2018年高考专题复习：追及和相遇问题的多种解法

1、追及和相遇问题的多种解法江苏省特级教师戴儒京【例题11公路上甲、乙两车在同一车道上同向行驶，甲车在前，乙车在后，速度均为30m/s,两车相距S0=100m,t=0时刻甲车遇紧急情况后，甲、乙两车的加速度随时间变化如下图所示（图甲为甲车，图乙为乙车），取运动方向为正方向,问：两车在0-9s内会不会相遇？id/m/52a/m/s2TIi/sLJ甲0-5t/s【解法11公式法从题图知道,2a甲=-10m/s（前3s）,a甲=5m/s2（后6s）;a乙=0（前3s）,a乙=-5m/s2（后6s）,首先建立坐标系（一维坐标），如图所示*x乙甲则甲的速度为v甲=30-10t（前3s）,v甲=0（t=3s时

2、刻），v甲=5（后6s）,v甲=30m/s（t=9s时刻）乙的速度为v乙=30m/s（前3s）,v乙=30m/s（t=3s时亥U）,v乙=305t（后6s）,v乙=0（t=9s时刻）则甲的位置坐标为x甲=100+30t-5t2（前3a）,x甲=15m（t=3s时刻），0=145+2.5t2（后6s）,x甲=235m（t=9s时刻）乙的位置坐标为x乙=30t（前3s）,x乙=90m（t=3s时刻），x乙=90+30t-2.5t2（后6s）,x乙=0m（t=9s时刻）我们要一段一段地判断，前3s,心=90m（t=3s时刻），还没有到达甲的出发点，所以，肯定不能相遇。后6s,。=235m,x乙=18

3、0m(t=9s时刻)，0下x乙，所以也不能相遇。这样够不够呢？不够假设在后6s内，甲、乙相遇，则令刖=x乙，gPl45+2,5t2=90+30t-2.5t2,得关于t的一元二次方程5t230t+55=0,判另I式A=3024父5M55=200<0,所以方程无解，即甲、乙不能相遇。【解法2】临界法我们先计算在前3s不能相遇(如上，略)，然后分析，在后6s内，开始乙的速度大于甲，所以乙在追甲，距离越来越近，当二者速度相等时(临界情况)，如果能追上甲，就能追上，如果不能追上，就不能追上了，因为(假设二者在两条道上)速度相等之后，甲的速度就大于乙了，二者就会越来越远了。设甲、乙速度相等，即5t=

4、30-5t,解得t=3s,此时，x=145+2.5t2=167.5m,x乙=90+30t-2.5t2=157.5,因为也<x甲，所以，甲、乙不能相遇。【解法3】图象法(1) v-t图象甲的速度为v甲=3010t(0WtW3),v甲=5(t-3)(3<t<9),乙的速度为v乙=30m/s(0<t<3),v乙=30-5t(3<t<9),用电子计算机Excel作出甲(图中Va)和乙(图中Vb)的速度图象图如下图。根据图象“面积”表示位移的方法，从图象可以得到，当t=6s时刻，两车速度11一.相等，从t=0到t=6s,两车包移分别为*甲1=X30X3+x15x

5、3=67.5m,贝U22甲车的位置坐标为。=67.5+100=167.5m,乙车的位移和位置坐标都是江=30M3+30+15M3=157.5m,因为x乙<x甲，所以甲乙两车不能相遇。2(2) x-1图象甲、乙的位置坐标分别为0=100+30t5t2(0EtE3),x甲=145+2.5(t-32(3<t<9),x乙=30t(0WtM3),x乙=90+30(t-3)2.5(t-3)2(3<t<9)用电子计算机Excel作出两车的位置坐标图象如下图。从图象可以得到，甲车和乙车没有相遇。同时还可以看出，t=6s时刻，甲、乙距离最近。【解法4】相对运动法以上都是以地面为参照

6、物(默认)，以下以B车为参照物。A相对B的初位置为x0=100moA相对B的加速度a=10m/s2(0Wt芸3),a=10m/s2(3<t*9)则A车的速度v0=0(t=0时刻)，v=-30m/s(t=3s时刻)1 o所以，A车相当于B的包置为x=100-x10t(0<t<3),x=55m(t=3s),21x=55-30(t-3)+-x10(t-3)2(3<tW9)。2用电子计算机Excel作出两车的相对位置坐标图象如下图。从图象可以得到，甲车和乙车相对位置先靠近0-6s,后远离69s,当t=6s时刻，距离最近为10m,所以，两车没有相遇。x(甲相对于乙)Tx(甲相对于

7、乙)【例题2】在平直公路上有甲乙两辆汽车同时从同一地点沿同一方向做匀加速运动，他们速度的平方随位移变化的图象如图所示，则A.甲车的加速度比乙车的加速度大B.在x=0.5m处甲、乙两车的速度相等C.在x=0.5m处甲、乙两车相遇D.在x=1.0m处甲、乙两车相遇【解法11公式法乙X/m根据v2=2ax,甲车v2=4x,得2甲=2m/s2乙车v2x11,得a乙1m/s,所以a甲aa乙,A正确。在x=0.5m处，v'=7,所以甲、乙两车的速度相等，B正确甲车，v甲=2t,x甲=、甲t2=t22乙车，因为vlQ=1m2/s2,所以v乙0=1m/s,所以v乙=1+t,x乙=t+0.5t2在x=0

8、.5m处，x甲=x乙，有的同学认为在此处甲乙相遇，而选Co但根据x甲=1a甲t2=t2=0.5,得饰=屈定0.7s,根据乂乙=t+0.5t2=0.5,解得2t乙=、，2-1之0.4s,所以甲、乙两车不是同时到达x=0.5m处，所以在x=0.5m处甲、乙两车没有相遇，C错误。同样的方法，在x=1.0m处，x甲=乂乙，但根据x甲=%甲t2=t2=1.0,得t甲=1.0s,2根据x乙=t+0.5t2=1.0,解得t乙=卬；3-1电0.7s,所以甲、乙两车不是同时到达x=1.0m处，所以在x=1.0m处甲、乙两车没有相遇，D错误。【答案】AB【延伸】那么，甲乙两车能不能相遇呢？在哪儿相遇呢？若刖=x乙

9、，即t2=t+0.5t2,解彳3t=2s,代入得x=4m,所以，两车在t=2s时刻x=4m位置相遇。用电子计算机Excel作甲、乙车位移随时间变化的图象，如下图。从图像也可以得到，当t=2s时，两车在x=4m处相遇。所以，CD错误。同时也可以看出，当t=1s,v甲=v乙，甲乙相距最远（相遇前）。用电子计算机Excel作甲乙的速度图象，如下图从图象可以看出，当t<1s,v甲<v乙，乙在前，甲在后，甲、乙距离越来越远;当t-1s,V甲=v乙，甲乙相距最远（相遇前）；当t1s,v甲AV乙，甲追乙，甲、乙距离越来越近；当t=2s,X甲=乂乙（用“面积”计算位移），甲、乙相遇。【解法3】相对

10、运动法以甲为参照物，则乙相当于甲，初速度Vo=1m/s,加速度2222a=1m/s-2m/s=-1m/s,所以包移为x=t-0.5t,用电子计算机Excel作乙相对于甲的位移图象，如下图。解读：当t<1s,乙在前，甲在后，乙相对甲距离越来越远；当t-1s,乙相对甲距离最远（相遇前）；当t1s,乙相对甲距离越来越近；当t=2s,乙相对甲距离为零，即甲、乙相遇，之后，乙相对甲位移为负，即乙在甲后。【解法4】时间-位移图象法以位移X为自变量，分别求出同一位移的时间，根据X=t2,所以=Jx；根据x=t+0.5t2,解得t乙=J2x+1-1。用电子计算机Excel作甲、乙的t-x图象，如图所示。

11、从图象可以看出，当x=0.5m的位置，t甲#t乙，即甲、乙不是同时到达x=0.5m的位置，所以C错误。当x=1.0m的位置，t甲#t乙，即甲、乙不是同时到达x=1.0m的位置，所以D错误。从图象还可以看出，当x=4m的位置，t甲=b=2s,即甲、乙同时到达x=4m的位置，即甲、乙在x=4m的位置相遇。【例题3】如图所示，甲、乙两小球位于h=45m的同一高度，零时刻由静止释放甲球，1s后再由静止释放乙球，释放后两球均做自由落体运动。(重力加速度g取10m/s2),求：(1)释放乙球时，甲球离地高度甲QQ乙(2)甲小球落地时，甲、乙两小球之间的竖直距离；(3)从甲小球下落开始计时，分析全过程甲、乙

12、两球之间；：的竖直距离与时间的关系，并用图像准确表示。(球落地后立即:原地静止)包/m30-2520153410IIIHILIIIDL匕1L【解法11公式法2(1)释放乙球时，甲下落高度h1=gt12/2=5m得甲离地Mi度曲i=hhi=40m(2)由卜=gt22/2得甲球落地时间t2=3s,此时乙下落高度h2=g&-1)2/2=20m所以甲、乙之间的距离曲2=hh2=25m(3)从甲下落开始计时，甲下落高度yi=1gt2(0mt<3s)20、，y1=45(3:t三4s)y2=0(0£t<1s)乙球下落高度11八2,.h两者之间的高度差Ay=yiy2y2=-g(t

13、-1)(1<t<4s)2.在01s内，y1=gt2/2,y2=0,两球的竖直距离随时间的关系为Ay二y1y2=gt2/2=5t2在13s内，y1=gt2/2,y2=g(t-1)2/2,两小球的竖直距离随时间的关系为：Zy2=y1y2=10t-5在34s内，y二45m,y2=g(t1)2/2,两小球的竖直距离随时间的关系为：2为3=y一y2=40+10t5t则图像如图所示1234【解法2】图象法在01s内，y1=gt2/2,y2=0,两球的竖直距离随时间的关系变化为Ay1=y1一y2在13s内，y1=gt2/2,y2=g(t-1)2/2,两小球的竖直距离随时间的变化关系为：42=y1

14、y2在34s内，y二45m,y2=g(t1)2/2,两小球的竖直距离随时间的变化关系为：43=y1一y2用电子计算机Excel表格，第一列是时间t,从0到4,间隔为0.01;第二列是甲卜落的距离，公式记为y1=5*a2*a2(0-3s)及y1=45(3-4s);第三列是乙下落的距离，公式记为y2=0(01s)及y2=5*(a121)*(a121)(1-3s);第四列是两小球的竖直距离随时间的变化关系，即上述的Ay,公式记为dy=b2a2【解法3】相对运动法以乙为参照物，从甲下落开始计时，甲下落高度y1=gt2/2,乙球下落高度y2=g(t1)2/2,两者之间的高度差为=y一y2在01s内，甲相对于乙做自由落体运动，相对位移为(以向下为正)y1=gt2/2=5t2在13s内，甲相对于乙作匀速运动，初速度为v0=gt1=10m/s，加速度a=0,初位移为y0=5m,所以位移为y2=10(t-1)+5(1<tW3s)在34s内，甲静止在地面，乙向下作匀加速运动，则甲相对于乙作向上的匀加速运动，其初位移为y°'=25m,初速度v0'=-g(t-1)=-20m/s2,加速度为-g=