(完整版)圆内接四边形与四点共圆-教案(有答案)

1、fpg圆内接四边形与四点共圆（选学）教案设计引言： 圆内接四边形和四点共圆之间有着非常密切联系,?这是因为顺次连结共圆四点就成为圆内接四边形。实际上,在许多题目已知条件中，并没有给出圆，这时就需要通过证明四点共圆，把实际存在圆找出来，然后再借助圆性质得到要证明结论。确定四点共圆办法有哪些呢？思路一：用圆定义：到某定点距离相等所有点共圆。若连在四边形三边中垂线相交于一点，那么这个四边形四个顶点共圆。（这三边中垂线交点就是圆心） 。产生原因：圆定义：圆可以看作是到定点距离等于定长点集合。基本模型：AO=BO=CO=DO A 、 B、fpg思路二：从被证共圆四点中选出三点作一个圆，然后证另一个点也在

2、这个圆上，即可证明这四点共圆。要证多点共圆，一般也可以根据题目条件先证四点共圆，再证其他点也在这个圆上。思路三：运用有关性质和定理： 对角互补，四点共圆：对角互补四边形四个顶点共圆。产生原因：圆内接四边形对角互补。基本模型：A D 1800（或B D 1800）A 、 B、 C、 D四点共圆 张角相等，四点共圆：线段同侧两点与这条线段两个端点连线夹角相等，则这两个点和线段两个端点共四个点共圆。产生原因：在同圆或等圆中，同弧所对圆周角相等。方法指导：把被证共圆四个点连成共底边两个三角形，且两三角形都在这底边同侧，若能证明其顶角（即：张角）相等（ 同弧所对圆周角相等），从而即可肯定这四点共圆。CA

3、B CDBA 、 B、 C、 D 四点共圆同斜边两个直角三角形四个顶点共圆，其斜边为圆直径。产生原因：直径所对圆周角是直角。C D 900A 、 B、 C、 D 四点共圆外角等于内对角，四点共圆：有一个外角等于其内对角四边形四个顶点共圆。 产生原因：圆内接四边形外角等于内对角。 基本模型：ECD BA 、 B、 C、 D 四点共圆用相交弦定理或切割线定理逆定理：把被证共圆四点两两连成相交两条线段，若能证明它们各自被交点分成两线段之积相等，即可肯定这四点共圆。（相交弦定理逆定理）产生原因：相交弦定理。基本模型：AE ? BE CE ? DEA 、 B、 C、 D四点共圆把被证共圆四点两两连结并延

4、长相交两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成两线段之积，即可肯定这四点也共圆 （割线定理逆定理）产生原因：割线定理。基本模型：EA?EB ED?ECA 、 B、 C、 D 四点共圆二、新课探究例 1 、如图，AD 、 BE、 CF是锐角ABC三条高，H 为垂心。（ 1）图中共有多少组四点共圆？（ 2）求证：ADF ADE 。分析：练习：锐角ABC三条高AD、BE、CF交于H，在A、B、C、D、E、F、H 七个点中，能组成四点共圆组数是（）A、 4 组 B 、 5 组 C 、 6 组 D 、 7 组分析：例 2、已知ABC为等腰直角三角形，C为直角，延

5、长CA至 D，以AD 为直径作圆，连BD与圆O交于点E，连CE， CEBD延长线交圆O于另一点F，那么BD 值等于。CF分析： 2理由：教师小结：在四点共圆题目已知条件中，通常没有给出圆，这时就需要通过证明四 点共圆，把存在圆找出来，然后再借助圆性质进行相应推导。练习： （ 2011 湖北武汉中考题改编）如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E， F 分别在AB，AD上，且AE=DF.连接BF与 DE相交于点G，连接CG与 BD相交于点H，则四边形BCDG面积（记作：S四边形BCDG）与边CG关系是3分 析 ： S 四 边 形 BCDG= CG 2四 边 形 CM GN=2S C M G =2

6、×1 × 1 CG×2233CG=CG 2。例 3 如图，锐角ABC中，A 600 ，且O、 I、 H 分别为 ABC外心、内心和垂心。求证：OI=IH 。理由： BGE= BDG+ DBF= BDG+ GDF=6°0 = BCD ， 点 B、 C、 D、 G 四 点 共 圆 ， BGC= BDC=6°0 ， DGC= DBC=6°0 BGC= DGC=6°0 。过 点 C 作 CM GB 于 M ， CN GD 于 N 则 CBM CDN （ HL ） 。S 四 边 形 BCDG=S 四 边 形 CMGN， S 四 边 形

7、 CM GN=2S CM G。 CGM=6° 0， GM= 1 CG ， CM= 3 CG ，分析：连结 AO 、 AI 、 OC、 IC、 HC。22练习：如图，四边形A1A2A3A4内接于一圆，A1A2A3内心是I1，A2A3A4内心是 I 2，A3A4A1内心是I3。求证： （ 1） A 2、 I1 、 I 2、 A 3四点共圆；（ 2）I1 I2I3 =902123123分析：三、反馈训练分析：如图， O 是 Rt ABC 斜边 AB 中点， CH AB 于 H， 延长 CH 至 D， 使得 CH=DH ， F 为 CO 上任意一点，过 B 作 BE AF 于 E， 连接 D

8、E 交 BC 于 G。 求证： CAF= CDE；1、已知ABC 中， ACB=90 °， AB 边上高线CH 与 ABC 两条内角平分线AM 、EF AB 。BN 分别交于P、 Q 两点， PM、 QN 中点分别为E、 F，求证：2、如图所示，I 为 ABC 内心，求证：BIC 外心 O 与 A、 B、 C 四点共圆。3、如图，BD， CE 是 ABC 两条高，F 和 G 分别是 DE 和 BC 中点，O 是 ABC 外心求证：AO FG。题单1、若一个圆经过梯形ABCD 四个顶点，则这个梯形是梯形。分析：fpg2、 、如图，已知ABC 中， BAC 90°，AD BC，

9、 BE AC，且 AD 、 BE 交于点 H，连接 CH ，则 ACH+ BAE= 。 （提示：过A 作 O 切线交BC 延长线于点 F。 ）3、如图，菱形ABCD 对角线AC 和 BD 相交于O 点，E， F， G， H 分别是 AB ， BC，CD， DA 中点，求证：E， F， G， H 四个点在以O 为圆心同一个圆上。答案： 90°理由：分析：fpg4、 如图，正方形 ABCD 中心为O， 面积为 1989cm 2 。 P 为正方形内一点，且 OPB=45 0 ，PA： PB=5： 14则PB=。 （提示：连结OA、 OB）分析：42cm。理由：5、 （ 2011 山东济南中考压轴题）如图，点C 为线段 AB 上任意一点（不与点A、 B 重合），分别以AC、 BC 为一腰在AB 同侧作等腰ACD 和BCE ， CA CD， CB CE， ACD与 BCE 都是锐角，且 ACD BCE， 连接 AE 交 CD 于点 M， 连接 BD 交 CE 于点N，fpgfpgAE 与 BD 交于点 P，连接 CP。(1)求证：ACEDCB；(2)请你判断ACM 与 DPM 形状有何关系并说明理由；（3）求证：APC BPC。分析：解： （1） 证：ACD BCE， ACE DCB。又CA CD， CE CB，ACE DCB （ ASA） 。（ 2） ACM DPM