(完整版)《数学分析》无穷小量与无穷大量.doc

1、§ 5无穷小量与无穷大量教学目的：理解无穷小（大）量及其阶的概念。会利用它们求某些函数的极限。教学要求：作为函数极限的特殊情形，要求掌握无穷小（大）量及其阶的概念，并由此求出某些函数的极限。引言在学习数列极限时，有一类数列非常引人瞩目，它们具有如下特征：lin an 0.我们称之为无穷小数列。通过前面几节对函数极限的学习。我们可以发现，在一般函数极限中也有类似的情形。例如：lin sin x 0, lin x2 0,L x 0x 0我们给这类函数一个名称一一“无穷小量”。既然有“无穷小量”，与之对应的也应有“无穷大量”，那么什么时“无穷大量” ？进一步，这些“量”有哪些 性质呢？以上

2、就是我们今天要给大家介绍的内容一一无穷小量与无穷大量。一、无穷小量1.定义1 ：设f在某U 0 &0）内有定义。若lin f（x）x xo0 ，则称f为当xxo时的无穷小量。记作:f(X)0 (l)(x xo ).（类似地可以定义当 x X0 , X X0 , X , X , X时的无穷小量）例： k （1,2, ）,sh ,1 cosJx k L x x都是当x 0时的无穷小量； 1 x是当x 1 sh x 是X时的无穷小量。X2 X2.无穷小量的性质（1）先引进以下概念1时的无穷小量;定义2 （有界量）若函数g在某U 0 &o ）内有界，则称g为当x X0时的有界量，记作:

3、例如：sin x是当x10 (l)(x 0).xg （x） 0 （l）（x xo ）.1时的有界量，即 shx 0 （1）&）； Sh-是当X 0时的有界量，即注：任何无穷小量都是有界量（局部有界性），即若 f &)0(1) & xo),则 f(x) 0 (l)(x xo ).区别：“有界量”与“有界函数”。一般在谈到函数f是有界函数或函数 f是有界的，意味着存在M > 0 ,f在定义域内每一点x ,都有f （x） | M o这里“有界”与点无关：而有界是与“点有关”，是在某点的周围（且除去此点）有界，是一种“局部”的有界。（2 ）性质性质1 两个（相同类型的）无

4、穷小量之和、差、积仍为无穷小量。性质2 无穷小量与有界是的乘积为无穷小量。性质3 lin f(x) A f(x)A是当xx。时的无穷小量血(f (x) A) 0.x X0x X0? 1例如；hn xz sh_ o , lin (x2 x3 ) 0,lin xsh x 0 .x 0*x 0x 0问题：两个(相同类型的)无穷小量之商是否仍为无穷小量？考虑：X2xxsh x2xlin 0,lin -z ?,lin 21,in1,lin ? 2 .x ° X x o x x o x* oX x o x引申：同为无穷小量，lin xi 0，而加 士不存在？这说明“无穷小量”是有“级别”的。这个

5、“级2x 0 Xx 0 X别”表现在收敛于0 (或趋近于0)的速度有快不慢。 就上述例子而言， 这个“级别”的标志是x的“指数”， 当x 0时，x的指数越大，它接近于0的速度越快。这样看来，当 x 0时，x2的收敛速度快于x的收敛速度。所以其变化结果以 x2为主。此时称x2是(当x 0时)x的高阶无穷小量，或称 x 0时，x是X2的低阶无穷小量。般地，有下面定义:1.无穷小量阶的比较(主要对xo叙述，对其它类似)设当x xo时，f, g均为无穷小量。f(X)(1 ) 若向 0 ，则称xxo时f为g的高阶无穷小量，或称g为f的低阶无穷小量,记作 f (x) 0(g (x)(xxo ) .即 f

6、(x)0 (g (x)(x xo )lin0 .x XO g (x)例 lin0x 0 XkXk 1 0(xk)(x0) , lin cos x 向匕11 _x os in x x o 21 cos x 0 (3h x) (x 0).0(1 x)(x 1) ?问题 lin lin (1 x) o,此时是可说1 xx 11 X x 1引申 与上述记法：f (x) 0(g(x)(xxo)相对应有如下记法：f (x) o (g(x)(x xo),这是什么意思？含义如下:若无穷小量f与g满足关系式 干 L, x U ° (xo ),则记作f (x) 0 (g (x)(x xo ).g (x)

7、.X例如，(1) 1 cos x 0 (x2 )(x0) , x(2 sii ) o &)(x0).2(2 )若 f &)0 (g (x)(x xo ) f (x) 0 (g (x) (x xo ).注 等式 f (x) 0 (g (x)(x xo ),f &) 0 (g (x)(xxo)等与通常等式的含义不同的。这里的等式左边是一个函数，右边是一个函数类(一类函数)，而中间的“=”叫的含义是“1 cos x 0 (sh x) (x 0),其中 0 Gil x)f I lin0 ,而上述等式表示函数x 0 g(X)1 cosx f hn f (x) 0 o 为方便起见，

8、记作 1 cos x 0 fch x). x o g(X)若存在正数K和L,使得在某u。(xo)上有 K L I g(x)|则称 f与g为当X xo时的同阶无穷小量。需要注意：lin0存0 g(X)在，并不意味着f与g不无穷小量。如lin xx 0lin x(2x 01sin_ )x(2SU _ )x- lin(2x 01、 sh )不存在。x(21 sh)为当X o时的同阶无穷小量。由上述记号可知：若f与g是当xxo时的同阶无穷小量，则一定有：f (x) 0 (g(x)(x xo ) o, f (x)若lin 1 ,则称f与g是当xX XO g (x)xo时的等价无穷小量，记作f (x) ：

9、 g (x) (x xo ).sh x2 (1 cos x)x2例如：1 ) lin 1 sh x ： x(x 0) ; 2 ) lin ： 1 1 cos x ： 一(x 0).对于“等价无穷小量”有下面的重要的结论，它在求极限问题中有重要作用，称为求极限的“等 价量法”。定理 设函数f、 g、h在U°(xo)内有定义，且有 f(X)： g (x) (xxo ) . (1)若lin f (x)h(x)x XOA ,则 lin g(x)h(x)x xo例1.求lin陋皿.x x。sh4xtx sin x例2. 求极限hn s x0 sh xah (x)h&)A； Q)若山B,

10、则in B.x Xo f (x) XX。g (x)注：在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意：只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用 等价无穷小量来替代，而对极限式中相加或相减的部分则不能随意替代。3.小结以上讨论了无穷小量，无穷小量性质。无穷小量比较。两个无穷小量可比较的特征一一其商是有 界量。但应指出，并不是任何两个无穷小量都可以进行这种阶的比较。1例如 lin x siL Jin x2 0 .二、无穷大量1 .问题 “无穷小量是以0为极限的函数”。能否仿此说“无穷大量是以为极限的函数”。答：按已学过的极限的定义，这种说法是不严格的，讲A为函数f&)当xX0时的极限，意味xo时，

11、f(x)与 (or )无限接着A是一个确定的数，而“”不具有这种属性，它仅仅是一个记号。所以不能简单地讲“无穷大量是以为极限的函数”。但是，确实存在着这样的函数，当 近。1例如：1) f(x) L,当x 0时，工与越来越接近，而且只要X与0充分接近，就会无限增大；2 ) f (x) _L_ ,当x 1时，也具有上述特性。 x 1在分析中把这类函数 f称为当x xo时有非正常极限 。其精确定义如下：2 .非正常极限定义2 (非正常极限) 设函数f6)在某U 0 &o)内有定义，若对任给的M >0,存在 0,当x U ° )( U 0 (xo)时有|f (x) |M ,则称

12、函数 f(x)当x xo时有非正常极限 ，记作lin f (x) ox XO注：1)若“ |f(x) M ”换成“ f6) M "，则称f(x)当X xo时有非正常极限 ；若换成f(x) M ,则称f&)当xxo时有非正常极限，分别记作lin f (x), lin f(x)x xoX XO2) 关于函数f在自变量X的其它不同趋向的非正常极限的定义，以及数列an 当n时的非正常极限的定义，都可类似地给出。例如：lin f (x)M 0 ,当 x M 时，f &) M ；Xlin anM 0 , N 0 ,当 n N 时，M .n3 .无穷大量的定义定义3 .对于自变量x

13、的某种趋向(或n ),所有以，or为非正常极限的函数(包括数列)，都称为无穷大量。1例如： 当乂 0时是无穷大量；ax(3 1)当时是无穷大量。;2 )若f为x xo时的无穷大量,2 X乙X注：1)无穷大量不是很大的数，而是具有非正常极限的函数f n则易见 为U 0 &。)上的无界函数，但无界函数却不一定是无穷大量。例如；f(x) xsilx在U ()上无界，但 山 f (X ；3 )如同对无穷小量进行阶的比较的讨论一样，对两个无穷大量，也可以定 X义高阶无穷大量、同阶无穷大量等概念。4 .利用非正常极限定义验证极限等式例3 证明 1向 Lx 0 X例4 证明；当a 1时，lin ax

14、 。 X三、无穷小量与无穷大量的关系1定理 (1 )设f在U ° 80 )内有定义且不等于0 ,若 f为当xX0时的无穷小量，则为X X0时f1的无穷大量；(2 )若g为xxo时的无穷大量，则 为xxo时的无穷小量。g四、曲线的渐近线一1 . 引言22x y作为函数极限的一个应用。我们讨论曲线的渐近线问题。由平面解析几何知：双曲线 有两条a2 b2 八X渐近线 y Oo那么，什么是渐近线呢？它有何特征呢？ a b2 .曲线的渐近线定义定义4若曲线C上的动点p沿着曲线无限地远离原点时，点 p与某实直线L的距离趋于零，则称直线L为曲线C的渐近线。形如y kx b的渐近线称为曲线C的斜渐近线；形如 x xo的渐近线称为曲线C的垂直渐近线。3 .曲线的渐近线何时存在？存在时如何求出其方程？(1 )斜渐近线到渐近线的距离为pN PMcosf (x)(kxb)依渐近线定义，当 x k2类似)，pN 0 ，即有linXf &)(kxb)linXf(X) kx b,又由linXf &)klinXkx