函数的最大(小)值与导数学习教案

1、会计学1函数函数(hnsh)的最大的最大(小小)值与导数值与导数第一页，共27页。aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf (x)0f (x)0复习复习:一、函数单调一、函数单调(dndio)性与导数关系性与导数关系如果在某个区间内恒有如果在某个区间内恒有 ,则则 为常数为常数.0)( xf)(xf设函数设函数y=f(x) 在在 某个某个(mu )区间区间 内可内可导，导，f(x)为为增函数增函数f(x)为减函数为减函数(hnsh)第1页/共26页第二页，共27页。二、函数二、函数(hnsh)的极值定的极值定义义设函数设函数f(x)在点在点x0附近附近(fjn)有定义，有定义，如果如果(

2、rgu)对对X0附近的所有点，都有附近的所有点，都有f(x)f(x0), 则则f(x0) 是函数是函数f(x)的一个极小值，记作的一个极小值，记作y极小值极小值= f(x0)；oxyoxy0 x0 x函数的函数的极大值极大值与与极小值极小值统称统称 为为极值极值. 使函数取得极值的点使函数取得极值的点x0称为称为极值点极值点第2页/共26页第三页，共27页。xoyax1b y=f(x)x2x3x4x5x6观察(gunch)下列图形,你能找出函数的极值吗？135( ), ( ), ( )f xf xf x观察图象，我们发现， 是函数y=f(x)的极小值， 是函数y=f(x)的 极大值。246(

3、), ( ), ( )f xf xf x第3页/共26页第四页，共27页。左正右负极大值，左正右负极大值，左负右正极小值左负右正极小值第4页/共26页第五页，共27页。 在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，常在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，常常遇到如何能使用料最省、产量最高，效益最大等问题常遇到如何能使用料最省、产量最高，效益最大等问题，这些，这些(zhxi)问题的解决常常可转化为求一个函数的问题的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小值问题最大值和最小值问题 函数在什么条件下一定有最大、最小值？他们函数在什么条件下一定有最大、最小值？他们(t men)与函数极值关系如何？与

4、函数极值关系如何？新新 课课 引引 入入 极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数(hnsh)(hnsh)值与它附近点的函数值与它附近点的函数(hnsh)(hnsh)值比较是最大或值比较是最大或最小最小, ,并不意味着它在函数并不意味着它在函数(hnsh)(hnsh)的整个的定义域内最的整个的定义域内最大或最小。大或最小。第5页/共26页第六页，共27页。知识知识(zh shi)回顾回顾 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果，如果(rgu)存在实数存在实数M满足：满足： 1最大值最大值: : （1）对于）对于(duy)任意

5、的任意的xI，都有，都有f(x)M; （2）存在）存在x0I，使得，使得f(x0) = M那么，称那么，称M是函数是函数y=f(x)的的最大值最大值 2最小值最小值: 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果存在实数，如果存在实数M满足：满足： （1）对于任意的）对于任意的xI，都有，都有f(x)M; （2）存在）存在x0I，使得，使得f(x0) = M那么，称那么，称M是函数是函数y=f(x)的的最小值最小值 第6页/共26页第七页，共27页。观察下列图形(txng),你能找出函数的最值吗？xoyax1b y=f(x)x2x3x4x5x6xoyax1b y=f(x

6、)x2x3x4x5x6在开区间内在开区间内的连续函数的连续函数不一定不一定(ydng)有最有最大值与最小大值与最小值值. 在闭区间在闭区间(q jin)(q jin)上上的连续函数的连续函数必有最大值必有最大值与最小值与最小值因此：该函数没因此：该函数没有最值。有最值。f(x)max=f(a), f(x)min=f(x3)第7页/共26页第八页，共27页。xoyax1b y=f(x)x2x3x4x5x6如何如何(rh)求出函数在求出函数在a,b上的最值？上的最值？一般的如果在区间，一般的如果在区间，a,b上函数上函数y=f(x)的的图象是一条连续不断的曲线图象是一条连续不断的曲线(qxin)，

7、那，那么它必有最大值和最小值。么它必有最大值和最小值。第8页/共26页第九页，共27页。 观察右边一个观察右边一个(y )定义定义在区间在区间a,b上的函数上的函数y=f(x)的图象：的图象：发现图中发现图中_是极小值，是极小值，_是极是极大值，在区间上的函数的最大值是大值，在区间上的函数的最大值是_，最小值，最小值是是_。f(x1)、f(x3)f(x2)f(b)f(x3) 问题问题(wnt)在于如果在没有给出函数图象的情况下，在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出怎样才能判断出f(x3)是最小值，而是最小值，而f(b)是最大值呢？是最大值呢？ x xX X2 2o oa aX X

8、3 3b bx x1 1y yy=f(x)第9页/共26页第十页，共27页。 (2) 将将y=f(x)的各极值与的各极值与f(a)、f(b)(端点处端点处) 比较比较(bjio),其中最大的一个为最大值，最其中最大的一个为最大值，最小的小的 一个最小值一个最小值. 求求f(x)在闭区间在闭区间(q jin)a,b上的最值的步骤：上的最值的步骤：(1) 求求f(x)在区间在区间(q jin)(a,b)内极值内极值(极大值或极小值极大值或极小值)； 新授课新授课注意注意:1.在定义域内在定义域内, 最值唯一最值唯一;极值不唯一极值不唯一2.最大值一定比最小值大最大值一定比最小值大.第10页/共26

9、页第十一页，共27页。求函数的最值时求函数的最值时,应注意应注意(zh y)以下以下几点几点:(1)函数的极值是在局部函数的极值是在局部(jb)范围内讨论问题范围内讨论问题,是一个局部是一个局部(jb)概念概念,而函数的最值是对整个定义域而言而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论问是在整体范围内讨论问题题,是一个整体性的概念是一个整体性的概念.(2)闭区间闭区间a,b上的连续函数一定上的连续函数一定(ydng)有最值有最值.开区间开区间(a,b)内的可导函数不一定内的可导函数不一定(ydng)有最值有最值,但若有唯一的极但若有唯一的极值值,则此极值必是函数的最值则此极值必是函数的最

10、值.(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个, 而函数的而函数的极值则可能不止一个极值则可能不止一个,也可能没有极值也可能没有极值,并且极大值并且极大值(极小值极小值)不一定不一定就是最大值就是最大值(最小值最小值).第11页/共26页第十二页，共27页。题型：求函数的最大值和最小值题型：求函数的最大值和最小值1、求出所有、求出所有(suyu)导数为导数为0的点；的点；2、计算、计算(j sun)；3、比较、比较(bjio)确定最值。确定最值。第12页/共26页第十三页，共27页。例例2:求函数求函数y=x4-2x2+5在区间在区间(q j

11、in)-2,2上的最大上的最大值与最小值值与最小值.解解:.443xxy 令令 ,解得解得x=-1,0,1.0 y当当x变化时变化时, 的变化情况如下表的变化情况如下表:yy , x-2(-2,-1) -1 (-1,0) 0(0,1)1 (1,2) 2y -0 +0 -0 +y13 4 5 4 13从上表从上表(shn bio)可知可知,最大值是最大值是13,最最小值是小值是4.题型：求函数的最大值和最小值题型：求函数的最大值和最小值第13页/共26页第十四页，共27页。练习练习(linx)：函数：函数 y = x + 3 x9x在在 4 , 4 上的上的最大值为最大值为 ,最小值为最小值为

12、.分析分析(fnx): (1) 由由 f (x)=3x +6x9=0,(2) 区间区间4 , 4 端点端点(dun din)处的函数值为处的函数值为 f (4) =20 , f (4) =76得得x1=3，x2=1 函数值为函数值为f (3)=27, f (1)=576-5当当x变化时，变化时，y 、 y的变化情况如下表：的变化情况如下表：x-4(-4,-3)-3(-3,1)1(1,4)4y+0-0+0y2027-576比较以上各函数值，可知函数在比较以上各函数值，可知函数在4 , 4 上的最大值上的最大值为为 f (4) =76，最小值为，最小值为 f (1)=5第14页/共26页第十五页，

13、共27页。练习练习(linx)：求下列函数在给定求下列函数在给定(i dn)区间上的最大值与最小值：区间上的最大值与最小值：54-5422-102-18aa-40第15页/共26页第十六页，共27页。典型典型(dinxng)例题例题反思：本题反思：本题(bnt)属于逆向探究题型：属于逆向探究题型： 其基本方法最终落脚到比较极值与端点函数值大小上，从其基本方法最终落脚到比较极值与端点函数值大小上，从而解决问题，往往伴随有分类讨论。而解决问题，往往伴随有分类讨论。 第16页/共26页第十七页，共27页。拓展拓展(tu zhn)提高提高1、我们、我们(w men)知道，如果在闭区间【知道，如果在闭区

14、间【a，b】上函数】上函数y=f（x）的图像是一条连续不断的曲线，那么它必定有最大值）的图像是一条连续不断的曲线，那么它必定有最大值和最小值；那么把闭区间【和最小值；那么把闭区间【a，b】换成开区间（】换成开区间（a,b）是否）是否一定有最值呢？一定有最值呢？ 如下图：如下图：不一定不一定(ydng)2、函数、函数f(x)有一个极值点时，极值点必定是最值点。有一个极值点时，极值点必定是最值点。 3、 如果函数如果函数f(x)在开区间（在开区间（a,b）上只有一个极值点，那么这）上只有一个极值点，那么这个极值点必定是最值点。个极值点必定是最值点。第17页/共26页第十八页，共27页。有两个极值点

15、时，函数有两个极值点时，函数(hnsh)有无最值情况不定。有无最值情况不定。第18页/共26页第十九页，共27页。动手动手(dng shu)试试试试第19页/共26页第二十页，共27页。4、函数、函数(hnsh)y=x3-3x2，在，在2，4上的最大值为上的最大值为（ )(A) -4 (B) 0 (C) 16 (D) 20C C第20页/共26页第二十一页，共27页。1. 求函数求函数f(x)=x2-4x+6在区间在区间(q jin)1，5内的极值与内的极值与最值最值 故函数故函数(hnsh)f(x) 在区间在区间1，5内的极小值为内的极小值为3，最大，最大值为值为11，最小值为，最小值为2

16、解法解法(ji f)二二:f (x)=2x-4令令f (x)=0，即，即2x-4=0，得得x=2x1（1，2）2（2，5）5y，0y-+3112选做题：解法一解法一:将二次函数将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用二次函数配方，利用二次函数单调性处理单调性处理第21页/共26页第二十二页，共27页。2 2、 323432解令解得x0(0, ) ( , )+-+00 ( , )0第22页/共26页第二十三页，共27页。 应用应用( 2009年天津(tin jn)（文）21T )处的切线的斜率；设函数 其中 ,131223Rxxmxxxf. 0m（1）当 时，求曲线 在点 1m xfy 1,

17、 1 f（2）求函数 的单调区间与极值。 xf答:（1）斜率(xil)为1;(2)第23页/共26页第二十四页，共27页。（0404浙江文浙江文2121）（本题满分）（本题满分1212分）分）已知已知a a为实数，为实数，（）求导数）求导数 ；（）若）若 ，求，求 在在-2-2，22上的上的最大值和最小值；最大值和最小值；（）若）若 在（在（-，-2-2和和22，+）上都）上都是递增的，求是递增的，求a a的取值范围。的取值范围。)(4()(2axxxf )(xf 0)1( f)(xf)(xf第24页/共26页第二十五页，共27页。一一. .是利用函数是利用函数(hnsh)(hnsh)性性质质二二. .是利用不等式是利用不等式三三. .是利用导数是利用导数 求函数最值的一般求函数最值的一般(ybn)方