车辆随机振动(上)

1、 车辆随机振动第1章 绪论前期基础课程概率论n1.何为随机振动？n2.车辆与随机振动有何关系？ 大方面：学习随机振动有何用处？ 学科方面：学习随机振动能解决车辆工程中的哪些问题？n3.如何利用随机振动理论分析相应问题？1.1 振动的描述n振动是宇宙普遍存在的一种现象，总体分为宏观振动(如地震、海啸)和微观振动(基本粒子的热运动、布朗运动)。n振动原理广泛应用于音乐、建筑、医疗、制造、建材、探测、军事等行业，有许多细小的分支，对任何分支的深入研究都能够促进科学的向前发展，推动社会进步。 1.1 .1振动（vibration）系统产生振动的原因：n质量n弹性n动力载荷1.振动：物体在平衡位置附件的

2、往复运动。n研究主要方面：振动对象的力、位移（速度、加速度）等物理量的变化规律。1.1 .1振动（vibration）2. 振动的条件（vibration condition）（1）初始激励（internal excitation）n力、位移（速度、加速度）等物理量（2）外界激励（external excitation） F（t）=0 or notX1.1 .1振动（vibration）3.振动规律（regularity）建模（建立系统的微分方程，再求解）当f(t)有规律时，规则振动；当f(t)无规律时，随机振动；X22( )( )( )( )d x tdx tmfKx tf tdtdt1.1

3、 .2随机振动（random vibration）当f(t)无规律时，随机振动n它的规律不能用时间的确定函数来描述，但却能几概率论和统计动力学的方法来描述。 n在这大量的振动现象的集合中，就单个现象来看似乎是杂乱的、无规则的，但从总体来看，它们之间却存在着一定的统计规律性.X22( )( )( )( )d x tdx tmfKx tf tdtdt1.1 .2随机振动（random vibration）n汽车方面的典型例子是路面的随机凹凸不平使行驶的汽车产生随机振动；n被切削工件表层软硬不均使车刀及刀架产生随机振动；n风对建筑结构的随机激励；n地震对结构的随机激励；n浪使船舶产生随机振动；n大气

4、湍流使机翼产生随机振动等等。1.1 .2随机振动（random vibration）随机振动的特点：n（1）随机振动没有固定的周期，既不能用简单函数的线性组合来表述其运动规律； n（2）对确定的时间t，振动的三要素（振幅、频率、相位角）不可能事前知道，且它们本身也是随机的；n（3）在相同的条件下，进行一系列测试，各次记录结果不可能一样。1.1 .2随机振动（random vibration）随机振动的产生：确定性系统+确定性激励 确定性响应 确定性系统+随机激励 随机响应 随机系统+任何激励 随机响应11随机振动与确定性振动的本质区别在于它一般指的不是单个现象，而是一个包含着大量现象的集合；从

5、集合中的单个现象来看似乎是杂乱的，但从总体来看却存在着一定的统计规律性。因此，它虽然不能用时间的确定函数来描述，但能用统计特性来描述。 在确定性振动中，系统的激励与响应之间有着确定的函数关系，而在随机振动中，只能满足于确定它们的统计特性之间的关系。1.1 .2随机振动（random vibration）1.2 振动的研究问题1.2.1 振动分析与设计（design and analysis）n 已知系统输入和系统特性（结构、参数），确定输出特性；再通过优化方法选择适合的系统结构参数，使输出响应最佳。n如：需要使得某汽车的平顺性优良n（1）控制汽车座椅垂直方向的加速度、振幅n（2）控制汽车座椅振

6、动的频率1.2 振动的研究问题1.2.2 参数识别（parameters identification）n 已知系统输入和输出，确定系统参数。n如：需要对某汽车中一些复杂的结构（部件）确定参数。n（1）汽车轮胎n（2）汽车车架的整体刚度等。1.2 振动的研究问题1.2.3 环境识别（environment identification）n 已知系统参数和输出，确定系统输入。n如：需要确定何种路面对汽车某部件（如车轴）的振动损伤最厉害，从而针对不同环境使用不同的部件。1.3 振动的研究方法确定性系统+随机激励 随机响应（1）对确定性系统进行研究（2）对输入、输出（信号）进行研究1.3.1 系统建

7、模n 明确系统结构组成，将系统简化，用数学关系式把输入和输出表示出来。一、机械系统的建模一、机械系统的建模 （微分方程）（微分方程）1 1、机械平动系统、机械平动系统 平动即直线运动，其主要元件为质量、弹簧、平动即直线运动，其主要元件为质量、弹簧、阻尼器。阻尼器。机械系统分为机械系统分为平动平动系统和系统和旋转旋转系统，其数学模系统，其数学模型的建立主要应用牛顿定理来列写。型的建立主要应用牛顿定理来列写。dttxdmmatf22)()(mf(t)x(t)质量质量Kx2(t)x1(t)f(t)弹簧弹簧dttdxdttdxCtf)()()(21)()()(21txtxKtfCx2(t)x1(t)f

8、(t)阻尼器阻尼器预预备备知知识识图图2-1 2-1 机械移动系统机械移动系统XXCC解：取解：取f(t)为输入量为输入量, x(t)为输出量为输出量22( )( )( )( )d x tdx tmCKx tf tdtdt22( )( )( )( ) Kfd x tf tftf tmdt( )( )KftKx t( ) ( )fdx tf tCdtXC注：注：1、受力分析时分割点选择在蓄能器的两端；、受力分析时分割点选择在蓄能器的两端；2、可假定为输出（位移、速度、加速度）与输入的方向相同，大小小于输入的大小。、可假定为输出（位移、速度、加速度）与输入的方向相同，大小小于输入的大小。2 2、机

9、械旋转系统、机械旋转系统 旋转机械系统用途极其广泛，其建模方法旋转机械系统用途极其广泛，其建模方法与平移系统非常相似。只是将平移的质量、弹与平移系统非常相似。只是将平移的质量、弹簧、阻尼器分别变成了转动惯量、扭转弹簧和簧、阻尼器分别变成了转动惯量、扭转弹簧和旋转阻尼。旋转阻尼。BJ J-粘性液体图 机械旋转系统KJ JJT例：下图为在扭矩例：下图为在扭矩T T作用下的机械转动系统，包含有惯量、扭转作用下的机械转动系统，包含有惯量、扭转弹簧、回转粘性阻尼。试写出其微分方程。其中转动惯量为弹簧、回转粘性阻尼。试写出其微分方程。其中转动惯量为J J，转角为转角为，回转粘性阻尼系数为，回转粘性阻尼系数

10、为B BJ J ，扭转弹簧刚度为，扭转弹簧刚度为K KJ J 。22kBkJBJdJTTTd tTkdTBd t 消去中间变量，整理得微分方程：( )( )JJJtBtkT 解：二、建立微分方程模型的步骤：二、建立微分方程模型的步骤：n 分析系统的工作原理，分析系统的工作原理，确定输入量和输出量确定输入量和输出量； n 将系统分解为各环节，建立将系统分解为各环节，建立各环节输入量、输各环节输入量、输 出量之间的动态联系出量之间的动态联系。n 消去中间变量消去中间变量，求出系统的微分方程。，求出系统的微分方程。n 标准化微分方程标准化微分方程。输入量输入量右右端，输出端，输出左左端；端； 降幂排

11、列。降幂排列。作业1： 推导汽车的二自由度模型 为悬挂质量（车身质量）， 为非悬挂质量（车轮质量）， 为悬挂刚度， 悬挂阻尼系数， 为车轮刚度mtmktkcmtmkctkztzqmtmkctkztzq2222()() ()()() ttttttttd zk zzc zzmdtd zk qzk zzc zzmdt具体受力分析图见黑板，比较教材上1-6.1.3 振动的研究方法确定性系统+随机激励 随机响应（1）对确定性系统进行研究（2）对输入、输出（信号）进行研究1.3.1 振动分析中常见信号及处理方法（1）常见信号n周期信号可以看作一均值（阶跃信号）与一系列谐波（基波角频率的整数倍）线性之和-谐

12、波分析法确定性系统+随机激励 随机响应确定性系统+随机激励 随机响应确定性系统+随机激励 随机响应确定性系统+随机激励 随机响应1.3.1 振动分析中常见信号及处理方法（1）周期信号谐波信号)sincos()(0100tnbtnaatxnnn220)(1TTdttxTa 220cos)(2TTntdtntxTa 220sin)(2TTntdtntxTb 式中 -周期； -基频, 。002T1.3.2 振动分析中常见信号及处理方法（1）周期信号方波信号 奇函数：00naa 为偶数为奇数nnnAnnAttnATttntxTbTTTn04cos12dsin4dsin)(2200220 t 的偶函数

13、t x(t) -A A T 非对称周期方波 周期方波 1.3.1 振动分析中常见信号及处理方法（1）周期信号三角波信号1.3.1 振动分析中常见信号及处理方法（2）非周期信号阶跃信号与脉冲信号上述信号中如：则为阶跃信号，阶跃信号求导，则为脉冲信号。000nnaab1.3.1 振动分析中常见信号及处理方法（3）随机信号（random signal）1.3.2 随机信号的处理方法n随机信号的共同特征是激励和响应事先不能用时间的确定函数描述。这种具有不确定性的振动过程称作随机振动。n随机振动虽不具有确定性，但仍可利用统计的方法研究其规律性。n总结：通过处理，找信号中的必然性结果。（如何找？概率）n处

14、理方法：n1、幅值分析（amplitude analysis）n计算均值、方差等。n如分析汽车在路上行驶时的振动幅度。1.3.2 随机信号的处理方法n2、频域分析（frequency analysis）n通过傅里叶变换等，分析振动的频率特性。n如分析汽车在路上行驶时的共振频率、平顺性相关频率等。n3、相关分析（correlation analysis）n用自相关、互相关分析两个物理量之间的关系。n如评判两段信号之间的相关性，从而确定一段信号能否和另一段信号同样适用。第2章 随机变量的分布及数字特征n随机振动的研究内容是分析系统受到随机激励时系统响应的统计特性。n对某振动运动，其规律显示出相当的

15、随机性而不能用确定性的函数来表达，使得只能用概率和统计的方法来描述，这种振动被称为随机振动。 随机激励 确定性系统 随机响应第2章 随机变量的分布及数字特征（2）引入随机变量的目的：）引入随机变量的目的：用随机变量的取值范围表示随机事件，利用高等数用随机变量的取值范围表示随机事件，利用高等数学的工具研究随机现象。学的工具研究随机现象。2.1.1 随机变量的表示：随机变量的表示：常用字母常用字母X,Y,Z，.表示表示; 2.1 随机变量及其分布（随机过程基础）随机变量的取值具有一定的概率随机变量的取值具有一定的概率：如扔骰子。(4)随机变量的类型：随机变量的类型： 这两种类型的随机变量因其取值方

16、式的不同这两种类型的随机变量因其取值方式的不同各有特点，学习时注意它们各自的特点及描述方各有特点，学习时注意它们各自的特点及描述方式的不同。式的不同。具有随机性具有随机性:在一次试验之前不知道它取哪一个在一次试验之前不知道它取哪一个值，但事先知道它全部可能的取值。值，但事先知道它全部可能的取值。 随机变量的特点随机变量的特点:离散型与连续型随机变量离散型与连续型随机变量。2.1 随机变量及其分布（随机过程基础）2.1.2 随机变量的概率分布函数对于一个随机试验，我们关心下列两件事情： （1）试验会发生一些什么事件？（2）每个事件发生的概率是多大？ 引入随机变量后, 上述说法相应变为下列表述方式

17、： （1）随机变量X可能取哪些值？（2）随机变量X取某个值的概率是多大？ 对一个随机变量X，若给出了以上两条，我们就说给出了随机变量X的概率分布(也称分布律）。 如果随机变量如果随机变量X X所有可能的取值是有限个或无所有可能的取值是有限个或无穷可列个，则穷可列个，则称称X X为离散型随机变量。为离散型随机变量。2.1.2 随机变量的概率分布函数随机变量的概率分布函数一、离散型随机变量的离散型随机变量的2.离散型随机变量离散型随机变量的分布律的分布律 要掌握一个离散型随机变量的分布律，必须要掌握一个离散型随机变量的分布律，必须且只需知道以下两点：且只需知道以下两点： (1) X所有可能的取值所

18、有可能的取值: :(2)(2)X取每个值时的概率取每个值时的概率:, 3 , 2 , 1,)(,21 kpxXPxxxXkkk称称 (1) 式为式为离散型随机变量离散型随机变量X X的分布律的分布律.)1(, 3 , 2 , 1)( kpxXPkk离散型离散型随机变量随机变量X的分布律可用公式法和表格的分布律可用公式法和表格法描述。法描述。1)1)公式法公式法:2)2) 表格法表格法:, 3 , 2 , 1)( kpxXPkk21kpppxxX21X012pk1/42/41/4 例例1：将一枚硬币连掷两次，求将一枚硬币连掷两次，求“正面出现的次正面出现的次数数X ”的分布律。的分布律。解：解：

19、在此试验中，所有可能的结果有：在此试验中，所有可能的结果有：e1=（正，正）；（正，正）；e2=（正，反）；（正，反）；e3=（反，正（反，正) ；e4=（反，反）。（反，反）。于是，正面出现的次数于是，正面出现的次数X ”的分布律：的分布律：离散型随机变量分布律的性质离散型随机变量分布律的性质 例例: 设随机变量设随机变量X的分布律为：的分布律为：1)2, 3 , 2 , 1,0) 1kkkpkp.10, 2 , 1,10)( kakXP试求常数试求常数a. 11101apkk解：由在实际应用中，关心的不是某个变量值的出现概率，而是某个变量值出现在某个区间的概率（发布函数）3 3 （离散型）

20、随机变量的分布函数（离散型）随机变量的分布函数引例：设引例：设X=“掷一颗骰子时掷出的点数掷一颗骰子时掷出的点数”，记，记PX1= F(1）PX2= F(2）PX3= F(3）一般地：对任意的实数一般地：对任意的实数记记, x)()(xFxXP 我们把我们把 称为称为)(xF设设X X为一随机变量为一随机变量, , 为任意实数为任意实数, ,称称为为定义域为：定义域为：值域为：值域为：x)()(xXPxF xa函数函数F(a)的值等于的值等于X的取值落入区间的取值落入区间(-,a内的概率值。如何求？内的概率值。如何求？),( x1 , 0)( xF 3）)()()()()()2(aFbFaXP

21、bXPbXaP )()()1(bFbXP 0（ab)(1)(1)()3(bFbXPbXP )(xF)(xF()( )( )P aXbF bF a()P aXb( )( )()F bF aP Xa()P aXb( )( )()()F bF aP XaP Xb()P aXb( )( )()F bF aP Xb ； 0 0 01 0 0 aFaXaFbFbXaaFaXaFbFbXaaFaFaXaFbFbXaPPPPPP例1：已知随机变量X的分布律为: X 0 1 2 pk 1/4 2/4 1/4)23()23()1( : XPF解解),(),()2( xxF求求.23)(处的值处的值在在 xxF.)

22、,(并作图并作图xF(1)求求X的分布函数的分布函数(2)求求X的分布函数的分布函数43)1()0( XPXP0)()(0 xXPxFx时，时，当当)()(10 xXPxFx 时时，当当)()(21xXPxFx 时时，当当)()(2xXPxFx 时时，当当 2, 121, 4/310, 4/ 10, 0)(xxxxxF41) 0( XP43) 1() 0( XPXP1) 2() 1() 0( XPXPXPP(0 x 1)=F(1)-F(0)=?nP(0 x 1)=F(1)-F(0)+P(x=0)n =3/4-1/4+1/4n =3/4书本例2-1：随机抽取两件产品，没有废品的概率为0.5，一个

23、为废品的概率为0.3，两个均为废品的概率为0.2，求废品率的分布函数。解：依据题意，有因在坐标上可以表示出3个点，将坐标分为4段。所以需求4段上的分布函数。则其分布函数 01200.510.320.2P xpP xpP xp则其分布函数 000.501( )0.81212xxF xP Xxxx 例例 在区间在区间 0，a 上任意投掷一个质点，以上任意投掷一个质点，以 X 表示这个质表示这个质点的坐标点的坐标. 设这个质点落在设这个质点落在0, a中任意小区间内的概率与这中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比个小区间的长度成正比，试求，试求 X 的分布函数的分布函数.设设 F(x) 为为

24、X 的分布函数，的分布函数，当当 x a 时，时，F(x) =1 解：解： 例例 在区间在区间 0，a 上任意投掷一个质点，以上任意投掷一个质点，以 X 表示这个质表示这个质点的坐标点的坐标. 设这个质点落在设这个质点落在0, a中任意小区间内的概率与这中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比个小区间的长度成正比，试求，试求 X 的分布函数的分布函数. 例例 在区间在区间 0，a 上任意投掷一个质点，以上任意投掷一个质点，以 X 表示这个质表示这个质点的坐标点的坐标. 设这个质点落在设这个质点落在0, a中任意小区间内的概率与这中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比个小区间的长度成正

25、比，试求，试求 X 的分布函数的分布函数.当当 0 x a 时，时， P(0 X x) = kx (k为常数为常数 ) 由于由于 P(0 X a) = 1 ka=1，k =1/a0a F(x) = P(X x) = P(X0) + P(0 X x)=x / a设设 F(x) 为为 X 的分布函数，的分布函数，解解: 例例 在区间在区间 0，a 上任意投掷一个质点，以上任意投掷一个质点，以 X 表示这个质表示这个质点的坐标点的坐标. 设这个质点落在设这个质点落在0, a中任意小区间内的概率与这中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比个小区间的长度成正比，试求，试求 X 的分布函数的分布函数.

26、axaxaxxxF, 10,0, 0)( 这就是在区间这就是在区间 0，a上服从均匀分布上服从均匀分布的随机变量的分布函数的随机变量的分布函数. 是右连续函数，即是右连续函数，即0)(lim)( xFFx是一个单调不减函数是一个单调不减函数且且, 1)(0)2( xF)() 1 (xF)()3(xF1)(lim)( xFFx)()(lim0 xFxFxx 右连续可理解为数对应的值与其靠右数对应的值同。 试说明试说明F(x)能否作为某个随机变量能否作为某个随机变量X的的分布函数分布函数其他, 00,sin)(xxxF例：例：设有函数设有函数求求: (1) 常数常数A，B的值；的值； (2) P(

27、0X1)例例2：设随机变量设随机变量X的分布函数为：的分布函数为：xBarctgxAxF,)( 1)(0)()1(FF由性质由性质解：解： 1)2(0)2( BABA 121BA)0()1()10()2(FFXP 41 0,10,0)()(xxxxxFC例例3:下列函数中可作为随机变量分布函数的是下列函数中可作为随机变量分布函数的是 ( )arctgxxFBxxFA2143)()(11)()(212)()(arctgxxFD10)()(FA 说明：021)()(FB 12)()(FD ) 0()(lim)1)(, 0)()()(00FxFiiiFFiixFiCx单增为正确答案易证C2.2 （连

28、续型）随机变量概率密度函数n在一个产品设计中，如果需要知道随机变量的一个界限值（如最大或最小），则知道其分布函数就可以了。n例：研究汽车平顺性时，只要保证（汽车在路面行驶时）座椅的垂向振幅小于某个值的概率不大于90%就可以了。这时候知道分布函数就可以了。n在一个产品设计中，如需要知道随机变量在不同区间时概率大小，则需要知道概率密度函数。n例：要改善平顺性，需知道振幅所在的最密集区间。2.2.1连续型随机变量及其概率密度定义： 对于随机变量X的分布函数 若存在 非负的函数 使对于任意实数 有： ( ),f x()( )( )xP XxF xf t dt( ),F x, x( )f x其中 称为X

29、的概率密度函数，简称概率密度概率密度。 则称X为连续型随机变量， 连续型随机变量的取值充满一个区间，对这种类型的随机变量主要用概率密度描述。 与物理学中的质量线密度的定义相类似()( )P xXxxfxx00()( )()( )( )xxF xxF xP xXxxf xF xlimlimxx( )f x 的性质：1) ( )0f x +2) ( )1f x dx2112211221 () ( ) ( )( )xxxx xxP xXxf t dtF xF x3) 对于任意的实数 ，4) ( ) ( )( )f xx F xf x在连续点 ，( )f x即在的连续点( )f xXx表示 落在点 附

30、近的概率的多少( )yf x1面积为1x2x12 P xXx5）连续型随机变量连续型随机变量X取任一实数的概率值取任一实数的概率值为零为零.)(0)(:为任一实数即aaXP注意注意: 5)表明求表明求连续型随机变量连续型随机变量落在一个落在一个区间上的概率值时，不必考虑区间端点的区间上的概率值时，不必考虑区间端点的情况。即情况。即)()()(bXaPbXaPbXaP例例1、已知连续型随机变量已知连续型随机变量X的分布函数为：的分布函数为：1, 110,0, 0)(2xxxxxF求求(1) P(0. 3 X 0.7) ; (2)X的概率密度的概率密度f(x).)7 . 03 . 0() 1 (

31、XP解：4 . 0)3 . 0()7 . 0(FF)()()2(xFxf其它, 010,2xx2.2.2概率密度、分布函数和概率之间的关系 例：设X的概率密度为 (1)求常数c的值； (2) 写出X的概率分布函数； (3) 要使 求k的值。 解：2()3P Xk， 01( )2 9 360 cxf xx其他 1( )f t dt1 ( )( )xF xP Xxf t dt2160329cdtdt23c13c010103 0 01 0131 13312 3639 1 6xxxdtxdtxdtdtxx000101013013 0 010 013100 1331200 3639 1 xxxxdtxd

32、tdtxdtdtdtxdtdtdtdtx 6x0 1 3 6 2 ()( )4.53P XkF kk3 使0 03 011 3 13(23)/9 361 6xxxxxxx几个重要的连续量（参考内容，不讲） 均匀分布 定义：X具有概率密度 称X在区间(a,b)上服从均匀分布均匀分布， 记为XU(a,b) 1()c lcacclblP cXcldtcbaba 设 -与 无关0 ( ) 1 xaxaF xaxbbaxb1 ( , )( )0 xa bf xba其他 f x0bxa1b a F x0bxa1例例1 1 某站点从某站点从8 8点到点到1010点有一班车随机到达点有一班车随机到达, , 一

33、一乘客乘客9 9点到达车站。问他能坐上该班车的概率。点到达车站。问他能坐上该班车的概率。)9(XP9)(dxxf乘客乘客9点到达能坐上班车的概率为点到达能坐上班车的概率为:2121109dx解：设解：设X X班车到达车站的时刻，班车到达车站的时刻，则则XU（8，10）, 故故2.2.3 随机变量的函数分布问题：已知随机变量X的概率分布， 且已知Y=g(X)，求Y的概率分布。一维随机变量函数的分布一维随机变量函数的分布1. X离散离散,:)(21kyyyXgY离散离散 )()(kkyXgPyYP )(关键关键反解反解GX )(GXP miiixxxG,21 如如加法加法使使 对应的对应的X的那些

34、可能值的那些可能值,其概率之和其概率之和kyXg )(1)先求出先求出Y的分布函数与的分布函数与X的分布函数之间的关系：的分布函数之间的关系：)()Y()(yXgPyPyFY)()(11ygFygXPX (2)再两边同时对再两边同时对y求导数求导数yXYygygfyf) )()()(11）的的一一般般步步骤骤是是：（则则求求的的概概率率密密度度为为：设设yfXgYxfXY),(),( 小小结结 X连续连续 1.当当X、Y为单值对应时为单值对应时例：设 Y=2X,Z=X2,求Y,Z的概率分布。13X-110p131323Z01p1313Y-220p1313解：Y的可能取值为-2,0,2 Z的可能

35、取值为0,1(Y=-2)的等价事件为(X=-1)(Z=1)的等价事件为(X=1)(X=-1)故得：例： 2( ) ( )YXf xxYXYfy 设 的概率密度为，求 的概率密度( )YYFy解：设 的概率分布函数为 0( )YyFy当时，()P Yy2()P Xy( )yyf t dt00( )( )yyf t dtf t dt( )( )YYfyFy1 ()(), 02 0 , 0fyfyyyy 0( )YyFy当时，()0P Yy( ),( )0 ( )0)() XXfxxg xg xYg XY 定理：设，或。， 则 具有概率密度为：( ( )( ) , ( ) 0, XYfh yh yy

36、fy其他min( (),() max( (),()( )( )ggggh yxyg x其中，( )0,g x 证明：不妨设( )0h y 且：( )( ( ) ( )( ( )( )YXXfyfh y h yfh yh y( )0 g x 同理可证：当时，定理为真xh(y),yy0y=g(x)y g x则为单调增函数, ( )()( ()()0YyFyP YyP g XyP X 当时，； y当时，( )1YFy ； y当时，( )()YFyP Yy( ()P g Xy( )P Xh y( )( )h yXft dt( ),( )0,( )0 ( )0)() ( ( )( ) , ( ) 0,

37、min( ( ), ( ) max( ( ), ( )( )( )XXYXfxx f xa bxa bg xg xYg XYfh yh yyfyg a g bg a g bh yxyg x推论：设当时或。， 则 具有概率密度为：其他其中，3, 04( ) ( )80, YxxXf xYXfy。若， 求 其他3( ) yg xx，131, 064( )24 0 , Yyyfy其他13 ( )xyh y2( )30g xx ，21331( )()3YXfyyfy例： 解： 1 2,0,1XF xXF xYF XYU例：设 服从参数为 的指数分布，为 的分布函数。求；设试证即均匀分布 。 ,01 0

38、 , 0 xexXf xx解：由前知, 1,0 0 ,0 xexF xx 1,02 0 ,0XeXYF XX 01Y YFyY记为 的概率分布函数, 00YyFyP Yy当时， 11YyFyP Yy当时， 011XYyFyPey当时，1XP ey 11P Xlny 0, 0 , 01 , 0,11, 1YyFyyyYUy即111lnyey n例：设有一正弦函数x(t)=x0sinwt。若随机任选一时间t，且时间t的选取是等可能的，求其（正弦函数值）概率密度函数p(x)和分布函数F(x)。n解法一：将x(t)=x0sinwt在一个周期内进行（单调）区间划分，按上述步骤进行求解。n解：在一个周期（

39、0，T）内，即000000000( )Y sinsin330arcsin arcsin2arcsin 2213113arcsin(arcsin) (2arcsin)24 22411arcsin2YF yPyP xtxxPtxxxxPtPtPtxxxxxxxxxxx000(0,2 )sin(,)txxtx x 2201( )( )YYpyFyxx解：在一个周期（0，T）内，即000000000( )Ysinsin330arcsinarcsin2arcsin2213113arcsin(arcsin)(2)2422211arcsin2( )YsinarcsinYYFyPyP xtxxPtxxxxPt

40、PtPtxxxxxxxxxFyPyP xtxxP0002arcsin11arcsin2xtxxxx000(0,2 )sin(,)txxtx x n解法二：在一个周期（0，T）内，x(t)落在（x,x+dx）所占有的时间为2dt，概率为n所以，有2( )( ) ( ) ( )()( )( )( )dtP xx txdtTP xx txdtP x txdxP x txF xdxF xF xdxp xdx2( )dtp xTdxn解法二：因n得n又n得0220020022200022000sincos1 sin1 ( /)cos22( )1 ( /)2/211( )1 ( /)1( )( )sin

41、,cosxxxxtttx xdxxtdtdtp xTdxTxx xTdtp xTdxxx xxxF xp x dxdxxxxxt dxxtdt 例：已知求解：00sin ,cosxxt dxxtdt0arcsin(/ )0/2111( )arcsin(/ )2xxF xdtxx令则( )cos (0)4p xAxx,( )A F x/4/4000()( )cossin/ 412( )2cos2sinxFp x dxAxdxAAF xxdxx 2.3 随机变量的数字特征n在一个产品设计中，如果已知道某随机变量的分布函数和概率密度函数。如还要整体评价该随机变量表现出的特征如何，则需研究随机变量的数

42、字特征：数学期望、方差等。q在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的是平均产量；q 在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的偏离程度；q 考察居民的家庭收入情况，我们既知 家庭的年平均收入，又要研究贫富之间的差异程度；n要评价整体垂向振动量的大小。2.3.1 根据概率密度计算数字特征（1）已经统计了随机变量的概率，在概率的基础上可以计算分布函数、概率密度等。（2）在上述基础上进行数字特征计算。1 1 数学期望数学期望 例例1 1：甲、乙两人射击比赛，各射击：甲、乙两人射击比赛，各射击100100次，其中甲、乙的成绩次，其中甲、乙的成绩 如下：如下： 评定他

43、们的成绩好坏。评定他们的成绩好坏。8 109 80 10 1010801089109100100100100 甲次数1080108910乙次数20651589108 209 65 10 1520651589108.95100100100100 1080108910100100100对于甲来说,、分别是 环、环、 环的概率；2065158910100100100对于乙来说,、分别是 环、环、 环的概率；数学若用期望它们相应的概率表示，就得到了，也称为均值(加权均值)。 解：计算甲的平均成绩： 计算乙的平均成绩： 所以甲的成绩好于乙的成绩。定义：定义：定义：定义：111() 1,2,kkkkkkk

44、kkkkXP Xxpkx pXE Xx pE Xx p绝对收设离散型随机变量 的分布律为：若级数则称级数的和为随机变量的，数学期记望为即 敛， , 0, D(Y)0, 的的协协方方差差),(Cov YX, ,称称为为X与与Y的的相相关关系系数数, , 记记为为XY , ,即即 ),(Cov YXXY 计算公式：计算公式：)(D)(D),(CovYXYXXY 1| XY 性质性质1 1证证),(Cov2)(D)(D)(D YXYXYXXY 22 ，0 ，11 XY .1| XY 即即得得性质性质2若若bXaY ，则则1 XY , )(E)(EXbaY , )(D)(D2XbY )(E)(EbXa

45、XXY 证证, )(E)(E2XbXa )0( b相关系数的性质：相关系数的性质：性质性质2若若bXaY ，则则1 XY , )(E)(EXbaY , )(D)(D2XbY )(E)(EbXaXXY 证证, )(E)(E2XbXa )(D)(D),(CovYXYXXY )(D)(D)(E )(E)(EYXYXXY )(D)(D)(E)(E)(E)(E22XbXXbaXXbXa bXXXb )(D)(E)(E22 0 10 1 bbbb)0( b 相关系数是随机变量之间相关系数是随机变量之间线性关系线性关系强弱的一个强弱的一个度量度量(参见如下的示意图参见如下的示意图).1 XY XY1 XY

46、XY10 XY 01 XY XY| |的值越接近于的值越接近于1, Y与与X的线性相关程度越高的线性相关程度越高; | |的值越接近于的值越接近于0, Y与与X的线性相关程度越弱的线性相关程度越弱. 4.3 4.3 随机变量的线性相关性随机变量的线性相关性定义定义如如果果0 XY ，称称X与与Y不不相相关关。 下列事实彼此等价：下列事实彼此等价： (1) X与与Y不不相相关关( (即即0 XY ) )； ；）（0),(Cov 2 YX；）（)(E)(E)(E 3YXXY . )(D)(D)(D 4YXYX ）（若若X与与Y 相互独立，则相互独立，则X与与Y 不相关。不相关。 定理定理注意：注意

47、：(2) (2) 在在正态分布正态分布的场合的场合, ,独立性与不相关性是一致的。独立性与不相关性是一致的。 (1) (1) 逆命题不成立逆命题不成立, ,即即X与与Y 不相关时不相关时, ,不一定独立不一定独立. . 二维正态分布二维正态分布. ),(),(22212 1NYX),(yxf221121 2222212121212)(2)(2)()1(21e yyxx前面已证前面已证: : X, ,Y 相互独立相互独立.0 可以计算得可以计算得. XY 于是，对二维正态随机变量于是，对二维正态随机变量( (X, ,Y ) )来说来说, , X和和Y 不相关与不相关与X和和Y 相互独立是等价的相

48、互独立是等价的. .4.4 相关函数和自相关函数n4.4 .1自相关函数n自相关函数反映了随机过程在两个不同时刻取值的依赖性。一般来说，间隔越大，相关性越小。相关程度越高，说明过程越平稳，该随机变量出现的程度（概率）越高。( ,)( ( ) ()xR t tE x t x t补充：平稳随机过程的相关时间相关时间1904.4.2 自相关函数的性质： 自相关函数是偶函数 xxRE X t X tE X tX tR 周期平稳过程的自相关函数也是周期函数， 其周期与过程的周期相同。 xxRTE X t X tTE X t X tR=0时的自相关函数就是均方值 20 xxxRE X t X tRE X t X t191 如果随机过程不是周期过程，则： 22222222 01000 xxxxxxxxxxxxxxCRRRR 时，随机变量与它自身是完全相关的时，两个随机变量之间将不再相关 前提：不是周期函数若，则 2limxxR192 自相关函