FEKO7.0各类求解器的介绍

1、FEKO各类求解器的介绍FEKO中的求救器有矩量法（MOM）、多层快速多极子方法（MLFMM）、物理光学法（PO）、一致性绕射理论（UTD）、有限元（FEM）等计算方法，FEKOSuite70在其原有算法基础上，新增时域有限差分（FDTD）求解器，同时增加了多层快速多极子（MLFMM）与物理光学（PO）的混合算法。1. 矩量法矩量法是一种基于积分方程的严格的数值方法，其精度主要取决于目标几何建模精度和正确的基权函数的选择及阻抗元素的计算。其思想主要是将几何目标剖分离散，在其上定义合适的基函数，然后建立积分方程，用权函数检验从而产生一个矩阵方程，求解该矩阵方程，即可得到几何目标上的电流分布，从而

2、其它近远场信息可从该电流分布求得。下面以电场积分方程求解理想导体的电磁散射问题为例，简要介绍矩量法的一般方法。由麦克斯维方程组和理想导体的边界条件可以推导出，表面电场积分方程（EFIE）如下：gs+v呵&肿Etnn，ron&（1）其中，A为矢量磁位，屮为标量电位，表达形式分别如下：A(门=»jJ(戶)0S(2)e-jkIF-F'l-Fds'4兀Irr'I屮(-)=丄Jo(-)e购八ds'(3)£s4兀Irr'I0定义基函数系列J，将电流展开为nnnn=1(4)其中I为与第n个基函数相关的的电流展开系数。为了将积分方程离

3、散成为n矩阵方程，采用伽略金匹配方法，选取与基函数相同的函数系列作为权函数，表示为g，对式（3T）求内积得j®<A,J+<,J=<Einc,Jmmm(5)将式(3-4)代入式(3-5),得到包含N个未知量的N个线性方程，可以写成ZI=Vemnnm其中，Z为NXN的矩阵，I和Ve均为NX1的向量，I为电流系mnnmn数，Ve为激励向量，N为未知量数目。m(7)其形式分别如下：VeJEincdsmmtanSmZ=j®Hjmn0SJads+j(VJ)屮dsmnjgSsmn0Sm(8)e-jklr-r'I上式中,(9)(10)a(r)=jJ(r')

4、ds'nSn4兀Irr'Ie-jkIr-r'In屮(r)=jV'J(r')ds'nSsn4兀Irr'In矩阵方程(6)建立之后,下一步就是该矩阵方程的求解。求解方法有直接求解和迭代求解等。随着求解问题的规模增大,直接求解方法的计算量非常巨大,计算复杂度为O(N3)，而迭代求解每步迭代的计算复杂度为O(N2)。得到表面电流之后，可以根据该电流分布求得其他感兴趣的电磁参数，如雷达散射截面(RCS)等。矩量法是FEKO的默认求解器。打开solutionsetting后的General即为矩量法的设置窗口。图1矩量法是数值算法，计算精确，但对于电

5、大尺寸的模型，往往受限于计算资源。下面采用矩量法对边长为1米的立方体的表面电流进行计算。入射角度与z轴夹角为60°，与X轴平行。Surrsce：currentmAi'm11.25inUQfl.75|730+E.25I5.00I3.75IE.3U|1.25(I四图2从实验结果中我们可以看到：照亮区有表面电流分布，在被遮挡区域也有表面电流分布，这是绕射的贡献。2.多层快速多极子由于矩量法在矩阵求解过程中受限于计算资源，后来发明了快速多极子算法快速多极子方法是八十年代末九十年代初国际上提出的用于积分方程计算的快速算法，不但大大加速了矩阵与矢量相乘计算，并且也大大降低了存储量。快速多

6、极子方法的数学基础是矢量加法定理，即利用加法定理对积分方程中的格林函数进行处理。通过在角谱空间中展开，利用平面波进行算子对角化，最后将密集阵与矢量的相乘计算转化为几个稀疏阵与该矢量的相乘计算。其基本原理是：将目标表面离散得到的子目标分组，任意两个子目标间的互耦根据他们所在组的位置关系而采用不同的处理方法。自身组和相邻组采用直接矩量法计算，非相邻组采用聚合转移配置方法计算。图3主要步骤有以下几步：由加法定理，得到标量格林函数展开式竺=兰fd2ke心小(kr)r4兀mmmmji11)同样，可得到并矢格林函数展开式如下：ik八入入入G(r，ri)二d2k(l-Tik)mmmm其中，«&am

7、p;-k为转移因子，表达式如下:mm'mm'a(r-k)mmmmii(21+1)h(1)(kr)p(r-k)lmm1lmm1用矩量法离散电场积分方程八4兀tJG(r,r')J(r')dS'=S-t-Ei(r)kq得到矩阵方程2Aa二Fjiiji=1j=12N其中，A二fdst(r)JdsG(r,r'j(r')jisjsiF=4ijdst(r)Ei(r)jkqsj将上两式带入式即可得到快速多极子的表达式如下：另Aajiii=1工工Aa+jd2kVjii4兀fmjm'wNGiwG,m()工a(k-P)EV*(k)mmm'gFG

8、mm'sm'iiwG,m其中，聚合因子为：Vsmi(kP)=jds'eik%配置因子为：Vfmj(kP)=jdseik-rjmS2、多层快速多极子SolversettingsG-enaralIVLFriMA：AFENFBTDHighfrequerLCBomaindecompositionFreconditionerQjITone:Solvemidelwiththemultilevelfastmultipolenettiod.(NLFNM)SulvermdelwiththmsdaptivmcruSE-appruidni：!tiDTL(ACAJMLFMMFieldc:

9、77;1culatiunmethtjisNt：aifield.FastHLFWMbasedcalculatiori(default)QTr*iditi:-rillint.e：p；-atioilschemeF：iizieLdI1LF11Mbasedcalculatiari(default)亡)Trad.1LimtepraiisitscheneEokciiab.t£inQEtlaval縫JUsedefaijlt(re«z«mmerLiied)SetmarLiialEdxzizsinAave丄engths图4多层快速多极子是快速多极子在多层级结构中的推广。对于N互耦，多

10、层快速多极子方法采用多层分区计算，基于树形结构，特点是：逐层聚合、逐层转移，逐层配置、嵌套递推。对于三维情况，用一立方体包围目标，第一层得到8个子立方体。随着层数增加，每个子立方体再细分为8个更小的子立方体，直到最细层满足要求为止。多层快速多极子除了与快速多极子相同的操作外，还有父层、子层的层间递推计算。多层快速多极子方法的转移计算在各层各组的远亲组间进行，而快速多极子方法的转移计算在非附近组间进行。基于分层结构，多层快速多极子方法由上行过程、下行过程两部份组成。上行过程分为最高层的多极展开、子层到父层的多极聚合。上行过程在多极聚合到第二层后，经远亲转移计算转向下行过程。下行过程则分为父层到子

11、层的多极配置、同层间远亲组的转移和最高层的部分场展开。所有源散射体i对场散射体j的贡献用快速多极子方法表达为迓Aa=jiii=1工工Aa+kJd2kVjii4兀fmjmwNGieG,maQ-；)EV*G)mmmmeFGammsmiiieGmmjeGm其中，a为第i个源子散射体的电流幅度,iV,a,V分别表示配置、转fmjmmsm'i移、聚合因子。多层快速多极子方法求解上式的具体步骤分为1）、最高层的多极展开：计算公式为S(k)=工V*(k)am'sm'ii其中，VsmiGLids'eikrmmm'为最高层中，子散射体i所在组的组中心。S（k,Vm'

12、;smi为最高层m'组的聚合量，聚合因子。2）、多极聚合：将源子散射体在子层子组中心的聚合量平移到父层父组中心表达。这时需要对子层的聚合量插值得到父层所需要个数的聚合量，利用插值矩阵，可得(l1)nmel1ll1)nmrmlml1smil1ilwv,nnsmlin=1上式中，mm'分别表示第l层，第ll层中源子散射体i所在组的组中ll1心，r,r分别为mm'的矢径。ml'ml'1ll1插值可用拉格朗日插值公式等方法实现。聚合过程如下图所示。3) 、多极转移：多极聚合到第二层后，便不再向上聚合。此时开始多极转移，即将源区的外向波转移为场区的内向波，为下行过

13、程做准备。在第二层，源区组中心m'的聚合量S(k)即为以m'为中心的外向波，以场区组中心m为中心的内m'向波BG)如下计算：m2Bm2mrem-FGa(r-k)=±ii+1)hi(kr)P(r-k)mm'mm'lmm'lmm'l=0其中，a(k)为第二层上的转移因子。之所以选择第二层开始多极转移，mm'是因为在第二层，远亲组即为非附近组，通过远亲组的转移计算可得到待求的所有非附近组的贡献。以上步骤为多层快速多极子的上行过程，下面步骤为其下行过程。4) 、多极配置：将父层父组中心为中心的内向波转化为以子层子组中心为中心的内

14、向波表达。多极配置为多极聚合的逆过程。公式如下：mlB(i)ln)=£-1We%i)n"”例-1nnn=iml-i(l-1)n')w/wnn5) 、多极转移：为了继续从父层到子层递推下去，就必须得到来自于子层子组的所有非附近组的贡献。在多极配置过程中，已经考虑了父层父组的所有非附近组的贡献，尚未考虑的是该子层子组的远亲组贡献。于是，在多极配置的基础上再叠加上子层子组的远亲贡献，就得到了子层子组的所有非附近组的贡献。计算式如下：B（2）G）=Zamiln,mm'mwzm旳G）lnmlG）=B（1）+B（2）lnmllnmlln重复4）、5）步，直到最高层为止。

15、6）、部分场展开：对于最高层每个非空组m,在其组中心进行部分场展开,得到m的所有非附近组对组内场点j的贡献Id2kVG）BG）1fmjm其中，VG）为最高层的配置因子，BG）为最高层上以组m为中心的内fmjm向波，代表了组m的所有非附近组对组m的贡献。7）、直接计算附近组的贡献，与非附近组的贡献相叠加，便得到了所有源子散射体对场子散射体的贡献。以上即为多层快速多极子方法的原理和步骤。和矩量法相比，相同的计算资源下，利用多层快速多极子求解器可以计算电尺寸更大的目标，而且能保证一定的计算精度。3. 物理光学法物理光学法（PO）是应用较广的高频近似方法之一，它的出发点跟积分方程矩量法一样，也为斯特拉

16、顿-朱兰成散射场积分方程，但它基于高频的局部性原理，忽略了各部分感应电流的相互作用，而是根据入射场独立地计算表面感应电流，再对照亮面感应电流进行积分求得散射场。对于任意形状的散射体，其表面可以通过很多三角形面元来近似模拟，计算每个三角面元的散射贡献后求和就可得到目标总的散射场。在用物理光学法计算三角面元的散射场时，通过Gordon法可以将面积分表达式转化为无积分的围线求和表达式，大大减小了数值计算的计算量，所以物理光学方法非常适合用来预估电大尺寸目标的散射特性。EsHsEsHsnmssA图6电磁散射模型示意图图2.1为电磁散射模型示意图，散射问题可以这样表述，自由空间中一入射波照射到散射体，求

17、散射体外自由空间中任意一点的电磁场。设入射电磁场分别为Ei、Hi，散射电磁场为Es、Hs。总场为入射电磁场和散射电磁场之和，可以表示为：E=Ei+Es,H=Hi+Hs根据斯特拉顿-朱兰成散射场积分方程，散射场Es、Hs可表示为：Es=b丿亦(nxH)g+(nxE)xvg+(n-E)vgdss000Hs=-6jg(nxE)g-(nxH)xvg-(n-H)vgds00G和厶G分别是自由空间的格林00(3.1)(3.2a)s0式中，n为散射体表面外法线的单位矢量,函数及其梯度。(3.2b)e-ikrG0=硏(3.3)式中r为源点至场点的距离。物理光学法从感应定理出发，用散射体表面已知的感应电磁流来取

18、代散射体本身作为散射场的源，表面场的切向和法向分量可以分别认为是电流、磁流以及电荷、磁荷：JnxH,JnxEsmsp£n-E,pm-Hsms式中J和J分别为散射体面电流密度和面磁流密度，p和p分别是散射smssms体面电荷密度和面磁荷密度。在数学上，格林函数及其梯度等价于惠更斯子波源，每个单元表面的电流、磁流或电荷、磁荷都作为惠更斯子波源与散射场有关，它们把单元电磁流源与观察点上的场联系了起来1，在物理上，其正好代表了一个向外的标量球面波5。将（3.4）式、（3.5）式代入（3.2）式得：(3.4)(3.5)Es=&G-JxVG+匕VGdsss0ms0£0(3.6a

19、)Hs=（bJG+JxvG+侏VGdssms0s00由（3.6）式可以看出，散射电场Es与电流、磁流及电荷相关，而散射磁场Hs则与电流、磁流、磁荷相关1。物理光学的出发点跟积分方程矩量法一样也为斯塔拉顿-朱兰成方程，但是(3.6b)物理光学基于高频场的局部性原理，忽略了表面各部分感应电流间的相互作用而仅根据入射场独立地近似确定表面感应电流1。为了简化积分运算，物理光学采用了两种近似处理，即远场近似和切平面近似。远场近似假设散射体上或附近的源到观察点的距离远大于散射体的尺寸。此时自由空间中格林函数的梯度可以近似地表示为：VG=_jkSG(3.7)00式中s为散射方向的单位向量。将(2.3)式与(

20、2.7)式代入(2.2)式可得散射场的近似表达式：Es(r)二小exp(曲)JSxJ(rJ+耳SxJ(rJexpjkr'(iS)ds'(3.8a)4兀rS'ms0sHs(r)二氷exp(一为)JsxJ(r')丄sxJ(r')expjkr'(i一s)ds'(38b)4兀rs's耳ms0(3.8)式中的积分表面s'仅为散射体的照明部分，也就是说物理光学已假定在目标的阴影部分切向场为01k和n分别为自由空间中的波数和波阻抗，i和0s分别为入射波方向和散射波方向的单位矢量，r-为散射体表面位置矢量，r=1rI。切平面近似假设表面电

21、流值为积分面元ds处物体为理想光滑平面时的表面电流值。对于理想导电体(PEC)，有：J=2nxH,J=0(亮区)(39a)smsJ=0,J=0(暗区)(3.9b)sms此时(3.8)式可以简化为：Es(r)=丿如0号(一丿好)JsxsxJ(rJexpjkr'(is)ds'(3.10a)Hs(r)=氷晋一j)JsxJ(r')expjkr'(is)ds'(3.10b)算例2FEKO计算电大尺寸的导弹模型的RCS。FEKO中的高频方法可以设想多次作用结果，下面利用FEKO的高频方法计算导弹的RCS,入射角度为theta等于60°,phi从0°

22、;到180°。平面波入射，计入一次作用和二次作用。首先导入模型设置频率为9GHzOEA'drojiicdSinclafkQqngcFFreqoaijcrSe'ZjCuictl9：.Solutionfrequsmcy图8平面波入射，theta等于60°,phi从0°到180°，步进为1,theta极化。§：.ModifyfarfieldsLEnilKl伍)eetL5J0Ei讣pSourceYbrkpLflric*Magmitilde(Yr'rn)Phez4l.dggs-sc：s.JStartMunbarofdiractlq

23、de0.0Lefthcin且rctatangslliptical”Eigkikand.rotfl-iang亡LlimtitJELliBljcitzOto110.0LabelPl»me：¥a.vil&ModifyplariewaveexcitationQLin亡yPol41*l£4.tlC'rLApply|I匸uic<aljSingleincident瞥wis'.ft1LoopovtriiijltipledirftctiorsEPoluriEitiori©Tigl电d:涉a.oEl&11EFlilIncranAnt图9

24、接收为远场，单站接收。EkppLy匚fljicbL图10选中模型的所有的面，右击，属性，solution。在solvewithspecialsolutionmethod中选择RL-GO。rCFaceproperties图11在solutionsetting中选择Highfrequency。将Maxno.ofrayinteraction修改为2，只计入一次和二次作用。图12对模型进行剖分，由于我们采用的是RL-GO的方法，对剖分尺寸没有最大剖分尺寸的限制。这里我们采用剖分尺寸为0.05米。计算结果如下：图134. 一致性绕射理论几何光学理论是以电磁场传播的射线理论为基础的，用射线和射线管的概念分

25、析散射和能量传播机制，其物理概念清晰，简单易算。但是几何光学只能研究直射、反射和折射问题，不能分析和计算绕射问题。当几何光学射线遇到表面不连续，例如边缘、尖顶，或者向曲面掠入射时，将产生它不能进入的阴影区。按照几何光学理论，阴影区的场应等于零，然而实际上阴影区仍有场存在。J.B.Keller在20世纪50年代提出了一种近似计算高频电磁场的新方法，引入了一种绕射射线的概念，这种射线产生于散射体表面上几何特性或者物理特性不连续的局部区域，例如物体的边缘、尖顶以及光滑凸曲面上的掠入射点等，这就是几何绕射理论。几何绕射理论把经典的几何光学概念加以推广，绕射射线既可进入照明区，也可进入阴影区，从而使绕射射线能计入阴影区的场。因此，几何绕射理论克服了几何光学在阴影区失效的缺点，使高频近似方法扩展到阴影区场的求解中。因此，绕射场的表达式可定义为Ed(P)Ei(Q)DA(s)ejks(4-1)其中，Ed(P)为观察点P处的绕射场，Ei(Q)为绕射点Q处的入射场，D是并矢绕