高考数学函数概念与基本初等函数第2讲函数的基本性质第2课时函数的奇偶性及周期性教案文新人教A版

1、精选优质文档-倾情为你奉上第2课时函数的奇偶性及周期性一、知识梳理1函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称注意奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称，函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件2函数的周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小

2、正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期注意不是所有的周期函数都有最小正周期，如f(x)5.常用结论1函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|)(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性(3)在公共定义域内有：奇±奇奇，偶±偶偶，奇×奇偶，偶×偶偶，奇×偶奇2函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(xa)f(x)，则T2a(a>0)(2)若f(xa)，则T2a(a>0

3、)(3)若f(xa)，则T2a(a>0)二、习题改编1(必修1P35例5改编)下列函数中为偶函数的是()Ayx2sin xByx2cos xCy|ln x| Dy2x解析：选B.根据偶函数的定义知偶函数满足f(x)f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数，B选项为偶函数，C选项定义域为(0，)，不具有奇偶性，D选项既不是奇函数，也不是偶函数故选B.2(必修4P46A组T10改编)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x1，1)时，f(x)则f 解析：由题意得，ff4×21.答案：1一、思考辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“×”)(1)若f(x)是定义在R上

4、的奇函数，则f(x)f(x)0.()(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点()(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)f(x)g(x)是偶函数()(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件()(5)若T是函数的一个周期，则nT(nZ，n0)也是函数的周期()答案：(1)(2)×(3)(4)(5)二、易错纠偏(1)利用奇偶性求解析式忽视定义域；(2)周期不能正确求出从而求不出结果1已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x(1x)，则x<0时，f(x) 解析：当x<0时，则x0，所以f(x)(x)(1x)又

5、f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)(x)(1x)，所以f(x)x(1x)答案：x(1x)2已知函数f(x)满足f(x2).当1x3时，f(x)x，则f(105) 解析：因为f(x2)，所以f(x4)f(x)，故4为函数f(x)的一个周期f(105)f(4×261)f(1)1.答案：1判断函数的奇偶性(师生共研) 判断下列函数的奇偶性(1)f(x)x3；(2)f(x)；(3)f(x)【解】(1)原函数的定义域为x|x0，关于原点对称，并且对于定义域内的任意一个x都有f(x)(x)3f(x)，从而函数f(x)为奇函数(2)f(x)的定义域为1，1，关于原点对称又f(1)f(1)0，f

6、(1)f(1)0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数(3)f(x)的定义域为R，关于原点对称，当x0时，f(x)(x)22(x22)f(x)；当x<0时，f(x)(x)22(x22)f(x)；当x0时，f(0)0，也满足f(x)f(x)故该函数为奇函数判定函数奇偶性的3种常用方法(1)定义法(2)图象法(3)性质法设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，奇×奇偶，偶偶偶，偶×偶偶，奇×偶奇；复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”提醒对函数奇偶性的判断，不能用特殊值法，如存在x0使f(x0)f(x0)，不能判断函数

7、f(x)是奇函数已知函数f(x)，g(x)，则下列结论正确的是()Ah(x)f(x)g(x)是偶函数Bh(x)f(x)g(x)是奇函数Ch(x)f(x)g(x)是奇函数Dh(x)f(x)g(x)是偶函数解析：选A.易知h(x)f(x)g(x)的定义域为x|x0，关于原点对称因为f(x)g(x)f(x)g(x)，所以h(x)f(x)g(x)是偶函数故选A.函数奇偶性的应用(师生共研) (2019·高考全国卷)设f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)ex1，则当x0时，f(x)()Aex1Bex1Cex1 Dex1【解析】通解：依题意得，当x<0时，f(x)f(x)(ex1)ex1

8、，选D.优解：依题意得，f(1)f(1)(e11)1e，结合选项知，选D.【答案】D已知函数奇偶性可以解决的3个问题(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(x)0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得参数的方程或方程(组)，进而得出参数的值(一题多解)已知函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)x2x，则当x<0时，函数f(x)的最大值为 解析：法一：当x<0时，x>0，所以f(x)x2x.又因为函数f(x

9、)为奇函数，所以f(x)f(x)x2x，所以当x<0时，函数f(x)的最大值为.法二：当x>0时，f(x)x2x，最小值为，因为函数f(x)为奇函数，所以当x<0时，函数f(x)的最大值为.答案：函数的周期性(师生共研) (1)(2020·广东六校第一次联考)在R上函数f(x)满足f(x1)f(x1)，且f(x)其中aR，若f(5)f(4.5)，则a()A0.5 B1.5C2.5 D3.5(2)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0x<2时，f(x)x3x，则函数yf(x)的图象在区间0，4上与x轴的交点的个数为()A2 B3C4 D5【解析】(1

10、)由f(x1)f(x1)，得f(x)是周期为2的函数，又f(5)f(4.5)，所以f(1)f(0.5)，即1a1.5，所以a2.5.故选C.(2)当0x<2时，令f(x)x3xx(x21)0，所以yf(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x10，x21.当2x<4时，0x2<2，又f(x)的最小正周期为2，所以f(x2)f(x)，所以f(x)(x2)(x1)(x3)，所以当2x<4时，yf(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x32，x43.又f(4)f(2)f(0)0，综上可知，共有5个交点【答案】(1)C(2)D函数周期性的判定与应用(1)判断函数的周期性只需证明f(x

11、T)f(x)(T0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(kZ且k0)也是函数的周期已知定义在R上的函数满足f(x2)，当x(0，2时，f(x)2x1.则f(17) ，f(20) 解析： 因为f(x2)，所以f(x4)f(x)，所以函数yf(x)的周期T4.f(17)f(4×41)f(1)1.f(20)f(4×44)f(4)f(22).答案：1基础题组练1下列函数中，与函数y3|x|的奇偶性相同，且在(，0)上单调性也相

12、同的是()AyBylog2|x|Cy1x2 Dyx31解析：选C.函数y3|x|为偶函数，在(，0)上为增函数，选项A的函数为奇函数，不符合要求；选项B的函数是偶函数，但其单调性不符合要求；选项D的函数为非奇非偶函数，不符合要求；只有选项C符合要求2已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2xm，则f(2)()A3 BC. D3解析：选A.由f(x)为R上的奇函数，知f(0)0，即f(0)20m0，解得m1，则f(2)f(2)(221)3.3已知定义域为R的奇函数f(x)满足ff，且当0x1时，f(x)x3，则f()A BC. D.解析：选B.因为ff，所以ffff，又因为函数为奇

13、函数，所以ff.4已知定义域为a4，2a2的奇函数f(x)2 018x3sin xb2，则f(a)f(b)的值为()A0 B1C2 D不能确定解析：选A.依题意得a42a20，所以a2.又f(x)为奇函数，故b20，所以b2，所以f(a)f(b)f(2)f(2)0.5已知函数f(x)的最大值为M，最小值为m，则Mm等于()A0 B2C4 D8解析：选B.f(x)1.设g(x)，因为g(x)定义域为R，关于原点对称，且g(x)g(x)，所以g(x)为奇函数，所以g(x)maxg(x)min0.因为Mf(x)max1g(x)max，mf(x)min1g(x)min，所以Mm1g(x)max1g(x

14、)min2.6已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(1)g(1)2，f(1)g(1)4，则g(1)等于 解析：f(1)g(1)2，即f(1)g(1)2，f(1)g(1)4，即f(1)g(1)4，由得，2g(1)6，即g(1)3.答案：37设函数f(x)是定义在R上周期为2的偶函数，当x0，1时，f(x)x1，则f 解析：依题意得，f(2x)f(x)，f(x)f(x)，则fff1.答案：8设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)则g(f(8) 解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(8)f(8)log392，所以g(f(8)g(2)f(2)f(2)log331.答案：19设

15、f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1x)f(1x)，当1x0时，f(x)x.(1)判定f(x)的奇偶性；(2)试求出函数f(x)在区间1，2上的表达式解：(1)因为f(1x)f(1x)，所以f(x)f(2x)又f(x2)f(x)，所以f(x)f(x)又f(x)的定义域为R，所以f(x)是偶函数(2)当x0，1时，x1，0，则f(x)f(x)x；从而当1x2时，1x20，f(x)f(x2)(x2)x2.故f(x)10设f(x)是(，)上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x.(1)求f()的值；(2)当4x4时，求f(x)的图象与x轴所围成的图形的面积解：(1)

16、由f(x2)f(x)，得f(x4)f(x2)2)f(x2)f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数所以f()f(1×4)f(4)f(4)(4)4.(2)由f(x)是奇函数与f(x2)f(x)，得f(x1)2)f(x1)f(x1)，即f(1x)f(1x)从而可知函数yf(x)的图象关于直线x1对称又当0x1时，f(x)x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示设当4x4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S4SOAB4×4.综合题组练1(2020·福建龙岩期末)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x1)f(x1)，若f(1

17、)>1，f(5)a22a4，则实数a的取值范围是()A(1，3) B(，1)(3，)C(3，1) D(，3)(1，)解析：选A.由f(x1)f(x1)，可得f(x2)f(x)，则f(x4)f(x)，故函数f(x)的周期为4，则f(5)f(1)a22a4，又因为f(x)是定义在R上的奇函数，f(1)>1，所以f(1)<1，所以a22a4<1，解得1<a<3，故答案为A.2已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)g(x)，则f(1)，g(0)，g(1)之间的大小关系是 解析：在f(x)g(x)中，用x替换x，得f(x)g(x)2x，由于f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以f(x)f(x)，g(x)g(x)，因此得f(x)g(x)2x.联立方程组解得f(x)，g(x)，于是f(1)，g(0)1，g(1)，故f(1)>g(0)>g(1)答案：f(1)>g(0)>g(1)3已知函数f(x)是奇函数(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围解：(1)设x<0，则x>0，所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)于是x<0时，f(x)x22xx2m