第7章数字控制器的离散化设计

1、第第7章章 数字控制器的离散化设计数字控制器的离散化设计 7.1 数字控制器的离散化设计步骤数字控制器的离散化设计步骤7.2 最少拍随动系统的设计最少拍随动系统的设计7.3 最少拍无纹波随动系统的设计最少拍无纹波随动系统的设计7.4 大林算法大林算法 课前准备课前准备n1. 1. 典型信号的典型信号的Z变换变换 （1）单位脉冲函数）单位脉冲函数（2）单位阶跃函数）单位阶跃函数（3）单位速度函数）单位速度函数 （4）单位加速度函数）单位加速度函数 （5）典型输入函数）典型输入函数( )( )( )1r ttR z11( )1( )1r tR zz11 2( )( )(1)Tzr ttR zz21

2、121 31(1)( )( )22(1)T zzr ttR zz111( )( )( )(1)!(1)qqB zr ttR zqz2. 2. Z变换的性质变换的性质 线性定理线性定理 延迟定理延迟定理 超前定理超前定理 初值定理初值定理 终值定理终值定理 卷积定理卷积定理( )( )( )( )Z af tbg taF zbG z ()( )kZ f tkTzF z10 ()( )()kkiiZ f tkTzF zf iT z0lim()lim( )kzf kTF z1lim()lim(1) ( )kzf kTzF z0() ()( ) ( )kiZf kTiT g iTF z G z3 3、

3、采样系统的稳定性采样系统的稳定性 如果采样系统如果采样系统Z Z传递函数传递函数 G(z) G(z) 的极点的极点 z zi i 在在Z Z平面的单位圆内，平面的单位圆内，则采样系统是稳定的，对于有界的输入，系统的输出收敛于某一则采样系统是稳定的，对于有界的输入，系统的输出收敛于某一有限值；有限值； 如果某一极点如果某一极点 z zj j 在单位圆上，则系统临界稳定，对于有界的在单位圆上，则系统临界稳定，对于有界的输入，系统的输出持续地等幅振荡；输入，系统的输出持续地等幅振荡； 如果如果 G(z) G(z) 的极点至少有一个在单位圆外，则采样系统是不稳的极点至少有一个在单位圆外，则采样系统是不

4、稳定的，对于有界的输入，系统的输出发散定的，对于有界的输入，系统的输出发散n4 4 差分方程差分方程n采样系统的数学模型用差分方程描述。采样系统的数学模型用差分方程描述。n差分方程表示出系统离散输入与离散输出之间的函数关系。差分方程表示出系统离散输入与离散输出之间的函数关系。n差分方程由输出序列差分方程由输出序列y y，及其移位序列，及其移位序列y(k-1)y(k-1)、 y(k-2)y(k-2)、y(k-3)y(k-3)、，以及输入序列，以及输入序列u(k)u(k)，及其移位序列，及其移位序列 u(k-1)u(k-1)、u(k-2)u(k-2)、u(k-3)u(k-3)、，所构成。（，所构成

5、。（ k = 0, 1, 2, k = 0, 1, 2, ）n序列中序列中 k k 即即 kTkT，k = 0Tk = 0T为研究开始时刻，为研究开始时刻， kT kT 可以理解为可以理解为当前时刻，而当前时刻，而(k-1) T(k-1) T为前一采样时刻。为前一采样时刻。n例：惯性系统例：惯性系统 被采样后的差分方程被采样后的差分方程：210( )1( )( )1U sG sU sTs02021()( )(1)( )TTukT ukTu kn5.5.离散化设计方法离散化设计方法 所谓离散化设计方法是指在所谓离散化设计方法是指在Z Z平面上设计的方法，对象平面上设计的方法，对象可以用离散模型表

6、示，或者用离散化模型的连续对象，根可以用离散模型表示，或者用离散化模型的连续对象，根据系统的性能指标要求，以采样控制理论为基础，以据系统的性能指标要求，以采样控制理论为基础，以Z Z变换变换为工具，在为工具，在Z Z域中直接设计出数字控制器。域中直接设计出数字控制器。 这种设计法也称直接设计法或这种设计法也称直接设计法或Z Z域设计法。域设计法。 7.1 数字控制器的离散化设计步骤数字控制器的离散化设计步骤 101( )( ) ( )( )TseG zZ Hs G sZG ss11( )( )( )( )( )1( )( )Y zD z G zzR zD z G z（1 1）由）由H0(s)H

7、0(s)和和G(s)G(s)求取广义对象的脉冲传递函数；求取广义对象的脉冲传递函数；（2 2）根据控制系统的性能指标及实现的约束条件构造闭环脉）根据控制系统的性能指标及实现的约束条件构造闭环脉 冲传递函数；冲传递函数；偏差闭环脉冲传递函数；偏差闭环脉冲传递函数；1( )( )( )1( )1( )( )( )1( )( )eE zR zY zzzR zR zD z G z 3 3、求取数字控制器的脉冲传递函数、求取数字控制器的脉冲传递函数D(z)D(z)111( )( )1( )( )( )( )( )1( )( )( )( )( )eeezU zzzD zE zG zzG zzG zz4 4

8、、根据、根据D(z)D(z)求取控制算法的递推计算公式求取控制算法的递推计算公式 设数字控制器设数字控制器D(z)D(z)的一般形式为：的一般形式为： 数字控制器的输出数字控制器的输出U(z)U(z)为：为： 将上式进行将上式进行Z Z反变换得到差分形式的公式得到数字控制器反变换得到差分形式的公式得到数字控制器 D(z)D(z)的计算机控制算法为：的计算机控制算法为： 按照上式，就可编写出控制算法程序。按照上式，就可编写出控制算法程序。01( )( ),()( )1miiiniiib zU zD znmE za z01( )( )( )mniiiiiiU zb z E za z U z01(

9、)()()mniiiiu kbe kiau ki7.2 最少拍随动系统的设计最少拍随动系统的设计n在数字控制系统中，通常把一个采样周期称为一拍。在数字控制系统中，通常把一个采样周期称为一拍。n所谓最少拍控制，就是要求设计的数字控制器能使闭环系统所谓最少拍控制，就是要求设计的数字控制器能使闭环系统在典型输入作用下，经过最少拍数（最少个采样周期）达到在典型输入作用下，经过最少拍数（最少个采样周期）达到无静差的稳态。无静差的稳态。n最少拍控制实质上是时间最少拍控制实质上是时间。 最优控制，最少拍控制系统也最优控制，最少拍控制系统也称为最小调整时间系统或最快响应系统称为最小调整时间系统或最快响应系统最

10、少拍控制系统设计的要求最少拍控制系统设计的要求（1 1）对特定的参考输入信号，在到达稳态后，系统）对特定的参考输入信号，在到达稳态后，系统在采样在采样点点的输出值准确跟随输入信号，不存在静差的输出值准确跟随输入信号，不存在静差（2 2）在各种使系统在有限拍内到达稳态的设计中，系统准）在各种使系统在有限拍内到达稳态的设计中，系统准确跟踪输入信号所需的控制周期数最少确跟踪输入信号所需的控制周期数最少（3 3）数字控制器必须在物理上可以实现）数字控制器必须在物理上可以实现（4 4）闭环系统必须是稳定的）闭环系统必须是稳定的几种典型输入信号及其几种典型输入信号及其Z变换表达式如下：变换表达式如下：n单

11、位阶跃函数：单位阶跃函数：n n单位速度函数：单位速度函数：n n单位加速度函数：单位加速度函数：n n输入信号的一般表达式输入信号的一般表达式n式中式中 为不包含为不包含 因式的的多项式。根据因式的的多项式。根据Z变换的终值定理，求变换的终值定理，求系统的稳态误差，并使其为零（无静差，即准确性约束条件系统的稳态误差，并使其为零（无静差，即准确性约束条件)，即：，即：n n很明显，要使稳态误差为零，很明显，要使稳态误差为零， 中必须含有中必须含有 因子，且因子，且 ，要，要实现最少拍一般取实现最少拍一般取 。同样。同样n n要使要使 成为成为 有限项的多项式，应使有限项的多项式，应使n 11(

12、 )1( );( )1R ttR zz211( );( )(1)TR ttR zzz21121 31(1)( );( )22(1)T zzR ttR zz1( )( )(1)NA zR zz( )A z1(1)z1111111( ) ( )lim(1) ( )lim(1) ( )( )lim(1)0(1)eeNzzzz A zezE zzR zzzz( )ez1(1)MzMNM N1( ) ( )( )( ) ( )(1)eeNz A zE zz R zz( )E z1z1( )(1)( )NezzF z( )F z1(1)z1z( )F z( )1F z ( )ez( )D z1111111

13、11( )(1)( )1( )1( )1( )( ) ( )11( )( )( )( )(1)( )NeeeezzF zzzzzzE zz R zzzzD zG zzzG z为不包含为不包含因式的因式的的多项式，的多项式，应尽可能简单，故取应尽可能简单，故取据此，对于不同的输入信号，可选择不同的误差传递函数据此，对于不同的输入信号，可选择不同的误差传递函数从而得到最少拍控制器从而得到最少拍控制器当输入信号为单位阶跃信号时，当输入信号为单位阶跃信号时， ，1. 1. 典型输入下的最少拍控制系统分析典型输入下的最少拍控制系统分析 （1 1）单位阶跃输入（）单位阶跃输入（q q =1=1） 输入函数

14、输入函数r(t)=1r(t)=1，其，其z z变换为：变换为： 由最少拍控制器设计时选择的系统闭环传函为：由最少拍控制器设计时选择的系统闭环传函为： 误差函数：误差函数： 进一步得到系统输出为：进一步得到系统输出为： 上两式说明系统只需上两式说明系统只需1 1拍（一个采样周期）输出就能跟踪输入，误差拍（一个采样周期）输出就能跟踪输入，误差为零，系统进入稳态。为零，系统进入稳态。11( )1R zz11( )1 (1)qzzz 110121( )( )( )( ) 1( )(1)11100eE zR zzR zzzzzzz 112311( )( )( )1Y zR zzzzzzz（2 2）单位速

15、度输入（）单位速度输入（q q =2=2） 输入函数输入函数r(t)=tr(t)=t，其，其z z变换为：变换为： 由最少拍控制系统闭环传函为：由最少拍控制系统闭环传函为： 误差函数：误差函数：11 2( )(1)TzR zz1 212( )1 (1)2zzzz 11211 2123( )( )( )( ) 1( )(12)(1)00eTzE zR zzR zzzzTzzTzzz 234( )( )( )234Y zR zzTzTzTz以上两式说明，只需两拍以上两式说明，只需两拍( (两个采样周期两个采样周期) )输出就能跟踪输入，达到输出就能跟踪输入，达到稳态，过渡过程结束稳态，过渡过程结束

16、。 进一步得到系统输出为：进一步得到系统输出为：（3 3）单位加速度输入（）单位加速度输入（q q =3=3） 由最少拍控制系统闭环传函为：由最少拍控制系统闭环传函为：误差函数：误差函数： 系统输出为：系统输出为： 以上两式说明，上式说明，只需三拍以上两式说明，上式说明，只需三拍( (三个采样周期三个采样周期) )输输 出就能跟出就能跟踪输入，达到稳态。踪输入，达到稳态。2111 3(1)( )2(1)T zzR zz1 3123( )1 (1)33zzzzz 212211( )22E zT zT z22232439( )( )( )822Y zR zzT zT zT z输入函数输入函数r(t

17、)=(1/2)tr(t)=(1/2)t，其，其z z变换为：变换为：( )R z( )ez( ) z( )D zst111z11z1z111(1)( )zzG z11 2(1)Tzz1 2(1)z122zz121 212(1)( )zzzG z2111 3(1)2(1)T zzz1 3(1)z12333zzz1231 3133(1)( )zzzzG z表表7-1 7-1 三种典型输入的最少拍系统三种典型输入的最少拍系统综上所述，可归纳为如下表所示综上所述，可归纳为如下表所示 最少拍控制器的设计是使系统对某一典型输入的响应为最少拍，但最少拍控制器的设计是使系统对某一典型输入的响应为最少拍，但对于

18、其它典型输入不一定为最少拍，甚至会引起大的超调和静差。对于其它典型输入不一定为最少拍，甚至会引起大的超调和静差。 一般来说，针对一种典型的输入函数一般来说，针对一种典型的输入函数R(z)R(z)设计，得到系统的闭环脉设计，得到系统的闭环脉冲传递函数冲传递函数(z)(z)，用于，用于次数较低次数较低的输入函数的输入函数R(z)R(z)时，系统将出现时，系统将出现较大的较大的超调，响应时间也会增，但在采样时刻的误差为零超调，响应时间也会增，但在采样时刻的误差为零。 反之，当一种典型的最少拍特性用于反之，当一种典型的最少拍特性用于次数较高次数较高的输入函数时，输出的输入函数时，输出将不能完全跟踪输入

19、以致将不能完全跟踪输入以致产生稳态误差产生稳态误差。 由此可见，一种典型的最少拍闭环脉冲传递函数由此可见，一种典型的最少拍闭环脉冲传递函数(z)(z)只适应一种特只适应一种特定的输入而不能适应于各种输入。定的输入而不能适应于各种输入。 以下面例题为例，具体分析一下：以下面例题为例，具体分析一下：2. 2. 最少拍控制器对典型输入的适应性差最少拍控制器对典型输入的适应性差【例【例7-17-1】图】图7-17-1所示系统，所示系统， 有设计最少拍数字控制器。有设计最少拍数字控制器。 021( ),( ),0.5 , ( ),(0.51)TseG sHsTs R ttsss102124( )( )(

20、1)(0.51)(2)TsTseG zH G zzzesssss222244211211()(2)(2)22TsTsezzzz essssssssss1 21111 21111111( )1(1)( )0.368(10.718)( )( )(1)(1)(10.368)5.435(10.5)(10.368)(1)(10.718)eezzD zzzG zzzzzzzzz11111211112110.368(10.718)(1)211(1)(10.368)(1)TTzzzzzezzzz 解：解： 1 1）按输入信号为单位速度输入来设计最少拍数字控制器）按输入信号为单位速度输入来设计最少拍数字控制器

21、(0)0, ( )0, (2 )2 , (3 )3 , (4 )4YY TTTT YTT YTT11223451 2( )( ) ( )(2)2345(1)TzY zz R zzzTzTzTzTzz 现考察此时的输出：现考察此时的输出： 输出响应曲线如图输出响应曲线如图7-27-2所示。所示。 当不变，输入信号变为其他函数时，有如下分析：当不变，输入信号变为其他函数时，有如下分析：2 2）只改变输入信号为单位阶跃信号：）只改变输入信号为单位阶跃信号： 即：即： 输出响应曲线如图输出响应曲线如图7-37-3所示。可见，按单位速度输入设所示。可见，按单位速度输入设 计的最小拍计的最小拍系统，当输入

22、信号为单位阶跃信号时，经过系统，当输入信号为单位阶跃信号时，经过2 2个采样周期，个采样周期，Y Y(KT)=(KT)=R R(KT)(KT)，但在，但在K=1K=1时，将有时，将有100%100%的超调量。的超调量。(0)0, ( )2, (2 )1, (3 )1, (4 )1YY TYTYTYT 121234511( )( ) ( )(2)2(1)Y zz R zzzzzzzzz即：即：输入系列：输入系列：输出响应曲线如图输出响应曲线如图7-47-4所示。可见，按单位速度输入设计的所示。可见，按单位速度输入设计的211121 322232425(1)( )( ) ( )(2)2(1)3.5

23、711.5T zzY zz R zzzzT zT zT zT z222(0)0, ( )0, (2 ), (3 )3.5, (4 )7YY TYTTYTTYTT2222(0)0, ( )0.5, (2 )2, (3 )4.5, (4 )8RR TTR TTR TTR TT3 3）只改变输入信号为单位加速度信号：）只改变输入信号为单位加速度信号： 最小拍系统，当输入信号为单位加速度信号时，输出响应与输入最小拍系统，当输入信号为单位加速度信号时，输出响应与输入之间总存在偏差。之间总存在偏差。 图图7-4 单位加速度输入时最少拍系统响应曲线单位加速度输入时最少拍系统响应曲线 7-2 单位速度输入时最

24、少拍系统响应曲线图单位速度输入时最少拍系统响应曲线图7-3 单位阶跃输入时最少拍系统响应曲线图单位阶跃输入时最少拍系统响应曲线图 3. 最少拍控制系统输出量在采样点之间存在波纹最少拍控制系统输出量在采样点之间存在波纹【例【例7-2】 图图7-1所示系统，有所示系统，有 设计最少拍调节器设计最少拍调节器 ，并画出数字控制器输出控制量和系统输出波，并画出数字控制器输出控制量和系统输出波形。形。0101( ),( ),1 , ( )1( ),(1)TseG sHsTs R tts ss( )D z11021101( )( )10(1) (1)(1)TseG zH G zZzZss sss11121

25、21111111111110(1) 10(1)1(1)113.68(10.718)(1)(10.368)TTzzZzssszzezzzzz1( )1ezz 1111111111( )1 10.2720.100( )3.68(10.718)( )( )10.718(1)(1)(10.368)eeZzzD ZzzG ZZzzzz1121( )( ) ( )1( ) ( )1kezY zz R zz R zzzzz111( )( ) ( )(1)11eE zz R zzz解：解：若输入信号为单位阶跃信号，根据式（若输入信号为单位阶跃信号，根据式（7-14）可得：）可得：(0)0;y(1)(2)(3)

26、( )1yyyy k12( )(0)(1)(2)( )1kE zeezeze k z(0)1;e(1)(2)(3)( )0eeee k111( )0.272 0.100( )(z) ( )1( )1 0.718Y zzU zDE zG zz12340.2720.2950.2120.1520.109zzzz现考察此时的输出序列：现考察此时的输出序列：偏差：偏差：故故 可见当经过一个采样周期后（可见当经过一个采样周期后（ts=1s）系统稳态无静差。控制量：）系统稳态无静差。控制量： 4. 4. 最少拍系统的其他局限性最少拍系统的其他局限性（1）最少拍控制器对参数变化过于敏感）最少拍控制器对参数变化

27、过于敏感 （2） 控制作用易超出范围控制作用易超出范围画出系统数字控制器输出控制量和系统输出波形如图画出系统数字控制器输出控制量和系统输出波形如图7-5所示。所示。1( )( )( )( )ezD z G zz( ) z( ) z1( )G z( ) z( ) z闭环系统的稳定性，是由闭环系统的稳定性，是由的极点在的极点在Z平面的分布决定的，平面的分布决定的，的零点对系统的快速性也将产生一定的影响。而的零点对系统的快速性也将产生一定的影响。而的零、极点对的零、极点对有直接的影响。有直接的影响。的极点应全部在单位圆内。的极点应全部在单位圆内。 为了保证闭环系统稳定，其闭环脉冲传递函数为了保证闭环

28、系统稳定，其闭环脉冲传递函数5. 5. 最少拍数字控制器的限制条件最少拍数字控制器的限制条件 （1）当）当 1( )G z含有单位圆上或圆外的极点时，将这些极点作为含有单位圆上或圆外的极点时，将这些极点作为 ( )ez（2）当）当 1( )G z1( )G z( ) z( ) z含有单位圆上或圆外的零点时，含有单位圆上或圆外的零点时， 将这些零点作为将这些零点作为 的零点；的零点； （3）当）当 含有纯滞后环节时，则在含有纯滞后环节时，则在 的分子中含有的分子中含有 1z因子。因子。 的零点；的零点； 由式由式10( )(1)(10.1 )G ssss0.5Ts【例【例7-3】 设最少拍随动系

29、统，被控对象的传递函数设最少拍随动系统，被控对象的传递函数，采样周期，采样周期设计单位阶跃函数输入时的最少拍数字控制器。设计单位阶跃函数输入时的最少拍数字控制器。解：该系统广义对象的脉冲传递函数解：该系统广义对象的脉冲传递函数12111 2111011111111101011100 91 9( )(1)()(1)(10.1 )1101909910019(1)1110.7385(1 1.4815)(10.05355)(1)(10.6065)(10.0067)TsTsTTeG szzesssssssszTzzzezezzzzzzz1z1.4815z ( ) z1(1 1.4815)z1z( )ez

30、1z 上式中包含有上式中包含有和单位圆外零点和单位圆外零点为满足限制条件为满足限制条件(2)、条件、条件(3)，要求闭环脉冲传递函数，要求闭环脉冲传递函数中含有中含有项及项及的因子。又因为式中含有一个极点的因子。又因为式中含有一个极点(Z=1)在单位圆上，因此，根据限制条件在单位圆上，因此，根据限制条件(1)，必须有一个必须有一个的零点。的零点。 ( ) z( )ez1z( )1( )ezz 1111( )1( )(1 1.4815)( )(1)(1)eezzazzzzbz 1212(1)1.4815b zbzazaz11.4815baba0.403a 0.597b 1111( )0.403(

31、1 1.4815)( )(1)(10.597)ezzzzzz11111( )0.5457(10.6065)(10.0067)( )( )( )(10.597)(10.05355)ezzzD zz G zzz故可得（注意故可得（注意和和中中的最高次幂必须相等，因为的最高次幂必须相等，因为式中，式中，a、b为待定系数。由上述方程组可得为待定系数。由上述方程组可得；比较等式两边的系数，可得；比较等式两边的系数，可得；由此可解得待定系数；由此可解得待定系数，。代人方程组，则。代人方程组，则于是，可求出数字控制器的脉冲传递函数于是，可求出数字控制器的脉冲传递函数上述控制器在物理上是可以实现的。上述控制器

32、在物理上是可以实现的。1112311( )( ) ( )0.403(11.4815)0.4031Y zz R zzzzzzz(0)0, ( )0.403, (2 )(3 )1YY TYTYT离散系统经过数字校正后，在单位阶跃作用下，系统输出响应的离散系统经过数字校正后，在单位阶跃作用下，系统输出响应的z变换为变换为由此可得，由此可得，由于闭环由于闭环z传递函数包含了单位圆外零点，所以系统的调节时间延长到两拍传递函数包含了单位圆外零点，所以系统的调节时间延长到两拍(1s)。7.3 7.3 最少拍无纹波随动系统的设计最少拍无纹波随动系统的设计1. 最少拍有纹波随动系统存在的问题最少拍有纹波随动系统

33、存在的问题1）系统的输出响应在采样点之间有波纹存在，）系统的输出响应在采样点之间有波纹存在，输出波纹不仅影响系统质量（如过大的超调和持续振荡），输出波纹不仅影响系统质量（如过大的超调和持续振荡），而且还会增加机械磨损和功率消耗。而且还会增加机械磨损和功率消耗。2）系统对输入信号的变化适应能力比较差。）系统对输入信号的变化适应能力比较差。3）对参数变化过于敏感。系统参数一旦变化，）对参数变化过于敏感。系统参数一旦变化，就不能再满足控制要求。就不能再满足控制要求。2. 产生纹波的原因产生纹波的原因1）采样系统的极点与稳定性和动态响应的关系）采样系统的极点与稳定性和动态响应的关系2）产生纹波的原因）

34、产生纹波的原因 ( )u k( )u k( )U z数字控制器的输出序列数字控制器的输出序列经若干拍数后，不为常值或零，而是振荡收敛的。经若干拍数后，不为常值或零，而是振荡收敛的。作用在保持器的输入端，保持器的输出也必然波动，作用在保持器的输入端，保持器的输出也必然波动，使系统输出在采样点之间产生纹波。使系统输出在采样点之间产生纹波。非采样时刻的纹波现象不仅造成系统在非采样时刻有偏差，非采样时刻的纹波现象不仅造成系统在非采样时刻有偏差，而且浪费执行机构的功率，增加机械磨损。而且浪费执行机构的功率，增加机械磨损。而控制量序列而控制量序列值不稳定，是因为控制量值不稳定，是因为控制量含有左半平面单位

35、圆内非零极点。含有左半平面单位圆内非零极点。根据图根据图7-11所示极点分布与瞬态响应的关系，所示极点分布与瞬态响应的关系，左半平面单位圆内非零极点虽然是稳定的，左半平面单位圆内非零极点虽然是稳定的，但对应的时域响应是振荡收敛的。但对应的时域响应是振荡收敛的。 3）最少拍无纹波设计就是要求在典型输入信号的作用下，）最少拍无纹波设计就是要求在典型输入信号的作用下，经过有限拍，系统达到稳定，并且在采样点之间没有纹经过有限拍，系统达到稳定，并且在采样点之间没有纹波，波，输出误差为零，控制量保持恒定输出误差为零，控制量保持恒定。3. 消除纹波的附加条件消除纹波的附加条件( ) z1( ) ( )( )

36、( )z R zU zG z( ) z1( )G z( ) z1( )G z最少拍无纹波系统的设计，是在最少拍控制存在波纹时，对期望闭环响应最少拍无纹波系统的设计，是在最少拍控制存在波纹时，对期望闭环响应进行修正，以达到消除采样点之间波纹的目的。进行修正，以达到消除采样点之间波纹的目的。除了按照上一节选择除了按照上一节选择以保证控制器的可实现性和闭环系统的稳定性之外，还应将被控对象以保证控制器的可实现性和闭环系统的稳定性之外，还应将被控对象在单位圆内的非零零点包括在在单位圆内的非零零点包括在以便在控制量的以便在控制量的Z变换中消除引起振荡的所有极点。变换中消除引起振荡的所有极点。无纹波系统的调

37、整时间比有纹波系统的调整时间增加若干拍，无纹波系统的调整时间比有纹波系统的调整时间增加若干拍， 增加的拍数等于增加的拍数等于在单位圆内的零点数目。在单位圆内的零点数目。中，中，4. 4. 最少拍无纹波随动系统的设计举例最少拍无纹波随动系统的设计举例 由消除纹波的附加条件可确定最少拍无纹波的方法如下：由消除纹波的附加条件可确定最少拍无纹波的方法如下： 1 1）先按有纹波设计方法确定；）先按有纹波设计方法确定； 2 2）再按无纹波附加条件确定。）再按无纹波附加条件确定。 1( )(12 )G sss1Ts【例【例7-4】 设最少拍随动系统，被控对象的传递函数设最少拍随动系统，被控对象的传递函数采样

38、周期采样周期解：（解：（1）最少拍有纹波设计）最少拍有纹波设计该系统广义对象的脉冲传递函数该系统广义对象的脉冲传递函数。设计单位阶跃函数输入时的最少拍无纹波数字控制器。设计单位阶跃函数输入时的最少拍无纹波数字控制器11111110.213(10.847)( )(12 )(1)(10.6065)TsezzG zzssszz11( )1( )( )(1)eezzzzz 111( )10.6065( )( )( )0.213(10.847)ezzD zz G zz1121( )( ) ( )1( ) ( )1kezY zz R zz R zzzzz1111111234(10.6065)(1)4.69

39、52.847( )( )( ) ( )0.213(10.847)(1)10.8474.6956.8245.784.8954.146ezzzU zD zz R zzzzzzzz 控制量和系统输出波形如图控制量和系统输出波形如图7-12所示，所示，可见控制量不稳定，将使系统输出出现纹波。可见控制量不稳定，将使系统输出出现纹波。1( )G z1z10.847z 11P ( ) z1z1( )G z( )ez1( )G z( ) z1111( )1( )(10.847)( )(1)(1)eezzazzzzbz （2）无波纹控制器设计）无波纹控制器设计具有具有的因子，零点的因子，零点和单位圆上的极点和单

40、位圆上的极点。根据前面的分析，。根据前面的分析，应包含应包含的因子和的因子和的全部零点，的全部零点， 应由应由的不稳定极点和的不稳定极点和的阶次决定，所以有的阶次决定，所以有式中，式中，a、b为待定系数。为待定系数。由（由（1）可见，）可见，1212(1)0.847b ZbZaZaZ10.847baba0.541a 0.459b 由上述方程组可得由上述方程组可得比较等式两边的系数，可得比较等式两边的系数，可得由此可解得待定系数由此可解得待定系数；。代人方程组，则代人方程组，则1111( )0.541(10.847)( )(1)(10.459)ezzzzzz111( )2.54(10.6065)

41、( )( )( )10.459ezzD zz G zz( )D z( )U z1111112.54(10.6065)(1)(10.459)( )( )( ) ( )(10.459)(1)2.541.54ezzzU zD zz R zzzz(0)2.54;( )1.54;(2 )(3 )(4 )=0UU TUTUTUT ()0U KT 1112310.541(10.847)( )( ) ( )0.5411zzY zz R zzzzz(0)0, ( )0.541, (2 )(3 )1YY TYTYT为了检验以上设计的为了检验以上设计的是否仍然有波纹存在，我们来看一下控制量是否仍然有波纹存在，我们来

42、看一下控制量。可见，系统经过两拍以后，可见，系统经过两拍以后，所以本系统设计是无纹波的。所以本系统设计是无纹波的。离散系统经过数字校正后，在单位阶跃作用下，系统输出响应的离散系统经过数字校正后，在单位阶跃作用下，系统输出响应的z变换为变换为由此可得，由此可得， （a）控制器输出 （b）系统输出可见控制量稳定，将使系统输出无纹波。可见控制量稳定，将使系统输出无纹波。无纹波系统的调整时间比有纹波系统的调整时间增加一拍，无纹波系统的调整时间比有纹波系统的调整时间增加一拍，增加的拍数正好等于增加的拍数正好等于 在单位圆内的零点数目。在单位圆内的零点数目。1( )G z7.4 7.4 大林算法大林算法.

43、 .在工业过程在工业过程( (如热工、化工如热工、化工) )控制中，由于物料或能量的传输延迟，控制中，由于物料或能量的传输延迟，许多被控制对象具有纯滞后性质。对象的这种纯滞后性质常引起许多被控制对象具有纯滞后性质。对象的这种纯滞后性质常引起系统产生超调或者振荡。系统产生超调或者振荡。. .在控制系统设计中，对这类纯滞后对象的控制，快速性是次要的，在控制系统设计中，对这类纯滞后对象的控制，快速性是次要的，主要要求系统没有超调或很少的超调。主要要求系统没有超调或很少的超调。. .史密斯史密斯(Smith)(Smith)预估控制和达林（预估控制和达林（DahlinDahlin）算法就是专门针对工业）

44、算法就是专门针对工业生产过程中含有纯滞后控制对象的控制算法。生产过程中含有纯滞后控制对象的控制算法。. .达林算法的设计目标是：设计控制器使系统期望的闭环传递函数等达林算法的设计目标是：设计控制器使系统期望的闭环传递函数等价于纯滞后环节和一阶惯性环节的串联。价于纯滞后环节和一阶惯性环节的串联。7.4.1 7.4.1 大林算法的基本形式大林算法的基本形式( ) s( )G s大林算法的设计目标：大林算法的设计目标：设计一个合适的数字控制器，使整个闭环系统的传递函数设计一个合适的数字控制器，使整个闭环系统的传递函数相当于一个带有纯滞后的一阶惯性环节，相当于一个带有纯滞后的一阶惯性环节，并期望整个闭

45、环系统的纯滞后时间和被控对象并期望整个闭环系统的纯滞后时间和被控对象的纯滞后时间的纯滞后时间相同。相同。 ( )1sesT sT( ) z/1/111( )11TssT TNT TeKeezZzsT sez11111( )( )1(1)( )( )( )1( )( )1(1)tttN-T /TT /TT /TNU zzzeD zE zG zzG zezez通常认为对象与一个零阶保持器串联，通常认为对象与一个零阶保持器串联，相对应的整个闭环系统的脉冲传递函数相对应的整个闭环系统的脉冲传递函数为：为： 为闭环系统的时间常数。为闭环系统的时间常数。1( )G z( )D z假若已知被控对象的广义脉冲

46、传递函数假若已知被控对象的广义脉冲传递函数就可求出数字控制器的脉冲传递函数就可求出数字控制器的脉冲传递函数下面就具体环节的大林算法做简单说明下面就具体环节的大林算法做简单说明（1 1）、一阶惯性环节的达林算法）、一阶惯性环节的达林算法 当被控对象为带纯滞后的一阶惯性环节时当被控对象为带纯滞后的一阶惯性环节时 可以得到达林算法的数字控制器为：可以得到达林算法的数字控制器为：1( )1sKG seTs11/11/1111( )11T TTssNT TeKeeG zZKzsTsez/1/11( )1T TNT Tezzez11/1/111( )(1)(1)( )( )(1( )(1)1(1)T TT

47、 TT TT TT TNzeezD zG zzKeezez当被控对象为带纯滞后的二阶惯性环节时当被控对象为带纯滞后的二阶惯性环节时其中：其中：可以得到达林算法的数字控制器为：可以得到达林算法的数字控制器为：12( )(1)(1)sKeG sTsT s1211121/1112()1( )(1)(1)(1)(1)NTssT TT TKzCC zeKeG zZsT sT sezez12/1122111()T TT TCTeTeTT 1221(1/1/)/1/212211()TTTT TTCeTeTeTT/1/11( )1T TNT Tezzez12/11/111112( )(1)(1)(1)( )(

48、 )(1( )()1(1)T TT TT TT TT TNzeezezD zG zzK CC zezez（2 2）二阶惯性环节的达林算法）二阶惯性环节的达林算法 所谓振铃（所谓振铃（RingingRinging）现象，是指数字控制器的）现象，是指数字控制器的输出输出u(k)u(k)以以1/21/2采样频率（采样频率（2T2T采样周期）采样周期） 大幅度上大幅度上下摆动。振铃现象对系统的输出几乎无影响，但会下摆动。振铃现象对系统的输出几乎无影响，但会增加执行机构的磨损，并影响多参数系统的稳定性。增加执行机构的磨损，并影响多参数系统的稳定性。7.4.2 7.4.2 振铃现象及其消除方法振铃现象及其

49、消除方法 振铃现象与被控对象的特性、闭环时间常数、采振铃现象与被控对象的特性、闭环时间常数、采样时间、纯滞后时间的大小等有关。样时间、纯滞后时间的大小等有关。系统的输出系统的输出Y(z)Y(z)和数字控制器的输出和数字控制器的输出U(z)U(z)间有下列关系：间有下列关系： Y(z)=Y(z)= U(z)G1(z)U(z)G1(z) 系统的输出系统的输出Y(z)Y(z)和输入函数的和输入函数的R(z)R(z)之间有下列关系：之间有下列关系： Y(z)=Y(z)= (z)R(z)(z)R(z) 则数字控制器的输出则数字控制器的输出U(z)U(z)与输入函数的与输入函数的R(z)R(z)之间的关系

50、：之间的关系：其中，其中， 表达了数字控制器的输出与输入表达了数字控制器的输出与输入函数在闭环时的关系，是分析振铃现象的基础函数在闭环时的关系，是分析振铃现象的基础。 1( )( )( )( ) ( )( )mzU zR zz R zG z1( )( )( )( )( )mezzzD zG z1.1.振铃现象的分析振铃现象的分析( )mzz1z 根据图根据图7-11所示极点位置与相应的脉冲响应图，分析所示极点位置与相应的脉冲响应图，分析在在平面负实轴上的极点分布情况，就可得出振铃现象的有关结论：平面负实轴上的极点分布情况，就可得出振铃现象的有关结论：（1） 极点距离极点距离 越近，振铃现象越严

51、重；越近，振铃现象越严重；（2） 单位圆内右半平面的零点会加剧振铃现象；单位圆内右半平面的零点会加剧振铃现象；（3） 单位圆内右半平面的极点会减弱振铃现象。单位圆内右半平面的极点会减弱振铃现象。对于单位阶跃输入信号对于单位阶跃输入信号 含有极点含有极点z=1z=1。 如果如果 的极点在负实轴上，且与的极点在负实轴上，且与z = -1z = -1接近，则数字控制器的接近，则数字控制器的输出序列输出序列 u u( (k k) )中将含有这两个极点造成的瞬态项，且瞬态项的符号中将含有这两个极点造成的瞬态项，且瞬态项的符号在不同时刻不相同，可能叠加也可能抵消（当两瞬态项符号相同时，在不同时刻不相同，可

52、能叠加也可能抵消（当两瞬态项符号相同时，数字控制器的输出控制作用加强；符号相反时，控制作用减弱），从数字控制器的输出控制作用加强；符号相反时，控制作用减弱），从而造成数字控制器的输出序列大幅度波动。而造成数字控制器的输出序列大幅度波动。 极点距离极点距离 z = -1z = -1越近，振铃现象越严重。假设越近，振铃现象越严重。假设 含有含有1/(z-a)1/(z-a)因子（因子（a0a0），即），即 有有z=az=a极点。则输出序列极点。则输出序列u u(k)(k)必有必有分量：分量：11( )1R zz11111( )kzu kZZzazaza( )mz( )mz( )mz 因为因为a0a0

53、，则存在振铃现象，且，则存在振铃现象，且RA值越大，振铃现象越严重。值越大，振铃现象越严重。 121212121( )1mb zb zza za z1212111121211( )( ) ( )1(1)1(1)()mb zb zU zz R zbazazaa z 11111(1)RAbaab 122/1T TT TT TCRAeeeC0T 0lim2TRA单位阶跃输入下单位阶跃输入下 对带纯滞后的二阶惯性环节对带纯滞后的二阶惯性环节时，方法方法1 1：找出：找出D(z)D(z)中引起振铃的因子中引起振铃的因子(z=-1(z=-1附近的极点附近的极点) )， 令其中的令其中的z=1z=1。根据终

54、值定理，这样处理不影响输出量的稳态值但瞬态特性会。根据终值定理，这样处理不影响输出量的稳态值但瞬态特性会变化，数字控制器的动态性能也会影响。变化，数字控制器的动态性能也会影响。方法方法2 2：从保证闭环系统的特性出发，选择合适的采样周期：从保证闭环系统的特性出发，选择合适的采样周期T T及系统及系统闭环时间常数闭环时间常数 ，使系统振铃幅度抑制在最低限度内，数字控制器，使系统振铃幅度抑制在最低限度内，数字控制器的输出避免产生强烈的振铃现象。的输出避免产生强烈的振铃现象。 3.3.振铃现象的消除振铃现象的消除T7.4.3 7.4.3 大林算法的设计步骤大林算法的设计步骤T( /)T1( )G z( )D z（1 1）根据系统的性能，确定闭环系统的参数）根据系统的性能，确定闭环系统的参数（3 3）确定纯滞后时间）确定纯滞后时间与采样周期与采样周期T T之比之比及闭环系统的脉冲传递及闭环系统的脉冲传递, ,给出振铃给出振铃幅度幅度RARA的指标；的指标；（2 2）由式（）由式（7-357-35）所确定的振铃幅度）所确定的振铃幅度RARA与采样周期与采样周期T T的关系，的关系， 解出给定振铃