），二次函数 y x2 的图象为 l1 .1）平移抛物线 l1 ，使平移后的抛物线过点 A，但不过点 B，写出平移后的抛物线的一个解析式（任写 一个即可） .2）平移抛物线 l1，使平移后的抛物线过 A、B 两点，记抛物线为 l2 ，如图（ 2），求抛物线 l2 的函数解 析式及顶点 C的坐标 .4）3）设 P 为 y 轴上一点，且 S ABC S ABP ，

20、求点 P 的坐标 .请在图（ 2）上用尺规作图的方式探究抛物线 l2上是否存在点 Q，使 QAB 为等腰三角形 . 若存在，请判断点 Q 共有几个可能的位置（保留作图痕迹） ；若不存在，请说明理由1) y2x 3或 y2 x2）设 l2 的解析式为 y解得： b 92,c 点 C 的坐标为（1分x2 4x 5等 （满足条件即可）219 x22x2 bx c ，联立方程组1129, 7 ）4 163）如答图 23- 1，过点 A、，则 l2 的解析式为 yB、C 三点分别作19112b c ，3b c3分4分x 轴的垂线，垂足分别为 D、E、F，则 AD 2， CF 7 ， 16BE 1， DE

21、 2， DF 5，4FE得： S ABCS梯形 ABEDS梯形 BCFE S梯形ACFD1516 . 延长 BA 交 y 轴于点 G ，直线 AB 的解析式为 y5分5 ，则点 G 的坐标为（ 0， 5 ），设点 P 的坐22标为（ 0， h ）当点P 位于点 G的下方时，S ABC当点h 55 ，点16P 位于点 G 的上方时，S ABP 15，得16PG 52P 的坐标为h，连结 AP、BP，则 S ABPS BPG S APGh ，又PG5 h ，同理255）或（ 0，160， 55 ） .1625 ，点 P 的坐标为（ 0，1625）166分1265).7分(4)综上所述所求点 P 的坐标为0，Q3、 Q4，共 4个可能的位置 .答图 23-210 分1708 浙江温州 如图，在 Rt ABC中， A 90o， AB 6，AC 8， D，E分别是边 AB，AC的中点，点 P从点 D 出发沿 DE 方向运动，过点 P作 PQ BC 于 Q，过点 Q作 QRBA交 AC 于R ，当点 Q 与点 C 重合时，点 P 停止运动设 BQ x ， QR y 1）求点 D到 BC的