第2讲-第二章 平面弹性问题基本变量及方程1_52708405

1、1第第2章章 平面弹性问题基本变量及方程平面弹性问题基本变量及方程2.1变形体的描述与指标记法2.2 弹性体的基本假设2.3 基本方程之一：平衡方程2.4 基本方程之二: 几何方程2.5 基本方程之三：物理方程2.6 边界条件2.7 基本方程汇总弹塑性力学课堂教学系统系统制作：雷丽萍 曾攀 (清华大学机械工程系)1:532实际的问题总是空间问题，为什么课程要首先研究平面问题呢？数学分析过程相对较为简单；理论模型建立的需要；发展历史的一个过程（阶段）；与实际工程问题之间的联系。1:533第第2章章 平面弹性问题基本变量及方程平面弹性问题基本变量及方程2.1变形体的描述与指标记法2.2 弹性体的基

2、本假设2.3 基本方程之一：平衡方程2.4 基本方程之二: 几何方程2.5 基本方程之三：物理方程2.6 边界条件2.7 基本方程汇总1:5342.1变形体的描述与指标记法变形体的描述与指标记法(1) 变形体变形体 物体内任意两点之间可发生相对移动相对移动；这必然涉及到材料的性质。 从几何形状的复杂程度考虑，变形体又可分为简单变简单变形体形体和任意变形体任意变形体；材料力学和结构力学主要研究简单变形体，而弹性力学则处理任意变形体。变形体在边界上有Sp外力和Su位移作用位移的描述形状改变的描述力的描述材料的描述1:535外力其它物体或外部环境对物体所施加的作用。由于外力作用而引起的物体内部各部分

3、之间的相互作用。 内力2.1变形体的描述与指标记法变形体的描述与指标记法1:5362.1变形体的描述与指标记法变形体的描述与指标记法体积力（简称体力）体积力（简称体力）：作用在物体体积内的力。分布在整个物体或者物体中某个部分的每个质点上。或外部环境对物体所施加的作用。例如：重力、惯性力、磁力。 面积力（简称面力）面积力（简称面力）：分布在物体表面上的力，或者说两个物体通过表面的相互作用而产生的力。例如：桌面所受到书的压力、桌腿对地面施加的压力。1:53外力的基本形式：外力的基本形式：1:537应力应力描述了变形体内部之间通过力（而且是通过近距离接触作用力）进行相互作用的强度。如果我们把连续介质

4、用一张假想的光滑面假想的光滑面把它一分为二，那么被分开的这两部分就会透过这张曲面相互施加作用力。显然，这种作用力也会因为假想曲面的不同而不同，所以，必须用一个不依赖于假想曲面的物理量来描述连续介质内部的相互作用的状态描述连续介质内部的相互作用的状态。对于连续介质来说，担当此任的就是应力张量，简称为应力。2.1变形体的描述与指标记法变形体的描述与指标记法内力内力82.1变形体的描述与指标记法变形体的描述与指标记法（2) 基本变量的定义基本变量的定义位位 移移应应 变变应应 力力材料参数材料参数物体变形后的位置物体变形后的位置物体的变形程度物体的变形程度物体的受力状态物体的受力状态物体的材料特性物

5、体的材料特性1:5392.1变形体的描述与指标记法变形体的描述与指标记法(3) 基本方程基本方程 基于位移、应变、应力位移、应变、应力这三大类变量，可以建立以下三大类方程： 受力状况的描述：平衡方程平衡方程(equilibrium) 变形程度的描述：几何方程几何方程(strain-displacement relationship) 材料的描述：物理方程物理方程(或本构方程或本构方程)(stress-strain relationship or constitutive equation)1:5310直接针对对象的建模方法通用的建模方法简单几何形状复杂几何形状材料力学弹性力学2.1变形体的描述

6、与指标记法变形体的描述与指标记法(4) 研究的基本技巧研究的基本技巧112.1变形体的描述与指标记法变形体的描述与指标记法采用微小体元dxdydz的分析方法，这样在给定对象的几何 和边界 的前提下，对其进行求解(可以处理任意变形体问题)1:5312 由于将要处理复杂的3D问题，三大类力学变量及方程均要针对3D空间进行构建，也涉及到力学变量在3D空间上的分解，因此，引入针对3D空间的指标记法，将使得问题的表达更加简洁。123F FFFiF其中下标i 默认变化1,2,3，并且指沿三个坐标轴的分量变化1,2,3i其中下标i变化1,2,3，并且指沿三个坐标轴的分量变化可以忽略，默认iF2.1变形体的描

7、述与指标记法变形体的描述与指标记法(5) 指标记法指标记法 (indicial notation) 132.1变形体的描述与指标记法变形体的描述与指标记法 自由指标自由指标(free index)： 即每项中只出现一次的下标, 如: ij，其中 i, j为自由指标，它们可以自由变化；在三维问题中，自由指标变化的范围为 1、2、3，它表示直角坐标系中的三个坐标轴x, y, z。 哑指标哑指标(dumb index)： 在表达式的每一项中有重复的下标有重复的下标出现，如aijxj=bi : ，其中 j 为哑指标，i为自由指标；在三维问题中其变化的范围为1、2、3 。 Einstein求和约定求和约

8、定(summation convention)：哑指标意味着求和。1:53142.1变形体的描述与指标记法变形体的描述与指标记法若有一个方程组为11 1122133121 1222233231 13223333a xa xa xba xa xa xba xa xa xb按一般的写法，上式可表示为31,2,31,ijjiija xb若用指标记法，则为ijjia xb1:53152.1变形体的描述与指标记法变形体的描述与指标记法 通常在某一选取的坐标系中描述物理量，但是这些物理量及其遵循的规律是客观存在的，并不随着坐标系的选取而改变，即应具有坐坐标不变性标不变性。 在不同参考坐标中，相应物理量的分

9、量之间应满足某种变化关系，以保证物理本质的不变性本质的不变性。 张量运算的目的就是研究坐标变化中的不变性关系坐标变化中的不变性关系。 若某张量方程在一个坐标系中成立，则在它转化的所有坐标系中也一定成立。l 繁琐的数学公式变得简明、清晰l 张量的坐标不变性，使得分析问题不受具体的坐标系的限制作用作用1:53162.1变形体的描述与指标记法变形体的描述与指标记法l 0 阶张量：无自由指标的量，与坐标系选取无关，如温度、质量、能量等标量。l 1 阶张量：有1个自由指标的量，如坐标xi，位移ui等矢量 。l 2 阶张量：有2个自由指标的量，如应力 ij 、应变ij 。l n 阶张量：有n个自由指标的量

10、，如Dijkl四阶弹性系数张量1:53172.1变形体的描述与指标记法变形体的描述与指标记法张量的性质张量的性质 l 它是描述客观存在的物理量，具有坐标不变性；l 在不同参考坐标下有不同的分量；l 分量之间满足固定不变的变换关系。1:53182.1变形体的描述与指标记法变形体的描述与指标记法Voigt标记标记(Voigt notation) 将高阶自由指标高阶自由指标的张量写成低阶张量低阶张量(矩阵矩阵)形式的过程叫做Voigt标记，其规则叫作Voigt移动规则(Voigt kinematics rule) 在不同参考坐标下有不同的分量。例如应力ij 为二阶张量(second-order te

11、nsor)（有两个自由指标），对于二维问题，具体写出该张量为11122122ij为表达方便，我们可以将其排列为一个一维的列阵 ，即112212xxyyxy Voigt移动规则为以下次序1122121:53192.1变形体的描述与指标记法变形体的描述与指标记法对于三维问题，二阶应力张量ij 为111213212223313233ij可以将其表达为一个一维的列阵 为112233231312xxyyzzyzxzxy 1:53Voigt移动规则的主要作用移动规则的主要作用：制定出统一的约定，按照该约定将高阶张量排列成低阶张量来表达如将二阶应力张量 ij 或应变张量ij 排列成一阶张量 和 （都为列向量

12、），将四阶张量Dijkl (弹性系数) 排列成一个矩阵 ，这样可以将一些复杂的张量关系 D 变为矩阵运算关系作为一种习惯，一般都三维问题应力或应变列阵的分量次序记为202.1变形体的描述与指标记法变形体的描述与指标记法Txxyyzzxyyzzx1:5321第第2章章 平面弹性问题基本变量及方程平面弹性问题基本变量及方程2.1变形体的描述与指标记法2.2 弹性体的基本假设2.3 基本方程之一：平衡方程2.4 基本方程之二: 几何方程2.5 基本方程之三：物理方程2.6 边界条件2.7 基本方程汇总1:5322力学描述的基本思路对象：三大类变量三大类方程几何形状材料性质变形体主要针对材料的基本假设

13、针对对象的材料：简化材料的行为，采用解析方法，将主要关注点放在处理复杂的几何对象上2.2 弹性体的基本假设弹性体的基本假设ContinuityHomogeneityIsotropyLinear ElasticitySmall deformation23第第2章章 平面弹性问题基本变量及方程平面弹性问题基本变量及方程2.1变形体的描述与指标记法2.2 弹性体的基本假设2.3 基本方程之一：平衡方程2.4 基本方程之二: 几何方程2.5 基本方程之三：物理方程2.6 边界条件2.7 基本方程汇总1:53242.3 基本方程之一：平衡方程基本方程之一：平衡方程（1）应力的分量的表达）应力的分量的表达

14、,xxyyxyyx可以看出，二维直角坐标系下平面问题应力变量应该有可以看出，二维直角坐标系下平面问题应力变量应该有如果写成指标形式，为：如果写成指标形式，为： ij （i,j =1,2）xy（1）正负号约定：正面）正负号约定：正面正向为正、负面负向正向为正、负面负向为正为正（2）正应力：）正应力： 力的方向与受力面的法线方向相一致力的方向与受力面的法线方向相一致 剪应力：力的方向与受力面的法线方向正交剪应力：力的方向与受力面的法线方向正交1:53252.3 基本方程之一：平衡方程基本方程之一：平衡方程xyzdxdyt（平面问题为等厚度）a(x,y)bcdxx(x+dx,y)xx(x,y)yy(

15、x,y+dy)yy(x,y)yx(x+dx,y)yx(x,y)xy(x,y+dy)xy(x,y)xbyb各个各个方向合方向合力的平衡：力的平衡：约定：正面正向为正，负面负约定：正面正向为正，负面负向为正；向为正；有有四个侧面，在平衡方程中，四个侧面，在平衡方程中，应考虑合力的平衡；应考虑合力的平衡；应力应力在在经过经过dx 或或 dy 变化变化后的后的位置上有增量表达；位置上有增量表达；应力在各个侧面上为均匀分布。应力在各个侧面上为均匀分布。1:53262.3 基本方程之一：平衡方程基本方程之一：平衡方程以以 xx(x+dx,y)为为例，由高等数学中的例，由高等数学中的Taylor级数展开，有

16、级数展开，有.),(21),(),(),(222dxxyxdxxyxyxydxxxxxxxxxx约去二约去二阶以上微量，有阶以上微量，有dxxyxyxydxxxxxxxx),(),(),(对应于对应于bc-t对应于对应于ad-t沿沿x方向所有合力的平衡方向所有合力的平衡0),(),(),(),(dxdytbtdxyxtdxdyyxtdyyxtdyydxxxxyxyxxxx0 xyxxxbxy 0 xF1:53右侧面上的x方向合力左侧面上的x方向合力上侧面上的x方向合力下侧面上的x方向合力x方向的体积力合力272.3 基本方程之一：平衡方程基本方程之一：平衡方程同理同理，沿，沿y方向的平衡关系，

17、有方向的平衡关系，有0yyyxybyx所有合力关于任一点的力矩平衡所有合力关于任一点的力矩平衡dddd(d ) dd(d ) dd02222xyyxxyxyyxyxyyxxyx tx txy ty tyx 略去高次项后，有略去高次项后，有yxxy这就是这就是剪应力互等定理剪应力互等定理(reciprocal theorem of shear stress)。因此，以。因此，以后可以将这一关系直接引用到方程中去。后可以将这一关系直接引用到方程中去。1:53282.3 基本方程之一：平衡方程基本方程之一：平衡方程归纳上面的推导，有平面问题的平衡方程归纳上面的推导，有平面问题的平衡方程00 xyxx

18、xyyyxyxyyxbxybyx如果不如果不区别剪应力区别剪应力 xy 和和 yx ，则可则可写为两个方程，即写为两个方程，即00 xyxxxyyxyybxybyx写成指写成指标形式标形式,0iij jb其中其中 ij,j中中的下标的下标( , j)表示物理量表示物理量 ij对对 j 方向方向求偏导数。求偏导数。1:5329第第2章章 平面弹性问题基本变量及方程平面弹性问题基本变量及方程2.1变形体的描述与指标记法2.2 弹性体的基本假设2.3 基本方程之一：平衡方程2.4 基本方程之二: 几何方程2.5 基本方程之三：物理方程2.6 边界条件2.7 基本方程汇总1:53PAB302.4 基本

19、方程之二基本方程之二: 几何方程几何方程PBAuvxydyyxdxPAPAAPxxdyyuudxxvvdyyvv 定义定义x方向的相对伸长量为方向的相对伸长量为dxxuuxxxuddxuPBPBBPyy 定义定义y方向的相对伸长量为方向的相对伸长量为yyyvddyv 定义夹角的变化定义夹角的变化PA线与线与PA 线的夹角线的夹角 为为dxvdxxvv)()tan(xvPB线与线与PA 线的夹角线的夹角 为为dyudyyuu)(yu则定义夹角的总变化为则定义夹角的总变化为yuxvxy1:53312.4 基本方程之二基本方程之二: 几何方程几何方程归纳以上，则平面问题的几何方程为归纳以上，则平面问

20、题的几何方程为xxyyxyuxvyuvyx写成指标形式写成指标形式,1()2iji jj iuu注意：注意： (a) ui,j中的下标表示中的下标表示 ui对对 j方向求偏导数；方向求偏导数； (b) ) 21j(iijij1:5332第第2章章 平面弹性问题基本变量及方程平面弹性问题基本变量及方程2.1变形体的描述与指标记法2.2 弹性体的基本假设2.3 基本方程之一：平衡方程2.4 基本方程之二: 几何方程2.5 基本方程之三：物理方程2.6 边界条件2.7 基本方程汇总1:53332.5 基本方程之三：物理方程基本方程之三：物理方程xxxxxxxxyyyyyyyy=+EExxyyxxxx

21、EEyyxxyyyy（1）正应力）正应力xxyyyyyyxxxxEE111:53342.5 基本方程之三：物理方程基本方程之三：物理方程（2）剪应力）剪应力yxyxxyxyGxyxyGEExyxyxxyyyyyyxxxx11E为弹性模量 (elastic modulus or Youngs modulus)G 为剪切模量 (shear modulus)为泊松比 (Poisson ratio)2(1)EG1:53352.5 基本方程之三：物理方程基本方程之三：物理方程将物理方程写成指标形式，有将物理方程写成指标形式，有1ijijklklD1ijklD为四阶张量，可以将它理解为一个常系数矩阵为四阶

22、张量，可以将它理解为一个常系数矩阵ijijklklD写成逆形式写成逆形式其中其中 Dijkl为弹性系数矩阵（张量），为弹性系数矩阵（张量）， 为为 Dijkl 的逆的逆1ijklD1:53按照指标的规则，写出物理方程的指标形式ijijklklC其中 为四阶张量，可以根据指标规则写出对应关系，如表所示。ijklC362.5 基本方程之三：物理方程基本方程之三：物理方程GEExyxyxxyyyyyyxxxx11GEE2111212112222221111122211122211 21000101GEEEE12221112121222121122122222221111121122111112221

23、1 CCCCCCCCC采用Voigt规则，写出物理方程的矩阵形式37第第2章章 平面弹性问题基本变量及方程平面弹性问题基本变量及方程2.1变形体的描述与指标记法2.2 弹性体的基本假设2.3 基本方程之一：平衡方程2.4 基本方程之二: 几何方程2.5 基本方程之三：物理方程2.6 边界条件2.7 基本方程汇总1:53382.6 边界条件边界条件边界条件，即边界条件，即Boundary condition，简称，简称BC。一般包括一般包括位移方面位移方面和和力平衡方面的边界条件力平衡方面的边界条件，即变形体的几何，即变形体的几何空间空间 ，其表面，其表面被位移边界被位移边界Su和力边界和力边界

24、Su完全不重叠地包围完全不重叠地包围有：有： = Su+ Sp且：且： Su Sp= 0其中其中: Su为给定的位移边界，为给定的位移边界， Sp为给定的力边界。为给定的力边界。 1:53392.6 边界条件边界条件位移边界条件位移边界条件平面问题中应有关于平面问题中应有关于x方向和方向和y方向的位移边界条件。方向的位移边界条件。on uuuSvv其中其中 ： 和和 为指定的沿为指定的沿x方向和方向和y方向位移方向位移(平面问题平面问题) Su为给定的位移边界为给定的位移边界uv1:53402.6 边界条件边界条件力的边界条件力的边界条件 在力的边界上取微小体元在力的边界上取微小体元dxdy_

25、t(平面问题平面问题)并考察它的平衡问题并考察它的平衡问题由微小体元的由微小体元的x方向合力平衡，有方向合力平衡，有ddd0 xxxyxy tx tps t 注意注意ds为边界上斜边的长度，为边界上斜边的长度，边界外法线边界外法线n的方向余弦为的方向余弦为d /dxnysd /dynxs则则xxxxyyxnnp1:53412.6 边界条件边界条件同样，可建立同样，可建立y方向合力和力矩的平衡方程，将微小体元的三个方向合力和力矩的平衡方程，将微小体元的三个平衡方程汇总，有平衡方程汇总，有pSonxxxxyyxyyyxyxynnpnnp1:53综上所述，将边界条件写成指标形式综上所述，将边界条件写成指标形式422.6 边界条件边界条件iiuuuon S 力力ijjipnpon S其中其中nj为边界一点上外法线的方向余弦为边界一点上外法线的