概率论与数理统计第四章_几种重要的分布

1、第四章几种重要的分布第四章几种重要的分布4.1 二项分布4.2 超几何分布（了解）4.3 普哇松分布4.4 指数分布4.5 -分布（不讲）4.6 正态分布4.14.1二项分布二项分布主要内容：（一）随机变量（一）随机变量的分布律的分布律（二）二项分布的期望和方差（二）二项分布的期望和方差（三）二项分布的最可能值（三）二项分布的最可能值贝努里贝努里(Bernoulli)(Bernoulli)概型与二项分布概型与二项分布1. (0-1)分布分布(p26) 若以若以X表示进行一次试验事件表示进行一次试验事件A发生的次数，则称发生的次数，则称X服从服从(01)分布分布(两点分布两点分布) XPXkpk

2、(1p)1k, (0p1) k0，1或或X1 0kpp1p（一）随机变量（一）随机变量的分布律的分布律(P79)定义定义.1.1如果随机变量如果随机变量有概率函数，有概率函数，2.(p24)定义定义 设将试验独立重复进行设将试验独立重复进行n n次，每次试次，每次试验中，事件验中，事件A A发生的概率均为发生的概率均为p p，则称这，则称这n n次试验次试验为为n n重贝努里试验重贝努里试验. .事件事件A A恰好发生恰好发生k k次的概率为次的概率为(1), (0,1,., ) (1.16)kkn knPkppknC则称则称服从参数为服从参数为n,p的二项分布。记作的二项分布。记作B（n,p

3、)kP = q, (0,1,., ) (4.1)kkn knPkpknC其中0P0 0 ，则称，则称 服从普哇松服从普哇松(Poisson) (Poisson) 分布。分布。定义定义4.3 如果随机变量如果随机变量的概率函数是的概率函数是mm,m0,1, 2,. (4.5)m!Pe 利用级数利用级数 易知易知kk=0=ek!xxkkk=0k=0e=e=ee =1k!k!mm 1m 0m 1( )m;m!(m 1)!Eee由于由于两边对两边对 求导得求导得或或或或m(m)= m,0,1, 2,.m!PPek( )Emm22m 0m 1m()mm!(m 1)!eEemm 1( )(m 1)!eEm

4、m 1(m 1)!em 1m 1m(1)(m 1)!emm 1m(1)(m 1)!e( )D2=普哇松密度函数图像普哇松密度函数图像普哇松分布函数图像普哇松分布函数图像普哇松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数普哇松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数的概率分布，常见于所谓稠密性的问题中。的概率分布，常见于所谓稠密性的问题中。如一段时间内，电话用户对电话台的呼唤次数，如一段时间内，电话用户对电话台的呼唤次数，候车的旅客数，原子放射粒子数，候车的旅客数，原子放射粒子数，织机上断头的次数，织机上断头的次数，以及零件铸造表面上一定大小的面积内砂眼的个数等等。以及零件铸造表面上一定大小的面

5、积内砂眼的个数等等。在二项分布中，在二项分布中，B(n，p)当当n比较大，比较大，p很小时，很小时，用普哇松分布近似代替二项分布的公式，其中用普哇松分布近似代替二项分布的公式，其中 np普哇松分布的方便之处在于有现成的分布表普哇松分布的方便之处在于有现成的分布表（见附表一（见附表一P254-P257）可查，免于复杂的计算。）可查，免于复杂的计算。lim!kkkn knnC p qek因为普哇松普哇松定理表明，定理表明，普哇松分布是二项分布的极限分布，普哇松分布是二项分布的极限分布，当当n很大，很大，p很小时，很小时，二项分布就可近似地二项分布就可近似地看成是参数看成是参数 =np的的普哇松分布

6、普哇松分布B(n,p)与与P(=k)的比较的比较 解 因普哇松分布的参数就是它的期望值E，故 =5查书后附表一，有p5(2)=0.084224 p5(5)=0.175467 P5(20)=0例1 服从普哇松分布，E=5,查表求P(=2)=P(=5)=P(=20)=例2（选讲） 一大批产品的废品率为 p=0.015 求任取一箱（有100个产品），箱中恰有一个废品的概率。解 所取一箱中的废品个数 服从超几何分布，由于产品数量N很大，可按二项分布公式算，其中n=100, p=0.015但由于较大而很小，可用普哇松分布公式近似代替二项分布公式计算。其中 =np=1.5,查表得：199100P( =1)

7、=C0.015 0.9850.335953误差不超过0.011.5P (1)=0.334695例检查了100个零件上的疵点数，结果如表4-6: 疵点数 0123456频用普哇松分布公式计算疵点数的分布，并与实际检查结果比较。解：要用普哇松普哇松(Poisson) 分布公式计算，首先要求出分布公式计算，首先要求出1=(14 0+27 1+3 6)=2100频率0.140.270.260.200.070.030.03概率0.13530.27070.27070.18040.09020.03610.01204. 4 指数分布定义4.4 如果随机变量的概率密度为0( ) (4.

8、6)00 xexxx其中0，则称服从参数为的指数分布。+-00( )=e=e()=e=10 xxxx dxdxdx它的分布函数0 0F( )=P()=1 e 0 xxxxx当时当时 易知0 xx（ ）0( )xEx edx0 xxde 00 xxxeedx 1对任何实数a,b （0a0) 时间失效的分布函数失效的分布函数tF(t)=P(t)=1 e 而产品的可靠度产品的可靠度为:tR(t)=P(t)=1 F(t)=e 例1 某元件寿命服从参数为(-1 =1000)的指数分布。3个这样的元件使用1000小时后，都没有损坏的概率是多少？各元件寿命相互独立，因此3个这样的元件使用1000小时都未损坏

9、的概率为 解 参数为的指数分布的分布函数为F( )=P()=1 e (0)xxxx1000F( )=P()=1 e xxx1P(1000)=1P(1000)=1F(1000)=e31 33P(1000) =e =e0.05例例 .电子元件的寿命电子元件的寿命 ( (年）年）服从参数为服从参数为3 3的指数分布的指数分布(1)(1)求该电子元件寿命超过求该电子元件寿命超过2 2年的概率。年的概率。(2)(2)已知该电子元件已使用了已知该电子元件已使用了1.51.5年，求它还能使用两年年，求它还能使用两年的概率为多少？的概率为多少？解解333622(1) 233=,.xxxpedxedxee +（

10、）2363.531.533xxedxeedx3.5,1.5(2) 3.5|1.51.5ppp330( )00,xexxx例（选讲）例（选讲）. .某公路桥每天第一辆汽车过桥时刻为某公路桥每天第一辆汽车过桥时刻为T T，设设00，tt时段内过桥的汽车数时段内过桥的汽车数X Xt t服从服从参数为参数为 t t的普哇松分布，求的普哇松分布，求T T的概率密度。的概率密度。解当t 0时，当t 0时，=1- 在在t t时刻之前无汽车过桥时刻之前无汽车过桥于是( )F tP Tt( )0F t ( )F tP Tt1P Tt 10tP X 1te 0( )( )00tettF ttP10116、17、1

11、8、19、214.5 -分布（不讲）r-1 -0(r)=e (r0)xxdx微积分里定义的 -函数复习判断下列函数是否为-函数:-的性质:(1) (r1)=r (r)(2) (r)=(r-1)!(3) (1)=11(4) =223-02.5-02-202-0(1) e (2) e (3) e (4) e xxxxxdxxdxxdxxdx= (4)不是-函数1=(3) 82.5-0(2) e xxdx= (3.5)= (2.5+1)=2.5(1.5+1)=2.5 1.5(0.5+1)=2.5 1.5 0.5(0.5)=2.5 1.5 0.5 =2.5 1.5 0.5 2-20(3) e xxdx

12、2-201=(2 ) e(2 )8xxdx1=(3) 81()=211-201()=2xxe dx1-20 xx e dx2-0Ite dt令 222-00II Ixyedxedy2-02te dtt=x令-0=2xe dx222-00II Ixyedxedy22-00 xyedxdy （）22-r-r220001r r=r2r cos =r s n2ixdedeyd令 22-r2-r01=r =02 244e deI=21()=2I=2yxy定义4.5 如果连续性随即变量具有概率密度rr-1e 0( )= (4.7)(r)0 0 xxxxx其中0，r0，则称服从-分布，记作(,r)这里的(r

13、)就是微积分里定义的 -函数，即r-1 -0(r)=e (r0)xxdx-分布在概率论，数理统计和随机过程中都有不少应用。当r=1时，为指数分布rr-1e 0( )= (4.7)(r)0 0 xxxxx当r0时这个积分式收敛的，利用-函数的定义可以证明-( )=1x dx还可以计算出2rrE = D =0( ) 00 xexxx 当r为正整数时，它是排队论中常用到的r阶爱而朗分布；rr-1e 0( )= (4.8)(r-1)!0 0 xxxxxrr-1e 0( )= (4.7)(r)0 0 xxxxx 当r =n/2(n是正整数），=1/2时n2n-12212e 0( )= (4.9)n20

14、0 xxxxx就是具有n个自由度的2分布 简记作2 (n) 它是数理统计中最重要的几个常用统计量的分布之一。表示进入到所要考虑的统计问题中自由变量的个数自由度:多一个约束条件,就少一个自由变量. 定理4.1 如果1,2,n相互独立，且i服从参数为,ri的-分布，则它们的和 1+2+n服从参数为 r1+r2+rn的分布证明：略-分布具有可加性4.6 正态分布主要内容：主要内容：了解正态分布的应用了解正态分布的应用（一）正态分布的密度函数（一）正态分布的密度函数（二）标准正态分布的密度函数的性质（二）标准正态分布的密度函数的性质（三）一般正态分布与标准正态分布的关系（三）一般正态分布与标准正态分布

15、的关系（四）标准正态分布函数的性质及分布函数表（四）标准正态分布函数的性质及分布函数表实例实例1 零件的尺寸零件的尺寸在自动机床加工制造零在自动机床加工制造零件的过程中，我们周期地抽取一些样品，件的过程中，我们周期地抽取一些样品，测量它们的尺寸，并记录在专用的表格上。测量它们的尺寸，并记录在专用的表格上。设共抽取设共抽取250个零件，测得零件尺寸与规定个零件，测得零件尺寸与规定尺寸的偏差如下表尺寸的偏差如下表正态分布是实践中应用最为广泛，在理正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上论上 研究最多的分布之一，故它在概率研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特统计中占有特 别重要的地位。别重要的地

16、位。如：如：频数频数偏差偏差/m偏差适中的零偏差适中的零件较多，偏差件较多，偏差大的零件只是大的零件只是少数少数其直方图如下图其直方图如下图实例实例2 年降雨量问题，我们用上海九十九年降雨量问题，我们用上海九十九年年降雨量的数据画出的频率直方图。年年降雨量的数据画出的频率直方图。年降雨量在年降雨量在1100附近的较多，降雨量特多或附近的较多，降雨量特多或者特少的情形只是少数年份者特少的情形只是少数年份实例实例3 (某大学大学生某大学大学生)下图是用某大学大学下图是用某大学大学生的身高的数据画出的频率直方图。生的身高的数据画出的频率直方图。红线是拟红线是拟合的曲线合的曲线具有具有“两两头低，中头

17、低，中间高，左间高，左右对称右对称” 除了我们在前面介绍过的除了我们在前面介绍过的零件的尺寸零件的尺寸、年降雨量和身高外年降雨量和身高外, ,在正常条件下各种产品在正常条件下各种产品的其它质量指标如纤维的强度和张力；农的其它质量指标如纤维的强度和张力；农作物的产量，小麦的穗长、株高；测量误作物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从这样一种分声等等，都服从或近似服从这样一种分布布正态分布正态分布. .（一） 正态分布的概率密度定义4.6 如果连续型随机变量的概率密度为22()21( ), (4.11)2xx

18、ex 其中,为常数，并且0，则称服从参数为,正态分布，简记作N( , 2)利用普哇松积分22-0222xxedxedx可以验证( )1x dx22()2( )2xxEedx222txttedt令2222=22tttedtedt0= 22220=22()22tted2 E22()222()2xxEedx22=2 D = 特别地，当参数=0， =1时，(x) 可以写成2201( ) (4.12)2xxe称它为标准正态分布的概率密度，简记作N(0,1)其中其中 为实数，为实数， 0 ，则称，则称服从参数为服从参数为 , 2的的正态正态分布分布,记为记为N( , 2)，可表为可表为N( , 2).若随

19、机变量随机变量22()21( ),2xxex 特点是特点是“两头低，中间高，左右对称两头低，中间高，左右对称”. . (1) 单峰对称单峰对称 密度曲线关于直线密度曲线关于直线x= 对称对称；(p93)()max(x) .正态分布有两个特性正态分布有两个特性：1222()21( )2xxe 固定，固定， 变化时的图形变化时的图形0 f x01x55 决定了图形的中心位置决定了图形的中心位置(2) 的大小直接影响概率的分布的大小直接影响概率的分布 越大，曲线越平坦，越大，曲线越平坦， 越小，曲线越陡峻，。越小，曲线越陡峻，。正态分布也称为高斯正态分布也称为高斯(Gauss)分布分布22()21(

20、 )2xxe分布函数表示为分布函数表示为标准正态分布标准正态分布N(0,1)密度函数表示为密度函数表示为2201( ), 4.12 2xxex （）21202( )txxPxedtx （二） 标准正态分布概率密度0(x)的性质及概率密度函数表0(x)除具有一般概率密度的性质外，还有下列性质：（1） 0(x)有各阶导数；（2） 0(-x) = 0(x) ，即 0(x) 的图形关于y轴对称；（3） 0(x)在( -，0)内严格上升，在 ( 0,+) 内严格下降，在x=0处达到最大值：（4） 0(x) 在x= 1处有两个拐点； 即x轴是曲线 0(x) 的水平渐近线。0lim( )=0 xx例1 介绍

21、查概率密度函数表（5）例1 N(0,1) 求0000000(1.81)=(-1)=(0.57)=(0)=(6.4)=(2)=(3.24)=0.077540(1)=0.24200.33910.398900(2)=0.053990.002096定理4.2 如果（三）一般正态分布与标准正态分布的关系22N( ,) , N(0,1 ) 其概率密度分别记为分布函数分别记为 0( )( )xx及0( )( )xx及0-(2) ( )= (4.14)xx01-(1) ( )= (4.13)xx证:22()21(1) ( )2xxe01- ( ) xx21211=2xe01-=x(2) ( )P()xx22(

22、t)2-11=t2xedt- y令 2-2-1 2xyedy0- = ()x0- ( )()xx 定理4.3 如果2N(0,1 )则2( - )N( ,) , , 而 称随机变量函数( - ) 为标准化变换。证： F ( )=P()xx-=P()x =P()x= ()x0-=()x 0=( )x2 N(0,1 )（四） 标准正态分布函数表 如果N(0,1),则对大于零的实数x,2t-20-1( )=P()=t2xxxed的值可以由附表三直接查到。标准正态分布函数的性质：()1( );xx ()1()1( );PxPxx ()( )( );P abba ()2( ) 1.Pcc 例2= 0.97

23、5P(1.96)=1- P(1.96)=0.025=P(-1.961.96)=02(1.96)-1=0.9500=(2)(-1)=0.8185500=(2)(1)1P(5.9)N(0,1),P(1.96)P(-1.96)P(1.96)P(-12)求=0.97725+0.841311如果N(0,1)，则00( ) 01 P()= 0.5 = 01-(- ) 0 xxxxxx（）0(2) P()=2( )-1 (0 ()xxx当时）4.150 5 (-5)0 x 当时 ，；00(3) P(ab)=(b)(a)05 (5)1x 当时 ，；例32N(8 , 0.5 ),P(81)P(10)求及解：22

24、8 N(8 , 0.5 ) N(0 , 1 )0.5=0.999 968 33P(81)8=P20.50=2(2) 1=20.97725-1=0.9545P(10)8108=P0.50.50=(4)例42N( ,),P(5)=0.045P(3)=0.618 求及解：0-5P(-5)=()=0.04505=1-()=0.04500-5-5()=(-)05 ()=1-0.0450.955得03P(30.618）查表得：51.730.30.84P10120、23、25、26、27、28若若N（0，1）, （0.5)=0.6915,P1.320时2()+(-)( )=2xxxx1 12 2，当x0时2

25、221 1 N(0,1) (1)2 2，即2112xex1211221212xxe（六） 二元正态分布（选讲）定义4.7 若二元连续型随机变量（，）的联合概率密度为( , )=x y（4.16）其中1212, 均为常数 。120,0,1时，称（，）服从二元正态分布22112221122()()122(1)212121-xxyye 1 定理 4.5 二元正态分布的边缘概率密度是一元正态分布。证：设（，）的联合概率密度由（4.16）式给出，的边缘概率密度记为22t=y令1( )x2121()2112xe+1-( )=( , )xx y dy2211211()12t t2(1)211=t21-xxe

26、d2211211()11t22(1)2111t221-xxeed由第三章的知识我们知道：相互独立的两个随机变量一定不相关0但是不相关的随机变量不一定独立然而对于二元正态分布来说，有定理4.6成立定理4.6 服从二元正态分布的随机变量（, ) 它们独立的充分必要条件是与的相关系数=0证：必要性充分性22112221122()()122(1)2121 ( , )=21-xxyyx ye 0 ）221212121212xye 2212121122121122xyee12( )( )xy) 与 独立0 定义4.8 若连续型随机变量的概率密度为 称服从具有n个自由度的t分布，简记为t（n）。n 122n

27、12( )=1 (4.17)nnn2xx定义4.9 若连续型随机变量 的概率密度为称 服从具有第一个自由度为 n1 ，第二个自由度为n2 的F分布，简记为 1121nnn12n2211121222nnnn21 0nnnn22( )= (4.18)0 0 xxxxx12F(n ,n )第四章复习要求2、熟练掌握几种重要分布的数字特征： 期望、方差、协方差、相关系数1、 熟练掌握几种重要的分布： 01分布；二项分布；超几何分布；几何分布； 普哇松分布；均匀分布；指数分布； 正态分布。4、掌握常用分布的数字特征与分布参数之间的关系3、理解随机变量的独立性及不相关的概念 掌握独立性的条件与判定方法。E

28、X1 设随机变量XN(0,1)，YU(0,1)，ZB(5,0.5),且X，Y，Z独立，求随机变量U=（2X+3Y)(4Z-1)的数学期望EX2 设随机变量相互独立，且均服从分布，求随机变量的数学期望答答:答答:27( )(23 ) (41)2E UEXY EZ1,.,nXX2( ,)N 11niiXXn11()()niiE XE Xn27or: ( )(82123 )2E UEXZXYZY设的概率密度为，求 E(2), E(3) ，E(4)。并求2的方差221( )2xxe2222()2xxEedx222xxde 2212xedx1解：分部积分法2332()2xxEedx02442()2xxEedx2322xxde 22232xxedx3使用分部积分法12222()=12xxEedx2422D=E-(E) =224E=1 E=3N(0,1)221( )2xxe设随机变量设随机变量N(-1,22),P-2.452.45=?正态分布表解：=0.723482.45 112.45 1P2.452.45=P2221=P0.7251.725200=(1.725)(-0.725)00=(1.725)1(0.725)=0