数学模型报告

1、汇报人：何平安数学与系统科学学院应数15-5班A题 系泊系统的设计 近浅海观测网的传输节点由浮标系统、系泊系统和水声通讯系统组成（如图1所示）。某型传输节点的浮标系统可简化为底面直径2m、高2m的圆柱体，浮标的质量为1000kg。系泊系统由钢管、钢桶、重物球、电焊锚链和特制的抗拖移锚组成。锚的质量为600kg，锚链选用无档普通链环，近浅海观测网的常用型号及其参数在附表中列出。钢管共4节，每节长度1m，直径为50mm，每节钢管的质量为10kg。要求锚链末端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角不超过16度，否则锚会被拖行，致使节点移位丢失。水声通讯系统安装在一个长1m、外径30cm的密封圆柱形钢桶内

2、，设备和钢桶总质量为100kg。钢桶上接第4节钢管，下接电焊锚链。钢桶竖直时，水声通讯设备的工作效果最佳。若钢桶倾斜，则影响设备的工作效果。钢桶的倾斜角度（钢桶与竖直线的夹角）超过5度时，设备的工作效果较差。为了控制钢桶的倾斜角度，钢桶与电焊锚链链接处可悬挂重物球。图1 传输节点示意图（仅为结构模块示意图，未考虑尺寸比例） 问题1 某型传输节点选用II型电焊锚链22.05m，选用的重物球的质量为1200kg。现将该型传输节点布放在水深18m、海床平坦、海水密度为1.025103kg/m3的海域。若海水静止，分别计算海面风速为12m/s和24m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水

3、深度和游动区域。 问题2 在问题1的假设下，计算海面风速为36m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状和浮标的游动区域。请调节重物球的质量，使得钢桶的倾斜角度不超过5度，锚链在锚点与海床的夹角不超过16度。问题分析 问题1分析：题目要求我们在已知水深和重物球质量等的情况下分别求出风速为12m/s和24m/s时钢管的倾斜角度和锚链形状以及浮标游动区域和吃水深度，为解决该问题，我们以钢桶下端为界将该系统分为两部分来分析。锚及锚链作为一部分，我们通过建立悬链线模型和优化模型并利用遗传算法求出锚链的形状及相关数据；钢桶及以上物体作为第二部分，我们通过受力分析建立物理模型，从而求出钢桶和各节钢管的倾斜

4、角度、浮标的吃水深度和游动范围。 问题2分析：题目要求我们在问题一的基础上计算出风速为36m/s时钢管的倾斜角度和锚链的形状以及浮标游动区域和吃水深度，当仅有风速增大为另一数值时，首先可以利用问题一中的模型求出上述物体的状态；另外，当要求改变重物球的质量以使通讯设备传输效果良好时，我们采用问题一中模型计算钢桶倾斜角为5度和锚与锚链之间的夹角为16度时这个临界状态下重物球的质量，当浮标刚好沉下去时所求的质量是重物球质量的上界，当重物球质量在这两个临界状态之间时均符合要求。模型假设（1）假设忽略锚链的伸缩性。 （2）假设锚链、钢桶、钢管的质量分布均匀。 （3）假设忽略锚、锚链、钢桶、重物球、浮标在

5、水中的浮力。（4）假设风向水平向右、河床平坦、用轻绳悬挂重物球。符号说明模型建立与求解 在本问题中，我们采用了三个模型： (1)悬链线模型：用于描绘锚链的形状。 (2)优化模型：可以简单却又比较精确地计算出锚链的关键参数。 (3)物理模型：主要采用整体法和隔离法，通俗易懂的计算出了钢管、钢桶的倾斜角度和浮标的吃水深度。模型准备 当风速为0时，该模型处于静止状态(如下图所示),对该系统进行受力可知浮标所受浮力等于钢管、钢桶和重物球的重力之和。由此可得以下方程组：(设钢管长度为a米，锚链被拉起的部分为l米,浮标吃水深度为d米)模型一 悬链线模型 通过文献可知，对于锚链形状，一般采用悬链线模型或二次

6、曲线模型来拟合。经过分析比较，当锚链与水平面的夹角大于16度时，用二次曲线模拟比较粗糙，因此我们选用了精度较高的悬链线模型来拟合锚链形状，因不清楚锚链是否有与地面相切的部分，故如上图所示，设L为与地面相切的部分的长度，以O点为原点建立直角坐标系。并设锚链的方程为(表示锚链的线密度,H表示锚受到的水平向左的拉力大小,Fn是风给浮标的力)： 因不清楚锚链是否有与地面相切的部分，故如上图所示，设L为与地面相切的部分的长度，以O点为原点建立直角坐标系。并设锚链的方程为：简单对整个传输节点系统进行受力分析，在水平方向上锚所受的水平向左的摩擦力和浮标受到的向右的风力平衡即H=F，再将=7(kg/m),g代

7、入方程。又显然有x=0,y=0，故锚链的形状方程为: 在锚链伸缩不计的假设前提下，显然有锚链的总长度(22.05m)减去锚链与地面相切部分的长度L等于悬链线在区间0,x$_0$上的弧微分，即为了方便计算我们把以锚链、x轴以及悬挂重物球的轻绳所在直线围成的封闭图形近似看做直角三角形。而后我们将近似情况与真实情况下锚链的长度进行对比，如下图：模型二物理模型 模型的建立与求解为了求出钢桶和各钢管之间的倾斜角度，我们采用隔离法对上半部分物体之间结点的受力情况进行分析,发现它们的受力情况相似,均只受到拉力和重力的作用,于是我们就采用迭代的思想来解出钢桶和各钢管之间的倾斜角度。1.隔离法首先我们对浮标和各

8、钢管之间的节点以及钢桶两端的节点进行受力分析，如下图，可以得出： 其次，以钢桶与钢管处的节点为研究对象进行受力分析，如下图，可以得出： 再以钢桶和和锚链处的节点为研究对象进行受力分析，如下图，可以得出： 2.整体法模型三优化模型 通过以上分析，一方面，我们只得到了关于x0和L的一个的等式（3），无法精确求出两者的值；另一方面，由题目中所给的条件，可以得到目标和约束条件。因此，我们采用了单目标多约束非线性规划模型。在该优化模型中，目标为钢桶与竖直方向的夹角尽可能小。由题意，我们可以得到约束条件如下： (1)问题一中得到的公式三。 (2)锚链末端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角小于16度。 (3)浮标不能完全沉入海平面以下，锚链长度不能小于13米。 该数学模型可描述为：模型的求解 首先中我们可以采用lingo软件中的顺序线性规划法（SLP）求解，但根据结果可知该方法求出为局部最优解，并不是很精确。因此，我们又采用matlab中的遗传算法，利用这一算法，解出了全局最优解。 同时，通过编程验证，我们还得出了结果的稳定性（下面仅以风速为12m/s时为例） 最后，将两种方法所得到的结果比较，可以得出用遗传算法得出的值更为精确。模型的分析和检验为了检验模型的准确性和稳定度，我们建立了一个合理的指标体系。在该体系中，以钢桶为研究对象，利用所得到的数据，逆向