建筑平面图形几何性质

1、任课任课教师教师陈德先陈德先授课授课班级班级1212造价造价与造价与造价授课授课时间时间2013/2013/学学时时4课课 题题平面图形的几何性质平面图形的几何性质+ +作业评讲作业评讲课型课型新授课新授课讲评课讲评课教学教学方法方法讲练结合法讲练结合法教学教学目的目的了解平面图形了解平面图形对轴对轴的的静矩静矩、惯性矩惯性矩、惯性半径惯性半径和和惯性积惯性积等等概念及计算公式、单位、正负情况等；概念及计算公式、单位、正负情况等；记住记住圆形和矩形的圆形和矩形的形心主惯矩的计算公式形心主惯矩的计算公式；会会使用使用型钢表型钢表。 教学教学重点重点平面图形对轴的静矩、惯性矩、惯性半径和惯性积等概

2、念平面图形对轴的静矩、惯性矩、惯性半径和惯性积等概念教学教学难点难点平行移轴公式，计算组合图形的形心主惯矩。平行移轴公式，计算组合图形的形心主惯矩。 南充职业技术学院土木工程系建筑力学多媒体课件南充职业技术学院土木工程系建筑力学多媒体课件重心的有关知识，在工程实践中是很有用的，必重心的有关知识，在工程实践中是很有用的，必须要加以掌握。须要加以掌握。 如挡土墙与水电站大坝的稳定性如挡土墙与水电站大坝的稳定性 一、重心与形心的概念：一、重心与形心的概念：1 1、重力重力的概念：重力就是的概念：重力就是地球对物体地球对物体的吸引力。的吸引力。 2 2、物体的、物体的重心重心：物体重力的：物体重力的合

3、力作用点合力作用点称为物体的称为物体的重心。重心。 注：无论物体怎样注：无论物体怎样放置放置，重心总是一个，重心总是一个确定点确定点，重心的位置保持不变。重心的位置保持不变。 3 3、形心形心：物体的：物体的几何中心几何中心称为物体的形心。称为物体的形心。 力不仅可以使刚体绕着一力不仅可以使刚体绕着一点点转动，还可以转动，还可以使使刚刚体绕着体绕着轴轴转动。那么这个转动。那么这个转动效应转动效应我们用我们用力对轴力对轴之矩之矩表示。表示。FFxyzdFMzoFxyFzFxydF定义：力在垂直于该轴的平面上的投影对该轴与该平面交定义：力在垂直于该轴的平面上的投影对该轴与该平面交点之矩，称为力对轴

4、的矩。点之矩，称为力对轴的矩。补充内容补充内容：力对轴之矩力对轴之矩显然力对轴之矩不直接与力的大小有关。显然力对轴之矩不直接与力的大小有关。（一）、 一般物体 重心的座标公式（依据：力对轴的合力矩定理）：（二）、均质物体的二）、均质物体的形心坐标公式形心坐标公式 若物体为若物体为均质均质的，设其的，设其密度密度为为，总体总体积积为为V,V,微块微块的体积为的体积为V Vi i，则，则G=gV,GG=gV,Gi igVgVi i，代入重心坐标公式，即可得到均质，代入重心坐标公式，即可得到均质物体的形心坐标公式如下：物体的形心坐标公式如下：注：均质物体的重心、形心的位置重合。（三）、均质三）、均质

5、等厚薄板等厚薄板的形心（的形心（平面图形平面图形形形心）公式：心）公式：面积无限分割面积无限分割差分式差分式积分式积分式后面用后面用zoyzoy表示平表示平面直角坐标系面直角坐标系（四）、物体形心位置的四）、物体形心位置的确定方法确定方法 ： 1 1、对称法对称法 凡是具有凡是具有对称面对称面、对称轴对称轴或或对称中心对称中心的简的简单形状的均质物体，其单形状的均质物体，其形心一定在它的对形心一定在它的对称称面面、对称、对称轴轴和对称和对称中心中心上上。对称法求重心的应用对称法求重心的应用 2 2、分割法：分割法： 由由几个简单基本图形组合而成的图形几个简单基本图形组合而成的图形称组合称组合图

6、形。图形。 在计算它们的形心时，可先将其分割为几块在计算它们的形心时，可先将其分割为几块基本图形，基本图形，利用查表法利用查表法查出及查出及对称法对称法得出每块图得出每块图形的形心位置与面积，然后利用形心坐标公式求形的形心位置与面积，然后利用形心坐标公式求出整体的形心位置。此法称为出整体的形心位置。此法称为分割法分割法。3 3、负面积法：、负面积法： 仍然用分割法的公式，只不过仍然用分割法的公式，只不过去掉部分的去掉部分的面积用负值面积用负值。O4 4、积分法、积分法（实际应用（实际应用-查表）查表）AydAyAcAzdAzAcO 从前面几章介绍的应力和变形的计算公式中可以看从前面几章介绍的应

7、力和变形的计算公式中可以看出，应力和变形不仅与杆的出，应力和变形不仅与杆的内力内力有关，还与杆件截面的有关，还与杆件截面的横截横截面积面积A A、极惯性矩极惯性矩I IP P、抗扭截面系数抗扭截面系数W WP P等一些几何量等一些几何量密切相关。密切相关。 这些与平面图形这些与平面图形几何形状和尺寸几何形状和尺寸有关的几何量统称有关的几何量统称为为平面图形的几何性质平面图形的几何性质。 平面图形的几何性质是平面图形的几何性质是影响杆件承载能力的重要因素。影响杆件承载能力的重要因素。 平面图形的几何性质是纯粹的几何问题，与研究对象平面图形的几何性质是纯粹的几何问题，与研究对象的力学性质无关，但它

8、是杆件强度、刚度计算中不可缺的力学性质无关，但它是杆件强度、刚度计算中不可缺少的几何参数。少的几何参数。二、二、平面图形的几何性质平面图形的几何性质微面积微面积d dA A与坐标与坐标 y y（或坐标（或坐标 z z）的乘积称为）的乘积称为微微面积面积d dA A对对z z轴（或轴（或y y轴）的静矩轴）的静矩这些微小乘积在整个面积这些微小乘积在整个面积 A A内的总和，称为内的总和，称为该该平面图形对平面图形对z z轴（或轴（或y y轴）的静矩轴）的静矩。用用SzSz（或（或SySy）表示。即）表示。即1 1、静矩（面积矩、一次矩）、静矩（面积矩、一次矩）AozyyzdAozyAdAzy A

9、ydAzS AzdAyS图形对图形对y y轴的静矩轴的静矩图形对图形对z z轴的静矩轴的静矩从上述定义可以看出，平面图形的静矩是对指定从上述定义可以看出，平面图形的静矩是对指定的的坐标轴坐标轴而言的。而言的。 同一平面图形对同一平面图形对不同的坐标轴不同的坐标轴，其静矩显然，其静矩显然不同不同。 静矩的数值可能为静矩的数值可能为正正，可能为，可能为负负，也可能等于，也可能等于零零。 常用单位是常用单位是 m m3 3或或 mmmm3 3。若图形若图形形心形心C C已知已知，由，由ozyACcyczAydAyAcASzAzdAzAcASy求静矩的求静矩的另一公式另一公式：AySczAzScy若若

10、zyAC, 0, 0cczy则则. 0, 0yzSS如果截面对某一轴如果截面对某一轴的的静矩静矩等于零等于零，则，则该该轴必过截面的形轴必过截面的形心心；反之，截面对；反之，截面对于通过形心的轴的于通过形心的轴的静矩必等于零。静矩必等于零。AySczAzScy2 2、惯性矩（二次矩）、惯性矩（二次矩）ozyAdAzy AydAzI AzdAyI图形对图形对y y轴的惯矩轴的惯矩图形对图形对z z轴的惯矩轴的惯矩惯矩恒惯矩恒 0 0；,2AiIyyAiIzz2所以所以,AIiyyAIizzzyii ,惯性半径惯性半径（单位：（单位： ） m从上述惯性矩的定义可以看出，惯性矩也是对从上述惯性矩的定

11、义可以看出，惯性矩也是对坐标轴而言的。坐标轴而言的。在工程中因为某些计算的特殊需要，常将图形的惯在工程中因为某些计算的特殊需要，常将图形的惯性矩表示为性矩表示为图形面积图形面积 A A与某一长度平方的乘积与某一长度平方的乘积。即。即单位：单位：4m mm4 mm3 3、极惯性矩、极惯性矩ozyAdAzyAPdAI2图形对图形对o o点点的极惯矩的极惯矩222yzAPdAI2AdAyz)(22AAdAydAz22zyII 极惯性矩是极惯性矩是对点对点来说的，同一图形对不同点的来说的，同一图形对不同点的极惯性矩也不相同。极惯性矩也不相同。 图形对图形对o o点的极惯矩点的极惯矩等于等于对过对过o

12、o点同一平面内任意一点同一平面内任意一 对相互垂直轴的惯矩之和。对相互垂直轴的惯矩之和。4 4、惯性积、惯性积AyzyzdAI图形对图形对y y、z z两轴的惯性积两轴的惯性积单位单位：4mozyAdAzy 可可 0； 0； 0；yzI若图形有一对称轴，则若图形有一对称轴，则0yzI mm4若若, 0yzI则则y y、z z轴称为轴称为主惯性轴（主轴）主惯性轴（主轴）。对称轴一定是主轴，主轴不一定是对称轴。对称轴一定是主轴，主轴不一定是对称轴。通过形心的主轴称为形心主惯性轴。通过形心的主轴称为形心主惯性轴。惯性积是平面图形对某惯性积是平面图形对某两个正交坐标轴而言两个正交坐标轴而言，同一图形对

13、，同一图形对不同的正交坐标轴，其惯性积不同。不同的正交坐标轴，其惯性积不同。平面图形对平面图形对形形心主惯性轴心主惯性轴的惯性矩称为的惯性矩称为形心主惯性矩形心主惯性矩在工程实际中，经常遇到工字形、在工程实际中，经常遇到工字形、T T形、环形、环形等横截面的构件，这些构件的截面图形形等横截面的构件，这些构件的截面图形是由几个简单的几何图形组合而成的，称是由几个简单的几何图形组合而成的，称为为组合图形。组合图形。三、组合图形的几何性质三、组合图形的几何性质dD根据定义：根据定义： 整个图形对某一轴的整个图形对某一轴的惯惯性性矩（静矩、惯矩（静矩、惯性性积积）等于等于各个分图形对同一轴的惯各个分图

14、形对同一轴的惯性性矩（静矩、惯矩（静矩、惯性性积积）之和之和。IIIIIIzy例如例如: :IIIIIIAAAA则则dAzIAy2IIIIIIzydAzdAzdAzIIIIIIAAA222yIIIyIIyIIIImiyiI1同理同理,1mizizII,1mizizSS,1miyiySSmiyziyzII1AaIIzcz2CzcycyzObadAczAbIIycy2cy四、平行移轴公式四、平行移轴公式 注意：注意：例例1:1:极惯性矩极惯性矩的计算的计算实心圆截面实心圆截面Dd2dAd6424PDIIIzy空心圆截面空心圆截面ddD2222Ddd4432dD222DdPIdA小大zzzyIIII)1 (64144Dzybh例例2：求：求zyyzyzyziiIIISS,解：解：. 0, 0yzSS（1）（2）dAzIAy2ydy3121bhdAyIAz23121hbAIiyyAIizz,63hb63c0yzIdybyhh2222233hhybC1C2C1C2333313333310270 1050 10150 10m=90mm300 1030 10270 1050 10iCiiCiiA