第三章 直线与平面平面与平面的相

1、第三章第三章 直线与平面、平面与平面的相对位置直线与平面、平面与平面的相对位置3 31 1 平行问题平行问题1. 若一直线平行于平面上的若一直线平行于平面上的任一直线，则该直线必平行任一直线，则该直线必平行于此平面。于此平面。3-1 3-1 平行问题平行问题一、直线与平面平行一、直线与平面平行直线与平面平行、两平面互相平行直线与平面平行、两平面互相平行2. 若一直线平行于一平面，若一直线平行于一平面，通过平面上的任一点必能在通过平面上的任一点必能在该平面上作一直线平行于已该平面上作一直线平行于已知直线。知直线。A B C D aa a b b b bc c d d c c d d f f e

2、e e e f f p p 3 31 1 平行问题平行问题c c a a a ab b b bd d e e d d e e c c f f f f 直线直线ABAB不平行于已知平面不平行于已知平面。例例1 1 判断直线判断直线ABAB是否平行于是否平行于CDECDE平面。平面。3 31 1 平行问题平行问题c c k k k kb b b bd d e e d d e e c c 例例2 2 过点过点K K作水平线作水平线ABAB平行于平行于CDECDE平面平面f f f f 3 31 1 平行问题平行问题c c b b b bd d e e d d e e c c 例例3 3 过点过点A

3、A作一铅垂面平行于作一铅垂面平行于DEDE直线。直线。a a a a3 31 1 平行问题平行问题ABCEF GPQ若一平面上的相交两直线对应平行于另一平面上的相交若一平面上的相交两直线对应平行于另一平面上的相交两直线，则此两平面互相平行。两直线，则此两平面互相平行。二、两平面互相平行二、两平面互相平行3 31 1 平行问题平行问题例例4 4 过点过点K K作一平面，使其与平面作一平面，使其与平面ABCABC平行。平行。分析：分析：如果过如果过K点作两条相交直线分别平行于点作两条相交直线分别平行于ABC的两条边，的两条边，则这两条相交直线所确定的平面就平行于已知平面。则这两条相交直线所确定的平

4、面就平行于已知平面。作图步骤作图步骤：2 2）作）作KDAC(k d a c ,kdac);a cac bb k ke ed dX1 1）作）作KEBC(k e b c , kebc);3 3）平面）平面KDE即为所求。即为所求。3 31 1 平行问题平行问题例例5 5 过过K K点作平面平行于点作平面平行于ABCABC 两特殊位置平面相互平行时，它们有积聚性的同面投影互相平行。两特殊位置平面相互平行时，它们有积聚性的同面投影互相平行。X12Xa a b b b bc c a ac c b b m m m mk k k kf ff f c c c c a aa a b bk kk k 1 1

5、2 2 3 31 1 平行问题平行问题例例6 6 过过K K点作平面平行于已知平面。点作平面平行于已知平面。Xa a b b b bc c a ak k k kc c d d d d m m f f g h hgf fm msdaacbPHSH例例7 7 试判断两平面是否平行。试判断两平面是否平行。3 31 1 平行问题平行问题a a b b c c d d f f e e e e f f s s r r r rs s3 32 2 相交问题相交问题3-2 3-2 相交问题相交问题PKAB交点交点直线与平面相交直线与平面相交平面与平面相交平面与平面相交BAMCNL交线交线3 32 2 相交问题相

6、交问题一、直线与平面相交一、直线与平面相交PKAB交点特性：交点特性： 直线与平面的共有点直线与平面的共有点;1. 直线可见性的分界点。直线可见性的分界点。3 32 2 相交问题相交问题1.1.一般位置直线与特殊位置平面相交一般位置直线与特殊位置平面相交FEKPABCPHb ba ac c k k 特殊位置平面投影有积聚性特殊位置平面投影有积聚性 直线与平面的交点属于直线直线与平面的交点属于直线和平面和平面 交点的投影一定与平面的积聚交点的投影一定与平面的积聚性投影重合性投影重合3 32 2 相交问题相交问题2. 2. 特殊位置直线与一般位置平面相交特殊位置直线与一般位置平面相交EBCb ba

7、 ac c 特殊位置直线投影有积聚性特殊位置直线投影有积聚性 直线与平面的交点属于直线直线与平面的交点属于直线和平面和平面 交点的投影一定与直线的积聚交点的投影一定与直线的积聚性投影重合性投影重合AFKa a b b c c k ke f k k e e k 3 32 2 相交问题相交问题例例8 8 求求DEDE直线与直线与 ABCABC的交点。的交点。k k1 2 (1)2Xd e a b c abcde 直线与平面的交点直线与平面的交点K属于直属于直线和平面线和平面 ，所以交点的正，所以交点的正投影投影k 可以确定。可以确定。利用线上定点的方法可以利用线上定点的方法可以求出交点的水平投影求

8、出交点的水平投影k 。三角形三角形ABC为正垂面，为正垂面，正投影正投影a b c 积聚。积聚。 利用重影点判定直线的可利用重影点判定直线的可见性。见性。3 32 2 相交问题相交问题例例9 求求DE直线与直线与 ABC的交点。的交点。k kd e a b c abcdef 直线与平面的交点直线与平面的交点K属于直线属于直线和平面和平面 ，所以交点的水平投影，所以交点的水平投影k可以先确定。可以先确定。利用面上定点的方法可以求出利用面上定点的方法可以求出交点的正面投影交点的正面投影k 。直线直线EF为铅垂线，水平投影为铅垂线，水平投影有积聚性。有积聚性。 判定直线的可见性。判定直线的可见性。f

9、 3 32 2 相交问题相交问题二、平面与平面相交二、平面与平面相交交线特性：交线特性：1. 1. 交线是两平面的公有线。交线是两平面的公有线。ABCNEF GM2. 2. 交线的投影一般是直线。交线的投影一般是直线。3. 3. 交线是可见性的分界线。交线是可见性的分界线。3 32 2 相交问题相交问题a a b b b bc c g g d d f f e e a ac c d d e e f f g gn m nm例例10 求四边形求四边形DEFG与与 ABC的交线。的交线。分析与作图：分析与作图：四边形四边形DEFG是正垂面，所以是正垂面，所以 其正面投影有积聚性。其正面投影有积聚性。2

10、.交线是两个平面的共有线。交线是两个平面的共有线。 设交线为设交线为MN,则则m n 一定与一定与 平面的积聚性投影重合。平面的积聚性投影重合。3.利用面上定线的方法求出交利用面上定线的方法求出交 线的水平投影线的水平投影mn4.判别可见性。判别可见性。交线是可见性的分界线交线是可见性的分界线3 32 2 相交问题相交问题a a b b b bc c g g d d f f e e a ac c d d e e f f g g例例11 求两四边形求两四边形ABCD 与与EFGH的交线。的交线。分析与作图：分析与作图： 两四边形都是铅垂面，所以两四边形都是铅垂面，所以它们的水平投影有积聚性。它们

11、的水平投影有积聚性。2.交线是两个平面的共有线。交线是两个平面的共有线。设交线为设交线为MN,则则m n一定为两平一定为两平面积聚性投影的交点。面积聚性投影的交点。3. 求出交线的正面投影。求出交线的正面投影。4.判别可见性。判别可见性。n m nmh h h h问题：交线是什么位置线？问题：交线是什么位置线？3 32 2 相交问题相交问题求直线与平面交点、两平面交线作图方法总结求直线与平面交点、两平面交线作图方法总结: :1.利用特殊位置直线、平面的积聚性求交点利用特殊位置直线、平面的积聚性求交点(线线)的一个的一个 投影投影;2.利用线上定点或面上定点利用线上定点或面上定点,定直线的方法求

12、交点定直线的方法求交点 (线线)的另一个投影的另一个投影;3.利用积聚性或重影点判别可见性利用积聚性或重影点判别可见性.交点交点(线线)是可见性是可见性 的分界点的分界点(线线).3 33 3 垂直问题垂直问题3-3 3-3 垂垂 直直 问问 题题a a b b d d f f e e e e f f d d ABCDEF c cb ba a 已知直线已知直线EF垂直于四边垂直于四边形形ABCD平面。平面。2. 四边形四边形ABCD是铅垂面是铅垂面,其垂线其垂线EF一定为一定为水平水平线。故线。故ef必定与平面的必定与平面的水平投影垂直。水平投影垂直。 e f 平平行于行于OX轴。轴。3 33 3 垂直问题垂直问题例例12 12 求点求点G G到到 ABCABC平面的距离。平面的距离。a a b b b bc c f f g a ac c f f g 三角形三角形ABCABC是正垂面是正垂面, ,其垂线应其垂线应 为正平线。所以垂线的正投影为正平