应用时间序列分析模拟试题

1、时间序列分析课程考试卷填空题（每小题2分，共计20分）m1.ARMA(p,q)模型X=0+©X+©X+£0£08q。t01t一1pt一p1t一1中模型参数为p,2.设时间序列x，则其一阶差分为VX=XX。tttt13.设ARMA(2,1)：X二0.5X+0.4X+8-0.38tt一1t一2tt一1则所对应的特征方程为九205九一04=0。8.，平稳域4.对于一阶自回归模型AR（1）:X=10+QX+8，其特征根为©tt1t<1注：平稳性判别：1）特征根判别法：特征根的绝对值小于1；该题中特征根等于©，故平稳条件为'W&l

2、t;'o（系数多项式的根在单位园外）2）平稳域判别法：AR（1）模型:<1AR(2)模型：f2"2,eiie<i,且e±e<i22215.设ARMA(2,1):X=0.5X+aX+80.18，tt1t2tt16.7.<1,a土05<1时，模型平稳。注：AR模型平稳（系数多项式的根在单位园外）；MA模型可逆园外）：系数多项式的根在单位pk对于一阶自回归模型MA（1）：X=8一0.38，其自相关函数为ttt1k=01k=0-0.3,k=11090,k>2注：1,-0+艺00kik+1i=i,1<k<q1+工02ii0=1,

3、对于二阶自回归模型AR（2）：X=0.5X+0.2X+£则模型所满足的Yule-Walkertt一1t一2t方程是1p2-=08it<-=0+-0I82182241=50+0丄8082122k=1k=2_p_一pp101ppp2=10pkpk-1pk-222注：1.210021122=pO+pO1ppk-1pk-2O1k1O2k2p0Okkk2.由于AR模型的故对于AR(2)有Opii=1O1pk-11,t-V，+$p2k=0k-2进而0.5p1,58+0.2pk-2k=0k>2k-19.设时间序列X为来自ARMA(p,q)模型:tX=0X+.+0X+8+08+.+。&#

4、163;t1t-1pt-pt1t-1qt-qG2Q2iVareQ=£ti=0=8VdxE(8)=0,Var(8)=Q2,E(88)=0,s丰ttt8ts10.对于时间序列X，如果_EXs81=0,Vs<tt，则XI(d)。t注：ARIMA(p,d,q)(Bdx=0(BE(8)=0,Var(£)=Q2,E(£8)=0,s丰ttt8tsEx8=0,Vs<tst11.设时间序列x为来自GARCH（p,q）模型，则其模型结构可写为tx=fC,x,x,.,)+8tt1t2t<8=讥,'hettth=w+Yqh+邑九82titijji=1j=1二、(

5、10分)设时间序列x来自ARMA(2,1)过程，满足tGB+0.5B2)X=(1+0.4B)8,tt其中8是白噪声序列，并且E(8)=0,Var(8)=Q2。ttt(1)判断ARMA(2,1)模型的平稳性。(5分)1±口1土ix=特征函数为x2x+0.5=0，特征根为22，在单位圆，平稳也可用平稳域法见一（4）（2）利用递推法计算前三个格林函数G,G,G。（5分）012G=10"G=丈gG-Vkjkjkj=1G=10G=©G6=1（0.4）=1.41101G=©G+0G6'=1.40.50=0.92112021+0.4B求格林函数也可以用算子=G

6、+0.4B)+(B0.5B2)+(B0.5B2)+丿1B+0.5B(2)得分=G+0.4B人+B+0.5B2+丿二1+1.4B+0.9B2+三、（20分）某国1961年1月2002年8月的1619岁失业女性的月度数据经过一阶差分后平稳（N=500）,经过计算样本其样本自相关系数6及样本偏相关系数0的前10个数值如下表kkkk12345678910Pk-0.470.06-0.070.040.000.04-0.040.06-0.050.01八I-0.47-0.21-0.18-0.10-0.050.02-0.01-0.060.010.00求（1）利用所学知识，对X所属的模型进行初步的模型识别。（10

7、分）t样本自相关系数1阶截尾，样本偏相关系数拖尾，ARIMA（0,1,1）（2）对所识别的模型参数和白噪声方差b2给出其矩估计。（10分）由于ARIMA0，1，1)模型有Pi0二1+021，2°i1+-sr=-o.7415C)2£1二0.6451+021四、（20分）设X服从ARMA（1,1）模型:tX二0.8X+£-0.6£，tt1tt1Q2=0.0025£其中X二0.3,£二0.01。1001001)给出未来3期的预测值；(10分)XG=0.8X0.6£=0.234100100100X(2)=0.8X(1)=0.8X0.

8、234=0.1872100100X(3)=0.8X(2)=0.8X0.1872=0.149761001002)给出未来3期的预测值的95%的预测区间（u0.975-L96）。（10分）10.6B=£10.8Bt=I+0.2B+0.16B2+乂t二1G=0.2；1G=0.162Vare（l=£由于G2b2i£VareG=0.0025Vare100(2力二0.0026VarQ(3二0.00266495%的预测区间L°)TUJVarfe(l)1000.975100101 (0.136,0.332)102 (0.087，0.287)103-0.049,0.251

9、)。试求模型参数eq2的极大似然估计。X=-£ti-eBt五、（10分）设时间序列X服从AR模型:tX=QX+£，其中£为白噪声序列，E(£)=0,Var(£)=c2,tt-1ttX,X（X丰X）为来自上述模型的样本观测值,1212g2=1+q2+e4h=i1-e2i=01-e2GG+Q3+Q5+=ii+1i=0q=Ijtl_1-e2ln|Q=ln(-e2)x'Q-1x=x2+x2-2Qxx,1212i-e2i1-Q21Q1-Q21Q1Q-1似然方程组nxQ-iX=02c22c42££1QInQI1Qx'Q-

10、ix八11+=0c22Qe£所以2xxx2+x2(2)x2-x22c2=-2_)£2x2+x212X2+x2-2©xX1212=O2£22e-2XX+1-Q2Q2£六、（20分）证明下列两题：满足x-0.5x=£-0.25£tt-1tt-1（1）设时间序列x来自ARMA（1,1）过程,t其中£WN（0,c2）,证明其自相关系数为t1,0.270.5pPk=1k=0k=1(10分)k>21-0.25B(:BB2(BB2)x=£=(1-0.25B)1+£=1+t1-0.5BtI222JtL22

11、23Jk-1£tL+艺+_!Y(k)=GG=jj+k2k+122j+k+22k+12k+422j-2j=0j=1j=1+2k+12k+41-0.257162k+1丫(0)=j=0P(k)=7GG=1+丄=1+丄为丄=1+11jj22j+22422j-2j=122j+2j=1=13241-0.2512132k'k>1,=1G=丄,k>10=1，k2k+1。试证明对于任意非零实数a与b,=aX+bYI(0)。(10分)ttrs(2)若XI(0),YI(0)，且X和Y不相关，即cov(X,Y)=0,Vr,st证明：因为Xti(o)，YtI(0)E(X)=yE(Y)=yt

12、X；tYE(X2)v8EOv8所以；ttY(t,s)=Y(t+k,s+k),t,s,t+k,s+kgTXXYC,s)=Y(t+k,s+k,s+kgTYYZ=aX+bXtttE(Z)=ECaX+bX)=ay+bytttttE(Z2)=E(r2X2+b2Y2+2abXY)<a2E(X2)+b2EY2)+labE(x2)E2)ttttv8Y(t,s)=E(aX+bY-ay-by)(aX+bY-ay-by)Ztttttssss=a2Y(t,s)+b2Y(t,s)+abCov(X,Y)+abCov(X,Y)XtYttsst=a2Y(t,s)+b2Y(t,s)XYtt所以Y(t,s)=Y(t+k,s

13、+k),t,s,t+k,s+kgTZZ七、填空题(每小题2分，共计20分)1.VmeN,Vt=(t，,t)eTm,VtgZ,Vx=(x1mXt,x)gRm,F(x)=F(x)严mtt+t，序2.3.4.5.6.7.8.列X为严平稳。tAR(p)模型为Xt=90+9ixt_i+9pxt_p+£_,其中自回归参数为_*0,91，9p_ox=e+ex+ex+£0£t01t_1pt_p1t_1ARMA(p,q)模型型参数为p，q。设时间序列则其一阶差分为巧t一阶自回归模型AR(1)所对应的特征方程为0£qt_q,其中模对于一阶自回归模型AR(1)，其特征根为9_

14、，平稳域是_1k=0-0,k=10,k>2、对于一阶自回归模型MA(1),其自相关函数为注：1，_0+艺00kik+1i=i,1<k<q1+工02ii0=1，pk对于二阶自回归模型AR(2):Xt=*1X1+*X2+£t_12t_2t程是l|*|<1。，其模型所满足的Yule-Walker方p=pe1011=pe+pe021122=pe+pe121022k=2=i_©ii=9+V*211_*222*f*J1_*<2Of+*半1*+*1_*21_*2122222pk眾0ipk-i2.由于AR模型的i=1故对于AR(2)有1,k=0p亠ok=1k丫

15、1-00op+op,k>21k-12k-29.设时间序列Xt为来自tARMA（p,q）模型：X+©X+8+08+.+0£1t-1pt-pt1t-1qt-q则预测方差为_p_1p2=一p0p1p1p0pk-1pk-2k1k2注：1.pkpk-1pk-2p0kk+08VareG=£G2Q2ti8i=010.设时间序列x为来自GARCH(p,q)模型，则其模型结构可写为一得分tx=f（t,x-,x,）+8tt-1t-2tv8=hettth=3+Yqh+工九82tit-ijjii=1j=1八、(20分)设X是二阶移动平均模型MA(2)，即满足X=8+08tttt-2

16、其中8是白噪声序列，并且E(8)=0,Var(8)=O2ttt(1) 当0厂0.8时，试求X的自协方差函数和自相关函数。1t(+02乂2,k=0t+k-2）=v0o2,k=20,其他Y（k）=E（XX）=E（8+08）8tt+ktt-2t+k1k=0<0.4878,k0,其他0,其他”(X+X+X+X)Vari234I4丿=Var(1+9、+0e+G+9、+Ge161-120+8+834)=CT21+G+G24p(k)=v,k=2；=1+92(2)当9=0.8时，计算样本均值(X+X+X+X)/4的方差。11234得分得分九、(20分)设X的长度为10的样本值为0.8,0.2,0.9,0

17、.74,0.t0.92,0.78,0.86,0.72,0.84,试求(1) 样本均值X。0.758(2) 样本的自协方差函数值F,吟和自相关函数值0,0。1212t+kn-k0.038276-0.01083-0.282990.0059140.154509(3) 对AR(2)模型参数给出其矩估计，并且写出模型的表达式。由Yule-Walker方程p=e+ep1121p=ep+e2112V八八八1-pp-P2©=缶p=-0.18649©=2=0.08090811p121-p21,1012X=0.83803-0.18649X+0.080908X+8tt-1t-2t十、(20分)设

18、X服从ARMA(1,1)模型：X=0.8X+80.68ttt-1tt-1其中X=0.3,8=0.01。1001001) 给出未来3期的预测值；2) 给出未来3期的预测值的95%的预测区间。其中s为白噪声，E(£)=0,Var(£)=Q2，证明：Var(X)=t1Q21X=£t1-0btt£G2=1+02+04+i102i=0Var(X)=o2£G2=ti102i=0十二、单项选择题(每小题4分,共计20分)12.X的d阶差分为t(a)VdX=XXtttk(b)VdX=Vd-1XVd-1Xc)ttt1(d)13.记B是延迟算子，则下列错误的是(a

19、)B0=1(b)(c)B(X土Y)=X土Yttt-1t-1(d)14.关于差分方程X=4X4X，其通解形式为tt1t2/、2丄2。、(c+ct)2t(a)c2t+c2t(b)1212(c)(cc1215.下列哪些不是MA模型的统计性质(a)E(X)=卩(b)2ttVdX=Vd-1X-Vd-1XtttkVdX=Vd-1XVd-1Xtt-1t2Vd=XXttdB(c-X)=c-BX=c-Xttt-1=(1BXt(d)c-2tVar(X)=(1+02+.+0qtii(20分)设平稳时间序列X服从AR(1)模型：X=0X+£,tt1t-1t(c)vt,E(X)10olAJO16.上面左图为自

20、相关系数，右图为偏自相关系数，由此给岀初步的模型识别(a)MA(1)(b)ARMA(1,1)(c)AR(2)(d)ARMA(2,1),E(£人0tt1叫11o.a°-8'0.61c.d0.0j-0.2|111J十三、填空题（每小题2分，共计20分）1.在下列表中填上选择的的模型类别自关系数偏扫相关系数选择模型拖尾P阶截尾Q阶觀尾拖尾拖尾拖尾得分AR（p）,MA（q）,ARMA2. 时间序列模型建立后，将要对模型进行显著性检验，那么检验的对象为残差序列，检验的假设是_残差序列是白噪声。3. 时间序列模型参数的显著性检验的目的是模型的有效性（提取的信息是否充分）。4. 根据下表，利用AIC和BI