高中数学易错、易混、易忘题分类汇编

1、高中数学易错、易混、易忘题分类汇编高中数学易错、易混、易忘题分类汇编“会而不对，对而不全会而不对，对而不全一直以来成为制约学生数学成绩提高的重要因素，成为学生挥之不去的痛，如何一直以来成为制约学生数学成绩提高的重要因素，成为学生挥之不去的痛，如何解决这个问题对决定学生的高考成败起着至关重要的作用。本文结合笔者的多年高三教学经验精心挑选学解决这个问题对决定学生的高考成败起着至关重要的作用。本文结合笔者的多年高三教学经验精心挑选学生在考试中常见的生在考试中常见的 6666 个个易错、易混、易忘典型题目，这些问题也是高考中的热点和重点，做到力避偏、易错、易混、易忘典型题目，这些问题也是高考中的热点和

2、重点，做到力避偏、怪、难，进行精彩剖析并配以近几年的高考试题作为相应练习，一方面让你明确这样的问题在高考中确实怪、难，进行精彩剖析并配以近几年的高考试题作为相应练习，一方面让你明确这样的问题在高考中确实存在，另一方面通过作针对性练习帮你识破命题者精心设计的陷阱，以到达授人以渔的目的，助你在高考存在，另一方面通过作针对性练习帮你识破命题者精心设计的陷阱，以到达授人以渔的目的，助你在高考中乘风破浪，实现自已的理想报负。中乘风破浪，实现自已的理想报负。【易错点易错点 1】1】无视空集是无视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面。任何非空集合的子集导致思维不全面。例例 1 1、设设，假设，假设，求实数

3、，求实数 a a 组成的组成的2|8150Ax xx|10Bx ax ABB集合的子集有多少个？集合的子集有多少个？【易错点分析易错点分析】此题由条件此题由条件易知易知，由于空集是，由于空集是任何非空集合的子集，但在解题中极任何非空集合的子集，但在解题中极ABBBA易忽略这种特殊情况而造成求解满足条件的易忽略这种特殊情况而造成求解满足条件的 a a 值产生漏解现象。值产生漏解现象。解析：集合解析：集合 A A 化简得化简得，由，由知知故故当当时，即方程时，即方程 3,5A ABBBAB无解，此时无解，此时 a=0a=0 符合条件符合条件当当时，即方程时，即方程的解为的解为 3 3 或或 5 5

4、，代入得，代入得10ax B10ax 或或。综上满足条件的。综上满足条件的 a a 组成的集合为组成的集合为，故其子集共有，故其子集共有个。个。13a 151 10,3 5328【知识点归类点拔知识点归类点拔】 1在应用条件在应用条件 ABABABAB时，要树立起分类讨论的数学思想，时，要树立起分类讨论的数学思想，将集合将集合是空集是空集 的情况优先进行讨论的情况优先进行讨论22在解答集合问题时，要注意集合的性质在解答集合问题时，要注意集合的性质“确定性、无序性、互异性确定性、无序性、互异性特别是互异性对集合元素的限特别是互异性对集合元素的限制。有时需要进行检验求解的结果是满足集合中元素的这个

5、性质，此外，解题过程中要注意集合语言制。有时需要进行检验求解的结果是满足集合中元素的这个性质，此外，解题过程中要注意集合语言数数学语言学语言和自然语言之间的转化如：和自然语言之间的转化如：，22,|4Ax yxy，其中，其中, ,假设假设求求 r r 的取值范围。将集合所的取值范围。将集合所 222,|34Bx yxyr0r AB表达的数学语言向自然语言进行转化就是：集合表达的数学语言向自然语言进行转化就是：集合 A A 表示以原点为圆心以表示以原点为圆心以 2 2 的半径的圆，集合的半径的圆，集合 B B 表示以表示以33，44为圆心，以为圆心，以 r r 为半径的圆，当两圆无公共点即两圆相

6、离或内含时，求半径为半径的圆，当两圆无公共点即两圆相离或内含时，求半径 r r 的取值范围。思维马的取值范围。思维马上就可利用两圆的位置关系来解答。此外如不等式的解集等也要注意集合语言的应用。上就可利用两圆的位置关系来解答。此外如不等式的解集等也要注意集合语言的应用。【练练 1】1】集合集合、，假设，假设，那，那2|40Ax xx22|2110Bx xaxa BA么实数么实数 a a 的取值范围是的取值范围是 。答案：。答案：或或。1a 1a 【易错点易错点 2】2】求解函数值域或单调区间易无视定义域优先的原那么。求解函数值域或单调区间易无视定义域优先的原那么。例例 2 2、, ,求求的取值范

7、围的取值范围22214yx 22xy【易错点分析易错点分析】此题学生很容易只是利用消元的思路将问题转化为关于此题学生很容易只是利用消元的思路将问题转化为关于 x x 的函数最值求解，但极易忽略的函数最值求解，但极易忽略x x、y y 满足满足这个条件中的两个变量的约束关系而造成定义域范围的扩大。这个条件中的两个变量的约束关系而造成定义域范围的扩大。22214yx 解析：由于解析：由于得得(x+2)(x+2)2 2=1-=1-11，-3x-1-3x-1从而从而x2+y2=-3x2-16x-12=22214yx 42y+因此因此当当x=-1x=-1时时x x2 2+y+y2 2有最小值有最小值 1

8、,1, 当当 x=-x=-时，时，x x2 2+y+y2 2有最大值有最大值。故。故x x2 2+y+y2 2的取值范围是的取值范围是1,1, 32838328 328【知识点归类点拔知识点归类点拔】事实上我们可以从解析几何的角度来理解条件事实上我们可以从解析几何的角度来理解条件对对 x x、y y 的限制，的限制，22214yx 显然方程表示以显然方程表示以-2-2，00为中心的椭圆，那么易知为中心的椭圆，那么易知-3x-1-3x-1，。此外此题还可通过三角换。此外此题还可通过三角换22y 元转化为三角最值求解。元转化为三角最值求解。【练练 2】2】 0505 高考重庆卷高考重庆卷假设动点假

9、设动点x,yx,y在曲线在曲线上变化，那么上变化，那么的最大的最大22214xyb0b 22xy值为值为AABBCCDD24 04424bbb b24 02422bbb b244b2b答案：答案：A A【易错点易错点 3】3】求解函数的反函数易漏掉确定原函数的值域即反函数的定义域。求解函数的反函数易漏掉确定原函数的值域即反函数的定义域。例例 3 3、是是 R R 上的奇函数，上的奇函数， 11求求 a a 的值的值22求的反函数求的反函数 2112xxaf x 1fx【易错点分析易错点分析】求解函数的反函数时，易忽略求解反函数的定义域即原函数的值域而出错。求解函数的反函数时，易忽略求解反函数的

10、定义域即原函数的值域而出错。解析：解析：11利用利用或或求得求得 a=1.a=1. 0f xfx 00f22由由即即，设，设, ,那么那么由于由于故故，1a 2121xxf x yf x211xyy 1y 121xyy，而，而所以所以112logyyx 2121xxf x211,121x 1112log11xxfxx 【知识点归类点拔知识点归类点拔】 1在求解函数的反函数时，一定要通过确定原函数的值域即反函数的定义域在反函在求解函数的反函数时，一定要通过确定原函数的值域即反函数的定义域在反函数的解析式后说明数的解析式后说明假设反函数的定义域为假设反函数的定义域为 R 可省略可省略 。2应用应用

11、可省略求反函数的步骤，直接利用原函数求解但应注意其自变量和可省略求反函数的步骤，直接利用原函数求解但应注意其自变量和1( )( )fbaf ab函数值要互换。函数值要互换。【练练 3】2004 全国理全国理函数函数的反函数是的反函数是 1 11f xxx A、 B、2221yxxx2221yxxxC、 D、 221yxx x221yxx x答案：答案：B【易错点易错点 4】4】求反函数与反函数值错位求反函数与反函数值错位例例 4 4、函数、函数，函数，函数的图像与的图像与的图象关于直线的图象关于直线对称，对称， 121xf xx yg x11yfxyx那么那么的解析式为的解析式为 yg xA

12、A、 B B、 C C、 D D、 32xg xx 21xg xx 12xg xx 32g xx【易错点分析易错点分析】解答此题时易由解答此题时易由与与互为反函数，而认为互为反函数，而认为 yg x11yfx的反函数是的反函数是那么那么= = =11yfx1yf x yg x1f x 而错选而错选 A A。1213211xxxx解析：由解析：由得得从而从而再求再求 121xf xx 112xfxx 11121211xxyfxx 的反函数得的反函数得。正确答案：。正确答案：B B11yfx 21xg xx【知识点分类点拔知识点分类点拔】函数函数与函数与函数并不互为反函数，他只是表示并不互为反函数

13、，他只是表示11yfx1yf x中中 x x 用用 x-1x-1 替代后的反函数值。这是因为由求反函数的过程来看：设替代后的反函数值。这是因为由求反函数的过程来看：设那么那么 1fx1yf x， 11fyx再将再将 x x、y y 互换即得互换即得的反函数为的反函数为，故，故 11xfy1yf x 11yfx的反函数不是的反函数不是，因此在今后求解此题问题时一定要谨慎。，因此在今后求解此题问题时一定要谨慎。1yf x11yfx【练练 4】4】 20042004 高考福建卷高考福建卷函数函数 y=logy=log2 2x x 的反函数是的反函数是 y=fy=f-1-1(x)(x)，那么函数，那么

14、函数 y=y= f f-1-1(1-x)(1-x)的图象是的图象是答案：答案：B B【易错点易错点 5】判断函数的奇偶性无视函数具有奇偶性的必要条件：定义域关于原点对称。判断函数的奇偶性无视函数具有奇偶性的必要条件：定义域关于原点对称。例例 5 5、判断函数判断函数的奇偶性。的奇偶性。2lg 1( )22xf xx【易错点分析易错点分析】此题常犯的错误是不考虑定义域，而按如下步骤求解：此题常犯的错误是不考虑定义域，而按如下步骤求解：从而得出函数从而得出函数为非奇非偶函数的错误结论。为非奇非偶函数的错误结论。 2lg 1()22xfxf xx f x解析：由函数的解析式知解析：由函数的解析式知

15、x x 满足满足即函数的定义域为即函数的定义域为定义域关于原点对称，定义域关于原点对称，21022xx 1,00,1在定义域下在定义域下易证易证即函数为奇函数即函数为奇函数。 2lg 1xf xx fxf x 【知识点归类点拔知识点归类点拔】 1函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件，因此在判断函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件，因此在判断函数的奇偶性时一定要先研究函数的定义域。函数的奇偶性时一定要先研究函数的定义域。2函数函数具有奇偶性，那么具有奇偶性，那么是对定义域内是对定义域内 x 的恒等式。的恒等式。 f x f xfx或 f xfx 常常利

16、用这一点求解函数中字母参数的值。常常利用这一点求解函数中字母参数的值。【练练 5】5】判断以下函数的奇偶性：判断以下函数的奇偶性： 2244f xxx 111xf xxx 1sincos1sincosxxf xxx答案：答案：既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶函数非奇非偶函数非奇非偶函数非奇非偶函数非奇非偶函数【易错点易错点 6】6】易忘原函数和反函数的单调性和奇偶性的关系。从而导致解题过程繁锁。易忘原函数和反函数的单调性和奇偶性的关系。从而导致解题过程繁锁。例例 6、函数函数的反函数为的反函数为，证明，证明是奇函数且是奇函数且 2221211log22xxf xxx 或 1fx 1fx在其

17、定义域上是增函数。在其定义域上是增函数。【思维分析思维分析】可求可求的表达式，再证明。假设注意到的表达式，再证明。假设注意到与与具有相同的单调性和奇偶具有相同的单调性和奇偶 1fx 1fx f x性，只需研究原函数性，只需研究原函数的单调性和奇偶性即可。的单调性和奇偶性即可。 f x解析：解析：，故，故为奇函数从而为奇函数从而为为212121212121222logloglogxxxxxxfx f x f x 1fx奇函数。又令奇函数。又令在在和和上均为增函数且上均为增函数且为增函数，为增函数，21212121xtxx 1,2 1,22logty 故故在在和和上分别为增函数。故上分别为增函数。

18、故分别在分别在和和上分别上分别 f x1,2 1,2 1fx0,0为增函数。为增函数。【知识点归类点拔知识点归类点拔】对于反函数知识有如下重要结论：对于反函数知识有如下重要结论：1定义域上的单调函数必有反函数。定义域上的单调函数必有反函数。 2奇函奇函数的反函数也是奇函数且原函数和反函数具有相同的单调性。数的反函数也是奇函数且原函数和反函数具有相同的单调性。 3定义域为非单元素的偶函数不存在反函定义域为非单元素的偶函数不存在反函数。数。 4周期函数不存在反函数周期函数不存在反函数5原函数的定义域和值域和反函数的定义域和值域到换。即原函数的定义域和值域和反函数的定义域和值域到换。即 。1( )(

19、 )fbaf ab【练练 6】 1 99 全国高考题全国高考题 ，那么如下结论正确的选项是，那么如下结论正确的选项是( )2xxeef xA、 是奇函数且为增函数是奇函数且为增函数 B、 是奇函数且为减函数是奇函数且为减函数 f x f xC、 是偶函数且为增函数是偶函数且为增函数 D、 是偶函数且为减函数是偶函数且为减函数 f x f x答案：答案：A2 2005 天津卷天津卷设设是函数是函数的反函数，那么使的反函数，那么使成立成立 1fx 112xxf xaaa 11fx的的的取值范围为的取值范围为AA、 B B、 C C、 D D、x21(,)2aa21(,)2aa21(, )2aaa(

20、 ,)a 答案：答案：A 时，时，单调增函数，所以单调增函数，所以.1a f x 21111112afxffxfxfa 【易错点易错点 7】证明或判断函数的单调性要从定义出发，注意步骤的标准性及树立定义域优先的原那么。证明或判断函数的单调性要从定义出发，注意步骤的标准性及树立定义域优先的原那么。例例 7、试判断函数、试判断函数的单调性并给出证明。的单调性并给出证明。 0,0bf xaxabx【易错点分析易错点分析】在解答题中证明或判断函数的单调性必须依据函数的性质解答。特别注意定义在解答题中证明或判断函数的单调性必须依据函数的性质解答。特别注意定义中的中的的任意性。以及函数的单调区间必是的任意

21、性。以及函数的单调区间必是12,xD xD 1212f xf xf xf x12,x x函数定义域的子集，要树立定义域优先的意识。函数定义域的子集，要树立定义域优先的意识。解析：由于解析：由于即函数即函数为奇函数，因此只需判断函数为奇函数，因此只需判断函数在在上的单调上的单调 fxf x f x f x0,性即可。设性即可。设 ， 由于由于 故当故当120 xx 12121212ax xbf xf xxxx x120 xx 时时，此时函数，此时函数在在上增函数，同理可上增函数，同理可12,bx xa 120f xf x f x,ba证函数证函数在在上为减函数。又由于函数为奇函数，故函数在上为减

22、函数。又由于函数为奇函数，故函数在为减函数，在为减函数，在 f x0,ba,0ba为增函数。综上所述：函数为增函数。综上所述：函数在在和和上分别为增函数，在上分别为增函数，在,ba f x,ba ,ba和和上分别为减函数上分别为减函数.0,ba,0ba【知识归类点拔知识归类点拔】 11函数的单调性广泛应用于比拟大小、解不等式、求参数的范围、最值等问题中，应函数的单调性广泛应用于比拟大小、解不等式、求参数的范围、最值等问题中，应引起足够重视。引起足够重视。22单调性的定义等价于如下形式：单调性的定义等价于如下形式：在在上是增函数上是增函数，在在 f x, a b 12120f xf xxx f

23、x上是减函数上是减函数，这说明增减性的几何意义：增，这说明增减性的几何意义：增减减函数的图象上任意两函数的图象上任意两, a b 12120f xf xxx点点连线的斜率都大于连线的斜率都大于小于小于零。零。 1122,xf xxf x33是一种重要的函数模型，要引起重视并注意应用。但注意此题中是一种重要的函数模型，要引起重视并注意应用。但注意此题中 0,0bf xaxabx不能说不能说在在上为增函数，在上为增函数，在上为减函数上为减函数, , f x,ba ,ba0,ba,0ba在表达函数的单调区间时不能在在表达函数的单调区间时不能在多个单调区间之间添加符号多个单调区间之间添加符号“和和“或

24、或，【练练 7】 1 潍坊市统考题潍坊市统考题1用单调性的定义判断函数用单调性的定义判断函数在在 10 xf xaxaax f x上的单调性。上的单调性。 2设设在在的最小值为的最小值为，求，求的解析式。的解析式。0, f x01x g a yg a答案：答案：1函数在函数在为增函数在为增函数在为减函数。为减函数。 21,a10,a 12101aayg aaa2 2001 天津天津设设且且为为 R 上的偶函数。上的偶函数。 1求求 a 的值的值2试判断函数在试判断函数在0a xxeaf xae上的单调性并给出证明。上的单调性并给出证明。0,答案：答案：12函数在函数在上为增函数上为增函数证明略

25、证明略1a 0,【易错点易错点 8】在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用，导致错误在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用，导致错误结论。结论。例例 8、 2004 全国高考卷全国高考卷函数函数上是减函数，求上是减函数，求 a 的取值范围。的取值范围。 3231f xaxxx【易错点分析易错点分析】是是在在内单调递减的充分不必要条件，在解题过程内单调递减的充分不必要条件，在解题过程 0,fxxa b f x, a b中易误作是充要条件，如中易误作是充要条件，如在在 R 上递减，但上递减，但。 3f xx 230fxx 解析：求函数

26、的导数解析：求函数的导数1当当时，时，是减函数，那么是减函数，那么 2361fxaxx 0fx f x故故解得解得。 2当当时，时， 23610fxaxxxR 00a 3a 3a 易知此时函数也在易知此时函数也在 R 上是减函数。上是减函数。 3当当时，时， 33218331339f xxxxx 3a 在在 R 上存在一个区间在其上有上存在一个区间在其上有，所以当，所以当时，函数时，函数不是减函数，综上，所求不是减函数，综上，所求 a 0fx3a f x的取值范围是的取值范围是。, 3 【知识归类点拔知识归类点拔】假设函数假设函数可导，其导数与函数的单调性的关系现以增函数为例来说明：可导，其导

27、数与函数的单调性的关系现以增函数为例来说明： f x与与为增函数的关系为增函数的关系:能推出能推出为增函数，但反之不一定。如函数为增函数，但反之不一定。如函数0)( xf)(xf0)( xf)(xf在在上单调递增，但上单调递增，但，是是为增函数的充分不必要为增函数的充分不必要3)(xxf),(0)( xf0)( xf)(xf条件。条件。时，时，与与为增函数的关系为增函数的关系:假设将假设将的根作为分界点，因的根作为分界点，因0)( xf0)( xf)(xf0)( xf为规定为规定，即抠去了分界点，此时，即抠去了分界点，此时为增函数，就一定有为增函数，就一定有。当当0)( xf)(xf0)( x

28、f时，时，是是为增函数的充分必要条件。为增函数的充分必要条件。与与为增函数的关系为增函数的关系:0)( xf0)( xf)(xf0)( xf)(xf为增函数，一定可以推出为增函数，一定可以推出，但反之不一定，因为，但反之不一定，因为，即为，即为或或)(xf0)( xf0)( xf0)( xf。当函数在某个区间内恒有。当函数在某个区间内恒有，那么，那么为常数，函数不具有单调性。为常数，函数不具有单调性。0)( xf0)( xf)(xf是是为增函数的必要不充分条件。函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研为增函数的必要不充分条件。函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研0)( xf)(

29、xf究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，防止讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点问题，都一律用开区间作为单调区间，防止讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。端点的讨论问题，要谨慎处理。因此此题在第一步后再对因此此题在第一步后再对和和进行了讨论，确保其充要性。在解题中误将必要条件作充分进行了讨论，确保其充要性。在解题中误将必要条件作充分3a 3a 条件或将

30、既不充分与不必要条件误作充要条件使用而导致的错误还很多，这需要同学们在学习过程中注意条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用而导致的错误还很多，这需要同学们在学习过程中注意思维的严密性。思维的严密性。【练练 8】 1 2003 新课程新课程函数函数是是单调函数的充要条件是是是单调函数的充要条件是2yxbxc0,xA、 B、 C、 D、0b 0b 0b 0b 答案：答案：A2是否存在这样的是否存在这样的 K 值，使函数值，使函数在在上递减，在上递减，在 243221232f xk xxkxx1,2上递增？上递增？2,答案：答案：。 提示据题意结合函数的连续性知提示据题意结合函数的连续性知，但

31、，但是函数在是函数在上递减，上递减，12k 20f 20f 1,2在在上递增的必要条件，不一定是充分条件因此由上递增的必要条件，不一定是充分条件因此由求出求出 K 值后要检验。值后要检验。 2, 20f 【易错点易错点 9】应用重要不等式确定最值时，无视应用的前提条件特别是易忘判断不等式取得等号时的变量应用重要不等式确定最值时，无视应用的前提条件特别是易忘判断不等式取得等号时的变量值是否在定义域限制范围之内。值是否在定义域限制范围之内。例例 9、 ：a0a0 , , b0b0 , , a+b=1,a+b=1,求求(a+(a+) )2 2+(b+(b+) )2 2的最小值的最小值。a1b1错解错

32、解 :(a+:(a+) )2 2+(b+(b+) )2 2=a=a2 2+b+b2 2+ + +42ab+42ab+44+44+4=8(a+4=8(a+) )2 2+(b+(b+) )2 2的最的最a1b121a21bab2abab1a1b1小值是小值是 8 8【易错点分析易错点分析】 上面的解答中，两次用到了根本不等式上面的解答中，两次用到了根本不等式 a a2 2+b+b2 22ab2ab，第一次等号成立的条件是，第一次等号成立的条件是 a=b=a=b=, ,21第二次等号成立的条件第二次等号成立的条件 ab=ab=，显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，显然，这两个条件是不能同时成立的

33、。因此，8 8 不是最小值。不是最小值。ab1解析：原式解析：原式= = a a2 2+b+b2 2+ + +4=(+4=( a a2 2+b+b2 2)+()+(+ +)+4=(a+b)+4=(a+b)2 2-2ab+-2ab+ (+ +) )2 2- -+4+4 =(1-2ab)=(1-2ab)21a21b21a21ba1b1ab2(1+(1+)+4)+4 由由 ab(ab() )2 2= = 得：得：1-2ab1-1-2ab1-= =, ,且且1616，1+1+1717原式原式221ba2ba 412121221ba221ba17+4=17+4= ( (当且仅当当且仅当 a=b=a=b=

34、时，等号成立时，等号成立)(a+)(a+) )2 2+(b+(b+) )2 2的最小值是的最小值是。2122521a1b1225【知识归类点拔知识归类点拔】在应用重要不等式求解最值时，要注意它的三个前提条件缺一不可即在应用重要不等式求解最值时，要注意它的三个前提条件缺一不可即“一正、二定、三一正、二定、三相等相等，在解题中容易忽略验证取提最值时的使等号成立的变量的值是否在其定义域限制范围内。，在解题中容易忽略验证取提最值时的使等号成立的变量的值是否在其定义域限制范围内。【练练 9】9】 9797 全国卷文全国卷文 2222 理理 2222甲、乙两地相距甲、乙两地相距 s s kmkm , ,

35、汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过 c c km/hkm/h , ,汽车每小时的运输本钱汽车每小时的运输本钱以元为单位以元为单位由可变局部和固定局部组成：可变局部与速度由可变局部和固定局部组成：可变局部与速度 vkm/hvkm/h的的平方成正比，比例系数为平方成正比，比例系数为 b;b;固定局部为固定局部为 a a 元。元。（1 1）把全程运输本钱把全程运输本钱 yy元元表示为速度表示为速度 vkm/hvkm/h的函数，并指出这个函数的定义域；的函数，并指出这个函数的定义域；（2 2）为了使全程运输本钱最小，汽车应以多大速度行驶？为了使全程运输本钱最小

36、，汽车应以多大速度行驶？答案为答案为:1:122使全程运输本钱最小，当使全程运输本钱最小，当cc 时，行驶速度时，行驶速度 v=v=20sybvavcvba；当；当c c 时，行驶速度时，行驶速度 v=v=c c。baba【易错点易错点 10】10】在涉及指对型函数的单调性有关问题时，没有根据性质进行分类讨论的意识和易忽略对数在涉及指对型函数的单调性有关问题时，没有根据性质进行分类讨论的意识和易忽略对数函数的真数的限制条件。函数的真数的限制条件。例例 1010、是否存在实数、是否存在实数 a a 使函数使函数在在上是增函数？假设存在求出上是增函数？假设存在求出 a a 的值，假设不存的值，假设

37、不存 2logaxxaf x2,4在，说明理由。在，说明理由。【易错点分析易错点分析】此题主要考查对数函数的单调性及复合函数的单调性判断方法，在解题过程中易忽略对数此题主要考查对数函数的单调性及复合函数的单调性判断方法，在解题过程中易忽略对数函数的真数大于零这个限制条件而导致函数的真数大于零这个限制条件而导致 a a 的范围扩大。的范围扩大。解析：函数解析：函数是由是由和和复合而成的，根据复合函数的单调性的判断方复合而成的，根据复合函数的单调性的判断方 f x 2xaxx logxay法法11当当 a1a1 时，假设使时，假设使在在上是增函数，那么上是增函数，那么在在上是上是 2logaxxa

38、f x2,4 2xaxx2,4增函数且大于零。故有增函数且大于零。故有解得解得 a1a1。 22当当 a1a1a1 使得函数使得函数在在上是增函数上是增函数 2logaxxaf x2,4【知识归类点拔知识归类点拔】要熟练掌握常用初等函数的单调性如：一次函数的单调性取决于一次项系数的符号，二要熟练掌握常用初等函数的单调性如：一次函数的单调性取决于一次项系数的符号，二次函数的单调性决定于二次项系数的符号及对称轴的位置，指数函数、对数函数的单调性决定于其底数的次函数的单调性决定于二次项系数的符号及对称轴的位置，指数函数、对数函数的单调性决定于其底数的范围范围大于大于 1 还是小于还是小于 1 ，特别

39、在解决涉及指、对复合函数的单调性问题时要树立分类讨论的数学思想，特别在解决涉及指、对复合函数的单调性问题时要树立分类讨论的数学思想对数型函数还要注意定义域的限制对数型函数还要注意定义域的限制 。【练练 10】 1 黄岗三月分统考变式题黄岗三月分统考变式题设设，且，且试求函数试求函数的的单调的的单调0a 1a 2log 43ayxx区间。区间。答案：当答案：当，函数在，函数在上单调递减在上单调递减在上单调递增当上单调递增当函数在函数在上单上单01a31,23,421a 31,2调递增在调递增在上单调递减。上单调递减。3,422 2005 高考天津高考天津假设函数假设函数在区间在区间内单调递增，那

40、内单调递增，那 3log0,1af xxaxaa1(,0)2么么的取值范围是的取值范围是A、 B、 C、 D、a1 ,1)43 ,1)49( ,)49(1, )4答案：答案：B.记记，那么，那么当当时，要使得时，要使得是增函数，那么需有是增函数，那么需有 3g xxax 23gxxa1a f x恒成立，所以恒成立，所以. .矛盾矛盾. .排除排除 C C、D D 当当时，要使时，要使是函数，那么需是函数，那么需 0gx 213324a01a f x有有恒成立，所以恒成立，所以. .排除排除 AA 0gx 213324a【易错点易错点 11】11】 用换元法解题时，易忽略换元前后的等价性用换元法

41、解题时，易忽略换元前后的等价性例例 1111、求求的最大值的最大值1sinsin3xy2sincosyx【易错点分析易错点分析】此题学生都能通过条件此题学生都能通过条件将问题转化为关于将问题转化为关于的函数，进而利用换的函数，进而利用换1sinsin3xysin x元的思想令元的思想令将问题变为关于将问题变为关于 t t 的二次函数最值求解。但极易忽略换元前后变量的等价性而造成的二次函数最值求解。但极易忽略换元前后变量的等价性而造成sintx错解，错解，解析：由条件有解析：由条件有且且结合结合得得1sinsin3yx1sinsin1,13yx sin1,1x ，而，而= = =令令2sin13

42、x2sincosyx1sin3x2cos x22sinsin3xx那么原式那么原式= =根据二次函数配方得：当根据二次函数配方得：当即即2sin13txt222133ttt 23t 时，原式取得最大值时，原式取得最大值。2sin3x 49【知识点归类点拔知识点归类点拔】“】“知识知识是根底，是根底，“方法方法是手段，是手段，“思想思想是深化，提高数学素质的核心就是提高是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合表达就是学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合表达就是“能力能力，解数学题时，把某个式子看成一，解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量

43、去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结

44、论联系起来。或者变为熟悉的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。形式，把复杂的计算和推证简化。【练练 11】11】 11 高考变式题高考变式题设设a0a0，000000 求求f(x)f(x)2a(sinx2a(sinxcosx)cosx)sinxcosxsinxcosx2a2a的最大值的最大值2和最小值。和最小值。答案：答案：f(x)f(x)的最小值为的最小值为2a2a 2 2a a，最大值为，最大值为22121202222 212222()()aaaa22不等式不等式axax的解集是的解集是(4,b)(4,b

45、)，那么那么a a_，b b_。x32答案：答案：提示令换元提示令换元原不等式变为关于原不等式变为关于 t t 的一元二次不等式的解集为的一元二次不等式的解集为1,368abxt2, b【易错点易错点 12】求求时时, , 易忽略易忽略 n n的情况的情况nSna例例 12、 2005 高考北京卷高考北京卷数列数列前前 n 项和项和且且。 1求求的值及数的值及数 nans1111,3nnaas234,a a a列列的通项公式。的通项公式。 na【易错点分析易错点分析】此题在应用此题在应用与与的关系时误认为的关系时误认为对于任意对于任意 n 值都成立，忽略了对值都成立，忽略了对 n=1nsna1

46、nnnass的情况的验证。易得出数列的情况的验证。易得出数列为等比数列的错误结论。为等比数列的错误结论。 na解析：易求得解析：易求得。由。由得得故故2341416,3927aaa1111,3nnaas1123nnasn得得又又，故该数列从故该数列从111112333nnnnnaassan1423nnaan11a 213a 第二项开始为等比数列故第二项开始为等比数列故。2111 423 3nnnan 【知识点归类点拔知识点归类点拔】对于数列对于数列与与之间有如下关系：之间有如下关系：利用两者之间的关系利用两者之间的关系nans1112nnnsnassn可以可以求求。但注意只有在当。但注意只有在

47、当适合适合时两者才可以合并否那么要写分段函数时两者才可以合并否那么要写分段函数nsna1a12nnnassn的形式。的形式。【练练 12】 2004 全国理全国理数列数列满足满足那那 na112311,2312nnaaaaanan么数列么数列的通项为的通项为 。 na答案：答案：将条件右端视为数列将条件右端视为数列的前的前 n-1 项和利用公式法解答即可项和利用公式法解答即可nna11!22nnann【易错点易错点 13】13】利用函数知识求解数列的最大项及前利用函数知识求解数列的最大项及前 n n 项和最大值时易忽略其定义域限制是正整数集或其项和最大值时易忽略其定义域限制是正整数集或其子集子

48、集从从 1 1 开始开始例例 1313、等差数列、等差数列的首项的首项，前，前 n n 项和项和，当，当时，时，。问。问 n n 为何值时为何值时最大最大? ? na10a nslmmlssns【易错点分析易错点分析】等差数列的前等差数列的前 n n 项和是关于项和是关于 n n 的二次函数，可将问题转化为求解关于的二次函数，可将问题转化为求解关于 n n 的二次函数的最大的二次函数的最大值，但易忘记此二次函数的定义域为正整数集这个限制条件。值，但易忘记此二次函数的定义域为正整数集这个限制条件。解析：由题意知解析：由题意知= =此函数是以此函数是以 n n 为变量的二次函为变量的二次函ns 2

49、111222n nddf nnadnan数，因为数，因为，当，当时，时，故故即此二次函数开口向下，故由即此二次函数开口向下，故由得当得当10a lmmlss0d f lf m时时取得最大值，但由于取得最大值，但由于，故假设，故假设为偶数，当为偶数，当时，时，最大。最大。2lmx f xnNlm2lmnns当当为奇数时，当为奇数时，当时时最大。最大。lm12lmnns【知识点归类点拔知识点归类点拔】数列的通项公式及前数列的通项公式及前 n n 项和公式都可视为定义域为正整数集或其子集项和公式都可视为定义域为正整数集或其子集从从 1 1 开始开始上上的函数，因此在解题过程中要树立函数思想及观点应用

50、函数知识解决问题。特别的等差数列的前的函数，因此在解题过程中要树立函数思想及观点应用函数知识解决问题。特别的等差数列的前 n n 项和公项和公式是关于式是关于 n n 的二次函数且没有常数项，反之满足形如的二次函数且没有常数项，反之满足形如所对应的数列也必然是等差数列的所对应的数列也必然是等差数列的2nsanbn前前 n n 项和。此时由项和。此时由知数列中的点知数列中的点是同一直线上，这也是一个很重要的结论。此外是同一直线上，这也是一个很重要的结论。此外nsanbn,nsnn形如前形如前 n n 项和项和所对应的数列必为一等比数列的前所对应的数列必为一等比数列的前 n n 项和。项和。nns

51、cac【练练 13】13】 20012001 全国高考题全国高考题设设是等差数列，是等差数列，是前是前 n n 项和，且项和，且，那么，那么 nans56ss678sss以下结论错误的选项是以下结论错误的选项是AA、B B、C C、 D D、和和均为均为的最大值。的最大值。0d 70a 95ss6s7sns答案：答案：CC提示利用二次函数的知识得等差数列前提示利用二次函数的知识得等差数列前 n n 项和关于项和关于 n n 的二次函数的对称轴再结合单调性解答的二次函数的对称轴再结合单调性解答【易错点易错点 14】14】解答数列问题时没有结合等差、等比数列的性质解答使解题思维受阻或解答过程繁琐。

52、解答数列问题时没有结合等差、等比数列的性质解答使解题思维受阻或解答过程繁琐。例例 1414、关于的方程、关于的方程和和的四个根组成首项为的四个根组成首项为的等差数列，求的等差数列，求230 xxa230 xxb34的值。的值。ab【思维分析思维分析】注意到两方程的两根之和相等这个隐含条件，结合等差数列的性质明确等差数列中的项是如注意到两方程的两根之和相等这个隐含条件，结合等差数列的性质明确等差数列中的项是如何排列的。何排列的。解析：不妨设解析：不妨设是方程是方程的根，由于两方程的两根之和相等故由等差数列的性质知方程的根，由于两方程的两根之和相等故由等差数列的性质知方程34230 xxa的另一根

53、是此等差数列的第四项，而方程的另一根是此等差数列的第四项，而方程的两根是等差数列的中间的两根是等差数列的中间230 xxa230 xxb两项，根据等差数列知识易知此等差数列为：两项，根据等差数列知识易知此等差数列为：故故从而从而= =。3 5 7 9,4 4, 4 42735,1616abab318【知识点归类点拔知识点归类点拔】等差数列和等比数列的性质是数列知识的一个重要方面，有解题中充分运用数列的性等差数列和等比数列的性质是数列知识的一个重要方面，有解题中充分运用数列的性质往往起到事半功倍的效果。例如质往往起到事半功倍的效果。例如对于对于等差等差数列数列，假设，假设，那么，那么 naqpm

54、n；对于；对于等比等比数列数列，假设，假设，那么，那么；假设数；假设数qpmnaaaa navumnvumnaaaa列列是等是等比比数列，数列，是其前是其前 n 项的和，项的和，那么，那么，成等成等比比数列；假设数列；假设 nanS*Nk kSkkSS2kkSS23数列数列是等差数列，是等差数列，是其前是其前 n 项的和，项的和，那么，那么，成等差数列成等差数列 nanS*Nk kSkkSS2kkSS23等性质要熟练和灵活应用。等性质要熟练和灵活应用。【练练 14】 2003 全国理天津理全国理天津理方程方程和和的四个根组成一个首项为的四个根组成一个首项为220 xxm220 xxn的等差数列

55、，那么的等差数列，那么= A、1 B、 C、 D、14mn341238答案：答案：C【易错点易错点 15】用等比数列求和公式求和时，易忽略公比的情况用等比数列求和公式求和时，易忽略公比的情况例例 1515、数列、数列中，中，数列，数列是公比为是公比为的等比数列。的等比数列。na11a22a1nnaaq0qI I求使求使成立的成立的的取值范围；的取值范围；IIII求数列求数列的前的前项的和项的和32211nnnnnnaaaaaaqnan2nS2【易错点分析易错点分析】对于等比数列的前对于等比数列的前 n n 项和易忽略公比项和易忽略公比 q=1q=1 的特殊情况，造成概念性错误。再者学生没有从的

56、特殊情况，造成概念性错误。再者学生没有从定义出发研究条件数列定义出发研究条件数列是公比为是公比为的等比数列得到数列奇数项和偶数项成等比数的等比数列得到数列奇数项和偶数项成等比数1nnaaq0q列而找不到解题突破口。使思维受阻。列而找不到解题突破口。使思维受阻。解：解：I I数列数列是公比为是公比为的等比数列，的等比数列，1nnaaqqaaaannnn121，由，由得得2132qaaaannnn32211nnnnnnaaaaaa，即，即 ，解得，解得221111qqqaaqaaaannnnnn012 qq0q2510 qIIII由数列由数列是公比为是公比为的等比数列，得的等比数列，得，这说明数列

57、，这说明数列1nnaaqqaaqaaaannnnnn2121的所有奇数项成等比数列，所有偶数项成等比数列，且公比都是的所有奇数项成等比数列，所有偶数项成等比数列，且公比都是，又，又，当当naq11a22a时，时，1qnS2nnaaaaaa2124321)()(2642321nnaaaaaaaa，当，当时，时，qqqqaqqannn1)1 (31)1 (1)1 (211qnS2nnaaaaaa2124321)()(2642321nnaaaaaaaan3)2222() 1111 (【知识点归类点拔知识点归类点拔】此题中拆成的两个数列都是等比数列，其中此题中拆成的两个数列都是等比数列，其中是解题的关

58、键，这种给出数列是解题的关键，这种给出数列qaann2的形式值得关注。另外，不要以为奇数项、偶数项都成等比数列，且公比相等，就是整个数列成等比数列，的形式值得关注。另外，不要以为奇数项、偶数项都成等比数列，且公比相等，就是整个数列成等比数列，解题时要慎重，写出数列的前几项进行观察就得出正确结论解题时要慎重，写出数列的前几项进行观察就得出正确结论. .对等比数列的求和一定要注意其公比为对等比数列的求和一定要注意其公比为 1 1 这这种特殊情况。高考往往就是在这里人为的设计陷阱使考生产生对现而不全的错误。种特殊情况。高考往往就是在这里人为的设计陷阱使考生产生对现而不全的错误。【练练 15】15】

59、20052005 高考全国卷一第一问高考全国卷一第一问设等比数列设等比数列的公比为的公比为 q q，前，前 n n 项和项和11求求 q q 的取值的取值 na0ns 范围。范围。答案：答案： 1,00,【易错点易错点 16】16】在数列求和中对求一等差数列与一等比数列的积构成的数列的前在数列求和中对求一等差数列与一等比数列的积构成的数列的前 n n 项和不会采用错项相减项和不会采用错项相减法或解答结果不到位。法或解答结果不到位。例例 1616、 20032003 北京理北京理数列数列是等差数列，且是等差数列，且 na11232,12aaaa11求数列求数列的通项公式的通项公式22令令求数列求

60、数列前项和的公式。前项和的公式。 nannnba xxR nb【思维分析思维分析】此题根据条件确定数列此题根据条件确定数列的通项公式再由数列的通项公式再由数列的通项公式分析可知数列的通项公式分析可知数列是一是一 na nb nb个等差数列和一个等比数列构成的个等差数列和一个等比数列构成的“差比数列差比数列，可用错项相减的方法求和。，可用错项相减的方法求和。解析：解析：1易求得易求得2nan2由由1得得令令那么那么2nnbnxns 232462nxxxnx用用减去减去 注意错过一位再相减注意错过一位再相减得得23124212nnnxsxxnxnx当当当当231122222nnnx sxxxxnx