高考对数学文化的考查教师用书-理

1、1【三维设计【三维设计】 （通用版）（通用版）20172017 届高三数学二轮复习届高三数学二轮复习 第二部分第二部分 考前考前 3 30 0天天 策略三策略三 重视高考对数学文化的考查教师用书重视高考对数学文化的考查教师用书 理理2017 年考试大纲修订内容中增加了数学文化的要求，其主要目的是注重传统文化在现实中的创造性转化和创新性发展，从而实现考试的社会意义和现实目的其实，近几年高考数学试卷早已出现以数学文化为背景的新颖命题，将数学知识、方法、文化融为一体，有效考查学生在新情境下对知识的理解及迁移运用能力只不过前几年考纲未做明确要求，未引起广大师生的重视.2017 年考纲作出明确要求后，相

2、信以后的高考关于数学文化的命题会加大，应引起师生们的重点关注高考将会从以下几个角度实现数学知识与数学文化的有效“嫁接”典例 1(2008湖北高考)如图所示， “嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道绕月飞行， 若用 2c1和 2c2分别表示椭圆轨道和的焦距， 用 2a1和 2a2分别表示椭圆轨道和的长轴的长，给出下列式子：a1c1a2c2；a1c1a2c2；c1a2a1c2；c1a1c2a2.其中正确式子的序号是(

3、)ABCD解析由题图知 2a12a2，2c12c2；即a1a2，c1c2，a1c1a2c2，不正确a1c1|PF|，a2c2|PF|，a1c1a2c2，正确a1a20，c1c20.a21a22，c21c22，又a1c1a2c2.即a1c2a2c1，即a21c222a1c2a22c212a2c1.a21c21c22a222a1c22a2c1，即(a1c1)(a1c1)(a2c2)(a2c2)2a1c22a2c1，整理得(a1c1)(a1a2c1c2)2a1c22a2c1.a1c1，a1a2，c1c2，2a1c22a2c1.即c1a2a1c2，正确c1a2a1c2，a10，a20，c1a2a1a2

4、a1c2a1a2.2即c1a1c2a2，不正确答案B精彩赏析本例以“嫦娥一号”卫星为背景，抽象出一条对称轴、一个焦点和一个顶点的两个椭圆间的几何性质，并采用数形结合的方式构筑成题，题中所给的有关椭圆基本量的四个式子，形式上采用加、减、乘、除四则运算，并结合相等与不等关系组合而成，搭配对称和谐，富有数学美感，该题对于引导中学数学教育，理论联系实际，关注科普知识、重视数学文化有着非常重要的导向作用类题尝试1.(2007北京高考)2002 年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)， 如果小正方形的面

5、积为 1， 大正方形的面积为 25， 直角三角形中较小的锐角为.那么 cos2的值等于_解析：小正方形的面积为 1，大正方形的面积为 25.每一个直角三角形的面积是 6，设直角三角形的两条直角边长分别为a，b，则a2b225，12ab6，两条直角边的长分别为 3，4，又直角三角形中较小的锐角为，cos45，cos 22cos21725.答案：725典例 2(1)(2016四川高考)秦九韶是我国南宋时期的数学家， 普州(现四川省安岳县)人，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例 若输入n，x的值分别为

6、3，2，则输出v的值为()3A9B18C20D35(2)(2015全国卷) 九章算术 是我国古代内容极为丰富的数学名著， 书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米约有()A14 斛B22 斛C36 斛D66 斛(3)(2014湖北高考)算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术

7、：置如其周，令相乘也又以高乘之，三十六成一该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V136L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为 3.那么，近似公式V275L2h相当于将圆锥体积公式中的近似取为()A.227B.258C.15750D.355113(4)(2013湖北高考)我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸若盆中积水深九寸，则平地降雨量是_寸(注：平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；一尺等于十寸)解析(1)由程序框图知，初始值：4n3，x2，v1，i

8、2，第一次循环：v4，i1；第二次循环：v9，i0；第三次循环：v18，i1.结束循环，输出当前v的值 18.故选 B.(2)设米堆的底面半径为r尺，则2r8，所以r16，所以米堆的体积为V1413r251216253209(立方尺)故堆放的米约有32091.6222(斛)故选 B.(3)由题意知275L2h13r2h275L213r2，而L2r，代入得258.(4)以我国数学名著数书九章为题材，考查台体的体积圆台中截面圆的半径为十寸，圆台内水的体积为V13h(r2中r2下r中r下)39(10262106)588(立方寸)，降雨量为V1425881963(寸)答案(1)B(2)B(3)B(4)

9、3精彩赏析本例(1)(4)是以九章算术 、 数书九章和算数书为背景，相应考查算法、圆锥的体积公式和圆台的体积公式等数学知识 九章算术大约成书于公元 1 世纪，是中国古代最著名的传世数学著作， 它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系； 数书九章 成书于 1247年 9 月，是对九章算术的继承和发展，它概括了宋元时期中国传统数学的主要成就，标志着中国古代数学的高峰；算数书 成书于公元前 186 年以前， 是目前已知最早的中国数学著作，它不仅系统地总结了秦和先秦的数学成就，为中国古代数学的发展奠定了基础，同时对后世的九章算术的产生也有一定的影响，而且开创了我国古代数学重应用的特色，标志着我国古代数

10、学理论体系开始初步形成以上高考试题，介绍了三部数学名著，让学生更加了解九章算术 数书九章和算数书等数学名著，从这个意义上讲，这些试题的价值实际上已远远超出了试题本身类题尝试2 (2016全国丙卷)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法， 如图是实现该算法的程序框图执行该程序框图，若输入的x2，n2，依次输入的a为 2，2，5，则输出的s()5A7B12C17D34解析：选 C第一次运算：s0222，k1；第二次运算：s2226，k2；第三次运算：s62517，k32，结束循环，s17.3 (2015全国卷)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著 九章算术 中的“更相减损术”执行该程序框图，若输

11、入的a，b分别为 14，18，则输出的a()A0B2C4D14解析：选 Ba14，b18.第一次循环：1418 且 144，a14410；第三次循环：104 且 104，a1046；第四次循环：64 且 64，a642；第五次循环：24 且 24，b422；第六次循环：ab2，跳出循环，输出a2，故选 B.典例 3(2012湖北高考)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数 1，3，6，10，记为数列an，将可被 5 整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列bn可以推测：6(1)b2 012是数列an中的第_项；(2)b2k1

12、_(用k表示)解析由题意可得an123nn（n1）2，nN N*，故b1a4，b2a5，b3a9，b4a10，b5a14，b6a15，由上述规律可知：b2ka5k5k（5k1）2(k为正整数)，b2k1a5k1（5k1） （5k11）25k（5k1）2，故b2 012b21 006a51 006a5 030，即b2 012是数列an中的第 5 030 项答案(1)5 030(2)5k（5k1）2精彩赏析此题是以形为载体，考查数列的通项公式等基础知识，考查特殊与一般的数学思想方法，考查归纳与猜想、推理与计算的能力，试题既合理引用了经典史料，又不刻意增加难度，同时对学生的数感进行了有效地考查，让学

13、生在数学史的背景中，体验数学的理性精神在数学史上，古希腊数学家毕达哥拉斯最早把正整数和几何图形联系在一起，把数描绘成沙滩上的小石子，又按小石子所能排列的形状，把正整数与正三角形、正方形等图形联系起来，得数分为三角形数、正方形数，这样一来，抽象的正整数就有了生动的形象，寻找它们之间的规律也就容易多了毕达哥拉斯学派数学家尼可麦丘在算术引论中将多边形数推广到多面体数，公元前 6 世纪，还没有纸，用小石子研究数的性质，既方便又直观，这真是古希腊人的一种创造，也是认识数的一种有趣方法，英语中的“calculation”一词来源于拉丁文“calculus” ，就是小石子的意思类题尝试4古希腊毕达哥拉斯学派

14、的数学家研究过各种多边形数如三角形数 1，3，6，10，第n个三角形数为n（n1）212n212n.记第n个k边形数为N(n，k)(k3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N(n，3)12n212n，正方形数N(n，4)n2，五边形数N(n，5)32n212n，六边形数N(n，6)2n2n，可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10，24)_解析：由N(n，4)n2，N(n，6)2n2n，可以推测：当k为偶数时，N(n，k)k21n2k22n，于是N(n，24)11n210n，故N(10，24)1110210101 000.7答案：1 000即时体会领悟致同学数学文化只是

15、一种命题载体，没必要引起广大师生的紧张和恐慌只要平时多积累和了解一些这方面的常识，解题中注意审题，实现载体与考点的有效转化，透过表象看本质，问题便可迎刃而解一、选择题1 九章算术是人类科学史上应用数学的最早巅峰，在研究比率方面的应用十分丰富，其中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来 1 534 石，验其米内杂谷，随机取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约()A134 石B169 石C268 石D338 石解析：选 B设这批米内夹谷约为x石，根据随机抽样事件的概率得x1 53428254，得x169.故选 B.2我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”曰：置积尺数，以十

16、六乘之，九面一，所得开立方除之，即立圆径“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d3169V.人们还用过一些类似的近似公式，根据3.141 59判断，下列近似公式中最精确的一个是()Ad3169VBd32VCd3300157VDd32111V解析：选 D由球体积公式得d36V31.909 860 93V.因为1691.777 777 78，3001571.910 828 03，21111.909 090 91.而2111最接近于6，所以选 D.3我国古代数学名著九章算术中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列 1，12，13，14，1n.第二

17、步：将数列的各项乘以n，得数列(记为)a1，a2，a3，an.则a1a2a2a3an1an等于()An2B(n1)28Cn(n1)Dn(n1)解析：选 Ca1a2a2a3an1ann1n2n2n3nn1nnn21121231（n1）nn211212131n11nn2n1nn(n1)4 九章算术是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论术比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小；以锯锯之，深一寸，锯道长一尺问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深 1寸， 锯道长 1 尺 问这块圆柱形木料的直径是多少？长为 1 丈的圆柱形木材部

18、分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分)已知弦AB1 尺，弓形高CD1 寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为()注：1 丈10 尺100 寸，3.14，sin 22.5513A600 立方寸B610 立方寸C620 立方寸D633 立方寸解析：选 D连接OA，OB，OD，设O的半径为R，则(R1)252R2，R13.sinAODADAO513.AOD22.5，即AOB45.故AOB4.S弓形ACBS扇形OACBSOAB1241321210126.33 平方寸9该木材镶嵌在墙中的体积为VS弓形ACB100633 立方寸选 D.二、填空题5九章算术 “竹九节”问题： 现有一根

19、9 节的竹子， 自上而下各节的容积成等差数列 上面 4 节的容积共为 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，则第 5 节的容积为_升解析：设该数列an的首项为a1，公差为d，依题意a1a2a3a43，a7a8a94，即4a16d3，3a121d4，解得a17d43，d766，则a5a14da17d3d4321666766.答案：67666中国古代数学名著九章算术中记载了公元前 344 年商鞅督造一种标准量器商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)若取 3，其体积为 12.6(立方寸)，则图中的x的值为_解析： 由三视图知， 商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成， 由题意得： (5.4x)311

20、22x12.6.解得x1.6.答案：1.67我国古代数学名著九章算术中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在2 2 2中“”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程 2xx确定x2，则 11111_10解析：由题意，可令 11111x，即 11xx，即x2x10，解得x1 52x1 52舍，故 111111 52.答案：1 52三、解答题8.中国古代数学名著九章算术中的“引葭赴岸”是一道名题，其内容为：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与齐，问水深葭长各几何”意为：今有边长为 1丈的

21、正方形水池的中央生长着芦苇，长出水面的部分为 1 尺，将芦苇牵引向池岸，恰巧与水岸齐接，问水深芦苇的长度各是多少？将该问题拓展如图，记正方形水池的剖面图为ABCD，芦苇根部O为AB的中点，顶端为P(注芦苇与水面垂直)，在牵引顶端P向水岸边点D的过程中，当芦苇经过DF的中点E时， 问芦苇的顶端离水面的距离为多少？(注： 1 丈10 尺， 60124.5)解：设水深为x尺，则x252(x1)2，解得，x12.水深为 12 尺，芦苇长为 13 尺，以AB所在的直线为x轴，芦苇所在的直线为y轴，建立直角坐标系，在牵引过程中，P的轨迹是以O为圆心，半径为 13 的圆，其方程为x2y2169(5x5，12y13)，E点的坐标为52，12.OE所在的直线方程为y245x，由联立解得y169