数值(02)线性空间与赋范线性空间

1、数值分析数值分析数值分析数值分析第二章第二章 数值分析基础数值分析基础 第一节第一节 线性空间与赋范线性空间线性空间与赋范线性空间 第二节第二节 内积空间与内积空间中的正交系内积空间与内积空间中的正交系 第三节第三节 初等变换阵与特殊矩阵初等变换阵与特殊矩阵 数值分析数值分析数值分析数值分析 第一节第一节 线性空间与赋范线性空间线性空间与赋范线性空间一、线性空间一、线性空间 定义定义2-12-1 设设是一个非空集合，是一个非空集合，F F是数域，如果是数域，如果 在集合在集合中定义了加法运算，记为中定义了加法运算，记为“+”+”， 即即 ，有，有+； 在数域在数域F F和集合和集合的元素之间定

2、义了数量乘法，的元素之间定义了数量乘法， 即即 k kF F，有，有kk； 上述定义的加法和数乘运算满足代数运算的八条规则上述定义的加法和数乘运算满足代数运算的八条规则 则称集合则称集合是定义在数域是定义在数域F F上的线性空间或向量空间，上的线性空间或向量空间，记为记为（F F）。）。 线性空间概念数值分析数值分析数值分析数值分析 ,;,VF 设设;)1( 代数运算的八条规则代数运算的八条规则;1)5( ;)6( .)8( ;)7( ; 0 ,)4( 使使的的负负元元素素都都有有对对任任何何VV;0, 0)3( 都有都有对任何对任何中存在零元素中存在零元素在在VV ;)2( 数值分析数值分析

3、数值分析数值分析 线性空间是线性代数最基本的概念之一，也线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广是一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广nnR维向量空间1212(,)Tnnxxnxxxxx 维维向向量量为为列列向向量量.,分分量量的的个个数数所所含含向向量量的的“维维”是是指指向向量量为为行行向向量量Tx数值分析数值分析数值分析数值分析 线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是某一类线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题看作线性空间，事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题看作线性空间，进而通过研究线性空间来解决

4、实际问题进而通过研究线性空间来解决实际问题：可以看成是实数域：可以看成是实数域上的线性空间，加法和数乘是上的线性空间，加法和数乘是实数中的加法和数乘；实数中的加法和数乘；：可以看成是复数域：可以看成是复数域上的线性空间，加法是复数的上的线性空间，加法是复数的加法，数乘是实数与复数按复数乘法相乘；加法，数乘是实数与复数按复数乘法相乘；（）：）：实数域（复数域）上所有实数域（复数域）上所有矩矩阵的集合。按矩阵的加法和数乘矩阵定义加法和数乘，阵的集合。按矩阵的加法和数乘矩阵定义加法和数乘，构成线性空间；构成线性空间；2 2、几个具体的线性空间实例、几个具体的线性空间实例数值分析数值分析数值分析数值分

5、析 P x n：实数域上所有次数：实数域上所有次数的多项式。按多项式加法和的多项式。按多项式加法和数乘多项式定义加法和数乘，构成线性空间。但次数数乘多项式定义加法和数乘，构成线性空间。但次数的多项式全体不能构成线性空间；的多项式全体不能构成线性空间；P x ：实数域上多项式全体：实数域上多项式全体. .按多项式加法和数乘多项式法按多项式加法和数乘多项式法则构成线性空间；则构成线性空间；a，：区间区间a，上一元连续函数的全体。是上一元连续函数的全体。是上的线性空间上的线性空间, ,因为两个连因为两个连续函数之和以及实数续函数之和以及实数与连续函数乘积仍是连续函数；与连续函数乘积仍是连续函数；a，

6、：类似于类似于a，在区间，在区间a，上上阶连续可微的一元函数全体阶连续可微的一元函数全体. .构成构成上的线性空间。上的线性空间。数值分析数值分析数值分析数值分析（）一个集合，如果定义的加法和数乘运算是通常的（）一个集合，如果定义的加法和数乘运算是通常的实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性例例 实数域上的全体实数域上的全体 矩阵，对矩阵的加法矩阵，对矩阵的加法和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作 nm nmR 线性空间的判定方法线性空间的判定方法m nR 中中任任意意两两个个矩矩阵阵定定义义矩矩阵阵的的“加

7、加法法”和和“数数乘乘”运运验验证证：算算，且且封封闭闭(),()()(),m nm nijm nijm nm nijijm nm nijm nAaRBbRABabRAaRR 即即：加加法法数数乘乘m nR 所所以以是是线线性性空空间间。数值分析数值分析数值分析数值分析1010 , , ( ),.nnnnnnP xP xp xa xa xaaaaR 次次数数不不超超过过 的的多多项项式式的的全全体体 记记作作即即对对于于通通常常的的多多项项式式加加法法 数数乘乘多多项项式式的的乘乘法法构构成成线线性性空空间间例例2 2)()(0101bxbxbaxaxannnn )()()(0011baxba

8、xbannn xPn )(01axaxann )()()(01axaxann xPn .nP x对对运运算算封封闭闭数值分析数值分析数值分析数值分析1010 ( ),0.nnnnnnQ xp xa xa xaaaaRa 次次多多项项式式的的全全体体且且对对于于通通常常的的多多项项式式加加法法和和数数乘乘运运算算不不构构成成线线性性空空间间例例3 3p0000 xxnxQn .对对运运算算不不封封闭闭xQn数值分析数值分析数值分析数值分析例例4 4 在区间在区间 上全体实连续函数，对函数的上全体实连续函数，对函数的加法与数和函数的数量乘法，构成实数域上的线性加法与数和函数的数量乘法，构成实数域上

9、的线性空间空间,ba( ),( ) , ,( )( ) , ,( ) , ,f xg xC a bf xg xC a bf xC a bR 有有数值分析数值分析数值分析数值分析例例5 5 正实数的全体，记作正实数的全体，记作 ，在其中定义加法，在其中定义加法及乘数运算为及乘数运算为 R ., RbaRaaabba 验证验证 对上述加法与数乘运算构成线性空间对上述加法与数乘运算构成线性空间 R（）一个集合，如果定义的加法和数乘运（）一个集合，如果定义的加法和数乘运算不是通常的实数间的加乘运算，则必需检验是算不是通常的实数间的加乘运算，则必需检验是否满足八条线性运算规律否满足八条线性运算规律证明证

10、明;, RabbaRba., RaaRaR 所以对定义的加法与数乘运算封闭所以对定义的加法与数乘运算封闭数值分析数值分析数值分析数值分析下面一一验证八条线性运算规律：下面一一验证八条线性运算规律：;)1(abbaabba );()()()(2(cbacabcabcba 有有对对任任何何中中存存在在零零元元素素, 1)3( RaR;11aaa 使使有有负负元元素素,)4(1 RaRa; 111 aaaa数值分析数值分析数值分析数值分析;1)5(1aaa ;)6(aaaaa ; )7(aaaaaaaa baababba )()()8(所以所以 对所定义的运算构成线性空间对所定义的运算构成线性空间

11、R. baba 数值分析数值分析数值分析数值分析3 3、线性空间的基和维数、线性空间的基和维数已知已知：在中，线性无关的向量组最多由：在中，线性无关的向量组最多由 个向量组成，而任意个向量组成，而任意 个向量都是线性相关的个向量都是线性相关的Rnn1 n问题：问题： 在线性空间在线性空间V V中，最多能有多少线性无关的向量？中，最多能有多少线性无关的向量？数值分析数值分析数值分析数值分析3 3、线性空间的基和维数、线性空间的基和维数若12,( ) nV F，(1,2, )ikF in,则 1122nnkkk=1( )niiikV F 则称为12, n的一个线性组合，或称可 由12, n线性表出

12、。 数值分析数值分析数值分析数值分析 121212212:,.,.,F.0,.,.mmmmmFVk kkkkk 设设是是定定义义在在数数域域 上上的的线线性性空空间间, ,若若存存在在一一组组不不全全 定定义义2 2为为零零的的数数，使使 则则称称元元素素组组线线性性相相关关 否否则则称称它它们们线线2 2性性无无关关- -123112233,( )( )( )0:kkkk fxk fxk fx 设设有有使使解解221223 ( )1,( )25,( )316,P xfxxxfxxfxxx已已知知素素例例中中的的元元123( ),( ),( ).fxfxfx讨论的线性相关性数值分析数值分析数值

13、分析数值分析131231230230560kkkkkkkk 213123123()(23)(56)0kkxkkkxkkk即即 3231kkkk解解得得123( ),( ),( )fxfxfx所所以以线线性性相相关关。123( )( )( )0fxfxfx 01 1 -1于于是是存存在在不不全全为为 的的数数 、 使使得得数值分析数值分析数值分析数值分析234012340kk xk xk xk x 即即：0011223344 ( )( )( )0 )( )k pxk p xk pxk pxk px 令令解解: :012340kkkkk 23401234( )1,( ),( ),( ),( ).p

14、xpxx pxxpxxpxx 所所以以是是线线性性无无关关的的401234234 ,( )1,( ),( ),(, )( ).P xpxpxxpxxpxxpxx 在在线线性性空空间间中中证证明明：是是线线性性无无关关的的例例2 2数值分析数值分析数值分析数值分析;, )1(21线线性性无无关关n ., , , 21维维数数的的称称为为线线性性空空间间基基的的一一个个就就称称为为线线性性空空间间那那末末VnVn , 2)( 21表表示示线线性性总总可可由由中中任任一一元元素素nV 定义定义2-32-3 在线性空间在线性空间 中，中， 如果存在如果存在 个元素个元素nn ,21满足：满足：V,.n

15、nnV维维数数为为 的的线线性性空空间间称称为为维维线线性性空空间间 记记作作1nRRn是是维维线线性性空空间间是是 维维线线性性空空间间P 1nxn 是是维维线线性性空空间间 , C a b 是是无无穷穷维维线线性性空空间间。数值分析数值分析数值分析数值分析4 4、线性空间的子空间、线性空间的子空间设V是线性空间，12, nV，令 1121|,niiniVkk kkF 则1V是V的子空间，称为由元素12, n生成的子空间， 记作 112, nVspan 2 1, ,nnP xspanx xx是a，的子空间 数值分析数值分析数值分析数值分析矩阵代数中的几个重要子空间矩阵代数中的几个重要子空间

16、0(),()|0,m nnnm nnARAxRAN AN AxRAxARR 设设，齐齐次次线线性性方方程程组组的的全全体体解解集集合合是是的的子子空空间间，称称1 1为为 的的零零空空间间，记记为为、矩矩阵阵的的零零空空间间112011().134AN A ，求求例例 已已知知数值分析数值分析数值分析数值分析112112101011011011134022000 解解1323xxxx 311,11()|( 1, 1,1) |TxAN AspankkRkkR 令令基基础础解解系系为为的的零零空空间间为为数值分析数值分析数值分析数值分析()(1)()0m nARrAxAArN A ，若若是是齐齐次

17、次线线性性方方程程组组矩矩阵阵 的的零零空空间间的的一一般般结结论论的的解解空空间间。 (3)dim()0,(),0()0N Ar AnAxN A 若若即即则则只只有有零零解解。(2)dim()N Anr 数值分析数值分析数值分析数值分析 ),.,2 , 1(,:.2121njRaaamnAmmjjjjn 维维列列向向量量个个含含按按列列向向量量分分块块111212122212.().nnijm nmmmnaaaaaaAaaaa 矩矩阵阵的的两两种种分分块块表表示示（2）矩阵的列空间和行空间）矩阵的列空间和行空间数值分析数值分析数值分析数值分析维维行行向向量量个个含含按按行行向向量量分分块块n

18、mATmTT :21.,.,2 , 1),.,(.,.,2 , 1),.,(2121miaaamiRaaainiiTinTiniii 是是行行向向量量是是列列向向量量 数值分析数值分析数值分析数值分析111(,)niininxyAxyxx 1212,TTm nnTmARA ()|,(),m nmmnmARARAR AyRyAxR AxRR 的的列列空空，由由 的的列列向向量量生生成成的的集集合合是是的的子子空空间间，为为称称为为间间，记记 12(),nR Aspan 数值分析数值分析数值分析数值分析111(,)mTjjmjmxyA xyxx 12(),(),Tm nnTmARARR AspaA

19、nAR 的的行行，由由 的的行行向向量量生生成成的的集集合合是是的的子子空空间间，称称为为为为空空间间，记记 ()|,TnTmnR AyRyA xxRR dim()dim()()TR AR Ar A 显显然然数值分析数值分析数值分析数值分析 中中元元素素求求由由3xP,142)(231 xxxxf,1932)(232 xxxxf,56)(33 xxxf5752)(234 xxxxf生成的子空间的基与维数生成的子空间的基与维数. .例例0)()()()( 44332211 xfkxfkxfkxfk令令解解. 0)55()7694()532()22(43214321242134321 kkkkxk

20、kkkxkkkxkkkk则则得得数值分析数值分析数值分析数值分析.00005511769450322121 4321 kkkk因因此此,A设设该该齐齐次次线线性性方方程程组组的的系系数数矩矩阵阵为为则则 0000000012104301初初等等行行变变换换A134234342kkkkkk 即即数值分析数值分析数值分析数值分析有有且且该该子子空空间间的的维维数数为为所所生生成成的的子子空空间间的的基基是是线线性性无无关关因因此此,2,)(),(),(),(,)(),(,432121xfxfxfxfxfxf).()(4)(),(2)(3)(214213xfxfxfxfxfxf 134234342k

21、kkkkk 又又12341234( )( )( )( )0 xxxxffffkkkk 数值分析数值分析数值分析数值分析,2211nnxxx .,212121nTnnxxxxxx 并并记记作作基基下下的的坐坐标标这这个个在在称称为为元元素素有有序序数数组组1212 ,nnnnVVxxx 设设是是线线性性空空间间的的一一个个基基 对对于于任任一一元元素素总总有有且且仅仅有有一一组组有有序序数数使使定义定义2-4 5、元素在给定基下的坐标、元素在给定基下的坐标数值分析数值分析数值分析数值分析241233445 ,1, ,.P xppx pxpxpx 在在线线性性空空间间中中就就是是它它的的一一个个基

22、基例例1 1234123404 p aa xa xa xa x 任任一一不不超超过过 次次的的多多项项式式1234012345 p a pppppaaaa 可可表表示示为为01234 (, , , , )Tpaaaaa因因此此在在这这个个基基下下的的坐坐标标为为数值分析数值分析数值分析数值分析23123445 1,1,2,qqx qxqxqx 若取另一基则qbqbqbqbqb5544332211 453423212)1( xxxxbbbbb 4534232212)( xxxxbbbbbb 453423120212 abababababb23401234paa xa xa xa x 214534

23、2312101 ababababaab解解得得数值分析数值分析数值分析数值分析qaqaqaqaqaap5443322111021)( ) , ,21 , ,( 432110aaaaaapT 在在这这个个基基下下的的坐坐标标为为因因此此注注 线性空间线性空间V 的任一元素在不同基下所对应的坐标一的任一元素在不同基下所对应的坐标一般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是唯一的般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是唯一的数值分析数值分析数值分析数值分析12 ,.,.nnnnnnnVVRVR 设设是是 维维线线性性空空间间的的一一组组基基 在在这这组组基基下下中中的的每每个个向向量量都都有有唯唯一一确确

24、定定的的坐坐标标而而向向量量的的坐坐标标可可以以看看作作中中的的元元素素 因因此此向向量量与与它它的的坐坐标标之之间间的的对对应应就就是是到到的的一一个个映映射射 ,.11.nnnnnnVRVRVR 由由于于中中的的每每个个元元素素都都有有中中的的向向量量与与之之对对应应 同同时时中中不不同同的的向向量量的的坐坐标标不不同同 因因而而对对应应中中的的不不同同元元素素 我我们们称称这这样样的的映映射射是是与与的的一一个个对对应应的的映映射射 这这个个对对应应的的重重要要性性表表现现在在它它与与运运算算的的关关系系上上6、线性空间的同构、线性空间的同构数值分析数值分析数值分析数值分析的的坐坐标标分

25、分别别为为与与于于是是 k nnbbbaaann 21212121 设设121212,(,)(,) ,nnTTnnVaaab bb 即即向向量量在在基基下下的的坐坐标标分分别别为为和和则则 nnnbababa)()()(222111 nnakakakk 2211),(),( ),(21212211bbbaaabababanTnTnnT ),(),(2121aaakakakaknTnT 数值分析数值分析数值分析数值分析 :, .nnVR上式表明 在向量用坐标表示后 它们的运算就归结为坐标的运算 因而线性空间的讨论就归结为的讨论定义定义设设U、V是两个线性空间，如果它们的元素之间有是两个线性空间，

26、如果它们的元素之间有一一对应关系一一对应关系 ，且这个对应关系保持线性组合的对应，且这个对应关系保持线性组合的对应，那末就称线性空间那末就称线性空间 U与与 V同构同构.同构的意义同构的意义在线性空间的抽象讨论中，无论构成线性空间的元素在线性空间的抽象讨论中，无论构成线性空间的元素是什么，其中的运算是如何定义的，我们所关心的只是是什么，其中的运算是如何定义的，我们所关心的只是这些运算的代数性质从这个意义上可以说，同构的线这些运算的代数性质从这个意义上可以说，同构的线性空间是可以不加区别的，而有限维线性空间唯一本质性空间是可以不加区别的，而有限维线性空间唯一本质的特征就是它的维数的特征就是它的维

27、数数值分析数值分析数值分析数值分析三三条条公公理理，与与其其对对应应，且且满满足足以以下下实实数数若若存存在在唯唯一一上上的的线线性性空空间间，是是数数域域设设xVxFV, 定义定义2-5(1):0,00(2):,(3):,xxxkxkxkFxyxyx yV 正正定定性性且且齐齐次次性性三三角角不不等等式式。空空间间称称为为赋赋范范线线性性空空间间的的线线性性的的范范数数。把把定定义义了了范范数数称称为为向向量量则则实实数数xx二、二、赋范线性空间赋范线性空间1. 1.向量范数公理向量范数公理数值分析数值分析数值分析数值分析 一一般般可可表表示示为为范范数数的的形形式式地地表表示示成成以以上上

28、三三种种范范数数可可以以统统一一,2, 1,)(11pxxppnipiP1211122211(,),.1:2:():max(1):Tnnniinniiii nxx xxRxxxxRxx 常常用用的的范范数数有有如如下下三三种种向向量量的的范范数数向向量量的的范范数数向向量量的的范范数数Matlab: norm(x,p)2. , nRC a b和和中中的的范范数数数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析1111niixx 计计算算向向量量的的范范数数算算法法s=0;for i=1:n s=s+abs(x(i);end122212()2niixx 计计算算向向量量的的范范数数算算法法s=0

29、;for i=1:n s=s+x(i)*x(i);ends=sqrt(s)s=0;for i=1:n s=s+x(i)2;ends=sqrt(s)数值分析数值分析数值分析数值分析1m3axiinxx 计计算算向向量量的的算算范范数数法法s=0;for i=1:n if abs(x(i)s,s=abs(x(i);endend数值分析数值分析数值分析数值分析 inxx i i1 1证证明明= = m ma ax x为为向向例例：量量范范数数. .(3)(),ininininxyxyxyxyxyx yV i ii ii ii i1 11 1i ii i1 11 1= = m ma ax xm ma

30、ax xm ma ax xm ma ax x(1)0,00,1,2,.,0ixxxinx 显显然然证证：(2),ininkxkxkxkxkF i ii i1 11 1= =m ma ax x= =m ma ax xinxx i i1 1所所以以= = m ma ax x为为向向量量范范数数. .数值分析数值分析数值分析数值分析.:等等价价的的有有限限维维空空间间中中的的范范数数是是对对有有限限维维空空间间有有结结论论 xnxxxnxxxxxnRxn12221:有有关关系系式式可可以以证证明明12212122112,.:,(0),nnPPnPPPRxxRCC CCxRCxxCx 在在上上 所所有

31、有的的范范数数是是等等价价的的即即 如如果果和和是是上上的的范范数数 则则存存在在正正常常数数和和对对有有数值分析数值分析数值分析数值分析例：例：证明证明 注意：注意： 1.等价性不等于互相代替，即在同一问题中不能混等价性不等于互相代替，即在同一问题中不能混 用不同的范数。用不同的范数。2.在无限维空间中，向量范数的等价性不成立。在无限维空间中，向量范数的等价性不成立。 222221211|max |max |nii nii nxxxxnxnxnx 证证：2|xxnx 222221211|max |max | |niii ni nxxxxxxx 2|xxnx 数值分析数值分析数值分析数值分析

32、11222,( ) , .1:( )2:( ):max( )(2) , :babaxa bf xC a bff x dxff xdxffC a bx 也也有有以以下下的的三三种种常常用用范范数数范范数数范范数数范范数数数值分析数值分析数值分析数值分析 1 , ( )( )baC a bff x dxf x 证证明明 在在中中，= =为为例例：的的范范数数. .111(3)( )( )( )( ) )( )( ),( ),( ) , bbaabbaafgf xg x dxf xg xdxf x dxg x dxfgf xg xC a b = =11(1)0,0( )0fff x 证证显显：然然1

33、1(2)( )( ),bbaakfkf x dxkf x dxkfkF = =1( )( ) , baff x dxf xC a b 所所以以= =为为在在中中的的范范数数. .数值分析数值分析数值分析数值分析()(:)()()0,()00;(),()();(),()()();(),()()2-6 ()3. )()n nn nn nn nn nn nRnARF AFRRF AF AAkRF kAk F AA BRF ABF AF BA BRF ABF A F BF AR 中中 阶阶方方阵阵的的范范数数设设矩矩阵阵，若若存存在在一一个个实实值值函函数数与与其其对对应应，且且满满足足以以下下条条件

34、件 正正定定性性及及当当且且仅仅当当 齐齐次次性性有有 三三角角不不等等式式有有 相相容容定定性性有有则则是是义义称称上上的的一一个个,.A矩矩阵阵的的范范数数 也也记记为为xAAx 即即向向量量的的范范数数具具有有相相容容性性这这就就要要求求矩矩阵阵的的范范数数和和使使用用混混合合在在一一起起矩矩阵阵范范数数常常与与向向量量范范数数大大多多数数情情况况下下,数值分析数值分析数值分析数值分析21211:(1)()()nnijFijForbeniusFAa 即即矩矩阵阵的的欧欧氏氏常常用用的的矩矩阵阵范范数数有有两两种种范范数数数数范范数数，记记为为范范11| max|niji nj nRAa

35、按按的的范范数数来来定定义义不不是是矩矩阵阵的的范范数数. .，不不成成立立。显显然然而而如如|.|1| , 2|2222,1111BAABBAABABBA 数值分析数值分析数值分析数值分析（2 2）算子范数（从属范数）算子范数（从属范数）AxxAAxAxxAAxRAxRxnnn 即即有有由由对对,0,定义定义2-7（矩阵的算子范数）（矩阵的算子范数）为为向向量量范范数数。其其中中xRxAxxAxAnxx,maxmax10 数值分析数值分析数值分析数值分析 niijnjnnaAARA111max)(1:,的的列列范范数数称称为为范范数数矩矩阵阵的的也也有有三三种种范范数数相相对对应应常常用用的

36、的矩矩阵阵范范数数与与向向量量 njijniaAA11max)(的的行行范范数数称称为为范范数数矩矩阵阵的的.)()()()(2maxmax2的的最最大大特特征征值值表表示示其其中中的的谱谱范范数数称称为为范范数数矩矩阵阵的的AAAAAAAATTT 数值分析数值分析数值分析数值分析1111maxnn nijjniARAa 例例证证明明矩矩阵阵的的 范范数数，：00AA 时时结结论论显显然然成成立立。因因此此在在下下面面的的证证明明中中总总假假定定证证明明: :。11nniixRxx 1 1则则对对任任意意的的满满足足，有有0111111maxnnnjjjjjjjj njjjAxx axaxaa

37、 1 11 11 10121,.,max,n nnjjjnARAaaaaaA 1 11 11 1将将给给定定的的按按列列分分块块为为并并记记= =000001111jjjjenjeAea 此此外外，若若取取为为 阶阶单单位位矩矩阵阵的的第第 列列，则则有有，而而且且1111111maxmaxmaxnjijxjnjniAAxaa 因因此此有有数值分析数值分析数值分析数值分析n nAR 特特征征值值及及对对应应特特征征向向量量 对对: :0,),( xxAxx 满满足足特特征征对对0, 0)(0, xxAIxxAx 0)det( AIA 的的特特征征值值是是det()( )det()AIAAfIA

38、 是是 的的，记记为为特特征征多多项项式式()IAA 称称是是 的的特特征征矩矩阵阵；( )0,det()0.AfIAA 即即是是 的的特特征征方方程程数值分析数值分析数值分析数值分析12,35,3A的的特特征征值值，401232 ,()104AAA 求求 的的谱谱半半径径例例：。2401( ) det()232(5)(3)0104AfIA 令令解解：()5.AA 的的谱谱半半径径定义定义 2 2- -8 8 设nnRA，记A的全部特征值为A的谱)(A， 即nA,)(21，记( )max |iiA为A的谱半径。 数值分析数值分析数值分析数值分析特征值和特征向量的性质特征值和特征向量的性质: :

39、.)2(量量是是线线性性无无关关的的的的不不同同特特征征值值的的特特征征向向A 12(1),ijnnAa 设设阶阶方方阵阵的的特特征征值值为为则则有有121122;nnnaaa 12.nA 1112122122()()aaIAaa 验验证证：211221122122121212()()aaa aa a 11221221()()aaa a ;AA矩矩阵阵 非非奇奇异异无无零零特特征征值值数值分析数值分析数值分析数值分析()()TTAAAA 与与有有相相同同的的谱谱则则有有特特征征对对若若),()5(xA (,),;kAkxkR 有有特特征征对对非非零零(,),mmAxmN 有有特特征征对对11(

40、,),det()0;AxA 有有特特征征对对(3),.n实实对对称称矩矩阵阵的的特特征征值值都都是是实实数数 且且一一定定有有个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量(4).实实对对称称矩矩阵阵属属于于不不同同特特征征值值的的特特征征向向量量一一定定是是互互相相正正交交的的22(,).Ax 有有特特征征对对( ,),:,0AxAxx x 的的特特征征对对为为即即证证2()()()(),0A AxAxAxxx x 数值分析数值分析数值分析数值分析max22()n nTARAA A 证证明明矩矩阵阵的的 范范，例例数数：证证明明: :,nRx有0),(),(|22AxAxAxAxAxT，由于AAT

41、 是半正定的对称阵，AAT的特征值), 2 , 1(nii为非负的实数 021n设特征向量是)()2()1(,nUUU，它可作为nR中的一组正交基 对任一个非零的向量 x 有展开式)(1jnjjUax， ( )( )11nnTTjjjjjjjA Axa A AUaU 2( )( )22221121111|(,)|nnnnjjjjjjjjjjjjAxa UaUaax数值分析数值分析数值分析数值分析( )( )11nnTTjjjjjjjA Axa A AUaU 2( )( )22221121111|(,)|nnnnjjjjjjjjjjjjAxa UaUaax 22122|Axx 若取)1(Ux ，则1|2x， 且1)1(1)1(22),(),(|UUAxAxAxT 故)(|max|max1221|222AAAxATx。证毕。 数值分析数值分析数值分析数值分析,.,(12-1,2,)()n nppARpAA （特特征征值值上上界界定定理理）设设对对于于有有定定理理。,.:,pppppAUAUUUUAUAUAA 设设 是是 的的任任一一特特征征值值为为相相应应的的特特征征向向量量则则有有因因 是是证证的的任任一一特特征征值值 故故定定理理得得证证明明MM,.,()+2-2 n nARAA 设设对对任任意意的的正正数数 ，存存在在某