数字信号处理习题1

1、 习题习题1.1序列序列x(n)示意如图示意如图T1-1,请用各延迟单位脉冲序列的请用各延迟单位脉冲序列的幅度加权和表示幅度加权和表示012332-4 -3 -2-14 56-2-1X(n)3(2) 1(3)()3(2)(nnnnnx解：1.4已知人的脑电波的频率范围是已知人的脑电波的频率范围是045Hz，对其进行，对其进行数字处理的最大采样周期是多少？数字处理的最大采样周期是多少？解：脑电波的频率范围解：脑电波的频率范围045Hz , 所以所以 由采样定理：由采样定理： 所以最大采样周期：所以最大采样周期：Hzfc45Hzffcs902sfTs01111. 090111.5一频谱从直流到一频

2、谱从直流到100Hz的连续时间信号延续的连续时间信号延续2分钟，为分钟，为了进行计算机处理，需将此信号转换为离散形式，试求了进行计算机处理，需将此信号转换为离散形式，试求最小的理想采样点数。最小的理想采样点数。解：信号时域总记录时间： 信号频域频率范围：f=0100Hz 由采样定理： 所以最少采样点数：)(120602sTpssfTff12点24000200120sppfTTTN1.8设一连续时间信号频普包括直流设一连续时间信号频普包括直流,1kHz,2kHz, 和和3kHz 等频率分量，它们的幅度分别为等频率分量，它们的幅度分别为0.5:1:0.5:0.25,相位频谱相位频谱为零。设对该连续

3、信号进行采样的采样率为为零。设对该连续信号进行采样的采样率为10kHz,画出画出经过采样后的离散信号频谱。包括从直流到经过采样后的离散信号频谱。包括从直流到30kHz的所的所有频率分量。有频率分量。分析分析知识点：时域采样，频域周期延拓。知识点：时域采样，频域周期延拓。0 1 2 310.50.50.25f(kHz)(jfa0.510.50.254 5 6 7 8 9100 1 2 310.50.50.25f(kHz)(jfa解：f(t) 的最高频率为100Hz.HzffHzftfcsc6002300)3() 1 (1.9有限频带信号f(t)的最高频率为100Hz，若对下列信号进行时域采样，求

4、最小采样频率.(1) f(3t)(3)f(t)*f(2t）2)()2(tf2)()()4(tftfHzffHzftfcsc4002200)()2(2时域卷积，频域相乘)2()()3(tftfHzffHzfHzfcccc100200100121取最小值Hzffcs2002HzfHzftftfsc400200)()()4(2取频带范围大的，则 1.10有限频带信号 ,式 中， 。 用 的冲激函数序列 进行取样.(1)画出f(t)及采样信号 在频率区间(-10kHz, 10kHz) 的频谱图。 (2)若由 恢复原信号，理想低通滤波器的截止频率应如何选择。)4cos()2cos(25)(11tftft

5、fkHzf11kHzfs5)(tT)(tfscf)(tfs解：)(tfs012-2-15f)(jfF112121幅值相对大小012-2-15f)(jfF11212121212111553467(2)若由 恢复原信号，理想低通滤波器的截止频率：kHzffxc252 1.11有限频带信号)4cos()2cos(25)(11tftftf,式中kHzf11.用Hzfs800的冲激函数序列)(tT进行取样。（请注意)1ffs(1)画出f(t)及采样信号在频率区(-2kHz,2kHz)的频普图。)(tfs(2)若将采样信号)(tfs输入到截止频率,500Hzfc幅度为T的理想低通滤波器，即其频率响应为画出

6、滤波器的输出信号的频普，并求出输出信号y(t). HzfHzfTfjHjH5000500)2()(1.11解：kHzftftftf14cos2cos25)(111注幅值 大小只表示各频率成分的相对大小。012-2-15112121f(kHz)( jF1.13今对三个正弦信号ttxttxttxaaa10cos)(,6cos)(,2cos)(321进行理想采样，采样频率为 试求三个采样输出序列，.8s比较这三个结果，画出 的波形及采样点位置并解释频谱混淆现象。)(),(),(321txtxtxaaa4128ssT解：2cos42cos)()()()(4111nntxnTtnTxnxntnaaa)(

7、2cos23cos46cos)()(14122nxnnntxnxantaa)(2cos25cos)(13nxnnnxaa)()()(321nxnxnxaaa10)(6)(2)(:332211cacacatxtxtx最高频率最高频率最高频率频域1.14一个理想采样系统，如图T1-2所示，采样频率为 8s采样后经理想低通 还原。)( jH4044/1)( jH今有两输入 问输出信号 有没有失真？为什么失真？,5cos)(,2cos)(21ttxttxaa)(),(21tytyaaT)( jH)(txa)(tya)( txacsacsatyty2)(4)(21因为采样频率有失真输出信号因为采样频率无

8、失真输出信号解：1.18判断下列系统的线性和时不变性。mmxnynxnynnxnynxny)()()4()()() 3()6/7/2sin()()()2(3)(2)() 1 (2解: (1)线性:)()(3)(2)(23)()( 2)()(21212121nbynaynbxnaxnbxnaxnbxnaxT时不变性：)(3)(2)(3)(2)()()(00000nnxTnnxnnynnxnnxTnynxT时不变系统。非线性1.19判断下列各系统是否为: ( 1) 稳定系统；(2)因果系统；(3)线性系统。并说明理由。bnaxnxTenxTnnxnxTkxnxTkxnxTngnxngnxTnxnn

9、nnknnk)()()6()()5()()()4()()()3()()()2()();()()() 1 ()(0000有界这里解 : (1)线性 因果 稳定knkximlMnxnn)()()2(0非稳定时）非因果（线性Mnkxkxnnnnknnnnk000002)()()3( 线性非因果稳定1.21讨论一个输入为x(n)和输出为y(n)的系统，系统的输入输出关系由下列两个性质确定： 1)0()2()() 1()() 1 (ynxnayny试问：(1)判断该系统是否为时不变的： (2)判断该系统是否为线性的：(3)假设差粉方程保持不变，但规定y(0)植为零， ( 1)和(2)的答案是否改变?解：

10、判断线性时不变性可通过设输入信号： 来检验；) 1()()(),1()(32nnnxnnx和),()(1nnx)() 1()(1)0(),()() 1 (1111nnaynyynnx)()(1nuanyn可得：) 1() 1()(1)0(),1()()2(2222nnaynyynnx)() 1()1 ()(12nnuaanyn可得：系统时变并结合时变性定义得：比较) 1()()2(),1 (12nyny)1()()1()()(33nTnTnnTny：由情况非线性系统)()()(213nynyny) 1()() 1()(1)0(),1()()()()()3(33213nnnaynyynnnxnx

11、nx)() 1()1 ()(13nnuaanyn可得：0)0(),() 1()()4(ynxanyny若差分方程不变：线性系统时变系统)()()() 1()(21312nynynynyny) 1()1()()() 1()1()()(0)()()(1312211nuannTnynuannxTnynnxTnynn则此时：1.34研究一个线性时不变系统，其脉冲响应h(n)和输入x(n)分别为：（1)直接计算x(n)和h(n)的离散卷积，求输出y(n).(2)把输入和单位脉冲响应的Z变换相乘,计算乘积的Z反变换,求输出y(n).000)(nnanhn解（1）直接卷积1011102110101)1 (1

12、11)()()()()()(NmNNnmnNnnnmnmnNnmNmmnNmmaaaaaaaaaaamnhmnhmxnhnxny其他0101)(Nnnx1)1(111111100111111111)()()(11)(11)(aZZaZZaZZZaZZZHZYZZZzaZZaZHNNNNnnnnn（2）通过Z变换计算：aZ 11)()1() 1()(1111)(100)1(11)1(111111NnaNnmanyNnuanuanuaaZZZaZZZaZZnyZNmmnnmmnNnnnN反变换得：1.35求以下序列x(n)的频谱: )(jweX)()7()(sin)6()(cos)5()()4()

13、() 3()2()() 1 (00)()00nRnnuwennuwenuenuennnNanannjwaan1)()() 1 (njwnjwene解：jwaajwajjwajnjwnannjwnanjweeeeeenuee111)()() 3(02)(1)(级数收敛0)0(0)()()()2(jwnmnmjwnjwnjweemennejwjNwjweee11)()7(111121)()(21)(sin)6()0()0(000wwjawwjajwnjwnjwananeejenueeejnunwe)0()0(000011211121)()(21)(cos)5(wwjawwjaajwnjwnjwan

14、aneeenueeenunwe)0(0)0()0(11)()4(jwjwaannjwjwanjwnnjwajweeeee1.38设x(n)的序列傅立叶变换为 试证明),(jweXdweXeXnxnxjwjwn)(*)(21)(*)(dweXeXdwenxeXdweeXnxnxnxjwjwjwnnjwjwnjwnn)()(21)()(21)(21)()(*)(证明：1.39已知 的傅立叶变换如图T1-5所示，对 进行等间隔采样而得x(n),，采样周期为0.25ms,，试画出x(n)的傅立叶变换 的图形。),(jweX )(txa)(txa- 11af / k H z)( jfXa解：采样周期T=

15、0.25ms所以采样频率HzTfs40001Ta)(jweZ5 . 05 . 025 . 1wTa1.41已知 式中 以采样频率 对 进行采样，得到采样信号 和时域离散信号x(n).试完成下面各题： (1)写出 的傅立叶变换表示式( 2)写出 和x(n)的表达式。 (3)分别求出 的傅立叶变换和x(n)序列的傅立叶 变换。)(txa,1000Hzf Hzfs400),2cos(2)(0tftxa)( txa)( txa)(txa)( txa).( jXa)()(2)(cos2)()() 1 (00000函数引入解：dteeedtetdtetxjtjtjtjtjtjsamsfTfnTnxnTtn

16、TnTttxtxsnnaa5 . 212002)cos(2)()()cos(2)()()()2(00005 . 0)2()2(2cos2)()(8002)()(2)()()3(0000000TwkwwkwwenwenxefkkTjkjjknjwnnjwnjwsskssksaa式中：1.44一种用以滤除躁声的简单数据处理方法是移动平均。当接收到输入数据x(n)后，就将本次输入数据与其前3次的输入数据（共4个数据）进行平均。求该数据处理系统的频率响应。解：该数据处理系统：y(n)=(1/4)x(n)+x(n-1)+x(n-2)+x(n-3)2sin2sin41)(41)()()(41)()()(2

17、332321wweeeHeZHeHZZHZZXZYZHZwjwjwjjwjweZjw频率响应变换通过1.45描述某线性时不变离散系统的差分方程为 设输入连续信号的角频率为 ，取样周期为T；已知 输入取样序列 试求该系统的 稳态响应y(n).) 1(2)()2(81) 1(41)(nxnxnynyny).sin(2)(Tnnx解：)()(1)(1 26sin2sin2)(8141121)(8141121)()()(6666662211jnjjnjnjnjwjjwjwjweHeeHejnyjeenTnnxeeeeHzzzZXZYZH系统输出：系统输入：1.46设 是如图T1-6所示的x(n)信号的

18、傅立叶变换，不必求出 ，试完成下列计算：)(jweX)(jweXdwdwedXdweXdweXeXjwjwjwjw22)()4()()3()()2()() 1 (01232-4 -3 -2-1456-1-2-11111178n由性质可得：7032222(1)()( )( )6(2)()2(0)4(3)()2( )28()(4)2( )316jnmjwjwnjwnX ex nx nX edwxX edwx ndX edwjnx ndw1.50试作出图T1-9所示谐振器的差分方程，系统函数 零极点图，单位脉冲响应以及频响。试问该系统是IIR还是FIR系统？是递归还是非递归结构？),1zH （X(n)Y(n)ab-11z1z1zNjNjezezzwzwzzbzazZXZYZHny